01ALG:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
 
(Nejsou zobrazeny 2 mezilehlé verze od 2 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
 
%\wikiskriptum{01ALG}
 
%\wikiskriptum{01ALG}
 +
\xxx{Relace}
 +
 +
\define Nechť $M_1\cldc M_n$ jsou libovolné množiny.
 +
Potom libovolné $\rho\sse M_1\times\cdots\times M_n$ nazveme \defined[relace]{$n$-ární relací
 +
na $M_1\times\cdots\times M_n$} a číslo $n$ \defined[arita]{aritou} relace $\rho$.
 +
 +
\define
 +
\begin{enumerate}%XX
 +
\item Každé $R\sse M^2$ nazýváme \defined[relace!binární]{binární relace} na $M^2$.
 +
\item $R^\1:=\set{\anglevector{a,b}}{\anglevector{b,a}\in R}$ je \defined[relace!inverzní]{inverzní relace} k~$R$.
 +
\item $R\circ S=RS:=\set{\anglevector{a,c}}{\EE b\in M (\anglevector{a,b}\in R \Land \anglevector{b,c}\in S)}$
 +
je \defined[součin!relací]{součin relací}.
 +
\item $D_M=\set{\anglevector{a,a}}{a\in M}$ je \defined[diagonála]{diagonála}.
 +
\end{enumerate}%XX
 +
 +
\define
 +
\def\rEl#1#2#3#4{\anglevector{#1,#2}#3#4}
 +
\def\rR#1#2{\rEl {#1}{#2}\in R}
 +
Definujeme obecné vlastnosti, předpokládáme platnost výroků pro všechna $a,b,c\in M$.
 +
Binární relace je:
 +
\begin{enumerate}%XX
 +
\item \defined[relace!reflexivní]{reflexivní} $\equivs \rR aa \equivs D_M\sse R$;
 +
\item \defined[relace!transitivní]{transitivní} $\equivs \rR ab \Land \rR bc \Limpl \rR ac \equivs RR\sse R$;
 +
\item \defined[relace!symetrická]{symetrická} $\equivs \rR ab \Lequiv \rR ba \equivs R^\1=R$;
 +
\item \defined[relace!antisymetrická]{slabě antisymetrická}
 +
$\equivs \rR ab \Land \rR ba \Limpl a=b \equivs R^\1\cap R\sse D_M$;
 +
\item \defined[relace!antisymetrická]{silně antisymetrická}
 +
$\equivs \rR ab \Limpl \rEl ba\notin R \equivs R^\1\cap R=\emptyset$;
 +
\item \defined[relace!trichotonická]{trichotonická}
 +
$\equivs \rEl ab\notin R \Limpl (\rR ba \Lor a=b) \equivs R^\1\cup R\cup D_M=M^2$;
 +
\end{enumerate}%XX
 +
 +
\define
 +
Rozlišujeme následující typy relací:
 +
\begin{enumerate}%XX
 +
\item
 +
\defined[ekvivalence (teorie množin)]{ekvivalence} (zn. $\equiv$) je reflexivní, transitivní a symetrická.
 +
Ekvivalence rozděluje množinu na \defined{třídy ekvivalence}.
 +
Množina $M_{/{\equiv}}$ všech tříd ekvivalence se nazývá \defined{faktorová množina}
 +
nebo též \defined{faktor-množina} $M$ podle $\equiv$.
 +
\item
 +
\defined[uspořádání]{uspořádání} (zn. $\leq$) je relace reflexivní, transitivní a slabě antisymetrická.
 +
\item
 +
\defined[uspořádání!ostré]{ostré uspořádání} (zn. $<$) je relace transitivní a silně antisymetrická.
 +
Platí: $$a\leq b \Lequiv a=b \Lor a<b,$$ $$a<b \Lequiv a\neq b \Land a\leq b.$$
 +
\item
 +
\defined[uspořádání!úplné]{úplné uspořádání} (\defined[uspořádání!lineární]{lineární uspořádání})
 +
je relace trichotonická (každé dva prvky jsou \defined[prvek (teorie množin)!srovnatelnost]{srovnatelné}),
 +
slabě antisymetrická, transitivní a reflexivní.
 +
\end{enumerate}%XX

