Aktuální verze z 1. 9. 2021, 23:00

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM}
\section{Numerické řešení okrajových úloh pro ODE}
\subsection{Metoda střelby}
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}
Uvažujme následující okrajovou úlohu pro obyčejnou diferenciální rovnici 2.
řádu:
\begin{subequations}
\label{okrulohastrelba}
\begin{gather}
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\
y(a)=\gamma_1,\quad y(b)=\gamma_2,
\end{gather}
\end{subequations}
kde $f:\mathbbm R^3\rightarrow\mathbbm R$, $\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$.
Předpokládejme existenci takového $\alpha^*\in\mathbbm R$, že pro
$\alpha=\alpha^*$ je předchozí okrajová úloha ekvivalentní počáteční úloze
\begin{subequations}
\label{poculohastrelba}
\begin{gather}
y''=f(x,\,y,\,y'),\quad x\in(a,\,b),\\
\begin{align}
y(a)&=\gamma_1,\\
y'(a)&=\alpha.
\end{align}
\end{gather}
\end{subequations}
Potom lze řešení okrajové úlohy (\ref{okrulohastrelba}) získat tak, že
nalezneme $\alpha^*$ a vyřešíme počáteční úlohu (\ref{poculohastrelba}). 
Počáteční úlohu 2. řádu efektivně řeší např. metoda Runge-Kutta-Nyström (viz 5. kapitola).
 
Nechť $y(x;\,\alpha)$ je řešení úlohy (\ref{poculohastrelba}) pro dané
$\alpha\in\mathbbm R$. Potom $\alpha^*$ splňuje ,,algebraickou''
rovnici\footnote{Zde se pojmem ,,algebraická rovnice'' rozumí pouze to, že nejde
o rovnici diferenciální; neznamená to, že se v ní musejí vyskytovat polynomy.}
\[
y(b;\,\alpha)=\gamma_2.
\]
Položme $F(\alpha):=y(b;\,\alpha)-\gamma_2$. Pak $\alpha^*$ je řešením rovnice
$F(\alpha)=0$. Při hledání $\alpha^*$ můžeme postupovat např. tak, že se pokusíme najít dvě čísla
$\alpha_1,\,\alpha_2$ taková, aby platilo
\[
F(\alpha_1)F(\alpha_2)<0.
\]
Pak položíme $\alpha_3=\frac12(\alpha_1+\alpha_2)$ a stejný postup provádíme tak
dlouho, dokud se dostatečně nepřiblížíme řešení rovnice $F(\alpha)=0$. Tento způsob však není příliš efektivní. 
 
V praxi se proto využívá Newtonova metoda, tj. konstruuje se iterační posloupností
$\left\{\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu
\begin{equation}
\alpha^{(k+1)}=\alpha^{(k)}-\frac{F(\alpha^{(k)})}{F'(\alpha^{(k)})}.
\label{Newton}
\end{equation}
Problematický je výraz ve jmenovateli. Při splnění předpokladů věty o
diferencovatelnosti podle počátečních podmínek (tj. funkce $f$, $\frac{\partial
f}{\partial y}$ a $\frac{\partial f}{\partial y'}$ jsou spojité na oblasti $\Dom
f$) je sice zaručena diferencovatelnost funkce $F$, otázkou ale je, jak pro dané
$\alpha^{(k)}$ získat hodnotu $F'(\alpha^{(k)})$. Nejjednodušší variantou je
nahradit derivaci diferencí:
\[
F'(\alpha^{(k)})\approx\frac{F(\alpha^{(k)})-F(\alpha^{(k-1)})}{\alpha^{(k)}
-\alpha^{(k-1)}}.
\]
Tato varianta zřejmě připadá v úvahu pouze tehdy, nejsou-li rozdíly
$\abs{\alpha^{(k)}-\alpha^{(k-1)}}$ příliš velké.
 
Obecnější varianta vychází z toho, že zderivujeme úlohu
(\ref{poculohastrelba}) podle $\alpha$. Dostaneme
\begin{subequations}
\begin{gather}
\label{rcevznikladerivovanim}
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial^2y}{\partial
x^2}(x;\,\alpha)\right)=\frac\partial{\partial\alpha}f\left(x,\,y(x;\,\alpha),\,
\frac{\partial y}{\partial x}(x;\,\alpha)\right),\\
\begin{align}
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\
\frac\partial{\partial\alpha}\left(\frac{\partial y}{\partial
x}(a;\,\alpha)\right)&=1.
\end{align}
\end{gather}
\end{subequations}
Rovnici (\ref{rcevznikladerivovanim}) můžeme dále upravit podle věty o derivaci
složeného zobrazení. Za předpokladu záměnnosti derivací dostaneme
\begin{subequations}
\label{linearniulohavevariacich}
\begin{gather}
\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left(\frac{\partial
y}{\partial\alpha}\right)=\frac{\partial f}{\partial
y}\left(x,\,y,\,\frac{\partial y}{\partial x}\right)\cdot\frac{\partial
y}{\partial\alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\left(x,\,y,\,\frac{\partial
y}{\partial x}\right)\cdot\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial
y}{\partial\alpha}\right),\\
\begin{align}
\frac{\partial y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)&=0,\\
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial
y}{\partial\alpha}(a;\,\alpha)\right)&=1.
\end{align}
\end{gather}
\end{subequations}
Pro pevné $\alpha$ představuje (\ref{linearniulohavevariacich}) počáteční úlohu
pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu pro neznámou funkci $\frac{\partial
y}{\partial\alpha}(x;\,\alpha)$.
 
Shrňme si nastíněný postup: Máme-li $\alpha^{(k)}$, pak:
\begin{itemize}
\item vyřešíme úlohu (\ref{poculohastrelba}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F(\alpha^{(k)})$,
\item vyřešíme úlohu (\ref{linearniulohavevariacich}) pro $\alpha=\alpha^{(k)}$, získáváme $F'(\alpha^{(k)})$,
\item vypočteme $\alpha^{(k+1)}$ ze vztahu (\ref{Newton}).
\end{itemize}
 
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}
 
Každou diferenciální rovnici $n$-tého řádu lze vhodnou substitucí převést na soustavu $n$ diferenciálních rovnic 1. řádu, proto se zabývejme okrajovou úlohou
\begin{subequations}
\label{okrajovaulohaprosoustavu1radu}
\begin{gather}
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\
\label{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}
\tucne r\left(\tucne y(a),\,\tucne y(b)\right)=\tucne0,
\end{gather}
\end{subequations}
kde $\tucne f:\mathbbm R\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$ a $\tucne
r:\mathbbm R^n\times\mathbbm R^n\rightarrow\mathbbm R^n$.\footnote{Předpokládáme
$n>1$ a dále to, že zobrazení $\tucne r$ je $n$-regulární (tj. h$(\tucne
r'(\tucne y_1,\,\tucne y_2))=n$ pro všechna $(\tucne y_1,\,\tucne
y_2)\in\Dom{\tucne r}$).} Postupovat budeme podobně jako v případě rovnice 2.
řádu: Pro $\tucne\alpha=(\alpha_1,\,\hdots,\,\alpha_n)\in\mathbbm R^n$ nechť
$\tucne y(x;\,\tucne\alpha)$ je řešení počáteční úlohy
\begin{subequations}
\label{druhapoculohastrelba}
\begin{gather}
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(a,\,b),\\
\tucne y(a)=\tucne\alpha.
\end{gather}
\end{subequations}
Cílem je nalézt takové $\tucne\alpha^*$, které je řešením rovnice
\[
\tucne r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)=\tucne0
\]
neboli $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$, kde $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne
r\left(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha)\right)$. Řešení této rovnice
hledáme Newtonovou metodou, tj. konstruujeme iterační posloupnost
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ podle rekurentního vztahu
\[
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\left[\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),
\]
kde
\[
\tucne F'(\tucne\alpha)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial F^1}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial
F^1}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)\\
\vdots & & \vdots\\
\frac{\partial F^n}{\partial\alpha_1}(\tucne\alpha) & \hdots & \frac{\partial
F^n}{\partial\alpha_n}(\tucne\alpha)
\end{pmatrix}.
\]
Parciální derivace zobrazení $\tucne F$ v bodě $\tucne\alpha$ můžeme stejně jako
v předchozím případě počítat dvěma způsoby. Buď použijeme přibližného vyjádření
\[
\frac{\partial
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)})\approx\frac1{\alpha^{(k)}_j-\alpha^{
(k-1)}_j}\left[F^i(\tucne\alpha^{(k)})-F^i(\alpha^{(k)}_1,\,\hdots,\,\alpha^{(k)
}_{j-1},\,\alpha^{(k-1)}_j,\,\alpha^{(k)}_{j+1},\,\hdots,\,\alpha^{(k)}_n)\right
],
\]
anebo vyjdeme z toho, že
\[
\frac{\partial F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha)=\frac{\partial r^i}{\partial
\alpha_j}(\tucne\alpha,\,\tucne y(b;\,\tucne\alpha))+\sum_{l=1}^n\frac{\partial
r^i}{\partial y^l}(\tucne\alpha,\,\tucne
y(b;\,\tucne\alpha))\cdot\frac{\partial
y^l}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha).
\]
Hodnoty $\frac{\partial
y^1}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha),\,\hdots,\,\frac{\partial
y^n}{\partial\alpha_j}(b;\,\tucne\alpha)$ získáme jako řešení počáteční úlohy
\begin{align*}
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial
y^i}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha)\right)&=\sum_{l=1}^n\frac{\partial
f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne y(x;\,\tucne\alpha)\right)\cdot\frac{\partial
y^l}{\partial\alpha_j}(x;\,\tucne\alpha),&i\in\hat n,\\
\frac{\partial y^i}{\partial\alpha_j}(a;\,\tucne\alpha)&=\delta_{ij},&i\in\hat
n.
\end{align*}
Tuto úlohu jsme získali zderivováním úlohy (\ref{druhapoculohastrelba}) podle
$\alpha_j$. Jde o počáteční úlohu pro soustavu lineárních obyčejných
diferenciálních rovnic 1. řádu. Stejný postup provedeme pro každé $j\in\hat n$ a
dále postupujeme podobně jako v případě rovnice 2. řádu, tj. nasazením metod Runge-Kutta.
 
