02VOAFskriptum:Kapitola5: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 69: | Řádka 69: | ||
V ustáleném stavu dopadající vlna pohybuje zakončením s úhlovou | V ustáleném stavu dopadající vlna pohybuje zakončením s úhlovou | ||
frekvencí $\om$, $x(t)=A\cos \om t$. Zakončení jednak pohlcuje část | frekvencí $\om$, $x(t)=A\cos \om t$. Zakončení jednak pohlcuje část | ||
− | + | energie vlny, jednak budí zeslabenou odraženou vlnu o stejné | |
frekvenci. Příslušný {\it koeficient odrazu} $R$ určíme z {\it | frekvenci. Příslušný {\it koeficient odrazu} $R$ určíme z {\it | ||
okrajové podmínky} v místě $z=0$ | okrajové podmínky} v místě $z=0$ |
Aktuální verze z 18. 11. 2010, 01:44
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptum | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:51 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 12. 11. 2023 | 09:26 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kmity soustav hmotných bodů | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:25 | kapitola01.tex | |
Kapitola2 | editovat | Postupné vlny | Johndavi | 25. 5. 2017 | 09:36 | kapitola02.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlny v disperzním prostřední | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:43 | kapitola03.tex | |
Kapitola4 | editovat | Energie vlnění | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:14 | kapitola04.tex | |
Kapitola5 | editovat | Odraz vln | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:44 | kapitola05.tex | |
Kapitola6 | editovat | Elektromagnetické vlny | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:16 | kapitola06.tex | |
Kapitola7 | editovat | Polarizace | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:19 | kapitola07.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interference a ohyb | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:58 | kapitola08.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická optika | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:49 | kapitola09.tex |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\setcounter{chapter}{4} \chapter{Odraz vln} \section{Korektní zakončení struny} \begin{quote} {\it Zakončení viskózním tlumičem. Charakteristická impedance.} \end{quote} V mnoha praktických situacích požadujeme, aby prostředím postupovaly signály pouze jedním směrem, tj. aby nevznikaly odrazy. Namátkou uveďme vedení televizního signálu koaxiálním kabelem od antény k přijímači nebo snímání zvuku v nahrávacím studiu. Na struně takový požadavek znamená, že na počátku rozkmitávaná struna je na svém konci opatřena mechanickým zařízením, které přesně napodobuje další pokračování struny. Takové zařízení budeme nazývat {\it korektní zakončení.