02KVAN:Kapitola2: Porovnání verzí

Aktuální verze z 18. 9. 2018, 13:42

PDF	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly	[ znovu generovat,	výstup z překladu ]	Přeložení pouze této kaptioly.
ZIP			Kompletní zdrojový kód včetně obrázků.
Součásti dokumentu 02KVAN

součást	akce		poslední editace			soubor
Hlavní dokument	editovat	Hlavní stránka dokumentu 02KVAN	Stefamar	18. 9. 2018	13:38
Řídící stránka	editovat	Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků	Stefamar	18. 9. 2018	14:04
Header	editovat	Hlavičkový soubor	Stefamar	18. 9. 2018	13:39	header.tex
Kapitola0	editovat	Poznámka	Stefamar	18. 9. 2018	13:40	kapitola0.tex
Kapitola1	editovat	Charakteristické rysy kvantové mechaniky	Stefamar	18. 9. 2018	13:41	kapitola1.tex
Kapitola2	editovat	Zrod kvantové mechaniky	Stefamar	18. 9. 2018	13:42	kapitola2.tex
Kapitola3	editovat	Stavy a pozorovatelné v kvantové mechanice	Stefamar	18. 9. 2018	13:48	kapitola3.tex
Kapitola4	editovat	Jednoduché kvantové systémy	Stefamar	18. 9. 2018	13:49	kapitola4.tex
Kapitola5	editovat	Příprava stavu kvantové částice	Stefamar	18. 9. 2018	14:09	kapitola5.tex
Kapitola6	editovat	Kvantová částice v centrálně symetrickém potenciálu	Stefamar	18. 9. 2018	13:57	kapitola6.tex
Kapitola7	editovat	Zobecněné vlastní funkce	Stefamar	18. 9. 2018	13:58	kapitola7.tex
Kapitola8	editovat	Bra-ketový formalismus a posunovací operátory	Stefamar	18. 9. 2018	13:59	kapitola8.tex
Kapitola9	editovat	Předpovědi výsledků měření	Stefamar	18. 9. 2018	13:59	kapitola9.tex
Kapitola10	editovat	Časový vývoj kvantové částice	Stefamar	18. 9. 2018	14:01	kapitola10.tex
Kapitola11	editovat	Částice v elektromagnetickém poli. Spin	Stefamar	18. 9. 2018	14:02	kapitola11.tex
Kapitola12	editovat	Systémy více částic	Stefamar	18. 9. 2018	14:03	kapitola12.tex
Kapitola13	editovat	Přibližné metody výpočtu vlastních hodnot operátoru	Stefamar	18. 9. 2018	14:36	kapitola13.tex
Kapitola14	editovat	Potenciálový rozptyl, tunelový jev	Stefamar	18. 9. 2018	14:05	kapitola14.tex
KapitolaA	editovat	Literatura	Stefamar	18. 9. 2018	14:06	literatura.tex
Vložené soubory

soubor	název souboru pro LaTeX
Image:blackbody.pdf	blackbody.pdf
Image:s1s2.png	s1s2.png
Image:s1full.png	s1full.png
Image:s2full.png	s2full.png
Image:wavefull.png	wavefull.png
Image:ballfull.png	ballfull.png
Image:roz1.pdf	roz1.pdf
Image:roz2.pdf	roz2.pdf
Image:fine_structure.pdf	fine_structure.pdf
Image:zeeman_FS.pdf	zeeman_FS.pdf
Image:tunel_prob.pdf	tunel_prob.pdf
Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02KVAN}
 
\chapter{Zrod \qv é mechaniky}
\ll{ZrodQM}
 
Základní úlohou všech odvětví teoretické fyziky (mechaniky, elektřiny a magnetismu, termodynamiky, ...) je popis \emph{množiny stavů a
určení časového vývoje} fyzikálních systémů. Jinými slovy to znamená určení měřitelných veličin tzv.~\emph{pozorovatelných}, které jsou
pro zkoumaný systém relevantní, a předpovězení vývoje jejich hodnot. Jejich příkladem je poloha, hybnost, energie, elektrická a
magnetická intenzita, teplota, objem atd.
 
{\small Klasická fyzika popisuje pozorovatelné jako funkce na prostoru stavů. Jejich hodnoty pro daný stav jsou přesně určeny a fyzikální
zákony určující jejich časový vývoj jsou popsány diferenciálními rovnicemi. Tímto způsobem lze popsat širokou třídu jevů, ve kterých
interagují jak hmotné objekty, tak fyzikální pole či záření. Rozsah těchto jevů je tak velký, že na konci minulého století se zdálo, že
vývoj fyziky je ukončen, že známe všechny fyzikální zákony. Bohužel či bohudík se ukázalo, že to není pravda, a že klasická fyzika
nedokáže bezesporně popsat některé jevy, ke kterým dochází v~důsledku interakcí na atomární úrovni.}
 
\bc
  Popište jednorozměrný harmonický oscilátor Hamiltonovskou formulací klasické mechaniky. Napište a vyřešte pohybové rovnice. Napište
  rovnici pro fázové trajektorie. Hodnotou jaké fyzikální veličiny jsou určeny?
\ec
 
Základní fyzikální objekty --- \textbf{hmota a záření} --- jsou v~klasické fyzice \textbf{popsány zcela odlišným způsobem}. Hmotné objekty
jsou lokalizované a řídí se Newtonovými pohybovými rovnicemi, zatímco záření je nelokalizované a řídí se Maxwellovými polními rovnicemi.
Dochází u~něj k~vlnovým jevům např.~interferenci a ohybu.
 
V~makrosvětě je toto rozlišení plně oprávněné a odlišný způsob popisu  kvalitativně různých objektů zcela logický. Pokusy prováděné
počátkem tohoto století však ukázaly, že pro popis objektů v~mikrosvětě jsou původní představy neadekvátní, ba dokonce vedou k~předpovědím,
které jsou v~rozporu s~pozorováními.
 
{\small Příkladem takového rozporu je Rutherfordův planetární model atomu, který předpokládá, že záporně nabité elektrony obíhají okolo
kladně nabitého jádra podobně jako planety okolo Slunce. Podle této představy jsou elektrony klasické, elektricky nabité (na rozdíl od
planet!) částice. Problém je však v~tom, že z~teorie elektromagnetického pole pak vyplývá, že by při pohybu po zakřivené dráze měly
produkovat elektromagnetické záření na úkor své vlastní mechanické energie.}
 
Předpovědí klasické teorie tedy je, že atomy by měly produkovat záření se spojitým spektrem energií a měly by mít konečnou, dokonce velmi
krátkou (cca.~$10^{-10}$ s) dobu života. Obě tyto předpovědi jsou v~rozporu s pozorováním. Smířit tento rozpor teorie a experimentu se
podařilo až kvantové mechanice za cenu opuštění některých zdánlivě přirozených představ, v~tomto případě elektronu jako částice pohybující
se po nějaké dráze.
 