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu lineárních rovnic 1. řádu}
 
V případě {\em lineární} okrajové úlohy můžeme nalézt $\tucne\alpha^*$ i bez
použití Newtonovy metody. Uvažujme soustavu
\[
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),
\]
kde $\matice A:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne
f:(a,\,b)\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s okrajovou podmínkou
\begin{equation}
\label{separovaneokrajovepodminkystrelba}
\matice U\tucne y(a)+\matice V\tucne y(b)=\tucne c,
\end{equation}
kde $\matice U,\,\matice V\in\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^n$.
Z teorie víme, že pro každé $i\in\hat n$ existuje právě jedno řešení
$\tucne\Phi_i$ počáteční úlohy
\begin{gather*}
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\
\tucne y(a)=\tucne e_i.
\end{gather*}
To znamená, že je-li $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$, potom $\tucne
y(x)=\sum\limits_{i=1}^n\alpha_i\tucne\Phi_i(x)$ je řešení počáteční úlohy
\begin{gather*}
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y,\\
\tucne y(a)=\tucne\alpha,
\end{gather*}
na intervalu $(a,\,b)$. Označíme-li
$\tucne\Phi:=(\tucne\Phi_1,\,\hdots,\,\tucne\Phi_n)$, můžeme toto řešení zapsat
jako $\tucne y(x)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha$.
Jestliže pro $\tucne\alpha\in\mathbbm R^n$ dále označíme $\tucne
y(x;\,\tucne\alpha)$ řešení počáteční úlohy
\begin{gather*}
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\\
\tucne y(a)=\tucne\alpha,
\end{gather*}
potom z linearity vyplývá
\[
\tucne y(x;\,\tucne\alpha)=\tucne\Phi(x)\tucne\alpha+\tucne y(x;\,\tucne0).
\]
Má-li toto řešení splňovat okrajovou podmínku
(\ref{separovaneokrajovepodminkystrelba}), musí platit $\matice
U\tucne\alpha+\matice V\tucne y(b;\,\tucne\alpha)=\tucne c$, tj.
\[
\matice U\tucne\alpha+\matice V\tucne\Phi(b)\tucne\alpha+\matice V\tucne
y(b;\,\tucne0)=\tucne c.
\]
Odtud již snadno dostaneme
\[
\tucne\alpha^*=\left[\matice U+\matice V\tucne\Phi(b)\right]^{-1}\left(\tucne
c-\matice V\tucne y(b;\,\tucne0)\right).
\]
 
\subsubsection{Modifikovaná Newtonova metoda}
 
Newtonovu metodu lze vylepšit. Iterační posloupnost
$\left\{\tucne\alpha^{(k)}\right\}$ se totiž nemusí k řešení $\tucne\alpha^*$
rovnice $\tucne F(\tucne\alpha)=\tucne0$ blížit monotonně, ale vzdálenost
$\tucne\alpha^{(k)}$ od $\tucne\alpha^*$ může s rostoucím $k$ chvíli klesat a
chvíli stoupat. Ukážeme si, že tento nedostatek lze odstranit, jestliže budeme
iterační posloupnost konstruovat podle vztahu
\[
\tucne\alpha^{(k+1)}=\tucne\alpha^{(k)}-\lambda^{(k)}\left[\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),
\]
kde $\left\{\lambda^{(k)}\right\}_{k=1}^\infty$ je vhodně volená posloupnost
reálných čísel. Položme
\[
\Phi(\tucne\alpha)=\nor{\tucne
F(\tucne\alpha)}^2=\sum_{i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha)}^2.
\]
Naším cílem je zvolit posloupnost $\left\{\lambda^{(k)}\right\}$ tak, aby
$\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\searrow0$ pro $k\rightarrow\infty$. Existence takové
posloupnosti vyplývá za předpokladu konvergence metody z následující věty.
 
\begin{theorem}
K danému $\tucne\alpha^{(k)}$ existuje $\lambda^{(k)}>0$ tak, že
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.
\begin{proof}
Pro jednodušší zápis označme
\[
\Delta\tucne\alpha^{(k)}:=-\left[\tucne F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne
F(\tucne\alpha^{(k)})
\]
a dále položme
\[
\Psi(\lambda):=\Phi(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})=\sum_{
i=1}^n\abs{F^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})}^2.
\]
Je
\[
\begin{split}
\Psi'(\lambda)&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{
(k)})\cdot\sum_{j=1}^n\frac{\partial
F^i}{\partial\alpha_j}(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}
)\left(\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)_j=\\
&=2\sum_{i=1}^nF^i(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}
)\left(\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}
\right)_i=\\
&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)}+\lambda\Delta\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}
\right),
\end{split}
\]
takže
\[
\begin{split}
\Psi'(0)&=2\left(\tucne F(\tucne\alpha^{(k)}),\,\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)})\Delta\tucne\alpha^{(k)}\right)=2\left(\tucne
F(\tucne\alpha^{(k)}),\,-\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})\right)=\\
&=-2\nor{\tucne F(\tucne\alpha^{(k)})}^2=-2\Phi(\tucne\alpha^{(k)})\le0,
\end{split}
\]
přičemž rovnost nastává právě tehdy, když $\tucne\alpha^{(k)}$ je přesné řešení.
Předpokládejme proto, že $\Psi'(0)<0$. Je-li zobrazení $\tucne F$ spojitě
diferencovatelné, má tuto vlastnost zřejmě i funkce $\Psi$, a proto
\[(\exists \delta>0)(\forall\lambda\in\langle0,\,\delta))(\Psi'(\lambda)<0).\]
To ale znamená, že funkce $\Psi$ je na $\langle0,\,\delta)$ klesající, tj. pro
každé $\lambda\in(0,\,\delta)$ platí $\Psi(\lambda)<\Psi(0)$ neboli
$\Phi\left(\tucne\alpha^{(k)}-\lambda\left[\tucne
F'(\tucne\alpha^{(k)})\right]^{-1}\tucne
F(\tucne\alpha^{(k)})\right)<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$.
\end{proof}
\end{theorem}
 
Z důkazu předchozí věty můžeme odvodit návod, jak hledat čísla $\lambda^{(k)}$:
Nejprve zkusíme položit $\lambda^{(k)}=1$. Jestliže bude splněno
$\Phi(\tucne\alpha^{(k+1)})<\Phi(\tucne\alpha^{(k)})$, pokračujeme další
iterací; v opačném případě vydělíme $\lambda^{(k)}$ dvěma a celý postup
opakujeme.
 
\subsubsection{Metoda střelby na více cílů}
 
Metoda střelby se typicky používá při řešení nelineárních rovnic. Ve snaze snížit riziko nestability úloh, byl vyvinut postup zkracující intervaly, na niž probíhá řešení počátečních úloh. Vraťme se k okrajové úloze (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}). Buď
$\left\{x_i\right\}_{i=0}^m$ rozdělení intervalu $\langle a,\,b\rangle$, tj.
nechť
\[
a=x_0<x_1<\hdots<x_m=b.
\]
Nechť pro každé $j\in\hat m$ je $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$
řešení počáteční úlohy
\begin{subequations}
\label{jednajscarou}
\begin{gather}
\tucne y'=\tucne f(x,\,\tucne y),\quad x\in(x_{j-1},\,x_j),\\
\tucne y(x_{j-1})=\tucne\alpha^{(j-1)},
\end{gather}
\end{subequations}
kde $\tucne\alpha^{(j-1)}\in\mathbbm R^n$. Naším cílem je nalézt body
$\tucne\alpha^{*(0)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{*(m-1)}$ tak, aby pro každé
$j\in\hat m$ bylo $\tucne y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})$ restrikcí řešení
okrajové úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) na interval
$(x_{j-1},\,x_j)$. Řešení úlohy (\ref{okrajovaulohaprosoustavu1radu}) je jistě
spojité, a proto musí pro každé $j\in\widehat{m-1}$ platit
%těchto úloh chceme na sebe ,,napojit'' tak, abychom dostali řešení původní 
\[
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{*(j-1)})=\tucne\alpha^{*(j)}.
\]
Dále musí být splněna okrajová podmínka
(\ref{nelinearniokrajovepodminkyprosoustavu1radu}). Ta nyní nabyde tvaru
\[
\tucne r\left(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{*(m-1)})\right)=\tucne0.
\]
 
Jestliže pro $j\in\hat m$ položíme
\[
\tucne
F_{j-1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{(m-1)}
):=
\begin{cases}
\tucne y^{(j-1)}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})-\tucne\alpha^{(j)} & j\le m-1,\\
\tucne r(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})) &
j=m,
\end{cases}
\]
a dále
\[
\matice F:=(\tucne F_0,\,\tucne F_1,\,\hdots,\,\tucne F_{m-1})^{\text{\sf T}},
\]
potom bude $m$-tice
$\tucne\alpha^*:=(\tucne\alpha^{*(0)},\,\tucne\alpha^{*(1)},\,\hdots,\,
\tucne\alpha^{*(m-1)})$ řešením rovnice
\[
\matice F(\tucne\alpha)=\matice O.
\]
Řešení této rovnice budeme hledat Newtonovou metodou
\begin{equation}
\label{newtonstrelbanaviccilu}
\tucne\alpha_{k+1}=\tucne\alpha_k-\left[\matice
F'(\tucne\alpha_k)\right]^{-1}\matice F(\tucne\alpha_k).
\end{equation}
Pro danou $m$-tici
$\tucne\alpha=(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne\alpha^{(1)},\,\hdots,\,\tucne\alpha^{
(m-1)})$ je
\begin{equation}
\label{derivacematicovehozobrazenif}
\matice F'(\tucne\alpha)=
\begin{pmatrix}
\frac{\partial\tucne y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}} & -\matice E & \matice
O & \hdots & \matice O & \matice O\\
\matice O & \frac{\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}} & -\matice
E & \hdots & \matice O & \matice O\\
\hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots & \hdots\\
\matice O & \matice O & \matice O & \hdots & \frac{\partial\tucne
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}} & -\matice E\\
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1} & \matice O & \matice O &\hdots &
\matice O & \frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_2}\frac{\partial\tucne
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}
\end{pmatrix},
\end{equation}
kde jsme označili
\[
\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}=\left(\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\alpha^{(j-1)_1}}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),\,\hdots,\,\frac{
\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\alpha^{(j-1)}_n}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)
\]
pro $j\in\hat m$ a
\[
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_i}=\left(\frac{\partial\tucne
r}{\partial y_i^1}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)})),\,\hdots,\,\frac{\partial\tucne
r}{\partial y_i^n}(\tucne\alpha^{(0)},\,\tucne
y^{(m-1)}(x_m;\,\tucne\alpha^{(m-1)}))\right)
\]
pro $i=1,\,2$. Hodnoty $\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\alpha_k}(x_j;\,\tucne\alpha^{(j-1)})$ získáme řešením
počáteční úlohy
\begin{align*}
\frac\partial{\partial x}\left(\frac{\partial
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)&=\sum_{l=1}
^n\frac{\partial f^i}{\partial y^l}\left(x,\,\tucne
y^{(j-1)}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)})\right)\cdot\frac{\partial
y^{(j-1),l}}{\partial\alpha_k}(x;\,\tucne\alpha^{(j-1)}),&i\in\hat n,\\
\frac{\partial
y^{(j-1),i}}{\partial\alpha_k}(x_{j-1};\,\tucne\alpha^{(j-1)})&=\delta_{ik},
&i\in\hat n.
\end{align*}
Tuto úlohu jsme získali zderivováním (\ref{jednajscarou}) pro pevné $j\in\hat
m$.
 