} Z hlediska energie musí korektní zakončení úplně pohltit energii dopadající postupné vlny, aniž vznikne vlna odražená. Bude tedy tlumičem a sílu $F_x$, kterou má působit na strunu, si odvodíme ze síly $F_{2x}=T(\pad \psi/\pad z)$ známé z odvození vlnové rovnice, oddíl 1.2, obr. \ref{obr1.7}. Vzpomeňme si, že $F_{2x}$ je příčná síla, kterou působí pokračování struny na strunu v bodě $z_2$. Podle definice musí korektní zakončení (simulující pokračování struny) působit na strunu příčnou silou $F_x$ rovnou $F_{2x}$\,, jestliže na zakončení dopadá postupná vlna typu $\psi(z,\,t)=F(z-vt)$. Pomocí vzorce (\ref{eqv11}) pak můžeme psát $$ F_x=T\f{\pad \psi}{\pad z}=T(-\f{1}{v}\f{\pad \psi}{\pad t})=-\sqrt{T\varrho}\f{\pad \psi}{\pad t}=-Z\f{\pad \psi}{\pad t}\,. $$ Síla $F_x$ je tedy síla {\it viskózního tlumení}, úměrná rychlosti s konstantou úměrnosti, tzv. zatěžovací impedancí, rovnou {\it charakteristické impedanci struny} $Z=\sqrt{T\varrho}$. Zařízení, které má realizovat korektní zakončení v místě $z_2=0$, musí tedy působit na strunu příčnou silou \be \label{4.1} F_x=-Z\f{\pad \psi}{\pad t}(0,\,t)=-Z\f{\d x}{\d t}(t)\, \ee kde $x(t)=\psi(0,\,t)$ je výchylka tlumiče v čase $t$. Je-li struna korektně zakončena, nemůžeme vysláním pulsů určit délku struny, protože žádný puls se nevrací odražen. Stejný efekt nastává, i když je tlumič přímo napojen na zdroj pulsů. Odtud plyne, že na zdroj postupných vln emitující na nekonečnou nebo korektně zakončenou strunu působí od struny síla reakce, která je stejná, jako kdyby byl zdroj přímo napojen na viskózní tlumič (\ref{4.1}). \section{Odraz na nekorektním zakončení} \begin{quote} {\it Koeficient odrazu na zakončení struny viskózním tlumičem.\\ Odrazivost. Přizpůsobení.} \end{quote} Mějme strunu napjatou podél záporné osy $z$, $-\infty<z\leq 0$ a v bodě $z=0$ zakončenou viskózním tlumičem $F_x=-Z_2\dot{x}$ o {\it zatěžovací impedanci} $Z_2$\,. Struna s mechanickými parametry $T,\,\varrho$ má vlnové parametry $$v=\sqrt{\f{T}{\varrho}}\,,\qq \qq Z=\sqrt{T\varrho}\,.$$ Pro nekorektní zakončení $Z_2\neq Z$ musíme vedle {\it dopadající} harmonické postupné vlny $$\psi_{dop}(z,\,t)=A\cos (\om t-kz)$$ uvažovat jako řešení vlnové rovnice i {\it odraženou} harmonickou postupnou vlnu $$\psi_{odr}(z,\,t)=RA\cos (\om t+kz)\,.$$ V ustáleném stavu dopadající vlna pohybuje zakončením s úhlovou frekvencí $\om$, $x(t)=A\cos \om t$. Zakončení jednak pohlcuje část energie vlny, jednak budí zeslabenou odraženou vlnu o stejné frekvenci. Příslušný {\it koeficient odrazu} $R$ určíme z {\it okrajové podmínky} v místě $z=0$ \be \label{5.2} -T\f{\pad \psi}{\pad z}(0,\,t)=-\left(-Z_2\f{\pad \psi}{\pad t}(0,\,t)\right)\, , \ee jež vyjadřuje zákon akce a reakce pro příčné síly, jimiž působí struna na zakončení a zakončení na strunu. Výsledná vlna na struně je pak takovou superpozicí \be \label{5.3} \psi(z,\,t)=\psi_{dop}+\psi_{odr}=A\cos(\om t-kz)+RA\cos(\om t+kz)\,, \ee jež navíc splňuje okrajovou podmínku (\ref{5.2}). Dosazení (\ref{5.3}) do (\ref{5.2}) dává $$ -TkA(1-R)\sin\om t=Z_2\om A (-1-R)\sin\om t $$ pro všechna $t$, odkud \be \label{5.4} R=\f{Tk-Z_2\om}{Tk+Z_2\om}=\f{Z-Z_2}{Z+Z_2}\,. \ee kde jsme s použili $Tk=T\omega /v=Z\omega$. Všimněte si, že koeficient odrazu při hodnotách $0\leq Z_2\leq +\infty$ nabývá hodnot v intervalu $-1\leq R\leq 1$. Protože nezávisí na $\om$, každá Fourierova komponenta se odráží se stejným $R$ a tvar pulsu se odrazem nemění. Rozlišujeme tři důležité