02VOAFskriptum:Kapitola6: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 174: | Řádka 174: | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
kde \(\mbf{k}=k\mbf{s}\) je vlnový vektor, | kde \(\mbf{k}=k\mbf{s}\) je vlnový vektor, | ||
− | $\omega = v \mid\mbf{k}\mid | + | $\omega = v \mid\mbf{k}\mid, \mid\mbf{s}\mid =1$ |
a vektorové amplitudy \(\mbf{E}_{0}\), \(\mbf{B}_{0}\) | a vektorové amplitudy \(\mbf{E}_{0}\), \(\mbf{B}_{0}\) | ||
splňují vlastnosti (ii), (iii). | splňují vlastnosti (ii), (iii). |
Aktuální verze z 16. 11. 2010, 16:16
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02VOAFskriptum
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02VOAFskriptum | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:51 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 12. 11. 2023 | 09:26 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Kmity soustav hmotných bodů | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:25 | kapitola01.tex | |
Kapitola2 | editovat | Postupné vlny | Johndavi | 25. 5. 2017 | 09:36 | kapitola02.tex | |
Kapitola3 | editovat | Vlny v disperzním prostřední | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 01:43 | kapitola03.tex | |
Kapitola4 | editovat | Energie vlnění | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:14 | kapitola04.tex | |
Kapitola5 | editovat | Odraz vln | Karel.brinda | 18. 11. 2010 | 01:44 | kapitola05.tex | |
Kapitola6 | editovat | Elektromagnetické vlny | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:16 | kapitola06.tex | |
Kapitola7 | editovat | Polarizace | Karel.brinda | 16. 11. 2010 | 16:19 | kapitola07.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interference a ohyb | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:58 | kapitola08.tex | |
Kapitola9 | editovat | Geometrická optika | Karel.brinda | 17. 11. 2010 | 14:49 | kapitola09.tex |
Zdrojový kód
% \wikiskriptum{02VOAFskriptum} \chapter{Elektromagnetické vlny} \section{Rovinné elektromagnetické vlny} \begin{quote} {\it Maxwellovy rovnice v prostředí. Vlnové rovnice. Rovinná elektromagnetická vlna jako řešení Maxwellových rovnic v~prázdném prostředí.} \end{quote} V této kapitole shrneme základní poznatky o elektromagnetických vlnách, které budeme potřebovat pro výklad optiky --- nauky o světle. Dnes je známo, že elektromagnetické jevy tvoří základ veškeré makroskopické fyziky a účastní se většiny mikroskopických (atomárních, jaderných) procesů. Speciálně jsou {\it podstatou optiky} a to nejen v oblasti viditelného světla. Fundamentální elektromagnetická interakce mezi nabitými hmotnými částicemi se řídí {\bf Maxwellovými rovnicemi\/}\index{Maxwellovy rovnice}, které popisují buzení elektromagnetického pole \\ \(\mbf{E}(\mbf{r},t)\), \(\mbf{B}(\mbf{r},t)\) danou hustotou náboje \(\rho (\mbf{r},t)\) a proudovou hustotou \(\mbf{j}(\mbf{r},t)\). Zapíšeme je v lineárním, měkkém prostředí s konstantní dielektrickou permitivitou \(\varepsilon\) a magnetickou permeabilitou \(\mu\): \[rot\vc{E}+\frac{\partial\vc{B}}{\partial t}=0,\quad div\vc{B}=0,\] \[div\vc{E}=\frac{\rho}{\varepsilon},\quad rot\vc{B}-\varepsilon\mu\frac{\partial\vc{E}}{\partial t}=\mu\vc{j}.\] Působení elektromagnetického pole na nabité částice je pak dáno zákonem Lorentzovy síly $$\mbox{$\mbf{F}=Q(\mbf{E}+\mbf{v}\times\mbf{B}).