\bc
  Spočtěte charakteristickou dobu života elektronu v~atomu vodíku, pokud jej považujeme za klasickou částici pohybující se po kruhové dráze
  o~(Bohrově) poloměru $a \approx 10^{-10} \ \mathrm{m}$ (viz \cite{sto:tf}, příklad 9.52).
\ec
 
K~dalším klasicky nevysvětlitelným jevům, jež stály u~zrodu \qv é mechaniky patří Planckova formule pro záření černého tělesa, fotoefekt
a Comptonův rozptyl elektronů, které popíšeme v~příštích podkapitolách. Ukáže se, že pro jejich vysvětlení se budeme muset vzdát i
představy o~čistě vlnové povaze elektromagnetického záření.
 
 
\section{Planckův vyzařovací zákon}
 
Jedním z~problémů klasické fyziky je popsat spektrální rozdělení intenzity záření tzv.~absolutně černého tělesa, přesněji její závislost
na frekvenci záření a teplotě tělesa.
 
\emph{Absolutně černé těleso}, tzn.~těleso které neodráží žádné vnější záření, lze realizovat otvorem v~dutině, jejíž vnější stěny jsou
vodivé a jsou ohřáty na jistou teplotu $T$. Takto zahřátá dutina vyzařuje elektromagnetické záření, jehož experimentálně změřené
spektrální rozdělení je v~rozporu s klasickým popisem tohoto jevu.
 
Oscilací atomů stěn dutiny zahřáté na teplotu $T$ se v~dutině vytváří elektromagnetické pole (viz \cite{sto:tf}, kap.~8), jež je zdrojem
záření černého tělesa. Jeho složky $\vec E(\vex,t), \vec B(\vex,t)$ musí splňovat Maxwellovy-Lorentzovy rovnice beze zdrojů
\be \div \vec{E}=0,\ \ \ \rot \vec B - \frac{1}{c^2} \frac{\pd \vec{E}}{\pd t}=0, \ll{ml1} \ee
\be \div \vec{B}=0,\ \ \ \rot \vec E + \frac{\pd \vec{B}}{\pd t}=0 \ll{ml2} \ee
a okrajové podmínky, které vyžadují, aby tečné složky elektrického a normálové složky magnetického pole byly na stěnách dutiny nulové (viz
např.~\cite{sto:tf} U9.1 a \cite{uhl:uvaf} I.2), tj.
\be \vec{N}\cdot\vec{H}=0,\ \ \ \vec N\times \vec E=0, \ll{podnast}\ee
kde $\vec N$ je jednotkový vektor směřující ve směru normály ke stěně dutiny. Jako první krok odvození Planckova zákona ukážeme, že takovéto
pole je ekvivalentní systému neinteragujících harmonických oscilátorů.
 
Nechť $\vec E,\vec B$ vyhovují podmínkám \rf{ml1}-\rf{podnast}. Z~II.~serie Maxwellových-Lorentzových rovnic plyne, že elektromagnetické
pole lze popsat čtveřicí potenciálů $(\phi(\vex,t),\vec A(\vex,t))$ způsobem
\be \vec E = -\grad \phi' -\frac{\pd \vec{A'}}{\pd t},\ \ \vec B = \rot \vec{A'}.\ee
Pro Maxwellovy rovnice beze zdrojů lze kalibrační transformací dosáhnout toho, že elektromagnetické potenciály $(\phi,\vec{A})$ splňují
$\phi=0,\div\vec{A}=0$ a okrajové podmínky $\vec N \times \vec A = 0$ na stěnách dutiny.
 
Kalibrační transformace
\be \phi(\vex,t) = \phi'(\vex,t)-\frac{\pd\lambda}{\pd t}(\vex,t) \ee
\be \vec A(\vex,t) = \vec A'(\vex,t) + \grad \lambda(\vex,t), \ee
která zaručí splnění výše uvedených podmínek, je dána funkcí $\lambda$, která splňuje rovnice
\be \frac{\pd \lambda}{\pd t}=\phi' \ee
\be \lapl \lambda = -\div \vec A' \ee
spolu s~okrajovými podmínkami na stěnách
\be \vec N \times \grad \lambda = -\vec N \times \vec A'. \ee
 
Fakt, že všechny tyto podmínky lze splnit dostatečně hladkou \fc í $\lambda$ je zaručen rovnicí $\div \vec{E}=0$ a požadavky na tečné a
normálové složky intenzit na stěnách dutiny.
 
Předpokládejme dále, že dutina má tvar krychle o~hraně $L$. Rozložíme složky vektorového potenciálu do trojné Fourierovy řady (viz
např.~\cite{uhl:uvaf})
 
\be A_1(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_1(\vec{m},t) \cos\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right) \sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four1} \ee
\be A_2(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_2(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right), \ll{Four2}\ee
\be A_3(\vex,t) = \sum_{\vec m \in \Z_+^3} Q_3(\vec{m},t)\sin\left( \frac{m_1x_1\pi}{L}\right)\sin\left( \frac{m_2x_2\pi}{L}\right)\cos\left( \frac{m_3x_3\pi}{L}\right). \ll{Four3}\ee
 
Důvod pro tento speciální výběr Fourierova rozvoje je následující: Okrajové podmínky $\vec N\times\vec A=0$ na stěnách krychle implikují
\[ A_1(x_1,x_2,0,t)=0,\ A_1(x_1,0,x_3,t)=0 \]
takže funkci $A_1$, lze rozšířit na interval $\langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle \times \langle -L,L \rangle$ jako spojitou
funkci lichou v~proměnných $x_2,x_3$. O~hodnotách $A_1(0,x_2,x_3)$  žádnou informaci nemáme, můžeme ji nicméně prodloužit sudě v~$x_1$.
Fourierův rozklad liché spojité funkce na intervalu $\langle -L,L \rangle$ lze provést pomocí funkcí  $\sin\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$, zatímco rozklad sudé
funkce pomocí funkcí $\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$. Odtud plyne možnost rozkladu \rf{Four1}. Důležité je, že podmínka
\[ A_1(x_1,x_2,L,t)=0,\ A_1(x_1,L,x_3,t)=0 \]
už neklade na koeficienty rozvoje žádné dodatečné omezení na rozdíl od případu, kdybychom užili jiné typy rozvojů, např.~pomocí funkcí
$\cos\left(\frac{mx\pi}{L}\right)$ pro sudá rozšíření $A_1$ v~$x_2,x_3$. Stejnou argumentací dostaneme rozklady funkcí $A_2,A_3$ způsobem \rf{Four2}, \rf{Four3}.
 
Z~rovnic pro potenciály ve vybrané kalibraci
\be \frac{1}{c^2}\frac{\pd^2}{\pd t^2}A_i-\lapl A_i=0, \ll{vlnrce} \ee
které dostaneme  z~\rf{ml1}, pak plyne, že koeficienty $\vec Q_{\vec{m}}(t) \equiv \vec Q(\vec m,t)$ pro $ \vec m \in \Z_+^3$ (trojice
celých nezáporných čísel) splňují jednoduché \rc e
\be \ddot{\vec{Q}}_{\vec m}+\omega_{\vec m}^2\vec {Q}_{\vec m} = 0, \ll{rceHO} \ee
kde
\be \omega_{\vec m}=\frac{\pi c}{L}\sqrt{m_1^2+m_2^2+m_3^2} \ll{omgm} \ee
a $c$ je rychlost světla.
 