speciální případy: \be\label{5.5} \begin{tabular}{|c|c|l|} \hline $Z_2$&R&\\ \hline 0&+1&volný konec\\ Z&0&korektní zakončení\\ $+\infty$&-1&pevný konec \footnotemark\\ \hline \end{tabular} \ee \footnotetext{Změnu znamení výchylky na pevném konci lze ekvivalentně vyjádřit změnou fáze o $180^{\circ}$}. Při korektním zakončení tlumič pohltí veškerý dopadající tok energie, při pevném a volném konci naopak tlumič neabsorbuje žádnou energii (při pevném konci je $\dot{x}(t)=0$, při volném $F_x(t)=0$) a veškerou energii odnáší odražená vlna. Veličina, která určuje podíl odraženého toku energie, je {\it odrazivost} ${\cal R}=R^2\in\langle 0,\,1 \rangle$ . {\bf Cvičení.} Ukažte, že vlnu (\ref{5.3}) lze psát ve tvaru $$ \psi(z,\,t)=(1-R)A\sin kz\cos \left(\om t-\f{\pi}{2}\right)+ (1+R)A\cos kz\cos \om t $$ dvou stojatých vln, z nichž první má v bodě $z=0$ uzel, druhá kmitnu. Diskutujte speciální případy $R=\pm 1$! %\setcounter{section}{2} \section{Vlna na rozhraní dvou transparentních prostředí} \begin{quote} {\it Formulace úlohy pro strunu: vlna dopadající, odražená a prošlá. Podmínky na rozhraní. Koeficienty odrazu a prostupnosti pro amplitudu; odrazivost a transmitivita.} \end{quote} Uvažujme jednorozměrný model ostrého rozhraní mezi dvěma prostředími. Nechť dvě struny natažené podél osy $z$ jsou spojeny v bodě $z=0$ a spojovací bod se může pohybovat jen v příčném směru: \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline struna 1&struna 2\\ \hline $-\infty<z<0$&$0<z<+\infty$\\ $T_1,\,\varrho_1$&$T_2,\,\varrho_2$\\ $\disp v_1=\sqrt{\f{T_1}{\varrho_1}},\,Z_1=\sqrt{T_1\varrho_1}$& $\disp v_2=\sqrt{\f{T_2}{\varrho_2}},\,Z_2=\sqrt{T_2\varrho_2}$\\[4mm] $\disp \f{\pad^2 \psi_1}{\pad t^2}=v_1^2\f{\pad ^2\psi_1}{\pad z_1^2}$& $\disp \f{\pad^2 \psi_2}{\pad t^2}=v_2^2\f{\pad ^2\psi_2}{\pad z_2^2}$\\[4mm] \hline \end{tabular} \end{center} V úloze na odraz a průchod vln rozhraním předpokládáme, že po struně 1 {\it dopadá} harmonická postupná vlna (řešení vlnové rovnice 1) $$ \psi_{dop}(z,\,t)=A\cos(\om t-k_1z)\,,\qq k_1=\f{\om}{v_1}\,.$$ Kmity rozhraní budí vlnu {\it odraženou} s koeficientem odrazu pro amplitudu $R_{12}$ $$ \psi_{odr}(z,\,t)=R_{12}A\cos (\om t+k_1z) $$ a vlnu {\it prošlou} na strunu 2 (řešení vlnové rovnice 2) \be\label{5.6} \psi_2(z,\,t)=T_{12}A\cos(\om t-k_2 z)\,,\qq k_2=\f{\om}{v_2}\,, \ee kde $T_{12}$ se nazývá {\it koeficient prostupnosti pro amplitudu}. Na struně 1 máme proto v ustáleném stavu řešení vlnové rovnice 1, $\psi_1=\psi_{dop}+\psi_{odr}$ v oblasti $-\infty<z<0$, \be\label{5.7} \psi_1(z,\,t)=A\cos(\om t-k_1 z)+R_{12}A\cos(\om t+k_1z). \ee Toto řešení je třeba \uv{sešít} v bodě $z=0$ s řešením (\ref{5.6}) vlnové rovnice 2 v oblasti $0<z<+\infty$. K tomu musíme zformulovat {\it podmínky na rozhraní} $z=0$: \begin{list}{}{\leftmargin=5ex \itemsep=0pt \topsep=\parsep} \item[1.] spojitost výchylek \be\label{5.8} \fbox{$\disp \psi_1(0,\,t)=\psi_2(0,\,t)\,.