01ALG:Kapitola1: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m |
(drobné doplnění) |
||
(Nejsou zobrazeny 4 mezilehlé verze od jednoho dalšího uživatele.) | |||
Řádka 18: | Řádka 18: | ||
\example(Cantorův paradox) | \example(Cantorův paradox) | ||
Nechť $\UU $ je množina všech množin | Nechť $\UU $ je množina všech množin | ||
− | a $\PP\UU=\set x{x\subset\UU}$ její potenční množina (množina všech jejích podmnožin. | + | a $\PP\UU=\set x{x\subset\UU}$ její potenční množina (množina všech jejích podmnožin). |
− | Potom neboť $\PP\UU\sse\UU$, je $\abs\UU\leq\abs | + | Potom neboť $\PP\UU\sse\UU$, je $\abs{\PP\UU}\leq\abs\UU$ (exaktní definice velikosti množiny je dále). |
− | Současně však $\forall M(\abs{\PP M}>\abs{M})$, tedy i $\abs\UU\leq\abs | + | Současně však $\forall M(\abs{\PP M}>\abs{M})$, tedy i $\abs{\PP\UU}\leq\abs\UU$, což je spor. |
\example(Russelův paradox) | \example(Russelův paradox) | ||
Řádka 42: | Řádka 42: | ||
\begin{enumerate} | \begin{enumerate} | ||
− | \item Zermelova-Fraenkelova axiomatika (označovaná \defined[ZF]{ZF}) | + | \item Zermelova-Fraenkelova axiomatika (označovaná \defined[ZF]{ZF}); |
− | \item G\H odelova-Bernaysova axiomatika | + | \item G\H odelova-Bernaysova axiomatika. |
\end{enumerate} | \end{enumerate} | ||
Řádka 71: | Řádka 71: | ||
\axiom(A4)Axiom sjednocení (sumy). | \axiom(A4)Axiom sjednocení (sumy). | ||
− | $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv \EE y (u\in y \Land | + | $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv \EE y (u\in y \Land y\in x)\big)$. |
\define | \define | ||
Sumu systému $x$ značíme $z=\bigcup x$. | Sumu systému $x$ značíme $z=\bigcup x$. | ||
− | \axiom(A5) | + | \axiom(A5)Schéma axiomů vydělení. |
− | Nechť $F[u]$ je formule s volnou proměnnou $u$, jež neobsahuje $z$. | + | Nechť $F[u]$ je formule s volnou proměnnou $u$, jež neobsahuje volnou proměnnou $z$. |
Potom axiomem je $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv (u \in x \Land F[u])\big)$. | Potom axiomem je $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv (u \in x \Land F[u])\big)$. | ||
Řádka 114: | Řádka 114: | ||
\define(třídy v Z-F axiomatice) | \define(třídy v Z-F axiomatice) | ||
\begin{enumerate}%XX | \begin{enumerate}%XX | ||
− | \item Každá formule $F[u]$ definuje \defined{třídu} $Z=\set u{F[u]}$. | + | \item Každá formule $F[u]$ definuje \defined{třídu} $Z=\set u{F[u]}$, u je množina. |
\item Třídy značíme velkými písmeny. | \item Třídy značíme velkými písmeny. | ||
− | \item Každá | + | \item Každá množina je třída $x=\set u{u\in x}$. |
\item Třída, která není množinou, se nazývá \defined{vlastní třída}. | \item Třída, která není množinou, se nazývá \defined{vlastní třída}. | ||
\item $\UU:=\set u{u=u}$ nazýváme \defined{universum} a je to vlastní třída. | \item $\UU:=\set u{u=u}$ nazýváme \defined{universum} a je to vlastní třída. | ||
Řádka 152: | Řádka 152: | ||
\implies | \implies | ||
x\times y=\set{z\in\PP{\PP{x\cup y}}}{\EE u \EE v (z=\anglevector{u,v} \Land u\in x \Land v\in y)} | x\times y=\set{z\in\PP{\PP{x\cup y}}}{\EE u \EE v (z=\anglevector{u,v} \Land u\in x \Land v\in y)} | ||
− | $, tedy podle | + | $, tedy podle schématu axiomu vydělení je $x\times y$ množina. |
\QED | \QED |