Kalibrační podmínka $\div \vec A=0$ přejde na tvar
\be \vec m\cdot\vec Q_{\vec m}=0, \ll{kalpod} \ee
ze kterého plyne, že pro každé $\vec m \in \Z_+^3$ existují dvě lineárně nezávislé funkce $Q^\alpha_{\vec m}(t),\ \alpha=1,2$ splňující
\rf{rceHO}, \rf{kalpod}, což odpovídá dvěma polarizacím elektromagnetického záření.
 
\bc
  Ze vzorců \rf{Four1}-\rf{Four3} odvoďte formule pro složky elektrického a magnetického pole $\vec E(\vex,t)$ a $\vec B(\vex,t)$.
\ec
 
Energie elektromagnetického pole
\[ \mathcal{E} = \half\int(\varepsilon_0\vec E^2+\frac{1}{\mu_0}\vec B^2)\d V \]
po dosazení \rf{Four1}-\rf{Four3} a integraci přejde na tvar
\be
  \mathcal{E} = \frac{\varepsilon_0 L^3}{16}\sum_{\vec m \in \Z_+^3}\sum_{\alpha=1,2}(\dot{{Q^\alpha}}_{\vec m}^2+\omega_{\vec m}^2 {Q^\alpha}_{\vec m}^2).
  \ll{ergempole}
\ee
 
Z~rovnic \rf{rceHO}, \rf{ergempole} vidíme, že {elektromagnetické pole v~uzavřené dutině je ekvivalentní soustavě nezávislých harmonických
oscilátorů} (stojatých vln) číslovaných vektory $\vec m \in \Z_+^3$.
 
Elektromagnetické intenzity nejsou plně určeny, neboť nejsou dány žádné počáteční podmínky a není tedy ani možno určit energii
elektromagnetického pole ani energie jednotlivých harmonických oscilátorů v~sumě \rf{ergempole}. Na druhé straně však víme, že
elektromagnetické pole je v~termodynamické rovnováze se stěnami dutiny o~teplotě $T$ a lze jej tedy popsat metodami  statistické fyziky.
Z tohoto hlediska je možno na \emph{elektromagnetické pole v~dutině pohlížet jako na soubor oscilátorů, přičemž každý z~nich může interakcí
s~termostatem nabývat různých energií}. Pravděpodobnost výskytu oscilátoru ve stavu $s$ s~energií ${\epsilon}(s)$ je dána Boltzmannovou
statistikou s~rozdělovací funkcí
\be P(s,T) = A(T) e^{-\frac{\epsilon (s)}{kT} }, \ll{boltzman} \ee
kde $k$ je Boltzmannova konstanta $k=1.38\times 10^{-23}\mathrm{J/K}$ a $A(T)$ je normalizační konstanta daná podmínkou
\[ \sum_s P(s,T)=1. \]
 
Nás budou zajímat střední hodnoty energií oscilátorů s~vlastními frekvencemi
$\nu = \frac{\omega_{\vec{m}}}{2\pi} = \frac{c\norm{\vec{m}}}{2L}$
\[\overline{\epsilon(\nu,T)} = \sum_s \epsilon(s)P(s,T), \]
neboť energii elektromagnetických vln, jejichž frekvence leží v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$, pak lze spočítat jako součet
středních energií oscilátorů s~frekvencemi v~témže intervalu.
 
Jednotlivé oscilátory jsou číslovány celočíselnými vektory $\vec m$ a směrem polarizace $\alpha$. Přiřadíme-li každé dvojici oscilátorů
s~pevným $\vec m$ bod v $\Z_+^3$, pak v~důsledku \rf{omgm} množina oscilátorů s~frekvencemi v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$
leží v~jednom oktantu kulové slupky poloměru $2L\nu/c$ a tloušťky $2L\d\nu/c$ v~prostoru vektorů v~$\Z^3$. Energie oscilátorů s~frekvencemi
v~intervalu $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je pak rovna součtu energií \rf{ergempole} avšak pouze přes body v~této slupce, tedy
\be
  \d\bar{\mathcal{E}}
    = 2\,\frac{1}{8}\overline{\epsilon(\nu,T)}\, 4\pi m^2 \d m
    = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\left(\frac{2L}{c}\right)^3 \pi \nu^2 \d\nu
    = V\,\overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3} \nu^2 \d\nu, \ll{pocetstavu} \ee
kde $V$ je objem dutiny a $c$ je rychlost světla. Hustota energie oscilátorů (elektromagnetického pole) s~danou frekvencí tedy je
\be \rho(\nu,T) = \overline{\epsilon(\nu,T)}\,\frac{8\pi}{c^3}\nu^2. \ll{spechus1} \ee
 
{\small Předpokládáme-li, že se jedná o~klasické oscilátory, jejichž energie může nabývat libovolných kladných hodnot
$E(q,p)=\alpha p^2 + \beta q^2$ a rozdělovací funkce souboru stavů oscilátoru daných hybností $p$ a polohou $q$ je
\[ P(q,p) = A\ e^{-\frac{E(q,p)}{kT} }, \]
pak střední hodnota oscilátorů je nezávislá na $\nu$
\be \overline{\epsilon(\nu,T)}=kT \ll{sthoden} \ee
a energie pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ je
\[ \rho(\nu,T)\d\nu= \frac{8\pi}{c^3} \nu^2 kT \d\nu \]
(Rayleigh-Jeansova formule). Tato rozdělovací funkce však neodpovídá experimentálním hodnotám pro velké frekvence $\nu$. Navíc celková
hustota energie elektromagnetického pole
\be \epsilon = \int_0^\infty \rho(\nu,T)\d\nu \ll{heemp}\ee
diverguje.}
 
\bc Odvoďte formuli \rf{sthoden}. \ec
 
Experimentálně naměřené hodnoty spektrálního rozdělení hustoty energie dobře popisuje funkce navržená M.~Planckem ve tvaru
\be \fbox{\LARGE$\rho(\nu,T) = \frac{8\pi}{c^3}\frac{h\nu^3}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1} $} \ ,\ll{planck} \ee
kde experimentálně určená hodnota konstanty $h = 6.62 \times 10^{-34}$ Js (viz obr.~\ref{fig:blackbody}).
 