$} \ee pro všechna $t$ (a diferencovatelnost podle času) implikuje též spojitost rychlostí \be\label{3.9} \f{\pad \psi_1}{\pad t}(0,\,t)=\f{\pad \psi_2}{\pad t}(0,\,t)\,. \ee \item[2.] zákon akce a reakce pro příčné síly na rozhraní ($-F_{1x}=F_{2x}$) \be\label{5.10} \fbox{$\disp T_1\f{\pad \psi_1}{\pad z}(0,\,t)= T_2\f{\pad \psi_2}{\pad z}(0,\,t)$} \ee pro všechna $t$ připouští skok derivace $\pad \psi/\pad z$ při $T_1\neq T_2$. \end{list} Prošlá vlna (\ref{5.6}) se snadno určí z podmínky spojitosti: kmity počátku struny 2 $$ \psi_2(0,\,t)=\psi_1(0,\,t)=(1+R_{12})A\cos\om t $$ budí na intervalu $0<z<+\infty$ prošlou harmonickou postupnou vlnu $$\psi_2(z,\,t)=\psi_2\left(0,\,t-\f{z}{v_2}\right)=(1+R_{12})A\cos (\om t-k_2z) $$ s koeficientem prostupnosti \be\label{5.11} \fbox{$T_{12}=1+R_{12}$}\ . \ee Pro nalezení koeficientu odrazu přepišme pravou stranu podmínky (\ref{5.10}) pomocí vztahu $$ \f{\pad \psi_2}{\pad z}=-\f{1}{v_2}\f{\pad\psi_2}{\pad t}\,, $$ který platí pro vlnu postupující ve směru $+z$. Získaný vztah $$T_1\f{\pad \psi_1}{\pad z}(0,\,t)=-\f{T_2}{v_2}\f{\pad \psi_2}{\pad t}(0,\,t) \stackrel{(5.9)}{=\!=} -Z_2\f{\pad\psi_1}{\pad t}(0,\,t)$$ má stejný tvar jako podmínka nekorektního zakončení (\ref{5.2}) a tudíž vede postupem oddílu 5.2 na koeficient odrazu \be\label{5.12} \fbox{$\disp R_{12}=\f{Z_1-Z_2}{Z_1+Z_2}$}\ . \ee Intervalu hodnot $-1\leq R_{12}\leq 1$ odpovídá podle (\ref{5.11}) interval přípustných hodnot koeficientu prostupnosti $0\leq T_{12}\leq 2$. Vlna tedy prochází vždy se stejným znaménkem. Energetické veličiny se odrážejí s {\it odrazivostí} ${\cal{R}}_{12}=R_{12}^2$ a procházejí rozhraním s {\it transmitivitou} ${\cal{T}}=T_{12}^2=(1+R_{12})^2$. {\bf Cvičení.} Dosaďte vlny (\ref{5.6}), (\ref{5.7}) do podmínek na rozhraní (\ref{5.8}), (\ref{5.10}). Řešením získaných vztahů odvoďte (\ref{5.11}), (\ref{5.12})\,! \section{Napěťové a proudové vlny na homogenním vedení} \begin{quote} {\it Homogenní vedení (Lecherovy dráty). Telegrafní rovnice a jejich řešení. Odraz na zatěžovací impedanci.} \end{quote} Homogenní vedení jsou dva dlouhé přímé rovnoběžné vodiče zapuštěné v prostředí o dielektrické permitivitě $\eps$ a magnetické permeabilitě $\mu$, obr. (\ref{obr:5.1}) %\begin{figure}[hb] %\vspace{2cm} %\caption{Napětí $u$ a proud $i$ na homogenním vedení} %\label{obr:5.1} %\end{figure} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.3\textheight]{ob5c1}\\ \caption{Napětí $u$ a proud $i$ na homogenním vedení} \label{obr:5.1} \end{center} \end{figure} Vedení má spojitě rozložené parametry vztažené na jednotku délky: \tabcolsep12pt \begin{center} \begin{tabular}{ll} odpor $R$&[$\Omega/$m]\\ indukčnost $L$&[H/m]\\ kapacitu $C$&[F/m]\\ svod $G=1/R'$&[S/m] \end{tabular} \end{center} Úsek vedení $(z,\,z+\Delta z)$ bude tedy mít odpor $R\Delta z$, indukčnost $L\Delta z$, kapacitu $C\Delta z$ a svod $G\Delta z$. (Náhradní obvod je na obr.\ref{obr:5.2}.) %\begin{figure}[hb] %\vspace{2cm} %\caption{Náhradní obvod úseku vedení $(z,\,z+\Delta z)$} %\label{obr:5.2} %\end{figure} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.15\textheight]{ob5c2}\\ \caption{Náhradní obvod úseku vedení $(z,\,z+\Delta z)$} \label{obr:5.2} \end{center} \end{figure} Podle obr.\ref{obr:5.1} a obr.