$}$$ Existence elektromagnetických vln je přímým důsledkem Maxwellových rovnic. Ukažme, že z Maxwellových rovnic {\it v prázdném prostoru}, tj. v oblasti bez zřídel $\rho=0$, \(\mbf{j}=0\), lze odvodit vlnové rovnice pro pole \(\mbf{E}\) a \(\mbf{B}\). K tomu stačí na rovnice pro \(rot\mbf{E}\) zapůsobit operátorem \(rot\) a použít vzorec (odvoďte!) $$\mbox{$rot\,rot\mbf{E}=grad\,div\mbf{E}-\Delta\mbf{E}.$}$$ S použitím ostatních Maxwellových rovnic se nám podaří vyloučit \(\mbf{B}\), \[rot\,rot\vc{E}=-\Delta\vc{E}=-rot\frac{\partial\vc{B}}{\partial t}=-\frac{\partial}{\partial t}rot\vc{B}=-\varepsilon\mu\frac{\partial^2\vc{E}}{\partial t^2},\] takže \begin{equation} %\framebox(140,50) \label{eqv0601} \fbox{$\displaystyle\Delta\vc{E}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2\vc{E}}{\partial t^2}.$} \end{equation} Analogickým postupem lze vyloučit \(\mbf{E}\) s výsledkem \begin{equation} \label{eqv0602} \fbox{$\displaystyle\Delta\vc{B}=\varepsilon\mu \frac{\partial^2\vc{B}}{\partial t^2}.$} \end{equation} Z tohoto odvození současně vidíme, že elektromagnetické vlny se v~homogenním prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) šíří s {\bf fázovou rychlostí\/}\index{fázová rychlost} \[ \fbox{$\displaystyle v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.$} \] Elektromagnetické vlny se mohou šířit i vakuem, kde platí \(c=1/\sqrt{\varepsilon_{0}\mu_{0}}\). V oddíle 3.1 jsme definovali {\bf index lomu\/}\index{index lomu} prostředí \[n=\frac{c}{v}=\sqrt{\varepsilon_{r}\mu_{r}}\doteq \sqrt{\varepsilon_{r}}.\] Pro pochopení hlavních vlastností elektromagnetických vln si zkonstruujeme speciální prostorové řešení Maxwellových rovnic bez zřídel --- {\it rovinnou vlnu} postupující ve směru osy \(z\). Pole \(\mbf{E}\), \(\mbf{B}\) tedy budou konstantní v rovinách kolmých k ose \(z\), $$\mbox{$\mbf{E}=\mbf{E}(z,t), \quad \mbf{B}=\mbf{B}(z,t).$}$$ Z Maxwellových rovnic \[div\vc{E}=\frac{\partial E_{z}}{\partial z}=0,\quad div\vc{B}=\frac{\partial B_{z}}{\partial z}=0\] \[(rot\vc{E})_{z}=0=-\frac{\partial B_{z}}{\partial t},\quad (rot\vc{B})_{z}=0=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{z}}{\partial t}\] vidíme, že podélné složky \(E_{z}\), \(B_{z}\) nezávisí na \(z\), \(t\), jsou v prostoru i čase konstantní a tedy neodpovídají šíření vlny. Položme proto \[E_{z}(z,t)=0,\quad B_{z}(z,t)=0\] a zkoumejme zbývající Maxwellovy rovnice pro příčné složky \[(rot\vc{E})_{x}=-\frac{\partial E_{y}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{x}}{\partial t},\quad (rot\vc{B})_{x}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{x}}{\partial t},\] \[(rot\vc{E})_{y}=\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=-\frac{\partial B_{y}}{\partial t},\quad (rot\vc{B})_{y}=\frac{\partial B_{x}}{\partial z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{y}}{\partial t}.\] K velmi jednoduchému řešení nyní dospějeme za předpokladu, že \(E_{y}(z,t)=0\). Pak totiž \(\partial B_{x}/ \partial z=\partial B_{x}/\partial t=0\), takže můžeme položit \(B_{x}=0\). Pro vlny $$\mbox{$\mbf{E}=(E_{x}(z,t),0,0),\quad \mbf{B}=(0,B_{y}(z,t),0)$}$$ nyní platí Maxwellovy rovnice \begin{equation} \label{eqv0603}-\frac{\partial E_{x}}{\partial z}=\frac{\partial B_{y}}{\partial t},\quad -\frac{\partial B_{y}}{\partial z}=\varepsilon\mu\frac{\partial E_{x}}{\partial t}. \end{equation} Všimněte si, že mají matematicky stejný tvar jako telegrafní rovnice bez tlumení (5.18). Stejně jako v oddíle 5.4 pak z (\ref{eqv0603}) plynou vlnové rovnice \begin{equation} \label{eqv0604}\frac{\partial^2 E_{x}}{\partial z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2 E_{x}}{\partial t^2},\quad \frac{\partial^2 B_{y}}{\partial z^2}=\varepsilon\mu\frac{\partial^2 B_{y}}{\partial t^2}. \end{equation} Víme, že vlny \(E_{x}\), \(B_{y}\) postupující v kladném směru osy \(z\) lze zapsat ve tvaru d'Alembertova řešení rovnic (\ref{eqv0604}) \[E_{x}(z,t)=F_{E}(z-vt),\quad B_{y}(z,t)=F_{B}(z-vt).