Aktuální verze z 6. 1. 2011, 00:37
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01ALG
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01ALG | Karel.brinda | 24. 8. 2010 | 14:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 24. 10. 2010 | 19:54 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Úvodní poznámky | Karel.brinda | 26. 8. 2010 | 15:03 | alg_note.tex | |
Kapitola1 | editovat | Teorie množín | Snilard | 6. 1. 2011 | 00:37 | alg_set.tex | |
Kapitola2 | editovat | Relace | Karel.brinda | 25. 1. 2011 | 22:52 | alg_rel.tex | |
Kapitola3 | editovat | Uspořádané množiny | Sedlam18 | 24. 1. 2012 | 13:18 | alg_set2.tex | |
Kapitola4 | editovat | Algebra | Snilard | 6. 1. 2011 | 00:59 | alg_alg.tex | |
Kapitola5 | editovat | Teorie grup | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 02:51 | alg_group.tex | |
Kapitola6 | editovat | Okruhy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 03:00 | alg_ring.tex | |
Kapitola7 | editovat | Moduly a lineární algebry | Kosarvac | 11. 11. 2011 | 15:50 | alg_module.tex | |
Kapitola8 | editovat | Teorie svazů | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 14:19 | alg_lattice.tex | |
Kapitola9 | editovat | Polynomy nad komutativními tělesy | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 14:21 | alg_polynoms.tex | |
Kapitola10 | editovat | Konečná tělesa | Pitrazby | 17. 2. 2012 | 14:24 | alg_finite.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01ALG} \xx{Úvod do teorie množin} \xxx{Teorie množin} \xxxx{Naivní teorie množin} \begin{enumerate}%XX \item Cantor, 19. století \item Vychází z~představy, že každý objekt je množina. \end{enumerate}%XX V~naivní teorii množin se brzy došlo k tzv. \defined[paradox]{paradoxům}. Ve skutečnosti to nejsou paradoxy, neboť paradox je \uv{neuvěřitelné, leč pravdivé tvrzení}, ale zde jde skutečně o spory v pravém slova smyslu. \example(Cantorův paradox) Nechť $\UU $ je množina všech množin a $\PP\UU=\set x{x\subset\UU}$ její potenční množina (množina všech jejích podmnožin). Potom neboť $\PP\UU\sse\UU$, je $\abs{\PP\UU}\leq\abs\UU$ (exaktní definice velikosti množiny je dále). Současně však $\forall M(\abs{\PP M}>\abs{M})$, tedy i $\abs{\PP\UU}\leq\abs\UU$, což je spor. \example(Russelův paradox) 2 předpoklady: \begin{enumerate} \item každý výrok $V(x)$ definuje množinu; \item o každém prvku lze rozhodnout, zda do množiny patří, či nikoli. \end{enumerate} Potom definujme $x:=\set y{y\notin y}$. Dále $x\in x \Limpl x\notin x$ a zároveň $x\notin x \Limpl x\in x$, což je spor. \example(sémantické paradoxy) Např. paradox Kréťana: \uv{Všichni Kréťani jsou lháři.} V~této podobě však nefunguje a je třeba jej poupravit: \uv{Teď lžu.} \xxxx{Axiomatická teorie množin} Teorie množin má 2 axiomatiky, které jsou však ekvivalentní: \begin{enumerate} \item Zermelova-Fraenkelova axiomatika (označovaná \defined[ZF]{ZF}); \item G\H odelova-Bernaysova axiomatika. \end{enumerate} My budeme pracovat s~Zermelovou-Fraenkelovou axiomatikou, jež vznikla v~roce 1908. \axiom(A0)Axiomy rovnosti. \begin{enumerate}%XX \item $\AA x (x=x)$; \item $\AA x \AA y (x=y \Limpl y=x)$; \item $\AA x \AA y \AA z ((x=y \Land y=z) \Limpl x=z)$; \item $\AA x \AA y \Bigl(x=y \Limpl \bigl( (\AA u (u \in x \Lequiv u \in y) ) \Land \AA u (x \in u \Lequiv y \in u )\bigr)\Bigr)$. \end{enumerate}%XX \axiom(A1)Axiom existence. $\EE x (x=x)$. \axiom(A2)Axiom extenzionality. $\AA x \AA y \big(x=y \Lequiv \AA u (u \in x \Lequiv u \in y)\big)$. \axiom(A3)Axiom dvojice. $\AA x \AA y \EE z \AA u \big(u \in z \Lequiv (u=x \Lor u=y)\big)$. \define \defined{Uspořádaná dvojice} $\anglevector{x,y} :=\{\{x\},\{x,y\}\}$.