\ref{obr:5.2} můžeme psát rovnice pro úbytek napětí $-\Delta u$ a úbytek proudu $-\D i$ na úseku délky $\D z$ \s{-3} %exper $\m \h-\D u(z,\,t)=\D z \left(Ri(z,\,t)+L\f{\pad i(z,\,t)}{\pad t}\right)\,,\h\m \h-\D i(z,\,t)=\D z \left(Gu(z,\,t)+C\f{\pad u(z,\,t)}{\pad t}\right)\,.\h\m$ Podíly $\D u/ \D z$ a $\D i/\D z$ při pevném $t$ definují v limitě $\D z\to 0$ parciální derivace $\pad u/\pad z$ a $\pad i/\pad z$, takže dostáváme {\bf telegrafní rovnice} \begin{eqnarray} -\f{\pad u}{\pad z}&=&Ri+L\f{\pad i}{\pad t}\,,\label{5*.1}\\ -\f{\pad i}{\pad z}&=&Gu+C\f{\pad u}{\pad t}\,.\label{5*.2} \end{eqnarray} % $ \m \h\parbox{4cm}{\fbox{\parbox{4cm}{$\disp\h -\f{\pad u}{\pad %z}=Ri+L\f{\pad i}{\pad t}\,,\h\m \h-\f{\pad i}{\pad z}=Gu+C\f{\pad %u}{\pad %t}\,.\h$}}}\h\parbox{1.5cm}{\eqnu \label{5*.1}\\ \\ %\eqnu\label{5*.2}}\m $ Jejich řešení udává průběh napětí $u(z,\,t)$ a proudu $i(z,\,t)$ podél vedení v závislosti na čase. Zabývejme se nejprve speciálním případem, kdy je v rovnicích (\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2}) možno zanedbat disipativní členy \be \label{5*.3} |Ri|\ll\left|L\f{\pad i}{\pad t}\right|\,,\ |Gu|\ll\left|C\f{\pad u}{\pad t}\right|\,. \ee Takové poměry vznikají na vedení typicky při velmi vysokých frekvencích. Předpokládá\-me-\-li totiž harmonickou časovou závislost (Fourierovu složku v komplexním tvaru, $j=\sqrt{-1}$) \be \label{5*.4} u(z,\,t)=U(z)\e{j\om t},\qq i(z,\,t)=I(z)\e{j\om t}, \ee lze nerovnosti (\ref{5*.3}) ekvivalentně zapsat \be \label{5*.5} R\ll\om L\,,\qq G\ll\om C\,. \ee Za těchto podmínek se z telegrafních rovnic \be \label{5*.6} -\f{\pad u}{\pad z}=L\f{\pad i}{\pad t}\,,\qq -\f{\pad i}{\pad z}=C\f{\pad u}{\pad t} \ee snadno odvodí vlnové rovnice\footnote{První rovnici zderivujeme podle $z$ a použijeme druhou rovnici \[-\f{\pad^2 u}{\pad z^2}=L\f{\pad^2 i}{\pad z\pad t}=L\f{\pad}{\pad t}\left(\f{\pad i}{\pad z}\right)=-LC \f{\pad^2 u}{\pad t^2}\,.\] Analogicky se získá stejná vlnová rovnice pro $i(z,\,t)$.} \be \label{5*.7} \f{\pad^2 u}{\pad z^2}=LC\f{\pad^2 u}{\pad t^2}\,,\qquad \f{\pad^2 i}{\pad z^2}=LC\f{\pad^2 i}{\pad t^2}\,, \ee které popisují šíření netlumených vln $u(z,\,t),\,i(z,\,t)$ s fázovou rychlostí $v=1/\sqrt{LC}$. {\bf Příklad.} Pro dva nekonečně dlouhé přímé vodiče (Lecherovy dráty) o poloměru $a$ a vzdálenosti $D$ povrchů v prostředí $\eps,\,\mu$ platí vzorce \[ C=\f{\eps}{4\ln\f{D+a}{a}}\,,\qq L=4\mu\ln\f{D+a}{a} \] a tedy $LC=\eps \mu$. Vidíme, že fázová rychlost napěťových a proudových vln na Lecherových drátech \be \label{5*.8} v=\f{1}{\sqrt{LC}}=\f{1}{\sqrt{\eps\mu}} \ee se přesně shoduje s fázovou rychlostí elektromagnetických vln v prostředí $\eps,\,\mu$. Můžeme tedy říci, že vlny $u(z,\,t),\,i(z,\,t)$ jsou pouze projevem šíření elektromagnetické vlny, která postupuje podél vedení. Vraťme se k telegrafním rovnicím (\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2}) zahrnujícím disipativní členy a zkou\-mejme jejich řešení s harmonickou časovou závislostí (\ref{5*.4}). Po dosazení (\ref{5*.4}) do (\ref{5*.1}),\,(\ref{5*.2}) dostaneme soustavu dvou obyčejných