\] Vztah mezi vlnami \(E_{x}\), \(B_{y}\) udávají Maxwellovy rovnice (\ref{eqv0603}), z nichž plyne \[F_{E}'(\xi)=vF_{B}'(\xi)\quad \Rightarrow \quad F_{E}(\xi)=vF_{B}(\xi)+konst.,\] kde \(\xi=z-vt\) a integrační konstantu pokládáme rovnou nule (odpovídala by opět konstantnímu řešení). V~rovinné vlně postupující ve směru \(+z\) tedy platí \[E_{x}(z,t)=vB_{y}(z,t),\quad v=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}.\] Je-li tato vlna {\bf harmonická} ({\bf monochromatická\/}\index{harmonická, monochromatická vlna}), \[E_{x}(z,t)=E_{0}\cos{(\omega t-kz+\varphi)},\quad B_{y}(z,t)=B_{0}\cos{(\omega t-kz +\varphi')},\] platí \[E_{0}=vB_{0}>0,\quad \varphi=\varphi',\quad \omega=vk\] (viz obr. \ref{obr:6.1}). \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c1}\\ \caption{Harmonická rovinná elektromagnetická vlna} \label{obr:6.1} \end{center} \end{figure} Shrneme nyní odvozené vlastnosti rovinných elektromagnetických vln. Protože nejsou závislé na volbě souřadného systému, můžeme je zformulovat pro rovinnou vlnu postupující v libovolném směru \(\mbf{s}\) $(\mid\mbf{s}\mid =1)$: \begin{quote} (i) \vskip 1mm \(\mbf{E}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{E}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt),\quad \mbf{B}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{B}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)\); \end{quote} \begin{quote} (ii) \vskip 1mm \(\mbf{E}\), \(\mbf{B}\), \(\mbf{s}\) tvoří v tomto pořadí pravotočivý systém vzájemně ortogonálních vektorů (vlna je {\bf příčná}); \end{quote} \begin{quote} (iii) \vskip 1mm \(E=vB\), kde \(v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\). \end{quote} %\begin{enumerate} % \item[(i)]$$\mbox{ %$\mbf{E}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{E}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt),\quad %\mbf{B}(\mbf{r},t)=\mbf{F_{B}}(\mbf{s}.\mbf{r}-vt)$}; % \item[(ii)] $\mbf{E}$, $\mbf{B}$, $\mbf{s}$ tvoří v tomto pořadí %pravotočivý systém vzájemně ortogonálních vektorů (vlna je {\bf %příčná}); % \item[(iii)] \(E=vB\), kde \(v=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\). %\end{enumerate} Pole \(\mbf{B}(\mbf{r},t)\) je tedy plně určeno polem \(\mbf{E}(\mbf{r},t)\). Monochromatická rovinná vlna má tvar \begin{equation} \label{eqv0605} \vc{E}(\vc{r},t)=\vc{E_{0}}\cos{(\omega t-\vc{k}\cdot\vc{r}+\varphi)},\quad \vc{B}(\vc{r},t)=\vc{B_{0}}\cos{(\omega t-\vc{k}\cdot\vc{r}+\varphi)}, \end{equation} kde \(\mbf{k}=k\mbf{s}\) je vlnový vektor, $\omega = v \mid\mbf{k}\mid, \mid\mbf{s}\mid =1$ a vektorové amplitudy \(\mbf{E}_{0}\), \(\mbf{B}_{0}\) splňují vlastnosti (ii), (iii). \newpage \section{Rozdělení elektromagnetických vln} \begin{quote} {\it Pásma elektromagnetických vln podle vlnových délek.} \end{quote} Podrobná tabulka ukazuje rozdělení elektromagnetických vln podle vlnových délek. Pouze velmi \'uzké pásmo --- od fialové barvy 350 nm po červenou 750 nm --- odpovídá viditelnému světlu. Všimněte si v porovnání s vlnovými délkami velkého rozsahu frekven\-cí od \(10^4\) do \(10^{23}\) Hz! Pro rentgenové záření (záření X) je typickou vlnovou délkou \(\lambda=1\ \AA\) (angstr\"om) \(=10^{-10} \ m,\) pro záření gama \(\lambda=1 \ X=10^{-13}\ m.