Aktuální verze z 25. 1. 2011, 22:52

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01ALG

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01ALGKarel.brinda 24. 8. 201014:49
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 24. 10. 201019:54 header.tex
Kapitola0 editovatÚvodní poznámkyKarel.brinda 26. 8. 201015:03 alg_note.tex
Kapitola1 editovatTeorie množínSnilard 6. 1. 201100:37 alg_set.tex
Kapitola2 editovatRelaceKarel.brinda 25. 1. 201122:52 alg_rel.tex
Kapitola3 editovatUspořádané množinySedlam18 24. 1. 201213:18 alg_set2.tex
Kapitola4 editovatAlgebraSnilard 6. 1. 201100:59 alg_alg.tex
Kapitola5 editovatTeorie grupPitrazby 17. 2. 201202:51 alg_group.tex
Kapitola6 editovatOkruhyPitrazby 17. 2. 201203:00 alg_ring.tex
Kapitola7 editovatModuly a lineární algebryKosarvac 11. 11. 201115:50 alg_module.tex
Kapitola8 editovatTeorie svazůPitrazby 17. 2. 201214:19 alg_lattice.tex
Kapitola9 editovatPolynomy nad komutativními tělesyPitrazby 17. 2. 201214:21 alg_polynoms.tex
Kapitola10 editovatKonečná tělesaPitrazby 17. 2. 201214:24 alg_finite.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01ALG}
\xxx{Relace}
 
\define Nechť $M_1\cldc M_n$ jsou libovolné množiny.
Potom libovolné $\rho\sse M_1\times\cdots\times M_n$ nazveme \defined[relace]{$n$-ární relací
 na $M_1\times\cdots\times M_n$} a číslo $n$ \defined[arita]{aritou} relace $\rho$.
 
\define
\begin{enumerate}%XX
\item Každé $R\sse M^2$ nazýváme \defined[relace!binární]{binární relace} na $M^2$.
\item $R^\1:=\set{\anglevector{a,b}}{\anglevector{b,a}\in R}$ je \defined[relace!inverzní]{inverzní relace} k~$R$.
\item $R\circ S=RS:=\set{\anglevector{a,c}}{\EE b\in M (\anglevector{a,b}\in R \Land \anglevector{b,c}\in S)}$
 je \defined[součin!relací]{součin relací}.
\item $D_M=\set{\anglevector{a,a}}{a\in M}$ je \defined[diagonála]{diagonála}.
\end{enumerate}%XX
 
\define
\def\rEl#1#2#3#4{\anglevector{#1,#2}#3#4}
\def\rR#1#2{\rEl {#1}{#2}\in R}
Definujeme obecné vlastnosti, předpokládáme platnost výroků pro všechna $a,b,c\in M$.
Binární relace je:
\begin{enumerate}%XX
\item \defined[relace!reflexivní]{reflexivní} $\equivs \rR aa \equivs D_M\sse R$;
\item \defined[relace!transitivní]{transitivní} $\equivs \rR ab \Land \rR bc \Limpl \rR ac \equivs RR\sse R$;
\item \defined[relace!symetrická]{symetrická} $\equivs \rR ab \Lequiv \rR ba \equivs R^\1=R$;
\item \defined[relace!antisymetrická]{slabě antisymetrická}
 $\equivs \rR ab \Land \rR ba \Limpl a=b \equivs R^\1\cap R\sse D_M$;
\item \defined[relace!antisymetrická]{silně antisymetrická}
 $\equivs \rR ab \Limpl \rEl ba\notin R \equivs R^\1\cap R=\emptyset$;
\item \defined[relace!trichotonická]{trichotonická}
 $\equivs \rEl ab\notin R \Limpl (\rR ba \Lor a=b) \equivs R^\1\cup R\cup D_M=M^2$;
\end{enumerate}%XX
 
\define
Rozlišujeme následující typy relací:
\begin{enumerate}%XX
\item
 \defined[ekvivalence (teorie množin)]{ekvivalence} (zn. $\equiv$) je reflexivní, transitivní a symetrická.
 Ekvivalence rozděluje množinu na \defined{třídy ekvivalence}.
 Množina $M_{/{\equiv}}$ všech tříd ekvivalence se nazývá \defined{faktorová množina}
 nebo též \defined{faktor-množina} $M$ podle $\equiv$.
\item
 \defined[uspořádání]{uspořádání} (zn. $\leq$) je relace reflexivní, transitivní a slabě antisymetrická.
\item
 \defined[uspořádání!ostré]{ostré uspořádání} (zn. $<$) je relace transitivní a silně antisymetrická.
 Platí: $$a\leq b \Lequiv a=b \Lor a<b,$$ $$a<b \Lequiv a\neq b \Land a\leq b.$$
\item
 \defined[uspořádání!úplné]{úplné uspořádání} (\defined[uspořádání!lineární]{lineární uspořádání})
 je relace trichotonická (každé dva prvky jsou \defined[prvek (teorie množin)!srovnatelnost]{srovnatelné}),
 slabě antisymetrická, transitivní a reflexivní.
\end{enumerate}%XX

Citováno z „https://wikiskripta.fjfi.cvut.cz/wiki/index.php?title=01ALG:Kapitola2&oldid=4095“