\begin{remark}
Využijeme-li blokové struktury matice (\ref{derivacematicovehozobrazenif}),
můžeme se v Newtonově metodě vyhnout výpočtu matice inverzní. Vztah
(\ref{newtonstrelbanaviccilu}) můžeme přepsat ve tvaru
\[
\matice F'(\tucne\alpha_k)\Delta\tucne\alpha_k=-\matice F(\tucne\alpha_k),
\]
kde jsme označili $\Delta\tucne\alpha_k:=\tucne\alpha_{k+1}-\tucne\alpha_k$.
Rozepsáním tohoto vztahu dostaneme
\begin{eqnarray*}
\frac{\partial\tucne
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}-\Delta\tucne\alpha^
{(1)}&=&-\tucne F_0(\tucne\alpha_k),\\
&\vdots\\
\frac{\partial\tucne
y^{(m-2)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-2)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-2)}
-\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne F_{m-2}(\tucne\alpha_k),\\
\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne
y_1}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne
y_2}\frac{\partial\tucne
y^{(m-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(m-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&-\tucne
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).
\end{eqnarray*}
Odtud pak můžeme vyjádřit
\begin{eqnarray*}
\Delta\tucne\alpha^{(1)}&=&\frac{\partial\tucne
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\tucne
F_0(\tucne\alpha_k),\\
\Delta\tucne\alpha^{(2)}&=&\frac{\partial\tucne
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\Delta\tucne\alpha^{(1)}+\tucne
F_1(\tucne\alpha_k)=\frac{\partial\tucne
y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\frac{\partial\tucne
y^{(0)}}{\partial\tucne\alpha^{(0)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\frac{
\partial\tucne y^{(1)}}{\partial\tucne\alpha^{(1)}}\tucne
F_0(\tucne\alpha_k)+\tucne F_1(\tucne\alpha_k),\\
& \vdots \\
\Delta\tucne\alpha^{(m-1)}&=&\coprod_{j=m-1}^1\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\Delta\tucne\alpha^{(0)}+\sum_{i=0}^{m-3
}\coprod_{j=m-1}^{i+2}\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)+\tucne
F_{m-2}(\tucne\alpha_k).
\end{eqnarray*}
Z poslední rovnice dostaneme
\[
\left(\frac{\partial\tucne r}{\partial\tucne y_1}+\frac{\partial\tucne
r}{\partial\tucne y_2}\coprod_{j=m}^1\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\right)\Delta\tucne\alpha^{(0)}=-\frac{
\partial\tucne r}{\partial\tucne
y_2}\sum_{i=0}^{m-2}\coprod_{j=m}^{i+2}\frac{\partial\tucne
y^{(j-1)}}{\partial\tucne\alpha^{(j-1)}}\tucne F_i(\tucne\alpha_k)-\tucne
F_{m-1}(\tucne\alpha_k).
\]
Odtud vypočeteme $\Delta\tucne\alpha^{(0)}$ a z předchozích vztahů pak ostatní
$\Delta\tucne\alpha^{(j)}$, $j\in\widehat{m-1}$.
\end{remark}
 
\subsection{Metoda přesunu okrajové podmínky}
 
Metoda střelby představuje nástroj použitelný pro širokou třídu úloh, na druhé
straně však hledání správného $\alpha^*$ pomocí iteračních metod může někdy
přinést komplikace. Je-li okrajová úloha, kterou se zabýváme, lineární, nabízí
se mnohem snažší varianta.
 
\subsubsection{Okrajová úloha pro rovnici 2. řádu}
 
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí
\[
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).
\]
Uvažme diferenciální rovnici
\begin{equation}
\label{obycdifrcepresun}
\left(p(x) y'\right)'-q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),
\end{equation}
s okrajovými podmínkami
\begin{subequations}
\label{okrajovepodminkypresun}
\begin{eqnarray}
\label{okrajovapodminka1presun}
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\
\label{okrajovapodminka2presun}
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,
\end{eqnarray}
\end{subequations}
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc
\begin{eqnarray*}
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\
\alpha_2+\beta_2&>&0.
\end{eqnarray*}
 
\begin{theorem}
Buď $y$ řešení rovnice (\ref{obycdifrcepresun}) na intervalu $\langle
a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah
\[
\alpha p(\xi)y'(\xi)-\beta y(\xi)=\gamma,
\]
kde $\alpha,\,\beta,\,\gamma\in\mathbbm R$. Potom pro {\bf každé} $x\in\langle
a,\,b\rangle$ platí
\begin{equation}
\label{metodapresunudifvyraz}
(zpy')(x)-(z'py)(x)=c(x),
\end{equation}
kde $z$, resp. $c$ je řešení počáteční úlohy
\begin{subequations}
\label{metodapresunupomuloha1}
\begin{align}
(pz')'-qz&=0,\\
z(\xi)&=\alpha,\\
z'(\xi)&=\frac\beta{p(\xi)},
\end{align}
\end{subequations}
resp.
\begin{subequations}
\label{metodapresunupomuloha2}
\begin{align}
c'&=zf,\\
c(\xi)&=\gamma,
\end{align}
\end{subequations}
na $\langle a,\,b\rangle$.
\begin{proof}
Úloha (\ref{metodapresunupomuloha1}) je díky linearitě na intervalu $\langle
a,\,b\rangle$ jednoznačně řešitelná, totéž platí pro úlohu
(\ref{metodapresunupomuloha2}) (poté, co do ní dosadíme za $z$ řešení úlohy
(\ref{metodapresunupomuloha1})). Odtud vyplývá, že obě strany ve vztahu
(\ref{metodapresunudifvyraz}) jsou dobře definovány pro všechna $x\in\langle
a,\,b\rangle$ a navíc jsou diferencovatelné. Dále platí
\[
\begin{split}
(zpy'-z'py-c)'&=z'py'+z(py')'-(z'p)'y-z'py'-c'=\\
&=z(f+qy)-(z'p)'y-c'=zf-c'+\left(zq-(z'p)'\right)y=0
\end{split}
\]
pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$. To ale znamená, že funkce $zpy'-z'py-c$ je
na $\langle a,\,b\rangle$ konstantní. Stačí tedy dokázat platnost
(\ref{metodapresunudifvyraz}) v jediném bodě $x\in\langle a,\,b\rangle$ a to se
nám skutečně podaří: (\ref{metodapresunudifvyraz}) je totiž splněno pro $x=\xi$,
jak se snadno přesvědčíme.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Důkaz předchozí věty je velmi jednoduchý a jeho znalost nám navíc ušetří nutnost
pamatovat si tvar úloh (\ref{metodapresunupomuloha1}),
(\ref{metodapresunupomuloha2}) --- ten totiž vyplyne z požadavku, aby se
derivace v důkaze rovnala nule.
\end{remark}
 
Nyní popíšeme samotnou metodu přesunu okrajové podmínky pro rovnici 2. řádu:
Okrajové podmínky (\ref{okrajovepodminkypresun}) chceme nahradit ekvivalentními
počátečními podmínkami
\begin{align*}
y(x_0)&=\omega_1,\\
y'(x_0)&=\omega_2,
\end{align*}
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ libovolně zvolíme. Postup můžeme rozdělit do
čtyř kroků:
\begin{enumerate}
\item Nalezneme řešení $z$ počáteční úlohy
\begin{align*}
(pz')'-qz&=0,\\
z(a)&=\alpha_1,\\
z'(a)&=\frac{\beta_1}{p(a)},
\end{align*}
a posléze řešení $c$ počáteční úlohy
\begin{align*}
c'&=zf,\\
c(a)&=\gamma_1.
\end{align*}
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy
\begin{align*}
(pu')'-qu&=0,\\
u(b)&=\alpha_2,\\
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},
\end{align*}
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy
\begin{align*}
d'&=uf,\\
d(b)&=\gamma_2.
\end{align*}
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic
\begin{subequations}
\label{presunoprovnicepronovepodpodm}
\begin{align}
(zp)(x_0)\omega_2-(z'p)(x_0)\omega_1&=c(x_0),\\
(up)(x_0)\omega_2-(u'p)(x_0)\omega_1&=d(x_0)
\end{align}
\end{subequations}
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.\footnote{Je-li $y$ řešení úlohy
(\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}), musí podle věty platit
$y(x_0)=\omega_1$, $y'(x_0)=\omega_2$.}
\begin{remark}
Řešitelnost soustavy (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) nám dává informaci o
řešitelnosti původní okrajové úlohy:
\begin{itemize}
\item Nemá-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) řešení, nemá je ani okrajová
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}).
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) jediné řešení, má i okrajová
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) jediné řešení.
\item Má-li (\ref{presunoprovnicepronovepodpodm}) více řešení, má i okrajová
úloha (\ref{obycdifrcepresun}), (\ref{okrajovepodminkypresun}) více řešení.
\end{itemize}
\end{remark}
\item Řešíme počáteční úlohu
\begin{align*}
(py')'-qy&=f,\\
y(x_0)&=\omega_1,\\
y'(x_0)&=\omega_2.
\end{align*}
\end{enumerate}
 
\begin{remark}
Bod $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ můžeme zvolit libovolně. Jako výhodné se však
jeví zvolit buď $x_0=a$, nebo $x_0=b$. Ukažme si, jak to dopadne pro $x_0=a$:
\begin{enumerate}
\item Nalezneme řešení $u$ počáteční úlohy
\begin{align*}
(pu')'-qu&=0,\\
u(b)&=\alpha_2,\\
u'(b)&=-\frac{\beta_2}{p(b)},
\end{align*}
a posléze řešení $d$ počáteční úlohy
\begin{align*}
d'&=uf,\\
d(b)&=\gamma_2.
\end{align*}
\item Řešíme soustavu dvou lineárních algebraických rovnic
\begin{align*}
\alpha_1p(a)\omega_2-\beta_1\omega_1&=\gamma_1,\\
(up)(a)\omega_2-(u'p)(a)\omega_1&=d(a)
\end{align*}
pro dvě neznámé $\omega_1,\,\omega_2$.
\item Řešíme počáteční úlohu
\begin{align*}
(py')'-qy&=f,\\
y(a)&=\omega_1,\\
y'(a)&=\omega_2.
\end{align*}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\subsubsection{Okrajová úloha pro soustavu rovnic 1. řádu}
 
Uvažujme soustavu lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu
\begin{equation}
\label{linearnisoustavapresunop}
\tucne y'=\matice A(x)\tucne y+\tucne f(x),\quad x\in(a,\,b),
\end{equation}
kde $\matice A:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n,n}$ a $\tucne
f:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^n$, společně s dvojicí okrajových
podmínek
\begin{subequations}
\label{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}
\begin{align}
\matice U_1\tucne y(a)&=\tucne c_1,\\
\matice U_2\tucne y(b)&=\tucne c_2,
\end{align}
\end{subequations}
kde $\matice U_1\in\mathbbm R^{n_1,n}$, $\text h(\matice U_1)=n_1$, $\tucne
c_1\in\mathbbm R^{n_1}$ a $\matice U_2\in\mathbbm R^{n_2,n}$, $\text h(\matice
U_2)=n_2$, $\tucne c_2\in\mathbbm R^{n_2}$, přičemž $n_1+n_2=n>1$.
 
\begin{theorem}
Buď $\tucne y$ řešení soustavy (\ref{linearnisoustavapresunop}) na intervalu
$\langle a,\,b\rangle$ splňující pro nějaké $\xi\in\langle a,\,b\rangle$ vztah
\[
\matice U\tucne y(\xi)=\tucne c,
\]
kde $\matice U\in\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a $\tucne c\in\mathbbm R^{\tilde n}$,
$\tilde n\le n$. Potom pro každé $x\in\langle a,\,b\rangle$ platí
\begin{equation}
\label{presunopprosoustavumain}
\matice R(x)\tucne y(x)=\tucne r(x),
\end{equation}
kde $\matice R$, resp. $\tucne r$ je řešení počáteční úlohy
\begin{align*}
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\
\matice R(\xi)&=\matice U,
\end{align*}
resp.
\begin{align*}
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\
\tucne r(\xi)&=\tucne c
\end{align*}
na $\langle a,\,b\rangle$.\footnote{Připomeňme, že $\matice R:\langle
a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{\tilde n,n}$ a že $(\matice
R')_{ij}(x)=(\matice R_{ij})'(x)$ pro všechna $x\in\langle a,\,b\rangle$,
$i\in\hat{\tilde n}$, $j\in\hat n$.}
\begin{proof}
Je podobný jako v jednorozměrném případě, proto již stručněji:
(\ref{presunopprosoustavumain}) je zřejmě splněno pro $x=\xi$ a dále pro všechna
$x\in\langle a,\,b\rangle$ platí
\[
\begin{split}
\left(\matice R\tucne y-\tucne r\right)'&=\matice R'\tucne y+\matice R\tucne
y'-\tucne r'=\matice R'\tucne y+\matice R(\matice A\tucne y+\tucne f)-\tucne
r'=\\
&=(\matice R'+\matice R\matice A)\tucne y+\matice R\tucne f-\tucne
r'=\tucne0.\qed
\end{split}
\]
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{theorem}
 