\begin {figure}[hbtp]
  \centering
  \includegraphics[scale=.18]{blackbody.pdf}
  \caption{Spektrální rozdělení hustoty energie absolutně černého tělesa pro teploty 900 K, 1100 K, 1300 K, 1500 K} \ll{fig:blackbody}
\end{figure}
 
\bc
  Napište rovnice určující polohu maxima Planckovy rozdělovací funkce při dané teplotě. Jak se mění poloha maxima s~teplotou
  (Wienův posunovací zákon)?
\ec
 
\bc
  Určete přibližně teplotu, při níž se spektrální rozdělení hustoty energie záření černého tělesa spočtené na základě
  Rayleighova-Jeansova zákona liší ve viditelné oblasti od veličiny měřené o~5 procent. Jak velký je tento rozdíl v~oblasti
  maxima $\rho$ při této teplotě? Závisí poměr této odchylky na teplotě?
\ec
 
\bc
  Napište rozdělovací funkci hustoty záření černého tělesa podle vlnových délek. Napište rovnici určující její maximum pro
  danou teplotu.
\ec
 
K~odvození rozdělovací funkce \rf{planck} je třeba učinit následující podivný předpoklad (Max Planck, 1900):
 
Harmonické oscilátory, jejichž soubor je z~energetického hlediska ekvivalentní elektromagnetickému poli v~dutině, \emph{nemohou nabývat
libovolných hodnot energie, ale pouze takových, které jsou celým násobkem základního kvanta energie $\epsilon_0$, tzn.~$E_n=n\epsilon_0$.
Základní kvantum energie oscilátoru je úměrné jeho frekvenci.}
\[ \epsilon_0=\epsilon_0(\nu)=h\nu. \]
 
Stavy harmonického oscilátoru jsou tedy číslovány kladnými celými čísly $n$ a rozdělovací funkce stavů oscilátoru s~frekvencí $\nu$ a
energií $E_n$ je
\[ P_n= A^{-1}e^{-\frac{n h\nu}{kT}}. \]
Hodnotu konstanty $A$ dostaneme z~normovací podmínky $\sum_{n=0}^\infty P_n=1$. Sečtením geometrické řady
\[ A=\sum_{n=0}^\infty e^{-\frac{nh\nu}{kT}}=\frac{1}{1-e^{-\frac{h\nu}{kT}}}. \]
 
Střední hodnota energie harmonických oscilátorů s frekvencí $\nu$ je pak
\[
  \overline{\epsilon(\nu,T)}
    = \sum_{n=0}^\infty nh\nu P_n
    = A^{-1}\sum_{n=0}^\infty nh\nu e^{-\frac{n h\nu}{kT}}
    = A^{-1}\left[-\frac{\pd A}{\pd(\frac{1}{kt})}\right]
    = \frac{h\nu}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}.
\]
Energii elektromagnetického pole v~dutině připadající na interval frekvencí $\langle \nu,\nu+\d\nu \rangle$ pak opět spočítáme jako součin
(\ref{pocetstavu}) střední hodnoty energie oscilátorů s~frekvencí $\nu$ a počtu oscilátorů s~frekvencemi uvnitř daného intervalu, z~čehož
dostaneme Planckovu formuli \rf{planck}.
 
Celková hustota energie elektromagnetického pole \rf{heemp} spočítaná z~takto určené rozdělovací funkce nediverguje a její teplotní závislost
odpovídá Stefanovu-Boltzmannovu zákonu.
\[
  \epsilon(T)
    = \frac{8\pi}{c^3}h \int_0^\infty \frac{\nu^3}{e^\frac{h\nu}{kT}-1}\d\nu
    = \frac{8\pi}{c^3} \frac{k^4 T^4}{h^3}\int_0^\infty \frac{x^3}{e^x-1}\dx
    = \kappa T^4,
\]
kde
\[ \kappa = \frac{8\pi k^4}{c^3h^3} \frac{\pi^4 }{15}. \]
 
\textbf{Závěr}: Rozdělovací funkci záření absolutně černého tělesa lze odvodit pomocí předpokladu, že \emph{energie harmonického oscilátoru
s~frekvencí $\nu$ může nabývat pouze diskrétních hodnot $E_n=nh\nu$}, kde $h$ je univerzální konstanta.
 
Uvědomme si, že jakkoliv je tento předpoklad zvláštní, není v~rozporu s naší zkušeností, neboť díky velikosti Planckovy konstanty $h$ jsou
nespojitosti energií $h\nu$ i pro velmi rychlé mechanické oscilátory hluboko pod mezí pozorovacích chyb.
 
Existenci diskretních hodnot energie se podařilo prokázat i u~atomů (konkrétně rtuti) v~sérii pokusů Francka a Hertze v~letech 1914-1919
(viz \cite{uhl:uvaf}).
 
 
 
\section{Fotoefekt}
Potvrzením Planckovy hypotézy o~kvantovém charakteru energie elektromagnetického pole bylo i Einsteinovo vysvětlení fotoefektu --- emise
elektronů stimulované světelným zářením, pozorované poprvé Lenardem v~roce 1903.
 
Popišme tento experiment v pozdějším uspořádání, které provedl Millikan v~roce 1916 (viz obr.~\ref{fig:millikan}). Na fotokatodu zapojenou do
elektrického obvodu dopadá monochromatické světlo s~frekvencí $\nu$, která se postupně mění. Světlo produkuje elektrický proud. Zdroj
stejnosměrného napětí je zapojen tak, že vytváří elektrické pole, které vrací elektrony emitované světelným zářením zpět.
 
\begin{figure}[hbtp]
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1mm
\linethickness{0.4pt}
\begin{picture}(105.00,85.00)
%\emline(20.00,70.00)(40.00,70.00)
\put(20.00,70.00){\line(1,0){20.00}}
%\end
\put(55.00,70.00){\oval(30.00,10.00)[]}
%\emline(65.00,70.00)(100.00,70.00)
\put(65.00,70.00){\line(1,0){35.00}}
%\end
%\emline(100.00,70.00)(100.00,55.00)
\put(100.00,70.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
\put(100.00,50.00){\circle{10.00}}
%\vector(95.00,45.00)(105.00,55.00)
\put(105.00,55.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(95.00,45.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(100.00,45.00)(100.00,30.00)
\put(100.00,45.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(100.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(100.00,30.00){\line(-1,0){40.00}}
%\end
%\emline(55.00,30.00)(20.00,30.00)
\put(55.00,30.00){\line(-1,0){35.00}}
%\end
%\emline(20.00,30.00)(20.00,70.00)
\put(20.00,30.00){\line(0,1){40.00}}
%\end
%\emline(40.00,70.00)(45.00,70.00)
\put(40.00,70.00){\line(1,0){5.00}}
%\end
%\emline(45.00,73.00)(45.00,67.00)
\put(45.00,73.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(65.00,72.00)(65.00,68.00)
\put(65.00,72.00){\line(0,-1){4.00}}
%\end
%\emline(55.00,35.00)(55.00,25.00)
\put(55.00,35.00){\line(0,-1){10.00}}
%\end
%\emline(57.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(57.00,30.00){\line(1,0){3.00}}
%\end
%\emline(57.00,33.00)(57.00,27.00)
\put(57.00,33.00){\line(0,-1){6.00}}
%\end
%\emline(45.00,30.00)(45.00,15.00)
\put(45.00,30.00){\line(0,-1){15.00}}
%\end
%\emline(45.00,15.00)(60.00,15.00)
\put(45.00,15.00){\line(1,0){15.00}}
%\end
\put(65.00,15.00){\circle{10.00}}
%\vector(60.00,10.00)(70.00,20.00)
\put(70.00,20.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,10.00)(0.12,0.12){84}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\emline(70.00,15.00)(80.00,15.00)
\put(70.00,15.00){\line(1,0){10.00}}
%\end
%\emline(80.00,15.00)(80.00,30.00)
\put(80.00,15.00){\line(0,1){15.00}}
%\end
%\vector(65.00,85.00)(46.00,72.00)
\put(46.00,72.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,85.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,83.00)(46.00,70.00)
\put(46.00,70.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,83.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
%\vector(65.00,81.00)(46.00,68.00)
\put(46.00,68.00){\vector(-3,-2){0.2}}
\multiput(65.00,81.00)(-0.17,-0.12){109}{\line(-1,0){0.17}}
%\end
\put(70.00,5.00){\makebox(0,0)[lb]{U $(=U_s)$}}
\put(103.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{I (=0)}}
\put(40.00,60.00){\makebox(0,0)[lb]{Fotokatoda}}
\put(67.00,80.00){\makebox(0,0)[lb]{Monochromatické světlo s frekvencí $\nu$ }}
\end{picture}
 