\\ \defined{Uspořádaná $n$-tice} $\anglevector{x_1\cldc x_n}:= \anglevector{x_1, \anglevector{x_2\cldc x_n}}$. \axiom(A4)Axiom sjednocení (sumy). $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv \EE y (u\in y \Land y\in x)\big)$. \define Sumu systému $x$ značíme $z=\bigcup x$. \axiom(A5)Schéma axiomů vydělení. Nechť $F[u]$ je formule s volnou proměnnou $u$, jež neobsahuje volnou proměnnou $z$. Potom axiomem je $\AA x \EE z \AA u \big(u\in z \Lequiv (u \in x \Land F[u])\big)$. \example \begin{enumerate} \item $F=\ulcorner u\in y\urcorner$ $\rightarrow$ \defined{průnik} $z=:x\cap y$. \item $F=\ulcorner u\notin y\urcorner$ $\rightarrow$ \defined{rozdíl} $z=:x\setminus y$. \item $F=\ulcorner u\neq u\urcorner$ $\rightarrow$ existence \defined{prázdné množiny} $z=:\emptyset$. \end{enumerate} \axiom(A6)Axiom potence. $\AA x \EE z \AA u (u \in z \Lequiv u \sse x)$. \define Potenční množinu množiny $x$ značíme $z=\PP x$. \axiom(A7)Axiom nekonečna. $\EE z \big(\emptyset\in z \Land \AA x (x\in z \Limpl x\cup\{x\}\in z)\big)$. \example $\PP{\emptyset}=\{\emptyset\}$. $\PP{\{\emptyset\}}=\{\emptyset, \{\emptyset\}\}$. $\PP{\{\emptyset, \{\emptyset\}\}}=\{\emptyset, \{\emptyset\}, \{\{\emptyset\}\}, \{\emptyset, \{\emptyset\}\}\}$. Tato posloupnost množin umožňuje definovat přirozená čísla (s nulou) jako množiny. \axiom(A8)Axiom fundovanosti. $\AA x \big(x\neq\emptyset \Limpl \EE z (z\in x \Land z\cap x=\emptyset)\big)$. \consequence $\AA y (y\notin y)$. \axiom(A9)Axiom výběru. Nezařazuje se do ZF axiomatiky, pokud jej zahrneme, používáme označení \defined{ZFC} (\uv C označuje \uv{axiom of Choice}). \define(třídy v Z-F axiomatice) \begin{enumerate}%XX \item Každá formule $F[u]$ definuje \defined{třídu} $Z=\set u{F[u]}$, u je množina. \item Třídy značíme velkými písmeny. \item Každá množina je třída $x=\set u{u\in x}$. \item Třída, která není množinou, se nazývá \defined{vlastní třída}. \item $\UU:=\set u{u=u}$ nazýváme \defined{universum} a je to vlastní třída. \end{enumerate}%XX \remark(G\H odelova-Bernaysova axiomatika) \begin{enumerate}%XX \item Prvotním pojmem je třída. \item Množina je taková třída, která je prvkem jiné třídy. \item Třída, který není množinou, je vlastní třída. \item Obě teorie jsou ekvivalentní. \end{enumerate}%XX \xxxx{Kartézský součin} \define Mějme 2 třídy $X$, $Y$. Třídu $$X\times Y:=\set{\anglevector{u,v}}{u\in X \Land v\in y} =\set z{\EE u \EE v (z=\anglevector{u,v} \Land u\in X \Land v\in Y)}$$ nazveme \defined{kartézský součin $X$ a $Y$}. \lemma Jsou-li $x$ a $y$ množiny, pak i kartézský součin $x\times y$ je množina. \proof $ u\in x \Land v\in y \implies u,v\in X\cup Y \implies \{u\}, \{u,v\}\in\PP{x\cup y} \implies z\in\PP{\PP{x\cup y}} \implies x\times y=\set{z\in\PP{\PP{x\cup y}}}{\EE u \EE v (z=\anglevector{u,v} \Land u\in x \Land v\in y)} $, tedy podle schématu axiomu vydělení je $x\times y$ množina. \QED