Podobně jako v jednorozměrném případě chceme dvojici okrajových podmínek
(\ref{okrajovepodminkyprosoustavupresunop}) nahradit ekvivalentní počáteční
podmínkou
\[\tucne y(x_0)=\tucne\eta,\]
kde $x_0\in\langle a,\,b\rangle$ si zvolíme. Zopakujme praktický postup:
\begin{enumerate}
\item Nalezneme řešení $\matice R:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm
R^{n_1,n}$ počáteční úlohy
\begin{align*}
\matice R'&=-\matice R\matice A,\\
\matice R(a)&=\matice U_1,
\end{align*}
a posléze řešení $\tucne r:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_1}$
počáteční úlohy
\begin{align*}
\tucne r'&=\matice R\tucne f,\\
\tucne r(a)&=\tucne c_1.
\end{align*}
\item Nalezneme řešení $\matice S:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm
R^{n_2,n}$ počáteční úlohy
\begin{align*}
\matice S'&=-\matice S\matice A,\\
\matice S(b)&=\matice U_2,
\end{align*}
a posléze řešení $\tucne s:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R^{n_2}$
počáteční úlohy
\begin{align*}
\tucne s'&=\matice S\tucne f,\\
\tucne s(b)&=\tucne c_2.
\end{align*}
\item Řešíme soustavu $n$ lineárních algebraických rovnic
\begin{align*}
\tucne R(x_0)\tucne\eta&=\tucne r(x_0),\\
\tucne S(x_0)\tucne\eta&=\tucne s(x_0).\\
\end{align*}
pro $n$ neznámých $\tucne\eta\in\mathbbm R^n$.
\item Řešíme počáteční úlohu
\begin{align*}
\tucne y'&=\matice A\tucne y+\tucne f,\\
\tucne y(x_0)&=\tucne\eta.
\end{align*}
\end{enumerate}
 
\subsection{Metoda sítí pro ODE}
Metoda sítí, též nazývána metodou konečných diferencí, představuje v současnosti nejpoužívanější způsob řešení diferenciálních rovnic.
Spočívá v diskretizaci - nahrazení definičního oboru konečnou sítí bodů a vyjádření derivací jako diferencí, tj. jako lineárních kombinací funkčních hodnot v bodech sítě.
Výsledkem je soutava algebraických rovnic s mnoha neznámými (přinejmenším tísíce), která se řeší pomocí teorie matic.
 
Buď $(a,\,b)$ omezený interval a nechť $p\in\mathcal C\langle
a,\,b\rangle\cap\mathcal C^1(a,\,b)$, $q\in\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,
$f\in\mathcal C(a,\,b)$. Nechť dále platí
\begin{equation}
\label{podminkaelipticityode}
p(x)\ge p_0>0,\quad q(x)\ge0,\quad \forall x\in(a,\,b).
\end{equation}
Uvažme diferenciální rovnici
\begin{equation}
\label{tvarode}
-\left(p(x) y'\right)'+q(x)y=f(x),\quad x\in(a,\,b),
\end{equation}
s okrajovými podmínkami
\begin{subequations}
\label{pocpodmode}
\begin{eqnarray}
\label{pocpodmode1}
\alpha_1p(a)y'(a)-\beta_1y(a)&=&\gamma_1,\\
\label{pocpodmode2}
\alpha_2p(b)y'(b)+\beta_2y(b)&=&\gamma_2,
\end{eqnarray}
\end{subequations}
kde $\alpha_1,\,\alpha_2,\,\beta_1,\,\beta_2\ge0$,
$\gamma_1,\,\gamma_2\in\mathbbm R$, a navíc
\begin{eqnarray*}
\alpha_1+\beta_1&>&0,\\
\alpha_2+\beta_2&>&0.
\end{eqnarray*}
 
\begin{remark}
Pokud neplatí $\beta_1=\beta_2=0$ a $q\equiv0$, je úloha jednoznačně řešitelná.
\end{remark}
\begin{remark}
Každou lineární obyčejnou diferenciální rovnici 2. řádu lze zapsat ve tvaru
(\ref{tvarode}), podmínky (\ref{podminkaelipticityode}) však obecně {\em
nemusejí} být splněny.
\end{remark}
 
\begin{define}
Buď $\langle a,\,b\rangle$ omezený interval. Potom číslo
\[
h:=\frac{b-a}m
\]
nazýváme {\bf krok sítě}. {\bf Síť na intervalu $\langle a,\,b\rangle$}
definujeme jako množinu
\[
\overline\omega_h=\{a+jh\,|\,j=0,\,\hdots,\,m\}.
\]
Dále definujeme
\[
\omega_h=\{a+jh\,|\,j=1,\,\hdots,\,m-1\},
\]
\[
\gamma_h=\overline\omega_h-\omega_h.
\]
Prvky množiny $\omega_h$, resp. $\gamma_h$ nazýváme {\bf vnitřní}, resp. {\bf
hraniční} {\bf body (uzly) sítě}.
\end{define}
 
\begin{define}
{\bf Síťovou funkcí} nazveme libovolné zobrazení
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Označme $\mathcal H_h=\{u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R\}$ množinu
všech síťových funkcí na dané síti. Jestliže na $\mathcal H_h$ zavedeme obvyklým
způsobem operace sčítání síťových funkcí a násobení síťové funkce reálným
číslem, dostaneme reálný vektorový prostor dimenze $m+1$. Můžeme tedy prostor
$\mathcal H_h$ ztotožnit s $\mathbbm R^{m+1}$.
 
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, potom pro $j\in\hat m_0$ označujeme
\[
u_j:=u(a+jh).
\]
Povšimněme si, že toto značení je blízké běžnému označování složek vektoru.
 
\end{remark}
 
\begin{define}
Libovolné funkci $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ lze přiřadit
síťovou funkci $u\in\mathcal H_h$, která je restrikcí funkce $y$ na síť
$\overline\omega_h$. Tuto síťovou funkci budeme označovat $\mathcal P_hy$, kde 
$\mathcal P$ je projekční operátor.
\end{define}
 
\begin{define}
Buďte $\nor{\text{ }}_h$ norma na $\mathcal H_h$, $\nor{\text{ }}$ norma na
$\mathcal C\langle a,\,b\rangle$. Říkáme, že norma $\nor{\text{ }}_h$ je {\bf
konzistentní}, jestliže
\[
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\mathcal P_hy}_h=\nor y,\quad\forall y\in\mathcal
C\langle a,\,b\rangle.
\]
\end{define}
 
\begin{example}
Norma
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h, 0}:=\max_{j\in\hat m_0}\abs{y(a+jh)}\]
je konzistentní s maximovou normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.
\end{example}
 
\begin{example}
Seminorma
\[\nor{\mathcal P_hy}_{h,
p}:=\left(\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{y_j}^p\right)^{\frac1p}\]
je konzistentní s $L^p$-normou na $\mathcal C\langle a,\,b\rangle$.
\end{example}
 
\begin{define}
Buď $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce. Pak definujeme následující operátory
interpolace:
\begin{enumerate}
\item $Q_h:\mathcal H_h\rightarrow\mathcal C\langle a,\,b\rangle$,
\[
Q_h:u\mapsto\sum_{j=1}^m\left[u_{j-1}+\frac{x-a-(j-1)h}h(u_j-u_{j-1})\right]
\chi_{\langle a+(j-1)h,\,a+jh\rangle},
\]
\item $S_h:\mathcal H_h\rightarrow L^\infty(a,\,b)$,
\[
S_h:u\mapsto u_0\chi_{\langle a,\,a+\frac
h2)}+\sum_{j=1}^{m-1}u_j\chi_{(a+(j-\frac12)h,\,a+(j+\frac12)h)}+u_m\chi_{
(b-\frac h2,\,b\rangle}.
\]
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
Je-li $u\in\mathcal H_h$ síťová funkce, pak $Q_hu$, resp. $S_hu$ je po částech
lineární, resp. po částech konstantní funkce.
\end{remark}
 
\subsubsection{Diferenční náhrada derivací}
\begin{enumerate}
\item Dopředná diference
\[
y'(x)\sim y_x(x):=\frac{y(x+h)-y(x)}{h}.
\]
\item Zpětná diference
\[
y'(x)\sim y_{\bar x}(x):=\frac{y(x)-y(x-h)}{h}.
\]
\item Pro náhradu 2. derivace používáme výraz $y_{\bar xx}(x):=(y_{\bar
x})_x(x)$. Je tedy
\[
y''(x)\sim y_{\bar xx}(x):=\frac{y(x+h)-2y(x)+y(x-h)}{h^2}.
\]
\end{enumerate}
 
\begin{remark}[náhrada diferenciálních operátorů]
Lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-(py')'+qy$ nahradíme lineárním
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$.
Speciálně lineární diferenciální operátor $L:y\mapsto-y''$ nahradíme lineárním
diferenčním operátorem $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$.
\end{remark}
 
\begin{define}[Landauův symbol]
Buď $\alpha>0$. Řekneme, že funkce $f:(\mathbbm R)\rightarrow\mathbbm R$
definovaná v okolí nuly je $O(h^\alpha)$, je-li funkce
\[h\mapsto\frac{f(h)}{h^\alpha}\]
v okolí nuly omezená.
\end{define}
 
\begin{define}
Chybou aproximace diferenciálního operátoru $L$ nazýváme síťovou funkci $\Psi_h$
definovanou pro $y\in\Dom L$ vztahem
\[
\Psi_h:=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).
\]
 
Řekneme, že diferenční operátor $L_h$ {\bf aproximuje diferenciální operátor
$L$}, jestliže existuje taková konzistentní síťová norma $\nor{\text{ }}_h$, že
\[\lim_{h\rightarrow0+}\nor{\Psi_h}_h=0,\quad\forall y\in\Dom L.\]
Jestliže navíc existuje takové $\alpha>0$, že pro každou funkci $y\in\Dom L$
platí $\nor{\Psi_h}_h=O(h^\alpha)$, potom říkáme, že diferenční operátor $L_h$
aproximuje diferenciální operátor $L$ {\bf s přesností řádu $\alpha$}.
\end{define}
 