\) \vspace{5mm} \begin{tabular}{||c|c|c|c|c|c||} \hline \bfseries $\vc{\nu}/3$ & \bfseries $\vc{\lambda}$ & & & \multicolumn{2}{|c||}{}\\ \bfseries (Hz) & \bfseries (m) & & & \multicolumn{2}{|c||}{}\\ \hline $10^4$ & $10^4$ & & \multicolumn{2}{|c|}{} & \\ \cline{1-4} $10^5$ & $10^3$ & 1 až 15 km & dlouhé & & Elektro-\\ \cline{1-4} $10^6$ & $10^2$ & 200 až 700 m & střední & Rozhlasové & magnetické \\ \cline{1-4} $10^7$ & $10$ & 2 až 100 m & krátké, & vlny & vlny \\ \cline{1-2} $10^8$ & 1 & & velmi krátké & & (v užším \\ \cline{1-5} $10^9$ & $10^{-1}$ & 0,1 až 2 m & \multicolumn{2}{|c|}{Hertzovy vlny} & smyslu), \\ \cline{1-5} $10^{10}$ & $10^{-2}$ & 1 až 100 mm & \multicolumn{2}{|c|}{Mikrovlny} & radiovlny \\ \cline{1-2} $10^{11}$ & $10^{-3}$ & & \multicolumn{2}{|c|}{} & \\ \hline $10^{12}$ & $10^{-4}$ & 10 až 1000 $\mu$m & \multicolumn{3}{|c||}{Infračervené záření (tepelné sálání)} \\ \cline{1-2} $10^{13}$ & $10^{-5}$ & & \multicolumn{3}{|c||}{} \\ \hline $10^{14}$ & $10^{-6}$ & 0,75 až 10 $\mu$m & Infračervené & \multicolumn{2}{|c||}{}\\ \cline{1-4} $10^{15}$ & $10^{-7}$ & 0,35 až 0,75 $\mu$m & Viditelné světlo & \multicolumn{2}{|c||}{Optické záření}\\ \cline{1-4} $10^{16}$ & $10^{-8}$ & 0,35 až 0,014 $\mu$m & Ultrafialové & \multicolumn{2}{|c||}{}\\ \hline $10^{17}$ & $10^{-9}$ & 10 až 100 \AA & Měkké záření X & \multicolumn{2}{|c||}{Záření X}\\ \cline{1-3} $10^{18}$ & $10^{-10}$ & & Tvrdé záření X & \multicolumn{2}{|c||}{Rentgenové}\\ \cline{1-2} \cline{4-6} $10^{19}$ & $10^{-11}$ & 0,1 až 10 \AA & Měkké záření $\gamma$ & & Záření $\gamma$ \\ \cline{1-4} \cline{6-6} $10^{20}$ & $10^{-12}$ & 0,001 až 0,1 \AA & \multicolumn{2}{|c|}{Tvrdé záření $\gamma$} & Zánikové \\ \cline{1-5} $10^{21}$ & $10^{-13}$ & 1 až 100 X & \multicolumn{2}{|c|}{} & záření \\ \hline $10^{22}$ & $10^{-14}$ & $>$ 0,001 X & \multicolumn{2}{|c|}{} & Elektro-\\ & & & \multicolumn{2}{|c|}{Penetrantní záření} & magnetická \\ & & & \multicolumn{2}{|c|}{} & složka \\ \cline{1-2} $10^{23}$ & $10^{-15}$ & & \multicolumn{2}{|c|}{(ultragama)} & kosmického \\ & & & \multicolumn{2}{|c|}{} & záření \\ \hline \end{tabular} \section{Elektromagnetické vlny na rozhraní} \begin{quote} {\it Fázová rychlost a charakteristická impedance. Dopadající, odražená a prošlá vlna. Koeficient odrazu a propustnosti pro kolmý dopad.} \end{quote} Základními vlnovými parametry homogenního prostředí jsou fázová rychlost \(v\) a charakteristická impedance \(Z\). Na struně byly dány vztahy \(v=\sqrt{T/\rho}\), \(Z=\sqrt{T\rho}\), na homogenním vedení bez tlumení \(v=1/\sqrt{LC}\), \(Z=\sqrt{L/C}\). Pro elektromagnetické vlny jsme viděli, že \(v=c/n=1/\sqrt{\varepsilon\mu}\). {\bf Charakteristickou impedanci\/}\index{charakteristická impedance} (vlnový odpor) prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) budeme definovat podobně jako u homogenního vedení --- jako poměr velikostí intenzit elektrického a magnetického pole pro vlnu postupující v daném směru \(\mbf{s}\). Z vlastnosti (iii) v oddíle 6.1 dostaneme s použitím vztahu \(\mbf{B}=\mu\mbf{H}\) \[ %\framebox \fbox{$\displaystyle Z=\frac{E}{H}=\sqrt{\frac{\mu}{\varepsilon}}.