\caption{Millikanovo zapojení pro měření fotoefektu} \ll{fig:millikan}
\end{figure}
 
 
Při jisté velikosti napětí $U_s=U_s(\nu)$ proud přestane procházet. Experimentálně zjištěná závislost napětí $U_s$ na frekvenci světelného
záření je lineární.
\[ U_s = \frac{h}{e}(\nu-\nu_0) \]
 
Einsteinovo vysvětlení faktu, že od jisté frekvence níže nejsou fotokatodou emitovány žádné elektrony (neprochází proud), spočívá v~tom, že
v~procesu emise elektronu působí vždy pouze určité celistvé kvantum záření --- foton, jehož energie je ve shodě s Planckovou hypotézou
úměrná frekvenci $E=h\nu$. (\uv{\emph{...the energy of a light ... consists of a finite number of energy quanta ... each of which moves without
dividing and can only be absorbed and emitted as a whole.}}) Kinetická energie emitovaného elektronu je
\be E_{\mathrm{kin}} = eU_s(\nu)=h(\nu-\nu_0)=E_{\mathrm{foton}}-E_{\mathrm{ion}}. \ll{ekine} \ee
 
Pro frekvence nižší než $\nu_0=E_{\mathrm{ion}}/h$, kde $E_{\mathrm{ion}}$ je ionizační energie materiálu fotokatody, k emisi elektronů nedochází
ani při zvětšování intenzity záření (tím se pouze zvětšuje počet neúspěšných pokusů překonat ionizační bariéru), zatímco pro $\nu >\nu_0$ získávají
elektrony energii \rf{ekine}. Konstanta úměrnosti $h$, změřená z fotoefektu, se shodovala s~konstantou určenou ze záření černého tělesa.
 
\textbf{Závěr:} Existují \emph{kvanta světelného záření --- fotony}, která působí v~elementárním procesu uvolňujícím jeden elektron. Energie
jednoho fotonu je $h\nu$ kde $\nu$ je frekvence odpovídajícího záření a $h$ je konstanta určená z~Planckova vyzařovacího zákona.
 
\bc
  Kolik fotonů za vteřinu emituje stowattová sodíková výbojka mající 30 procentní světelnou účinnost? Kolik z~nich se dostane do oka
  pozorovatele ve vzdálenosti $10 \ \mathrm{km}$? (Poloměr čočky oka je asi $5 \ \mathrm{mm}$.)
\ec
 
 
 
\section{Comptonův rozptyl}
 
V~roce 1923 provedl A.~H.~Compton pokus, který měl odhalit, zda se kvanta elektromagnetického záření chovají jako částice, tzn.~zda vedle
energie mají též definovanou hybnost. V~tomto pokusu byl měřen rozptyl elektromagnetického (rentgenového) záření na grafitu, v~jehož
krystalické mříži jsou elektrony relativně volné.
 
{\small Podle klasické teorie je elektromagnetické záření pohlcováno látkou a pak opět vyzářeno. Přitom dochází k předání hybnosti látce
(tj.~všem elektronům současně), což se interpretuje jako tzv.~tlak světla. V~klidové soustavě elektronu pak dojde k~emisi záření se stejnou
vlnovou délkou a nulovou střední hybností. V~laboratorní soustavě, ve které mají elektrony hybnost $\vec P_{\mathrm{e}}$ a energii
$E_{\mathrm{e}}$, pak pozorujeme podle Dopplerova principu změnu vlnové délky záření
\be (\triangle\lambda)_{\mathrm{klas}}=\lambda_0\frac{cP_{\mathrm{e}}}{E_{\mathrm{e}}-cP_{\mathrm{e}}}(1-\cos\Theta), \ll{compclas} \ee
kde $\lambda_0$ je délka dopadající vlny, $\Theta$ je úhel, pod kterým pozorujeme emitované záření, $E_{\mathrm{e}},P_{\mathrm{e}}$ jsou
velikost energie a hybnosti elektronu, které s~délkou ozařování rostou.}
 
Podívejme se jak bude tento jev probíhat, pokud se fotony na atomární úrovni chovají jako částice s~danou energií a hybností (viz
obr.~\ref{fig:compton}).
 
\begin{figure}
 
%TexCad Options
%\grade{\on}
%\emlines{\off}
%\beziermacro{\off}
%\reduce{\on}
%\snapping{\on}
%\quality{2.00}
%\graddiff{0.01}
%\snapasp{1}
%\zoom{1.00}
\unitlength 1.00mm
\linethickness{0.2pt}
\begin{picture}(90.00,50.00)
%\vector(30.00,30.00)(60.00,30.00)
\put(60.00,30.00){\vector(1,0){0.2}}
\put(30.00,30.00){\line(1,0){30.00}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(80.00,50.00)
\put(80.00,50.00){\vector(1,1){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.12,0.12){167}{\line(0,1){0.12}}
%\end
%\vector(60.00,30.00)(90.00,10.00)
\put(90.00,10.00){\vector(3,-2){0.2}}
\multiput(60.00,30.00)(0.18,-0.12){167}{\line(1,0){0.18}}
%\end
\put(30.00,35.00){\makebox(0,0)[lb]{Dopadající foton}}
\put(80.00,40.00){\makebox(0,0)[lb]{Odražený elektron}}
\put(82.00,20.00){\makebox(0,0)[lb]{Rozptýlený foton}}
\end{picture}
 
\caption{Rozptyl elektromagnetického záření na elektronu} \ll{fig:compton}
\end{figure}
 
V~tom případě je třeba elementární proces rozptylu záření popsat jako srážku dvou částic, fotonu a elektronu (\uv{\emph{... when an X-ray quantum
is scattered it spends all of its energy and momentum upon some particular electron.}}), při které se celková energie a hybnost zachovává.
\be \epsilon_{\nu_0}+m_{\mathrm{e}} c^2 = \epsilon_{\nu}+ E_{\mathrm{e}} \ll{zachovanienergie} \ee
\be \vec p_{\nu_0}+0=\vec{p}_{\nu}+\vec p_{\mathrm{e}},\ll{zachovani hybnosti} \ee
kde
\[ \vec{p}_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} \vec{v}_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\ \quad E_{\mathrm{e}}=\frac{m_{\mathrm{e}} c^2}{\sqrt{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2}},\]
\[ \epsilon_\nu=h\nu,\ \quad |\vec{p}_\nu|=h\nu/c=h/\lambda \]
a $v_{\mathrm{e}}$ je rychlost odraženého elektronu. Ze zákona zachování hybnosti plyne
\[ (\vec{p}_{\nu_0}-\vec p_{\nu})^2 = \frac{\hbar^2}{c^2}(\nu^2+\nu_0^2-2\nu\nu_0\cos\Theta)= \]
\[ {\vec{p}_{\mathrm{e}}}{}^2 = \frac{m_{\mathrm{e}}^2 v_{\mathrm{e}}^2}{1-v_{\mathrm{e}}^2/c^2} = E_{\mathrm{e}}^2/c^2-m_{\mathrm{e}}^2c^2. \]
Použijeme-li ještě zákon zachování energie, pak algebraickými úpravami dostaneme
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{h}{m_{\mathrm{e}} c}(1-\cos \Theta), \ll{compton2} \ee
což je vzorec pro vlnovou délku emitovaného záření v~závislosti na úhlu emise pro počáteční nulovou hybnost elektronu.
Veličina $\frac{\hbar}{m_{\mathrm{e}} c}$ se často nazývá \emph{Comptonova vlnová délka elektronu}. Její hodnota je $2.4\times 10^{-12}$ m.
 