\begin{remark}
Platí
\[
(pu_{\bar x})_x(x)=\frac{p(x+h)y(x+h)-p(h+x)y(x)-p(x)y(x)+p(x)y(x-h)}{h^2}
\]
a po dosazení $x=a+ih$ dostaneme pro $i\in\widehat{m-1}$
\[
\left((pu_{\bar
x})_x\right)_i=\frac{p_{i+1}(y_{i+1}-y_i)-p_i(y_i-y_{i-1})}{h^2}.
\]
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{vetaoraduaproximace}
Jestliže funkce $p,\,q$ splňují základní předpoklady, potom diferenční operátor
$L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$ aproximuje diferenciální operátor
$L:y\mapsto-(py')'+qy$ s přesností $O(h)$.
\begin{proof}
Pro $j\in\widehat{m-1}$ je
\[
\begin{split}
(\Psi_h)_j&=(Ly)(a+jh)-(L_h(\mathcal P_hy))_j=-(py')'(a+jh)+(qy)_j+((py_{\bar
x})_x)_j-(qy)_j=\\
&=\frac{p_{j+1}(y_{j+1}-y_j)-p_j(y_j-y_{j-1})}{h^2}-(py')'(a+jh).
\end{split}
\]
Zbývá vhodně vyjádřit $(py')'(a+jh)$. Je
\[
(py')(x+h)=(py')(x)+h(py')'(x)+\frac{h^2}2(py')''(x)+O(h^3),
\]
takže
\[
(py')'(x)=\frac{(py')(x+h)-(py')(x)}h-\frac{h}2(py')''(x)+O(h^2)
\]
a
\[
(py')'(a+jh)=\frac{(py')(a+(j+1)h)-(py')(a+jh)}h-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2).
\]
Ještě potřebujeme vyjádřit $y'(a+jh)$, resp. $y'(a+(j+1)h)$. Je
\[
y(x-h)=y(x)-hy'(x)+\frac{h^2}2y''(x)+O(h^3),
\]
takže
\[
y'(x)=\frac{y(x)-y(x-h)}h+\frac{h}2y''(x)+O(h^2),
\]
a proto
\[
y'(a+jh)=\frac{y(a+jh)-y(a+(j-1)h)}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2),
\]
\[
y'(a+(j+1)h)=\frac{y(a+(j+1)h)-y(a+jh)}h+\frac{h}2y''(a+(j+1)h)+O(h^2).
\]
Můžeme psát
\[
\begin{split}
(py')'(a+jh)=&\frac1h\left[p_{j+1}\left(\frac{y_{j+1}-y_j}h+\frac{h}
2y''(a+(j+1)h)+O(h^2)\right)-\right.\\
&\left.-p_j\left(\frac{y_j-y_{j-1}}h+\frac{h}2y''(a+jh)+O(h^2)\right)\right]
-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h^2)=\\
=&p_{j+1}\frac{y_{j+1}-y_j}{h^2}-p_j\frac{y_j-y_{j-1}}{h^2}+\frac{p_{j+1}(y'')_{
j+1}-p_j(y'')_j}2-\\
&-\frac{h}2(py')''(a+jh)+O(h).
\end{split}
\]
Odtud s využitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě plyne
\[
\begin{split}
(\Psi_h)_j&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{p_{j+1}(y'')_{j+1}-p_j(y'')_j}2+O(h)=\\
&=\frac{h}2(py')''(a+jh)-\frac{h}2(py'')'(\xi_j)+O(h),
\end{split}
\]
kde $\xi_j\in(a+jh,\,a+(j+1)h)$. Konečně
\[
\begin{split}
\left(\frac{\nor{\Psi_h}_{h,p}}{h}\right)^p&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{
(\Psi_h)_j}h}^p=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(Ly)(a+jh)-(L_h(y))_j}{h}}^p=\\
&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{\frac{(py')''(a+jh)-(py'')'(\xi_j)}2+\frac{O(h)}h}
^p.\qed
\end{split}
\]
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{theorem}
 
Nyní již umíme nahradit diferenciální rovnici (\ref{tvarode}) soustavou
lineárních algebraických rovnic, v níž jsou neznámými hodnoty řešení naší
okrajové úlohy v síťových bodech. Ještě je třeba nahradit okrajové podmínky
(\ref{pocpodmode}).
 
\begin{remark}
Učiňme následující úmluvu: Číslo $(y_x)_j=(y_x)(a+jh)$,
$j\in\{0,\,\hdots,\linebreak[4]m-1\}$, budeme značit $y_{x,j}$. Podobně číslo
$(y_{\bar x})_j=(y_{\bar x})(a+jh)$, $j\in\{1,\,\hdots,\,m\}$, budeme značit
$y_{\bar x,j}$.
\end{remark}
 
Výraz $y'(a)$ v (\ref{pocpodmode1}), resp. $y'(b)$ v (\ref{pocpodmode2})
nahradíme výrazem $y_{x,0}$, resp. $y_{\bar x,m}$. Celkově pak okrajové podmínky
(\ref{pocpodmode}) nahradíme vztahy
\begin{subequations}
\begin{eqnarray}
\label{nahradapocpodmode1}
\alpha_1p_0u_{x,0}-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\
\label{nahradapocpodmode2}
\alpha_2p_mu_{\bar x,m}+\beta_2u_m&=&\gamma_2.
\end{eqnarray}
\end{subequations}
 
Označme $(ly)_{x=a}$, resp. $(ly)_{x=b}$ levou stranu rovnosti
(\ref{pocpodmode1}), resp. (\ref{pocpodmode2}) a položme
\[
ly:=\begin{pmatrix}(ly)_{x=a}\\(ly)_{x=b}\end{pmatrix}.
\]
Podobně označme $(l_hu)_0$, resp. $(l_hu)_m$ levou stranu rovnosti
(\ref{nahradapocpodmode1}), resp. (\ref{nahradapocpodmode2}) a položme
\[
l_hu:=\begin{pmatrix}(l_hu)_0\\(l_hu)_m\end{pmatrix}.
\]
\begin{remark}
Na $l$ se můžeme dívat jako na lineární zobrazení $l:\Dom A\rightarrow\mathbbm
R^2$. Chyba aproximace tohoto zobrazení zobrazením $l_h:\mathcal
H_h\rightarrow\mathbbm R^2$ je $O(h)$.
\end{remark}
Jestliže dále označíme
\[
\quad\gamma:=\begin{pmatrix}\gamma_1\\\gamma_2\end{pmatrix},
\]
můžeme okrajovou úlohu (\ref{tvarode}), (\ref{pocpodmode}) vyjádřit ve tvaru
\begin{subequations}
\label{operatorovyzapisou}
\begin{eqnarray}
Ly&=&f,\\
ly&=&\gamma,
\end{eqnarray}
\end{subequations}
kde $L:y\mapsto-(py')'+qy$. Tuto úlohu nahradíme úlohou
\begin{subequations}
\label{operatorovyzapisdu}
\begin{eqnarray}
\label{operatorovyzapisdu1}
L_hu&=&\mathcal P_hf,\\
\label{operatorovyzapisdu2}
l_hu&=&\gamma,
\end{eqnarray}
\end{subequations}
kde $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$. Jestliže rozepíšeme
(\ref{operatorovyzapisdu1}) po složkách, dostaneme
\begin{equation}
-\frac{p_{i+1}(u_{i+1}-u_i)-p_i(u_i-u_{i-1})}{h^2}+q_iu_i=f_i,\quad
i\in\widehat{m-1};
\end{equation}
podobně ze vztahu (\ref{operatorovyzapisdu2}) dostaneme
\begin{eqnarray*}
\alpha_1p_0\frac{u_1-u_0}h-\beta_1u_0&=&\gamma_1,\\
\alpha_2p_m\frac{u_m-u_{m-1}}h+\beta_2u_m&=&\gamma_2.
\end{eqnarray*}
Je tedy (\ref{operatorovyzapisdu}) soustava lineárních algebraických rovnic
 
\hspace{-1cm}
\[
\begin{array}{ccccccccc}
-\left(\beta_1+\frac{\alpha_1p_0}h\right)u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \frac{\alpha_1p_0}hu_1 & & & &\!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\! \gamma_1,\\
-\frac{p_1}{h^2}u_0 &\!\!\!\!+\!\!\!\!& \left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &\!\!\!\!-\!\!\!\!&\frac{p_2}{h^2}u_2 & & &\!\!\!\! =& \!\!\!\!f_1,\\
& \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \!\!\!\!\ddots \!\!\!\!& & \ddots & & \vdots\\
& \!\!\!\!& -\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &\!\!\!\!-\!\!\!\!& \frac{p_m}{h^2}u_m \!\!\!\!&\!\!\!\!=&\!\!\!\!f_{m-1},\\
& \!\!\!\!& & \!\!\!\!& -\frac{\alpha_2p_m}hu_{m-1} &+&\left(\beta_2+\frac{\alpha_2p_m}h\right)u_m\!\!\!\! &\!\!\!\!=& \!\!\!\!\gamma_2.
\end{array}
\]
 
Označíme-li $\matice A_h$ matici soustavy (je zřejmě 3-diagonální), můžeme tuto
soustavu zapsat ve tvaru
\begin{equation}
\label{tridig}
\matice A_h\vec u=\vec\phi_h,
\end{equation}
kde
\[
\vec
u=\begin{pmatrix}u_0\\u_1\\\vdots\\u_m\end{pmatrix},\quad\vec\phi_h=\begin{pmatrix}\gamma_1\\f_1\\\vdots\\f_{m-1}\\\gamma_2\end{pmatrix}.
\]
 
\begin{remark}
V případě Dirichletových okrajových podmínek (tj. $\alpha_1=\alpha_2=0$) je celá
situace o něco jednodušší: Není třeba provádět žádnou náhradu okrajových
podmínek, neboť hodnoty řešení v hraničních uzlech jsou podmínkami
(\ref{pocpodmode}) přímo zadány (bez újmy na obecnosti předpokládejme, že
$y(a)=\gamma_1$, $y(b)=\gamma_2$). Soustava (\ref{tridig}) se pak nepatrně
pozmění: První a poslední rovnice z ní ,,vypadnou'' a druhá, resp. předposlední
rovnice bude mít podobu
\[
\begin{array}{ccccc}
\left(\frac{p_1+p_2}{h^2}+q_1\right)u_1 &-& \frac{p_2}{h^2}u_2 &=&
f_1+\frac{p_1}{h^2}\gamma_1,
\end{array}
\]
resp.
\[
\begin{array}{ccccc}
-\frac{p_{m-1}}{h^2}u_{m-2} &+&
\left(\frac{p_{m-1}+p_m}{h^2}+q_{m-1}\right)u_{m-1} &=&
f_{m-1}+\frac{p_m}{h^2}\gamma_2.
\end{array}
\]
Zbylé rovnice zůstanou nezměněny.
\end{remark}
 
\subsubsection{Konvergence a přesnost}
 
\begin{define}
Nechť (\ref{operatorovyzapisou}), resp. (\ref{operatorovyzapisdu}) je okrajová,
resp. diferenční (síťová) úloha. Říkáme, že řešení
$u_h:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ úlohy (\ref{operatorovyzapisdu})
{\bf konverguje} k řešení $y:\langle a,\,b\rangle\rightarrow\mathbbm R$ úlohy
(\ref{operatorovyzapisou}), jestliže existuje taková konzistentní síťová norma
$\nor{\text{ }}_h$, že
\[
\lim_{h\rightarrow0+}\nor{u_h-\mathcal P_hy}_h=0.
\]
Říkáme, že {\bf konvergence je řádu $\alpha$}, jestliže $\nor{u_h-\mathcal
P_hy}_h=O(h^\alpha)$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Úloha (\ref{operatorovyzapisdu}) je ,,parametrizovaná'' parametrem $h$. Tento
parametr ovšem nenabývá libovolných kladných hodnot, ale jen spočetně mnoha
hodnot
\[
b-a,\,\frac{b-a}2,\,\hdots,\,\frac{b-a}m,\,\hdots
\]
Tuto skutečnost je třeba mít na paměti, neboť ji v dalším již nebudeme
připomínat a budeme pro jednoduchost psát pouze $h>0$ apod.
\end{remark}
 
\begin{define}
Systém úloh
\begin{equation}
\label{ds}
\{(\ref{operatorovyzapisdu}):h>0\}
\end{equation}
se nazývá {\bf diferenční schéma}.
\end{define}
 
\begin{define}
Diferenční schéma (\ref{ds}) se nazývá {\bf korektní}, jestliže existují taková
kladná čísla $h_0$ a $M$, že pro každé $h\in(0,\,h_0\rangle$ platí následující
dvě podmínky:
\begin{enumerate}
\item $(\exists\Phi_h\subset\mathbbm
R^{m+1})(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)((\ref{tridig})$ má právě jedno řešení $\vec
u\in\overline\omega_h)$,
\item
$(\forall\vec\phi_h\in\Phi_h)(\forall\vec{\tilde\phi}_h\in\Phi_h)(\nor{\vec{
\tilde u}_h-\vec u_h}_{1h}\le M\nor{\vec{\tilde\phi}_h-\vec\phi_h}_{2h})$,
\end{enumerate}
kde $\nor{\text{ }}_{1h}$ a $\nor{\text{ }}_{2h}$ jsou konzistentní normy. 
Druhá podmínka se nazývá {\bf stabilita}.
\end{define}
 