$} \] Hodnoty \(\varepsilon_{0}=8,854.10^{-12} AsV^{-1}m^{-1}\), \(\mu_{0}=(\varepsilon_{0}c^2)^{-1}=4\pi.10^{-7}VsA^{-1}m^{-1}\) dávají pro charakteristickou impedanci vakua hodnotu \[Z_{0}=\sqrt{\frac{\mu_{0}}{\varepsilon_{0}}}\doteq 377\;\Omega\] kterou si lze pamatovat jako \(120\pi\) ohmů. Úloha na kolmý dopad rovinné elektromagnetické vlny na rozhraní dvou homogenních prostředí \(\varepsilon_{1}\), \(\mu_{1}\) a \(\varepsilon_{2}\), \(\mu_{2}\) je jednorozměrným problémem, který jsme již řešili pro strunu a pro homogenní vedení v oddílech 5.3 a 5.4. V prostředí \(\varepsilon_{1}\), \(\mu_{1}\) je dopadající a odražená vlna, v prostředí \(\varepsilon_{2}\), \(\mu_{2}\) vlna prošlá. Amplitudy těchto vln \(E_{0}\), \(R_{12}^{E} E_{0} \) a \(T_{12}^{E} E_{0}\) jsou určeny koeficienty odrazu \(R_{12}^{E}\) a prostupnosti \(T_{12}^{E}\). Z podmínek spojitosti na rozhraní (podrobně viz \cite{ST}, kap. 9) plyne \[T_{12}^{E}=1+R_{12}^{E},\quad T_{12}^{B}=1+R_{12}^{B}\] a pro \(R_{12}^{E}\), \(R_{12}^{B}\) stejné vztahy jako u homogenního vedení (kde bylo \(R_{U}=(Z_{2}-Z)/(Z_{2}+Z)=-R_{I}\)): \[R_{12}^{E}=\frac{Z_{2}-Z_{1}}{Z_{2}+Z_{1}}=-R_{12}^{B}.\] Vzhledem k tomu, že v optice obvykle \(\mu_{1r}\doteq 1\doteq\mu_{2r}\), používáme poslední vztah nejčastěji ve tvaru \[R_{12}^{E}=\frac{\sqrt{\frac{\mu_{2}}{\varepsilon_{2}}} -\sqrt{\frac{\mu_{1}}{\varepsilon_{1}}}}{\sqrt{\frac{\mu_{2}} {\varepsilon_{2}}}+\sqrt{\frac{\mu_{1}}{\varepsilon_{1}}}}\doteq \frac{n_{1}-n_{2}}{n_{1}+n_{2}},\] kde \(n_{1}\doteq\sqrt{\varepsilon_{1r}}\), \(n_{2}\doteq\sqrt{\varepsilon_{2r}}\) jsou indexy lomu obou prostředí. {\bf Poznámka}. V úlohách na určení interferenčních maxim a minim při odrazu monochromatického světla na tenkých vrstvách se skládají amplitudy. Proto je nutno vzít v úvahu i znamení koeficientu odrazu: je-li záporné (při \(n_{1}<n_{2}\)), nahradí se změna znamení harmonické vlny při odrazu ekvivalentním posunem o \(\pi\) (\(180^{\circ}\)) ! \section{Energetické veličiny v rovinné elektromag\-ne\-ti\-cké vlně} \begin{quote} {\it Hustota energie, hustota toku energie a hustota hybnosti v rovinné \\ elektromagnetické vlně. Časové střední hodnoty v monochromatické vlně. \\ Tlak záření.} \end{quote} Elektromagnetické pole má jako fyzikální objekt energii, hybnost a moment hybnoti. Vzhledem ke kontinuálnímu charakteru pole je jeho energetický obsah popsán {\bf hustotou energie\/}\index{hustota energie} \(w(\mbf{r},t)\) (jednotka \(Jm^{-3}\)), jejíž objemový integrál \(\int_{V}wdV\) udává okamžitou energii obsaženou v libovolné prostorové oblasti V. Podle J. C. Maxwella je hustota energie elektromagnetického pole v nevodivém prostředí \(\varepsilon\), \(\mu\) dána kvadratickým výrazem \[w=\frac{1}{2}(\vc{E}\cdot\vc{D}+\vc{H}\cdot\vc{B})=\frac{1}{2}(\varepsilon E^2+\mu H^2).\] Přenos energie v prostoru popisuje {\bf hustota toku energie\/}\index{hustota toku energie} \(\mbf{S}(\mbf{r},t)\), která je definována jako množství energie, jež za jednotku času projde jednotkovou plochou postavenou kolmo na směr šíření energie pole (jednotka \( Jm^{-2}s^{-1} = W/m^{2} \)). V časově proměnném elektromagnetickém poli v prostředí \(\varepsilon, \mu\) je dána Poyntingovým vektorem $$\mbox{$\mbf{S}=\mbf{E}\times\mbf{H}.$}$$ Pro {\bf hustotu hybnosti\/}\index{hustota hybnosti} elektromagnetického pole {\bf ve vakuu} platí vzorec \[\vc{g}=\vc{D}\times\vc{B}= \varepsilon_{0}\mu_{0}\vc{E}\times\vc{H}=\frac{\vc{S}}{c^2}.