Předpokládáme-li, že opakovaným rozptylem EM záření získaly elektrony hybnost rovnoběžnou se směrem dopadajícího záření velikosti $P_{\mathrm{e}}$,
pak vzorec pro Comptonovský rozptyl se změní na
\be \lambda-\lambda_0 = \frac{(\lambda_0 P_{\mathrm{e}}+h)c}{\sqrt{m_{\mathrm{e}}^2c^4+P_{\mathrm{e}}^2c^2}-P_{\mathrm{e}}c}(1-\cos\Theta). \ll{compton} \ee
Pro $P_{\mathrm{e}}\gg h/\lambda$ dostáváme klasickou formuli \rf{compclas}. Comptonovy vzorce \rf{compton} resp.~\rf{compton2} se však
experimentálně potvrdily i pro krátkovlné rentgenovské záření.
 
\textbf{Závěr:} Kvanta světelného či obecněji elektromagnetického záření mají nejen definovanou energii, ale i hybnost, jejíž velikost je
nepřímo úměrná vlnové délce záření $\norm{\vec{p}} = h/\lambda$.
 
\bc
  Určete hybnost fotonů viditelného světla a R\"ontgenova záření.
\ec
 
\bc
  Jakou vlnovou délku má elektromagnetické záření, jehož zdrojem je elektron --- pozitronová anihilace
  \[ e^+ + e^- \rightarrow \gamma + \gamma \]
  v~klidu?
\ec
 
 
 
 
\section{Shrnutí}
 
Z~výše uvedných vysvětlení experimentálních fakt plyne, že v~mikrosvětě, tj.~při zkoumání atomárních jevů:
\begin{enumerate}
  \item Existují fyzikální objekty --- kvanta, kvantové částice --- mající jak vlnový tak částicový charakter.
  \item Množiny hodnot některých fyzikálních veličin, např.~energie či momentu hybnosti, mohou být diskrétní tzn.~tyto veličiny se mohou měnit
        pouze o~konečné přírustky.
\end{enumerate}
Tato podivuhodná experimentální fakta se nepodařilo vysvětlit metodami klasické fyziky, ale bylo nutno vybudovat novou fyzikální teorii a
použít nové matematické struktury a techniky. To vedlo ke zrodu \qv é teorie, která se obecně zabývá širokou třídou mikroskopických
fyzikálních systémů.
 
Z~pedagogických důvodů začneme její výklad popisem jedné kvantové částice bez vazeb, jejímž typickým reprezentantem je například elektron.
Při studiu kvantové teorie je třeba mít na mysli, že jako u~každé fyzikální teorie \textbf{se nejedná o~odvození ve smyslu, na které jsme
zvyklí z~matematiky, nýbrž o~sérii rozumných návrhů a předpokladů vedoucích k předpovědím, jejichž správnost musí prověřit experimenty.}
Ostatně, klasickou mechaniku Newton také neodvodil, nýbrž postuloval.
 
 
 
\section{De Broglieova hypotéza a \sv a \rc e}
\label{chap:dbschr}
 
Z~vysvětlení experimentálních fakt v~předchozích kapitolách plyne, že při zkoumání atomárních jevů záření přestává mít čistě vlnový charakter
a chová se v~některých aspektech jako soubor částic. Zdá se tedy užitečné zavést nový fyzikální pojem --- kvantové \cc e --- popisující
fyzikální objekty vyskytující se na atomárních a nižších úrovních.
 
Pod vlivem poznatků o~duálním částicově-vlnovém charakteru světla De Broglie v~roce 1923 usoudil, že tento dualismus je vlastností všech
mikroskopických objektů a že nejen elektromagnetické záření, ale i hmotné objekty (např.~elektrony) se mohou chovat buď jako vlna nebo
jako částice, podle toho jaké jevy, v~nichž se účastní, zkoumáme. Vyslovil hypotézu, že \emph{pro popis jevů na atomární úrovni je třeba
přiřadit volným kvantovým částicím s~hybností $\vec p$ a energií $E$ --- nikoliv bod fázového prostoru, nýbrž rovinnou monochromatickou vlnu
$\psi_{\vec p,E}$, jejíž frekvence je (stejně jako pro foton) úměrná energii a jejíž vlnová délka je nepřímo úměrná hybnosti částice,
přesněji funkci}
\be\mbox{\Large $\psi_{\vec p,E}(\vex,t) = A e^{\frac{i}{\hbar}(\vec{p}\cdot\vex-Et) } $}, \ll{dbvlna} \ee
kde $A$ je zatím neurčená konstanta a $\hbar := h/2\pi = 1.054 572 \times 10^{-34}$ Js.
 
Abychom plně docenili hloubku a smělost této hypotézy, je třeba si uvědomit, že v~té době nebyly známy žádné pokusy dokazující vlnové
vlastnosti hmotných \cc{} jako je ohyb, či interference. Ty se objevily až o~několik let později, při zkoumání rozptylu elektronů na
krystalech.
 
\bc
  Určete vlnovou délku a frekvenci \db ovy vlny pro molekulu kyslíku ve vzduchu vašeho pokoje a pro částici o~hmotnosti $10 \ \mu\mathrm{g}$
  pohybující se rychlostí zvuku.
\ec
 
\bc
  Podle \db ovy hypotézy určete ohyb způsobený průletem tenisového míčku $(m = 0.1 \ \mathrm{kg})$ obdélníkovitým otvorem ve zdi o~rozměrech
  $1\times 1.5 \ \mathrm{m}$.
\ec
 
\bc
  Na jakou rychlost je třeba urychlit elektrony aby bylo možno pozorovat jejich difrakci na krystalové mříži s~charakteristickou vzdáleností
  atomů $0.1 \ \mathrm{nm}$?
\ec
 
Je-li vztah mezi hybností kvanta a jeho energií stejný jako u~klasické volné částice $E=\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}$ (případně $E=\sqrt{\vec{p}^{\,2}c^2+m^2c^4}$
pro kvantum pohybující se rychlostí blízkou rychlosti světla), pak to znamená že \db ova vlna nesplňuje  vlnovou rovnici \rf{vlnrce}, která
plyne z~teorie elektromagnetického pole. Otázkou tedy je, zda a jakou rovnici splňuje. Tuto \rc i našel v~roce 1925 E.~Schr\"{o}dinger a nese
jeho jméno.
 