\begin{theorem}[Laxova]
Diferenční schéma (\ref{ds}), které je korektní a aproximuje diferenciální
operátor, je konvergentní.
\begin{proof}
Zúžením (\ref{operatorovyzapisou}) na síť a následným odečtením od
(\ref{operatorovyzapisdu}) dostaneme
\begin{subequations}
\label{divnaveta1}
\begin{align}
L_hu-\mathcal P_h(Ly)&=0\quad\text{na }\omega_h,\\
l_hu-\mathcal P_h(ly)&=0\quad\text{na }\gamma_h.
\end{align}
\end{subequations}
Chyba aproximace diferenciálního operátoru $L$ byla definována jako síťová
funkce
\[
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy).
\]
Výraz $L_h(\mathcal P_hy)$ má ovšem smysl jen na $\omega_h$. Síťovou funkci
$\Psi_h$ proto můžeme v~hraničních uzlech sítě dodefinovat vztahem
\[
\Psi_h=\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy).
\]
Nyní můžeme (\ref{divnaveta1}) přepsat jako
\begin{align*}
L_hu-L_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\
l_hu-l_h(\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h
\end{align*}
neboli
\begin{align*}
L_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\omega_h,\\
l_h(u-\mathcal P_hy)&=\Psi_h\quad\text{na }\gamma_h.
\end{align*}
Za předpokladu, že $\Psi_h\in\Phi_h$, existuje podle definice korektnosti $M>0$
tak, že pro každé $h>0$ platí
\begin{equation}
\label{divnaveta2}
\nor{u-\mathcal P_hy}_{1h}\le M\nor{\Psi_h}_{2h}.
\end{equation}
Výrok ,,diferenční schéma aproximuje diferenciální operátor'' znamená existenci
takové konzistentní síťové normy $\nor{\text{ }}_h$, že
\[
\nor{\Psi_h}_h\stackrel{h\rightarrow0+}{\longrightarrow}0,
\]
takže stačí ve vztahu (\ref{divnaveta2}) provést limitu $h\rightarrow0+$ a
využít ekvivalence norem na síti.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsubsection{Technika apriorních odhadů}
\begin{define}
Buďte $u,\,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u=(u_0,\,\hdots,\,u_m)$,
$v=(v_0,\,\hdots,\,v_m)$. Potom klademe
\[
(u,\,v)_h:=\sum_{j=1}^{m-1}hu_jv_j,\quad[u,\,v]:=\sum_{j=0}^mhu_jv_j,
\]
\[
[u,\,v):=\sum_{j=0}^{m-1}hu_jv_j,\quad(u,\,v]:=\sum_{j=1}^mhu_jv_j.
\]
Dále definujeme
\[
\nor{u}_h:=\sqrt{(u,\,u)_h},\quad\onor{u}:=\sqrt{[u,\,u]},
\]
\[
\lnor{u}:=\sqrt{[u,\,u)},\quad\rnor{u}:=\sqrt{(u,\,u]}.
\]
\end{define}
 
\begin{theorem} Tři užitečné formule pro síťové funkce:
 
\begin{enumerate}
\item Síťová formule per partes:
\begin{eqnarray}
\label{sitoveperpartes1}
(u,\,v_x)_h&=&u_mv_m-u_0v_1-(u_{\bar x},\,v],\\
(u,\,v_{\bar x})_h&=&u_mv_{m-1}-u_0v_0-[u_x,\,v).
\end{eqnarray}
\item První Greenova formule: Nechť $p(x)\ge p_0>0$ pro
$x\in\overline\omega_h$. Potom
\begin{equation}
\label{sitovygreen1}
(v,(pu_{\bar x})_x)_h=-(pu_{\bar x},v_{\bar x}]+(pvu_{\bar x})_m-p_1(vu_x)_0.
\end{equation}
\item Druhá Greenova formule:
\[(v,(pu_{\bar x})_x)_h-(u,(pv_{\bar x})_x)_h=p_m(vu_{\bar x}-v_{\bar
x}u)_m-p_1(u_x v-v_x u)_0.\]
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item
\[
\begin{split}
(u,\,v_x)_h=&\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_x)_j=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j\frac{v_{j+1}-v_j}
h=\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_{j+1}-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\\
=&\sum_{j=2}^mu_{j-1}v_j-\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j=\sum_{j=1}^m(u_{j-1}
-u_j)v_j-u_0v_1+u_mv_m=\\
=&-\sum_{j=1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}hv_j-u_0v_1+u_mv_m=-(u_{\bar
x},v]-u_0v_1+u_mv_m.
\end{split}
\]
\[
\begin{split}
(u,\,v_{\bar x})_h&=\sum_{j=1}^{m-1}hu_j(v_{\bar x})_j=
\sum_{j=1}^{m-1}u_j(v_j-v_{j-1})=
\sum_{j=1}^{m-1}u_jv_j-\sum_{j=0}^{m-2}u_{j+1}v_j=\\
&=\sum_{j=0}^{m-1}(u_j-u_{j+1})v_j-u_0v_0+u_mv_{m-1}=
-[u_x,v)-u_0v_0+u_mv_{m-1}.
\end{split}
\]
\item Užitím formule (\ref{sitoveperpartes1}) pro $u=v$, $v=pu_{\bar x}$
dostaneme
\[
(v,\,(pu_{\bar x})_x)_h=-(v_{\bar x},\,pu_{\bar x}]-v_0p_1(u_{\bar
x})_1+v_mp_m(u_{\bar x})_m,
\]
ale
\[
(u_{\bar x})_1=\frac{u_1-u_0}h=(u_x)_0.
\]
\item Oba členy na levé straně se upraví pomocí formule
(\ref{sitovygreen1}).\qed
\end{enumerate}
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsubsection{Sobolevovy nerovnosti (síťové analogie vět o vnoření)}
 
\begin{lemma}
\label{sobolev1}
Buď $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ taková síťová funkce, že
$u_0=u_m=0$. Pak platí
\[\nor{u}_{h,0}\le\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar x}}.\]
\begin{proof}
Pro libovolné $k\in\widehat{m-1}$ je
  \begin{equation}
    \label{eq:sobolev1}
    \sum_{j=1}^khu_{\bar x,j}=\sum_{j=1}^kh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=
    \sum_{j=1}^ku_j-\sum_{j=1}^ku_{j-1}=u_k-u_0
  \end{equation}
a podobně
  \begin{equation}
    \label{eq:sobolev2}
    \sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}=\sum_{j=k+1}^mh\frac{u_j-u_{j-1}}{h}=
    u_m-u_k.
  \end{equation}
  Podle předpokladu je $u_0=u_m=0$, a proto se \eqref{eq:sobolev1},
  \eqref{eq:sobolev2} redukují na
  \[u_k=\sum_{j=1}^khu_{\bar x,j},\quad u_k=-\sum_{j=k+1}^mhu_{\bar x,j}.\]
 
Pro libovolné $\lambda$ platí $u_k^2=(1-\lambda)u_k^2+\lambda u_k^2$. Speciálně,
položíme-li $\lambda=\frac km$, máme s využitím Schwarzovy nerovnosti v
$\mathbbm R^k$, resp. v $\mathbbm R^{m-k}$
  \[
  \begin{split}
    u_k^2&=\left(1-\frac km\right)
    \left(\sum_{j=1}^k hu_{\bar x,j}\right)^2+
    \frac km\left(\sum_{j=k+1}^m hu_{\bar x,j}\right)^2\le\\
    &\le\left(1-\frac km\right)
    \underbrace{\left(\sum_{j=1}^k h\right)}_{kh}
    \left(\sum_{j=1}^k h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)+
    \frac km
    \underbrace{\left(\sum_{j=k+1}^m h\right)}_{(m-k)h}
    \left(\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2\right)=\\
    &=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^kh\abs{u_{\bar x,j}}^2+
    kh\frac{m-k}m\sum_{j=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2=\\
    &=kh\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2
    =(b-a)\frac km\left(1-\frac km\right)\sum_{j=1}^m h\abs{u_{\bar x,j}}^2.
  \end{split}
  \]
Funkce $f(x)=x(1-x)$ má na intervalu $\langle0,\,1\rangle$ maximum v bodě
$x=\frac12$ a
  $f(\frac12)=\frac14$. Proto $\frac{k}{m}\left(1-\frac
    km\right)\le\frac14$ a
  \[u_k^2\le\frac{b-a}4\sum_{j=1}^mh\abs{(u_{\bar x})_j}^2=
  \frac{b-a}4\rnor{u_{\bar x}}^2.\]
 
Dokázali jsme, že pro každé $k=1,\,\dots,\,m-1$ platí
\[\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\]
  Protože $u_0=u_m=0$, je
  \[\nor{u}_{h,0}=\max_{k\in\hat
m_0}\abs{u_k}\le\frac{\sqrt{b-a}}{2}\rnor{u_{\bar x}}.\qed\]
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
  \label{sobolev2}
  Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak platí
\[\nor{u}_h\le\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\]
\begin{proof}
  Je
  \[
  \begin{split}
\nor{u}_h^2&=\sum_{j=1}^{m-1}h\abs{u_j}^2\le\nor{u}_{h,0}^2\sum_{j=1}^{m-1}h=\nor{u}_{h,0}^2(m-1)h\le\\
    &\le\nor{u}_{h,0}^2mh=\nor{u}_{h,0}^2(b-a).
  \end{split}
  \]
  Odtud a z předchozího lemmatu dostaneme
  \[
  \nor{u}_h\le\sqrt{b-a}\frac{\sqrt{b-a}}2\rnor{u_{\bar
x}}=\frac{b-a}2\rnor{u_{\bar x}}.\qed
  \]
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{remark}
Tato poznámka má sloužit jako motivace důkazu následující lemmy. Často je
užitečné najít bázi daného prostoru funkcí tvořenou vlastními vektory nějakého
eliptického diferenciálního operátoru. Jako příklad zkonstruujeme bázi
Sobolevova prostoru $W^{1,2}_0(a,\,b)$ tvořenou vlastními funkcemi
diferenciálního operátoru $L:y\mapsto -y''$.
 