\] Všimněte si, že všechny uvedené výrazy pro energetické veličiny jsou {\it kvadratické} v polích. Upravme je pro případ {\it rovinné elektromagnetické vlny}. Vztah (iii) z oddílu 6.1 lze ekvivalentně zapsat \begin{equation} \label{eqv0606} E=vB\quad \Longleftrightarrow\quad \sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H. \end{equation} Proto elektrická a magnetická část hustoty energie $w$ jsou si v rovinné vlně rovny a platí \[ %\framebox(140,50) \fbox{$\displaystyle w=\varepsilon E^2. $} \] Vlastnosti (ii) a (iii) z oddílu 6.1 dovolují zapsat \begin{equation} \label{eqv0607} \vc{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{s}\times\vc{E}, \end{equation} takže Poyntingův vektor v rovinné elektromagnetické vlně je úměrný hustotě energie (viz obr. \ref{obr:6.2}) \[\vc{S}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{E} \times(\vc{s}\times\vc{E})=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E^2\vc{s},\] \begin{equation} \label{eqv0608} %\framebox(140,40) \fbox{$\displaystyle \vc{S}=wv\vc{s}. $} \end{equation} %\begin{quote} %\begin{quote} {\it Obr. 6.2:}\begin{quote}{\it Ke %vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro hustotu toku energie. Přenáší-li se %energie vlny rychlostí v, projde plochou \(df=dx\:dy\) za čas dt %energie \(w\:dV=wv\:dt\:dx\:dy\). Hustota toku energie \(S_z\) je %pak rovna energii, která projde za jednotku času jednotkovou %plochou, tj. \((w\:dV)/(dS\:dt)=wv\).}\end{quote} %\end{quote} %\end{quote} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.26\textheight]{ob6c2}\\ \caption{Ke vztahu \(\mbf{S}=wv\mbf{s}\) pro hustotu toku energie. Přenáší-li se energie vlny rychlostí v, projde plochou \(df=dx\:dy\) za čas dt energie \(w\:dV=wv\:dt\:dx\:dy\). Hustota toku energie \(S_z\) je pak rovna energii, která projde za jednotku času jednotkovou plochou, tj. \((w\:dV)/(dS\:dt)=wv\).} \label{obr:6.2} \end{center} \end{figure} Konečně hustota hybnosti (ve vakuu) \[ %\framebox(140,40) \vc{g}=\frac{\vc{S}}{c^2}=\frac{w}{c}\vc{s}. \] {\bf V monochromatické rovinné vlně\/}\index{monochromatická rovinná vlna} (\ref{eqv0605}) nás vzhledem k vysokým frekvencím zajímají časové střední hodnoty přes jednu periodu \(T=2\pi/\omega\): \[<w>_{T}=\varepsilon<E^2>_{T}=\frac{1}{2}\varepsilon E_{0}^2,\] \[<\vc{S}>_{T}=<w>_{T}v\vc{s}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}E_{0}^2\vc{s},\] \[<\vc{g}>_{T}=\frac{<\vc{S}>_{T}}{c^2}=\frac{<w>_{T}}{c}\vc{s}.\] Skutečnost, že rovinná elektromagnetická vlna má nenulovou hustotu hybnosti, přivedla v r. 1873 J. C. Maxwella k odvození {\bf tlaku záření\/}\index{tlak záření}. Abychom odvodili velikost tlaku záření, předpokládejme, že rovinná elektromagnetická vlna ve vakuu dopadá kolmo na dokonale absorbující (černý) rovinný povrch masivního tělesa (obr. \ref{obr:6.3}). Záření ve válcovém objemu o průřezu 1 \(m^2\) a výšce \(c\:dt\) bude absorbováno plochou 1 \(m^2\) povrchu tělesa za čas \(dt\). To znamená, že z tohoto objemu těleso převezme za čas \(dt\) hybnost pole \[d\vc{G}=\vc{g}dV=\frac{w}{c}\vc{s}c\:dt.\] %\begin{quote} %\begin{quote} %{\it Obr. 6.3: K odvození tlaku záření.} %\end{quote} %\end{quote} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.2\textheight]{ob6c3}\\ \caption{K odvození tlaku záření.} \label{obr:6.3} \end{center} \end{figure} Z mechaniky víme, že časová změna hybnosti \(d\mbf{G}/dt\) udává sílu, v našem případě působící kolmo na jednotku plochy povrchu tělesa. Její normálová složka představuje hledaný tlak : \[ %\framebox(140,50) \fbox{{\it tlak záření} $\displaystyle =w.