diferenciálních rovnic \bea -U'(z)&=&(R+j\om L)I(z)\,,\label{5*.9}\\ -I'(z)&=&(G+j\om C)U(z)\,, \eea z nichž vyloučením $I(z)$ \[ -U''(z)=(R+j\om L)I'(z)=-(R+j\om L)(G+j\om C)U(z) \] plyne \be \label{5*.11} U''-\gamma^2 U=0,\ee kde \be \gamma^2=(R+j\om L)(G+j\om C). \ee Při nenulových $R,\,G$ zvolíme za $\gamma$ komplexní odmocninu $\gamma=\beta +jk,\,\beta>0,\,k>0$ (pro $R=G=0$ je $\beta=0$, $\gamma=jk=j \om/v=j\om\sqrt{LC}$). Charakteristická rovnice pro (\ref{5*.11}), $\la^2-\gamma^2=0$, má komplexní kořeny $\la_{1,2}=\pm\gamma$, takže obecné řešení rovnice (\ref{5*.11}) je \be \label{5*.12} U(z)=A_1\e{\gamma z}+A_2\e{-\gamma z}\,. \ee Dosazením do (\ref{5*.4}) zjistíme, že dva členy (\ref{5*.12}) odpovídají harmonickým tlumeným vlnám, které postupují (a exponenciálně se tlumí) ve směrech $-z$ a $+z$: \be\label{5*.13} u(z,\,t)=A_1\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+A_2\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}. \ee %\onecolumn %\columnwidth11cm Příslušná proudová vlna se určí pomocí rovnice (\ref{5*.9}) \be\label{5*.14} i(z,\,t)=-\f{U'(z)\e{j\om t}}{R+j\om L}= \f{1}{Z}\left(-A_1\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+A_2\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right). \ee Zde jsme definovali {\it charakteristickou impedanci} vedení \[ Z=\sqrt{\f{R+j\om L}{G+j\om C}} \] fyzikálně jako {\it poměr napětí a proudu pro vlnu postupující ve směru $+z$}. Na závěr odvodíme koeficienty odrazu $R_U,\,R_I$ pro napětí a proud, je-li na vedení $-\infty<z<0$ v místě $z=0$ připojena {\it zatěžovací impedance} $Z_2$. Nejdříve určíme integrační konstanty $A_1,\,A_2$ z podmínek $U(0)=A_1+A_2$, $ZI(0)=-A_1+A_2$ na konci vedení: %$\m %\parbox{4cm}{$ U(0)=A_1+A_2\\ ZI(0)=-A_1+A_2$}\q\Ra\q %\parbox{6cm}{$ A_1=\f{1}{2}(U(0)-ZI(0))\\ %A_2=\f{1}{2}(U(0)+ZI(0))$.} %\m$ $$ A_1=\f{1}{2}(U(0)-ZI(0)), \qq A_2=\f{1}{2}(U(0)+ZI(0)).$$ Vzhledem k tomu, že na zatěžovací impedanci platí $U(0)=Z_{2}I(0)$, vlny budou mít výsledný tvar % $\m % u(z,\,t)=\f{I(0)}{2}\left[ (Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\gamma t+kz)}+ %(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right],\h\m % i(z,\,t)=\f{I(0)}{2Z}\left[-(Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\gamma t+kz)}+ %(Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right].\h \m $ $$ u(z,\,t)=\f{I(0)}{2}\left[ (Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+ (Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right],$$ $$i(z,\,t)=\f{I(0)}{2Z}\left[-(Z_2-Z)\e{\beta z}\e{j(\om t+kz)}+ (Z_2+Z)\e{-\beta z}\e{j(\om t-kz)}\right]. $$ První členy představují vlny odražené $u_{odr},\,i_{odr}$, druhé členy vlny dopadající $u_{dop},\,i_{dop}$. Koeficienty odrazu $R_U,\,R_I$ pak definujeme jako poměry $u_{odr}(0,\,t)/u_{dop}(0,\,t)$, $i_{odr}/i_{dop}(0,\,t)$ v bodě $z=0$ (vzhledem k tlumení): \[R_U=\f{Z_2-Z}{Z_2+Z}=-R_I\,.\] {\bf Cvičení.} Diskutujte případy $Z_2=Z$ (korektní zakončení), $Z_2=0$ (vedení nakrátko) a $Z_2\to \infty$ (vedení naprázdno)! Srovnejte s analogickými situacemi na struně. Co na\-sta\-ne při $Z_2=Z\e{j\alpha}$?