Uvažme okrajovou úlohu
\begin{gather*}
-y''-\lambda y=0\quad\text{na }(a,\,b),\\
y(a)=0,\quad y(b)=0.
\end{gather*}
Předpokládejme řešení ve tvaru
\[
y(x)=\sin\alpha(x-\beta).
\]
Dosazením do okrajových podmínek dostaneme
\[
\sin\alpha(a-\beta)=0,\quad
\sin\alpha(b-\beta)=0.
\]
Volbou $\beta=a$ identicky splníme první rovnici a z druhé získáme podmínku
\[\sin\alpha(b-a)=0,\]
tj.
\[\alpha(b-a)=k\pi,\quad k\in\mathbbm Z,\]
neboli
\[\alpha=\frac{k\pi}{b-a},\quad k\in\mathbbm Z.\]
Získali jsme tak systém funkcí
\[y(x)=\sin\frac{k\pi}{b-a}(x-a),\quad k\in\mathbbm Z.\]
Po dosazení do diferenciální rovnice dostaneme
\[
\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2y(x)-\lambda y(x)=0,\quad k\in\mathbbm Z.
\]
Tato rovnice je evidentně splněna pro
\[
\lambda=\left(\frac{k\pi}{b-a}\right)^2,\quad k\in\mathbbm N.
\]
\end{remark}
 
\begin{lemma}
  \label{sobolev3}
  Nechť $u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$, $u_0=u_m=0$. Pak
  \[\frac{h^2}{4}\rnor{u_{\bar x}}^2\le\nor{u}^2_h\le
  \frac{(b-a)^2}{8}\rnor{u_{\bar x}}^2.\]
\begin{proof}
  Řešme diskrétní úlohu na vlastní čísla:
  \begin{align}
  \label{lemma3rce}
    -u_{\bar xx}-\lambda u&=0,\\
  \label{lemma3pod}
    u_0=u_m&=0.
  \end{align}
Okrajové podmínky (\ref{lemma3pod}) definují $(m-1)$-rozměrný podprostor v
$\mathcal H_h$. Tento podprostor můžeme ztotožnit s $\mathbbm R^{m-1}$. Rovnici
(\ref{lemma3rce}) můžeme přepsat do podoby
\[
L_hu=\lambda u,
\]
kde $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$ je lineární operátor na $\mathbbm R^{m-1}$.
Rozepsáním (\ref{lemma3rce}) po složkách dostaneme
\begin{equation}
\label{rcezdukazulemmy3}
-\frac{1}{h^2}(u_{j+1}-2u_j+u_{j-1})-\lambda u_j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1.
\end{equation}
 
Předpokládejme řešení ve tvaru $u_j=\sin(\alpha jh)$, $j=0,\,\hdots,\,m$. První
okrajová podmínka je splněna automaticky, ze druhé plyne
\[\sin(\alpha mh)=\sin(\alpha(b-a))=0,\]
a tedy $\alpha(b-a)=k\pi$, $k\in\mathbbm Z$. Získané síťové funkce
\[
u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{b-a}jh=\sin\frac{k\pi}mj,\quad j=0,\,\hdots,\,m,\quad
k\in\mathbbm Z,
\]
dosadíme do diferenční rovnice (\ref{rcezdukazulemmy3}). Dostaneme
  \[-\frac{1}{h^2}\left[
    \sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)
  \right]-\lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0.\]
Pomocí vzorců
  \[\sin a-\sin b=2\cos\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2,\]
  \[\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}2\sin\frac{a-b}2\]
upravíme
\[
\begin{split}
\sin\frac{k\pi}{m}&(j+1)-2\sin\frac{k\pi}{m}j+\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)=\\
&=\left[\sin\frac{k\pi}{m}(j+1)-\sin\frac{k\pi}{m}j\right]-\left[\sin\frac{k\pi}
{m}j-\sin\frac{k\pi}{m}(j-1)\right]=\\
&=2\cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}-2\cos\frac{k\pi}{
m}\left(j-\frac12\right)\sin\frac{k\pi}{2m}=\\
    &=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[
      \cos\frac{k\pi}{m}\left(j+\frac12\right)-
      \cos\frac{k\pi}{m}\left(j-\frac12\right)
    \right]=\\
&=2\sin\frac{k\pi}{2m}\left[-2\sin\frac{k\pi}mj\sin\frac{k\pi}{2m}\right]
=-4\left(\sin\frac{k\pi}{2m}\right)^2\sin\frac{k\pi}mj.
\end{split}
\]
Můžeme tedy přepsat (\ref{rcezdukazulemmy3}) jako
  \[\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m}\sin\frac{k\pi}{m}j-
  \lambda\sin\frac{k\pi}{m}j=0,\quad j=1,\,\dots,\,m-1,\quad k\in\mathbbm Z.\]
  Z toho plyne, že
\[\lambda_k=\frac{4}{h^2}\sin^2\frac{k\pi}{2m},\quad k\in\mathbbm N,\]
jsou vlastní čísla diferenčního operátoru $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. 
Pro $h\rightarrow 0$ se $\lambda$ blíží vlastnímu číslu z předchozí úlohy. 
Odpovídajícími vlastními síťovými funkcemi jsou
\[u_j^{(k)}=\sin\frac{k\pi}{m}j,\quad j=0,\,\dots,\,m,\quad k\in\mathbbm Z.\]
 
Z (\ref{rcezdukazulemmy3}) je zřejmé, že matice operátoru $L_h$ ve standardní
bázi má tvar
  \[
  ^{\mathcal E}(L_h)^{\mathcal E}=
  \begin{pmatrix}
    2 & -1 & \\
    - 1 & 2 & -1 & \\
    & - 1 & 2 & -1 & \\
    & & \ddots & \ddots & \ddots\\
    & & & -1 & 2 & -1\\
    & & & & -1 & 2\\
  \end{pmatrix}\in\mathbbm R^{m-1,m-1}.
  \]
Operátor $L_h$ je tedy symetrický, a má proto $m-1$ LN vlastních vektorů,
tvořících bázi $\mathbbm R^{m-1}$. Odtud vyplývá, že namísto $k\in\mathbbm N$,
nebo dokonce $k\in\mathbbm Z$ má smysl zabývat se pouze $k=1,\,\hdots,\,m-1$.
Ukážeme, že vlastní síťové funkce $u^{(1)},\,\hdots,\,u^{(m-1)}$ jsou
ortogonální.
 
Buďte $k,\,l\in\widehat{m-1}$. Potom s využitím 1. Greenovy formule
(\ref{sitovygreen1}) a okrajových podmínek (\ref{lemma3pod}) dostáváme
  \[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=
  -(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]+(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=0.\]
  Zároveň ale víme, že platí
  \[-u_{\bar xx}^{(k)}-\lambda_k u^{(k)}=0,\quad
  -u_{\bar xx}^{(l)}-\lambda_l u^{(l)}=0,\]
  a tedy
  \[(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h-(u^{(k)},u_{\bar xx}^{(l)})_h=
  -\lambda_k(u^{(k)},u^{(l)})+\lambda_l(u^{(k)},u^{(l)})=
  (\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]
  Celkem jsme dokázali, že platí
  \[(\lambda_l-\lambda_k)(u^{(k)},u^{(l)})_h=0,\]
  takže vskutku $u^{(k)}\perp u^{(l)}$ pro $k\ne l$.
 
Z toho, co bylo dosud řečeno, vyplývá, že pro každou síťovou funkci
$u:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$ splňující okrajové podmínky
(\ref{lemma3pod}) existují
  $\alpha_1,\,\dots,\,\alpha_{m-1}\in\mathbbm R$ tak, že
  \[u_j=\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k u_j^{(k)},\quad j=1,\,\dots,\,m-1.\]
Odtud
  \begin{equation}
  \label{lemma3parseval}
  \nor{u}_h^2=(u,u)_h=
  \sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u^{(k)},u^{(l)})_h=
  \sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\nor{u^{(k)}}_h^2
  \end{equation}
a podobně
  \[\rnor{u_{\bar x}}^2=(u_{\bar x},\,u_{\bar x}]=
  \sum_{k,l=1}^{m-1}\alpha_k\alpha_l(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=
  \sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2\lambda^{(k)}\nor{u^{(k)}}_h^2,\]
  kde jsme ovšem navíc opět využili toho, že
  \[(u_{\bar x}^{(k)},u_{\bar x}^{(l)}]=-(u_{\bar xx}^{(k)},u^{(l)})_h=
  \lambda^{(k)}(u^{(k)},u^{(l)})_h.\]
 
  Protože $\sin x$ je na $(0,\pi/2)$ rostoucí, platí
  $0<\lambda_1<\dots<\lambda_{m-1}$, a proto s~využitím (\ref{lemma3parseval})
můžme psát
  \[\rnor{u_{\bar x}}^2\le\lambda^{(m-1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2
  \nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(m-1)}\nor{u}_h^2,\]
  \[\rnor{u_{\bar x}}^2\ge\lambda^{(1)}\sum_{k=1}^{m-1}\alpha_k^2
  \nor{u^{(k)}}_h^2=\lambda^{(1)}\nor{u}_h^2.\]
  Odhadněme hodnoty $\lambda^{(1)}$ a $\lambda^{(m-1)}$. Zřejmě platí
  \[\lambda^{(m-1)}=\frac4{h^2}\sin^2\frac{\pi(m-1)}{2m}\le\frac4{h^2}.\]
  Pro $x\in\langle0,\,\pi/4\rangle$ je $\sin x\ge\frac{\sqrt{2}}{2}\frac4\pi x$,
a tedy
  \[\lambda^{(1)}\ge\frac4{h^2}\frac8{\pi^2}\frac{\pi^2}{4m^2}=
  \frac{8}{m^2h^2}=\frac{8}{(b-a)^2}.\]
  Z těchto nerovností plyne tvrzení lemmy.
\end{proof}
\end{lemma}
 
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (případ Dirichletových okrajových
podmínek)}
\label{pripaddirichlet}
Uvažujme úlohu
\begin{equation}
  \begin{split}
    \label{eq:energ1}
    -(py')'+qy&=f\text{ na $(a,b)$},\\
    y(a)&=\gamma_1,\\
    y(b)&=\gamma_2,
  \end{split}
\end{equation}
a odpovídající diferenční schéma
\begin{equation}
  \label{eq:energ2}
  \begin{split}
    -(pu_{\bar x})_x+qu&=f\text{ na $\omega_h$},\\
    u_0&=\gamma_1,\\
    u_m&=\gamma_2.
  \end{split}
\end{equation}
Zúžením úlohy \eqref{eq:energ1} na síť a následným odečtením od úlohy
\eqref{eq:energ2} dostaneme
\begin{subequations}
  \label{eq:energ3}
  \begin{align}
    \label{eq:energ3a}
    -(pu_{\bar x})_x+qu-\mathcal P_h(-(py')'+qy)&=0,\\
    (u-\mathcal P_hy)_0=(u-\mathcal P_hy)_m&=0.
  \end{align}
\end{subequations}
Položíme-li $L:y\mapsto-(py')'+qy$, $L_h:u\mapsto-(pu_{\bar x})_x+qu$, potom
chyba aproximace bude dána
\[\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal
P_h(-(py')'+qy)+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal P_hy.\]
Můžeme tedy výraz na levé straně \eqref{eq:energ3a} přepsat jako
\[
-(pu_{\bar x})_x+qu-\Psi_h+(p(\mathcal P_hy)_{\bar x})_x-q\mathcal
P_hy=-\left(pu_{\bar x}-p(\mathcal P_hy)_{\bar x}\right)_x+q(u-\mathcal
P_hy)-\Psi_h.
\]
Označíme $z=u-\mathcal P_hy$, získá úloha \eqref{eq:energ3} podobu
\begin{subequations}
  \label{eq:energ4}
  \begin{align}
    \label{eq:energ4a}
    -(pz_{\bar x})_x+qz&=\Psi_h,\\
    \label{eq:energ4b}
    z_0=z_m&=0.
  \end{align}
\end{subequations}
Skalárním vynásobením \eqref{eq:energ4a} řešením $z$ v součinu
$(\cdot,\,\cdot)_h$ dostaneme
\[
(\Psi_h,\,z)_h=(-(pz_{\bar x})_x+qz,\,z)_h=-((pz_{\bar
x})_x,\,z)_h+(qz,\,z)_h=(pz_{\bar x},\,z_{\bar x}]+(qz,\,z)_h,
\]
kde jsme využili 1. Greenovu formuli a \eqref{eq:energ4b}.
Ze základních předpokladů víme, že pro $i\in\hat m_0$ platí $q_i\ge 0$ a $p_i\ge
c_0>0$; odtud plyne, že
\begin{align*}
(qz,z)_h&=\sum_{i=1}^{m-1}hq_iz_i^2\ge 0,\\
(pz_{\bar x},z_{\bar x}]&=\sum_{i=1}^mhp_i\abs{z_{\bar x,i}}^2\ge
c_0\sum_{i=1}^m h\abs{z_{\bar x,i}}^2=c_0\rnor{z_{\bar x}}^2,
\end{align*}
a tudíž
\begin{equation}
\label{predenergetickanerovnost}
(\Psi_h,\,z)_h\ge c_0\rnor{z_{\bar x}}^2.
\end{equation}
 
\begin{remark}[Youngova nerovnost]
Buďte $a,\,b\in\mathbbm R$, $\epsilon>0$. Pak
    \[ab\le\frac{\epsilon}2\,a^2+\frac{1}{2\epsilon}\,b^2.\]
\begin{proof}
Za daných předpokladů je
\[0\le\left(\sqrt{\epsilon}a-\frac1{\sqrt{\epsilon}}\,b\right)^2=\epsilon
a^2+\frac1{\epsilon}\,b^2-2ab.\qed\]
\renewcommand{\qed}{}
\end{proof}
\end{remark}
 