$} \] \begin{quote} {\it Tlak záření je číselně roven hustotě energie záření.} \end{quote} {\bf Poznámka.} Odráží-li povrch tělesa kolmo dopadající rovinnou elektromagnetickou vlnu s koeficientem odrazu pro amplitudu \(R^E\), bude mít pole odražené vlny hustotu hybnosti opačného směru \({\cal R}\mbf{g}\), kde \({\cal R}=\left(R^E\right)^2\) je odrazivost povrchu. Protože celková změna hybnosti tělesa je nyní $$\mbox{$d\mbf{G}=(\mbf{g}+\cal{R}\mbf{g})\mathnormal{dV},$}$$ dostáváme vzorec \[ %\framebox(140,50) \fbox{{\it tlak záření} $\displaystyle=(1+{\cal R}) w.$} \] Experimentálně byl Maxwellův vzorec pro tlak svazku světla potvrzen teprve v pracích \cite{L}, \cite{NH} z roku 1901. Samozřejmě je pozorována časová střední hodnota $$\mbox{$\displaystyle<${\it tlak záření} $\displaystyle>_T=(1+{\cal R}) <w>_T.$}$$ Tlak záření částečně ovlivňuje tvar komet. Protože je důležitou veličinou v termodynamice záření, nelze ho pominout např. při studiu vnitřní dynamiky hvězd. \section{Elektromagnetická vlna vyzařovaná elektrickým dipólem} \begin{quote} {\it Vlastnosti záření kmitajícího elektrického dipólu. Srovnání s rovinnou \\ vlnou. Poyntingův vektor, intenzita záření, vyzařovací diagram, \\ celkový vyzařovaný výkon.} \end{quote} Obvyklé zdroje světla jsou soustavy atomů (molekul), které jsou energeticky buzeny různými fyzikálními nebo chemickými způsoby a v~jejich důsledku vyzařují elektromagnetické vlny. Nejjednodušším klasickým modelem vyzařování je řešení Maxwellových rovnic, jehož zdrojem je časově proměnný {\it elektrický dipól} (tzv. krátký dipól, \cite{ST}, kap. 9). S~kmitajícími dipóly \(\mbf{p}(t)=e\mbf{r}(t)\) jsme se již setkali v~oddíle 3.1 při aplikaci klasického Thomsonova modelu atomu k vysvětlení disperze světla v látkách vynucenými kmity elektronů v atomech. V tomto oddíle uvedeme tvar elektromagnetické vlny v nevodivém prostředí \(\varepsilon, \mu\) {\it ve velké vzdálenosti} $r$ od elektrického dipólu umístěného v počátku $O$ a kmitajícího podle předepsané časové závislosti \(\mbf{p}=\mbf{p}(t)\), speciálně pak \(\mbf{p}=\mbf{p_0}\cos \omega t\). Na obr \ref{obr:6.4} jsou vyobrazeny vektory \(\mbf{E}(\mbf{r},t)\), \(\mbf{H}(\mbf{r},t)\) v souřadném systému, jehož osa $z$ míří ve směru \(\mbf{p_0}\). Jsou dány vzorci (\cite{ST}) \begin{equation} \label{eqv0609} \vc{E}(\vc{r},t)=-\frac{\ddot{\vc{p_{\bot}}}\left(t-\frac{r}{v}\right)}{4\pi\varepsilon v^2 r},\quad \vc{H}=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\mu}}\vc{r_0}\times\vc{E}, \end{equation} kde \(\ddot{\vc{p_{\bot}}}\) je kolmou složkou v rozkladu vektoru \(\ddot{\vc{p}}=(\ddot{\vc{p}}\cdot{\vc{r_0}})\vc{r_0}+\ddot{\vc{p_{\bot}}}\) na složku rovnoběžnou s vektorem \(\mbf{r_0}=\mbf{r}/r\) a složku kolmou k \(\mbf{r_0}\). K vyzařování elektrického dipólu \\ \(\mbf{p}(t)=e\mbf{r}(t)\) tedy dochází pouze tehdy, když se náboj pohybuje zrychleně, \(\ddot{\vc{r}}\neq0\) ! %\begin{quote} %\begin{quote} %{\it Obr. 6.4: Elektrické dipólové záření.} %\end{quote} %\end{quote} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c4}\\ \caption{Elektrické dipólové záření} \label{obr:6.4} \end{center} \end{figure} %\begin{quote} %\begin{quote} %{\it Obr. 6.5:}\begin{quote}{\it Vyzařovací diagram elektrického dipólu %(plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce %\(\sin{\vartheta}\).