K~odvození \rc e pro \db ovy vlny je nejsnazší vyjít z~výše uvedených klasických vztahů mezi energií a hybností, které vlastně představují
disperzní relace, a použít identity
\be p_j\psi = -i\hbar\frac{\pd}{\pd x_j} \psi, \quad E \psi=i\hbar\frac{\pd}{\pd t} \psi \ll{imps} \ee
plynoucí z~popisu kvant příslušnou \db ovou vlnou. Odtud již celkem přímočaře dostaneme rovnici pro \db ovu vlnu
\be
  \frac{\pd\psi}{\pd t}
    = -\frac{i}{\hbar}\sum_{j=1}^3\frac{p_j^2}{2m}\psi
    = -\frac{i}{2m\hbar}\sum_{j=1}^3\left(-\hbar^2\frac{\pd^2}{\pd x_j^2}\right) \psi.
  \ll{srvolna}
\ee
 
E.~Schr\"{o}dinger postuloval platnost rovnice
\be  \frac{\pd\psi}{\pd t}= -i\frac{E}{\hbar} \psi \ee
i pro kvantovou částici, která se pohybuje pod vlivem sil daných potenciálovým polem $V(\vex)$. Diferenciální rovnice pro vlnovou funkci
takovéto kvantové \cc e se obvykle píše ve tvaru
\be \fbox{\LARGE $i\hbar\frac{\pd\psi}{\pd t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\lapl\psi + V(\vex)\psi$} \ll{sr} \ee
a nazývá se \emph{Schr\"{o}dingerova rovnice}. Lineární operátor na pravé straně \sv y \rc e
\be \hat H = -\frac{\hbar^2}{2m}\lapl+ \hat V(\vex) \ll{hamiltonian} \ee
se nazývá \emph{hamiltonián}. (Použili jsme zde obvyklé konvence učebnic kvantové mechaniky, že symboly pro operátory jsou označeny stříškou.)
 
Řešením \sv y \rc e \rf{srvolna} pro \uv{volnou \qv ou částici} (což může být např.~elektron pohybující se mimo elektromagnetické pole) není
pouze \db ova vlna, ale i mnoho jiných funkcí čtyř proměnných. Díky linearitě \sv y \rc e je řešením \rf{srvolna} i lineární superpozice
\db ových vln odpovídajících různým hybnostem
\be \psi(\vex,t)=\int_{\R^3}\tilde\psi(\vec{p})e^{\frac{i}{\hbar}\left( \vec{p}\cdot\vex-\frac{\vec{p}^{\,2}}{2m}t\right)}\d^3p. \ll{vlnbalik} \ee
To je velmi důležité, neboť monochromatická vlna \rf{dbvlna} má jenom některé vlastnosti odpovídající volné částici, totiž rovnoměrnou
a přímočarou rychlost šíření, ale nedává žádnou informaci o~její poloze. Chceme-li do vlnového popisu částice zahrnout i další její vlastnosti,
např.~lokalizovatelnost v~určité části prostoru, pak musíme použít jiný typ řešení než je čistá \db ova vlna.
 
\bc
  Nechť $V(\vex)=0$ (volná částice) a  vlnová \fc e částice má v~čase $t_0$ (\uv{lokalizovaný}) tvar
  \be g(\vex)=C\exp \left\{ -A\vex^{\,2}+\vec B\vex \right\} \ll{mvb}\ee
  Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y
  \rc e $\psi(\vex,t)$, které v~čase $t_0$ má tvar $g(\vex)$, tj.~splňuje počáteční podmínku $\psi(\vex,t_0)=g(\vex),$
  %(nazývané minimalizující vlnový balík, viz \ref{relneu}),
  kde $\Re  A>0,\ \vec B\in\C^3,\ C\in\C$.
  \ll{ex:vlnbal}
\ec
 
\bc
  Nechť \fc e $\psi(x,y,z,t)$ je řešením \sv y \rc e pro volnou \cc i. Ukažte, že
  \[ \tilde \psi(x,y,z,t):= \exp \left\{ -i\frac{Mg}{\hbar}\left(zt+\frac{gt^3}{6}\right) \right\} \, \psi\left(x,y,z+\frac{gt^2}{2},t\right) \]
  je řešením \sv y \rc e pro \cc i v~homogenním gravitačním poli (Avronova-Herbstova formule). Je možné tuto formuli a její použití nějak zobecnit?
\ec
 
 
 
\section{Bornova interpretace vlnové funkce}
 
Jakmile se objevila \sv a \rc e, která vedle \db ovy vlny připouští i mnoho dalších řešení, vznikla přirozeně otázka, jaký je jejich
význam, neboli problém \emph{fyzikální interpretace řešení \sv y \rc e}.
 
Zatímco řešení pohybových rovnic klasické mechaniky jsou snadno a přirozeně interpretovatelná jako dráhy hmotných bodů v prostoru, fyzikální
význam řešení \sv y \rc e je na první pohled nejasný. Problém interpretace ještě navíc komplikuje fakt, že \sv a \rc e je rovnicí v~komplexním
oboru, takže její řešení jsou komplexní funkce. Podotázkou tohoto problému pak je, zda všechna řešení jsou fyzikálně upotřebitelná.
 
Po mnoha marných pokusech interpretovat řešení \sv y \rc e jako silové pole obdobné elektromagnetickému či gravitačnímu byla navržena jeho
statistická interpretace (Max Born, 1926):
 
\textbf{Řešení \sv y \rc e udává časový vývoj pravděpodobnosti nalezení částice v~různých oblastech prostoru: Je-li $\psi(x,y,z,t)$ řešení \sv y
\rc e popisující kvantovou \cc i, pak kvadrát její absolutní hodnoty $ |\psi(x,y,z,t)|^2$ je úměrný hustotě pravděpodobnosti nalezení částice
v~okamžiku $t$ v~místě s~kartézskými souřadnicemi $(x,y,z)$. (Bornův postulát)}
 
\bc
  Čemu je úměrná pravděpodobnost nalezení částice popsané de Broglieovou vlnou \rf{dbvlna} v~oblasti $(x_1,x_2)\times(y_1,y_2)\times(z_1,z_2)$?
\ec
 
\bc
  \ll{casvmvb}
  Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení
  \be \psi(\vex,t) = Ce^{\frac{\vec B^2}{4A}} \chi(t)^{-3/2}\exp \left\{ -A\frac{\left(\vex-\frac{\vec B}{2A}\right)^2}{\chi(t)} \right\} \ll{mvbt}\ee
  \[ \chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{m}(t-t_0) \]
  z~příkladu \ref{ex:vlnbal} pro $A>0$? Jak se mění poloha jejího maxima s~časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění
  s~časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí \uv{šířka} vlnového balíku pro elektron lokalizovaný s~přesností $1 \ \mathrm{cm}$ a pro hmotný bod o~hmotě
  $1 \ \mathrm{g}$, jehož těžiště je lokalizováno s~přesností $10^{-6} \ \mathrm{m}$?
  \ll{ex:pstvb}
\ec
 
Jaká omezení klade Bornův postulát na řešení \sv y rovnice? Pravděpodobnost nalezení částice v~oblasti $G\subset\R^3$ je úměrná
\[ \int_G |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz. \]
Koeficient úměrnosti je možno nalézt z~požadavku, aby pravděpodobnost nalezení částice \uv{kdekoliv} se rovnala jedné. Tuto podmínku lze snadno
splnit, položíme-li hustotu pravděpodobnosti rovnou
\be w(x,y,z,t) = A(\psi)^{-1} |\psi(x,y,z,t)|^2, \ll{pst} \ee
kde
\be A(\psi) = \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz, \ll{norma} \ee
pokud tento integrál existuje.
 
Fyzikálně snadno interpretovatelná jsou tedy taková řešení \sv y \rc e, která splňují
\be \int_{\bf \R^3} |\psi(x,y,z,t)|^2 \dx\dy\dz <\infty. \ll{konecnanorma} \ee
Těmi se budeme v~následujícím textu zabývat především.
 
\section{Dvouštěrbinový experiment}
 
Na závěr této úvodní kapitoly si rozebereme dvoušterbinový experiment, na kterém lze krásně ilustrovat rozdíly mezi chováním klasických částic, klasické vlny a kvantových částic. V tomoto experimentu měříme intenzitu  na stínítku po průchodu šterbinami v překážce. Budeme uvažovat tři konfigurace experimentu (viz. obrázek~\ref{fig:ds1}): 1) jen šterbina $S_1$, 2) jen šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. V situacích 1) a 2) bude intezita na stínítku v bodě $x$ dána nějakou funkcí $I_j(x)$, $j=1,2$, nezávisle na tom, s čím experiment provádíme. V poslední konfiguraci, kdy jsou obě štěrbiny otevřené, tomu už tak nebude. 
 
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1full.png}\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s2full.png}\hfill
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{s1s2.png}
\caption{Tři varianty experimentu - 1) pouze štěrbina $S_1$, 2) pouze šterbina $S_2$, 3) obě šterbiny otevřené. {$Z$ představuje zdroj klasických částic, vlnění nebo kvantových částic.} V poslední konfiguraci závisí průběh intenzity na stínítku na tom, s čím experiment provádíme.}
\label{fig:ds1}
\end{figure}
 
\begin{itemize}
\item[a)] Klasické částice
 
{Předpokládáme, že zdroj $Z$ vysílá částice náhodně a rovnoměrně v rozmezí nějakého úhlu tak, aby mohly projít oběma šterbinami. V konfiguraci 1) a 2) je intenzita $I_j(x)$ úměrná pravděpodobnosti dopadu $p_j(x)$ jedné částice do místa $x$ po průchodu štěrbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě štěrbiny, je pravděpodobnost dopadu do $x$ rovna součtu pravděpodobností $p_1(x)$ a $p_2(x)$. Intenzity se tedy sčítají}
$$
I_3(x) = I_1(x) + I_2(x).
$$
Tvar výsledné intenzity je na obrázku~\ref{fig:ds2} vlevo.
 
\item[b)] Klasická vlna
 
Vlnění po průchodu šterbinou $S_j$ můžeme popsat nějakou komplexní funkcí (amplitudou) $A_j(x)$, intenzita na stínítku je pak dána kvadrátem absolutní hodnoty z amplitudy, tj. $I_j(x) = |A_j(x)|^2$. Ve třetí konfiguraci experimentu je amplituda vlny dána součtem amplitud
$$
A_3(x) = A_1(x) + A_2(x).
$$
Výsledná intezita pak není součtem intezit $I_1(x)$ a $I_2(x)$, ale liší se o interferenční člen
$$
I_3(x) = |A_3(x)|^2 = I_1(x) + I_2(x) + \overline{A}_1(x)A_2(x) + A_1(x)\overline{A}_2(x).
$$
Ten může být kladný nebo záporný, v závislosti na vzájemné fázi amplitud $A_j(x)$. V některých bodech tedy dojde ke zvýšení intenzity (konstruktivní interference), v některých ke snížení (destruktivní interference), viz. interferenční obrazec na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo.
 
\begin{figure}
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{ballfull.png}\hfill
\includegraphics[width=0.45\textwidth]{wavefull.png}
\caption{Vlevo: Dvouštěrbinový experiment s klasickými částicemi. Intenzity dopadů se sčítají. Vpravo: Dvouštěrbinový experiment s klasickou vlnou. Sčítají se amplitudy, ne intenzity.}
\label{fig:ds2}
\end{figure}
 
\item[c)] Kvantové částice
 
V případě kvantových částic jsou intezity úměrné pravděpodobnostem dopadu do daného bodu, stejně jako pro klasické částice. Ta je dle Bornova postulátu dána kvadrátem absolutní hodnoty vlnové funkce, tedy $I_j(x) \sim |\psi_j(x)|^2$, kde $\psi_j(x)$ je vlnová funkce popisující stav částice po průchodu šterbinou $S_j$. Pokud jsou otevřené obě šterbiny, je vlnová funkce částice dána superpozicí
$$
\psi(x) = \psi_1(x) + \psi_2(x).
$$
Stejně jako v případě vlnění se sčítají amplitudy a výsledná intezita dopadů vytváří interferenční obrazec
$$
I_3(x) \sim |\psi_1(x)|^2 + |\psi_1(x)|^2 + \overline{\psi}_1(x)\psi_2(x) + \psi_1(x)\overline{\psi}_2(x) ,
$$
podobně jako na obrázku \ref{fig:ds2} vpravo. {\bf To platí i v případě, kdy tok kvantových částic (např. elektronů) bude velmi slabý, tj. kdy v experimentu je každém okamžiku maximálně jedna částice.} Na stínítko budou dopadat jednotlivé elektrony náhodně podle pravděpodobnostního rozdělení $|\psi(x)|^2$ a interferenční obrazec se objeví po dostatečně dlouhém sbírání dat. Kvantová částice tedy \emph{\uv{ interferuje sama se sebou }}.
 
Podstatné pro získání interferenčního obrazce je to, že v této konfiguraci experimentu není možné určit, kterou ze šterbin $S_1$ nebo $S_2$ částice prošla. Pokud se to pokusíme určit (resp. pokud je byť jen v principu možné informaci o trajektorii získat), experimenty ukazují, že interferenční obrazec zmizí. Uvažujme čtvrtou konfiguraci experimentu, kde mezi šterbiny umístíme zdroj světla. Elektrony budou se světlem interagovat a u šterbiny $S_1$ nebo $S_2$ uvidíme záblesk. Tímto měřením můžeme určit, kterou šterbinou elektron prošel. Stav elektronu pak už ale nebude popsán superpozicí $\psi_1(x)+\psi_2(x)$, ale jen vlnovou funkcí $\psi_1(x)$ nebo $\psi_2(x)$. Intezita dopadu elektronů na stínítko pak bude dána součtem intezit, stejně jako v pro klasické částice.
\end{itemize}
 
Závěrem můžeme říci, že mikroskopické objekty mají jak vlastnosti částic, tak vlastnosti vlnění. Tyto vlastnosti jsou ale komplementární - podle typu experimentu se chovají buď jako částice, nebo jako vlny, nikdy oboje naráz. Pokud se snažíme určit částicové vlastnosti (jako např. trajektorii v dvouštěrbinovém experimentu) tak vlnové vlastnosti (jako interference) zmizí.