}\end{quote} %\end{quote} %\end{quote} \begin{figure} \begin{center} %%TODO%% \includegraphics[height=0.4\textheight]{ob6c5}\\ \caption{Vyzařovací diagram elektrického dipólu (plná čára). Čárkovaná kružnice je grafem funkce \(\sin{\vartheta}\).} \label{obr:6.5} \end{center} \end{figure} Z toho, že fáze vlny (\ref{eqv0609}) je dána retardovaným časem \(t-(r/v)\), je patrné, že se jedná o vlnu {\it sférickou}, jejíž vlnoplochy (2.29) jsou kulové plochy se středem v počátku. Vzorce (\ref{eqv0609}) dále ukazují, že vlna je {\it příčná} vzhledem ke směru \(\mbf{r_0}\) a že její amplituda klesá {\it nepřímo \'uměrně vzdálenosti} $r$. Porovnáním s vlastnostmi rovinné elektromagnetické vlny v oddílu 6.1 (viz též vztahy (\ref{eqv0606}), (\ref{eqv0607}) v oddíle 6.4) zjistíme, že vektory \(\mbf{E}\), \(\mbf{H}\), \(\mbf{r_0}\) rovněž tvoří v tomto pořadí pravotočivý systém vzájemně ortogonálních vektorů a pro velikosti $E$, $H$ rovněž platí (\ref{eqv0606}).\footnote{Protože kulovou plochu lze pro velká $r$ aproximovat její tečnou rovinou, dává model záření dipólu možnost přibližné realizace rovinné vlny (\(\mbf{s}=\mbf{r_0}\)) alespoň v malé oblasti tečné roviny. Pro odhad velikosti této oblasti viz \cite{TK}, př. 5.11.} Okamžitá hustota toku energie elektrického dipólového záření v místě \(\mbf{r}\) je podle (\ref{eqv0608}) vektor mířící ve směru \(\mbf{r_0}=\mbf{r}/r\) $$\mbox{$\mbf{S}(\mbf{r},t)=\mbf{E}\times\mbf{H}=wv\mbf{r_0},$}$$ kde \(w=\varepsilon E^2\). Ve sférických souřadnicích podle obr. \ref{obr:6.4} platí \(|\ddot{\vc{p_{\bot}}}|=\omega^2 p_0\sin\vartheta\cos\omega t\), takže velikost hustoty toku energie je rovna \[|\vc{S}(\vc{r},t)|=\varepsilon E^2 v=\frac{\omega^4 p_0^2}{16\pi^2\varepsilon v^3}\frac{\sin^2\vartheta}{r^2}\cos^2(\omega t-kr).\] Její časovou střední hodnotu obvykle nazýváme {\bf intenzitou záření\/}\index{intenzita záření} \[\mathcal{I}\mathnormal{(r,\vartheta,\varphi)= <|\vc{S}(\vc{r},t)|>_T=\frac{\omega^4 p_0^2}{ {32}\pi^2\varepsilon v^3}\frac{\sin^2\vartheta}{r^2}}.\] Vidíme, že klesá se čtvercem vzdálenosti $r$ a nezávisí na úhlu \(\varphi\). Její závislost na \'uhlu \(\vartheta\) zakreslujeme do {\bf vyzařovacího diagramu elektrického dipólu\/}\index{vyzařovací diagram elektrického dipólu} (obr. \ref{obr:6.5}): hodnotu \(\sin^2\vartheta\) vynášíme na polopřímku svírající \'uhel \(\vartheta\) s osou $z$. Maximum intenzity je v kolmém směru k dipólu (\(\vartheta=\pi/2\)), ve směru dipólu je intenzita nulová ! To, že vzorce (\ref{eqv0609}) skutečně popisují elektromagnetické pole záření, které od zdroje unáší energii nenávratně pryč, zjistíme výpočtem celkové energie, která za jednotku času projde sférou o poloměru $r$. Tento {\bf celkový vyzařovaný výkon\/}\index{celkový vyzařovaný výkon} je roven plošnému integrálu přes tuto sféru z Poyntingova vektoru \(\mbf{S}\), \[P(t)=\int\vc{S}(\vc{r},t)\cdot d\vc{f}.\] Ve sférických souřadnicích je \(d\mbf{f}=\mbf{r_0}r^2\sin\vartheta\:d\vartheta\:d\varphi\), takže po dosazení za \(\mbf{S}\) a jednoduchých integracích přes \(\vartheta\in<0,\pi>\) a \(\varphi\in<0,2\pi>\) dostaneme okamžitý celkový výkon \[P(t)=\frac{\omega^4 p_0^2}{6\pi\varepsilon v^3}\cos^2(\omega t-kr).\] Jeho časová střední hodnota je konstantní, {\it nezávisí na poloměru sféry} $r$ : \[<P(t)>_T=\frac{\omega^4 p_0^2}{12\pi\varepsilon v^3}.\] Energie mezi různými poloměry se ani neztrácí, ani nevzniká. Pro docílení ustáleného vyzařování je ovšem nutno příslušný výkon zářícímu dipólu neustále dodávat.