Podle Schwarzovy a Youngovy nerovnosti je pro každé $\epsilon>0$
\[(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}
_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}_h^2.\]
Dosadíme-li do (\ref{predenergetickanerovnost}), máme s využitím lemmatu
\ref{sobolev2}
\[
c_0\rnor{z_{\bar
x}}^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac1{2\epsilon}\,\nor{z}
_h^2\le\frac{\epsilon}2\,\nor{\Psi_h}_h^2+\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}\,\rnor{z_{
\bar x}}^2.
\]
Chceme, aby platilo $\frac{(b-a)^2}{8\epsilon}=\frac{c_0}2$, a proto volíme
\[
\epsilon=\frac{(b-a)^2}{4c_0}.
\]
Pak dostaneme
\[
\frac{c_0}2\rnor{z_{\bar x}}^2\le\frac{(b-a)^2}{8c_0}\nor{\Psi_h}_h^2.
\]
Po úpravě obdržíme tzv. {\em energetickou nerovnost}
\[
\rnor{z_{\bar x}}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.
\]
 
\begin{remark}
S využítím lemmy \ref{sobolev1} plyne z předchozího vztahu odhad
\[
\frac4{b-a}\nor{z}_{h,0}^2\le\left(\frac{b-a}{2c_0}\right)^2\nor{\Psi_h}_h^2.
\]
Odtud
\[
\nor{z}_{h,0}\le\frac{(b-a)^{\frac32}}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.
\]
Z této nerovnosti vyplývá, že diferenční schéma \eqref{eq:energ2} je korektní (a
stabilní).
\end{remark}
 
\begin{remark}
Poslední nerovnost v předchozí poznámce jsme ovšem mohli získat též takto: Podle
(\ref{predenergetickanerovnost}) je
\[
c_0\rnor{z_{\bar x}}^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.
\]
Nyní využijeme lemmat \ref{sobolev1} a \ref{sobolev2}. Dostaneme
  \[c_0\frac{2}{\sqrt{b-a}}\frac{2}{b-a}\nor{z}_{h,0}\nor{z}_h\le
  \nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h,\]
odkud již plyne dotyčný odhad.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Ze vztahu (\ref{predenergetickanerovnost}) lze odvodit ještě jiný odhad. Podle
Schwarzovy nerovnosti je $(\Psi_h,\,z)_h\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h$ a podle
lemmatu \ref{sobolev2} zase $\rnor{z_{\bar x}}^2\ge\frac4{(b-a)^2}\nor{z}_h^2$.
Odtud
\[\frac{4c_0}{(b-a)^2}\nor{z}_h^2\le\nor{\Psi_h}_h\nor{z}_h.\]
Po vykrácení $\nor{z}_h$ dostáváme {\bf základní energetickou nerovnost}
\[\nor{z}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]
Z této nerovnosti plyne stabilita diferenčního schématu
\eqref{eq:energ2}: Uvažujme diferenční úlohy
\begin{align*}
  -(pu_{\bar x})_x+qu&=f,& -(pv_{\bar x})_x+qv&=g,\\
  u_0&=\gamma_1,& v_0&=\gamma_1,\\
  u_m&=\gamma_2,& v_m&=\gamma_2.
\end{align*}
Položíme-li $z=u-v$, $\Psi_h=f-g$, dostaneme odečtením těchto dvou úloh úlohu
\eqref{eq:energ4}, a proto platí
\[\nor{u-v}_h\le M\nor{f-g}_h,\]
kde
\[M=\frac{(b-a)^2}{4c_0}\]
je {\em konstanta stability}, jež nezávisí na $h$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
Z věty \ref{vetaoraduaproximace} víme, že $\lim\limits_{h\to
0+}\nor{\Psi_h}_h=0$. Odtud a z energetických nerovností plyne
\[\lim_{h\to 0+}\nor{u-\mathcal P_hy}_h=0,\]
tj. konvergence, neboť
\[\nor{u-\mathcal P_hy}_h\le\frac{(b-a)^2}{4c_0}\nor{\Psi_h}_h.\]
Navíc víme, že řád konvergence je stejný jako řád aproximace (tj. $O(h)$), neboť
konstanta v předchozím vztahu nezávisí na $h$.
\end{remark}
 
\subsubsection{Metoda energetických nerovností (obecný případ)}
Budeme se zabývat okrajovou úlohou
  \begin{equation}
    \label{eq:newton1}
    \begin{split}
      -y''&=f\quad\text{ na }\,(a,\,b),\\
      -y'(a)&=\beta_1 y(a)+\gamma_1,\\
      y'(b)&=\beta_2 y(b)+\gamma_2,
    \end{split}
  \end{equation}
kde $\beta_1,\,\beta_2<0$. Tuto úlohu nahradíme diferenčním schématem
  \begin{equation}
    \label{eq:newton2}
    \begin{split}
      -u_{\bar xx}&=f\quad\text{ na }\,\omega_h,\\
      -u_{x,0}&=\beta_1u_0+\gamma_1,\\
      u_{\bar x,m}&=\beta_2u_m+\gamma_2,
    \end{split}
  \end{equation}
jež můžeme přepsat jako
  \[
  \matice A_h\vec u=\vec\phi_h,
  \]
kde
  \[
  \matice A_h\vec u=
  \begin{pmatrix}
    \frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\\
    -(u_{\bar xx})_1\\
    -(u_{\bar xx})_2\\
    \vdots\\
    -(u_{\bar xx})_{m-1}\\
    \frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)
  \end{pmatrix},\quad
  \vec\phi_h=
  \begin{pmatrix}
    \frac2h\gamma_1\\
    f_1\\
    f_2\\
    \vdots\\
    f_{m-1}\\
    \frac2h\gamma_2
  \end{pmatrix}.
  \]
\begin{define}
  Na prostoru $\mathcal H_h$ zavádíme skalární součin $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$
předpisem
  \[[u,v]:=\sum_{i=1}^{m-1}hu_iv_i+\frac h2(u_0v_0+u_mv_m).\]
  Dále zavádíme normu $\lrnorm{\,\cdot\,}$ vztahem $\lrnorm{u}:=\sqrt{[u,u]}$.
\end{define}
\begin{remark}
Lze se přesvědčit, že norma $\lrnorm{\,\cdot\,}$ je konzistentní s $L^2$-normou.
\end{remark}
  \begin{lemma}
    Operátor $\A$ je v $[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$ samosdružený.
  \end{lemma}
  \begin{proof}
    Buďte $u,v:\overline\omega_h\rightarrow\mathbbm R$. Potom
    \[
    \begin{split}
      [u,\A v]&=(u,\A v)_h+\frac h2\left(u_0\frac2h(-v_{x,0}-\beta_1v_0)+
        u_m\frac2h(v_{\bar x,m}-\beta_2v_m)\right)=\\
&=(u,\,-v_{\bar xx})_h-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\
&=(u_{\bar x},\,v_{\bar x}]-u_mv_{\bar
x,m}+u_0v_{x,0}-u_0v_{x,0}-\beta_1u_0v_0+u_mv_{\bar x,m}-\beta_2u_mv_m=\\
&=(v_{\bar x},\,u_{\bar x}]-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\
&=v_mu_{\bar x,m}-v_0u_{\bar x,1}-(v,\,u_{\bar
xx})_h-\beta_1u_0v_0-\beta_2u_mv_m=\\
&=(v,\,-u_{\bar xx})_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{\bar
x,1}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\right)=\\
&=(\A u,v)_h+\frac h2\left(v_0\frac2h(-u_{x,0}-\beta_1u_0)+v_m\frac2h(u_{\bar
x,m}-\beta_2u_m)\right)=[\A u,v].\qed
    \end{split}
    \]
    \renewcommand{\qed}{}
  \end{proof}
  \begin{lemma}
    \label{energ_lemma2}
    Nechť $-\beta_1\ge c_1>0$ a $-\beta_2\ge c_1>0$. Pak $\A$ je
    pozitivně definitní a pro každou $u\in\mathcal H_h$ platí $[\A u,u]\ge
c(a,\,b)\lrnorm{u}^2$.
  \end{lemma}
  \begin{proof}
    Budeme postupovat jako v lemmatu \ref{sobolev1}. Víme, že
    \[u_k=u_0+\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i},\quad
    u_k=u_m-\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}.\]
    Odtud s využitím Youngovy a Schwarzovy nerovnosti dostáváme pro každé
$\epsilon>0$
    \[
    \begin{split}
      u_k^2&=u_0^2+2u_0\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}+
      \left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le
      (1+\epsilon)u_0^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)
      \left(\sum_{i=1}^k hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\
      &\le (1+\epsilon)u_0^2+
      \left(1+\frac1\epsilon\right)\sum_{i=1}^k h
      \sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2=
      (1+\epsilon)u_0^2+
      \left(1+\frac1\epsilon\right)kh
      \sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2.
    \end{split}
    \]
    Obdobně
    \[
    \begin{split}
      u_k^2&=u_m^2-2u_m\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}+
      \left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\
      &\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)
      \left(\sum_{i=k+1}^m hu_{\bar x,i}\right)^2\le\\
      &\le(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)
      \sum_{i=k+1}^m h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2=\\
      &=(1+\epsilon)u_m^2+\left(1+\frac1\epsilon\right)
      (m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2.
    \end{split}
    \]
    Celkem
    \[
    \begin{split}
      u_k^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+
      \frac{1+\frac1\epsilon}{2}\left(
        kh\sum_{i=1}^k h\abs{u_{\bar x,i}}^2+
        (m-k)h\sum_{i=k+1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2
      \right)\le\\
      &\le\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}
      (b-a)\sum_{i=1}^m h\abs{u_{\bar x,i}}^2,
    \end{split}
    \]
    neboť $kh\le mh=b-a$, $(m-k)h\le mh=b-a$. Dále platí
    \[
    \begin{split}
      \lrnorm{u}^2&=\nor{u}_h^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=
      \sum_{i=1}^{m-1}hu_i^2+\frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\
      &\le\sum_{i=1}^{m-1}h\left(   \frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{1+\frac1\epsilon}{2}     (b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2      \right)+\frac h2(u_0^2+u_m^2)=\\
      &=(m-1)h\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2}      \left(1+\frac1\epsilon\right)(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2+      \frac h2(u_0^2+u_m^2)\le\\
      &\le mh\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+\frac{(m-1)h}{2}      \frac{\epsilon+1}\epsilon(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2\le\\
&\le(b-a)\frac{1+\epsilon}2(u_0^2+u_m^2)+\frac{\epsilon+1}\epsilon\frac{(b-a)^2}2\rnor{u_{\bar x}}^2
    \end{split}
    \]
neboli
\begin{equation}
\label{pomocnetvrzeni2}
\rnor{u_{\bar
x}}^2+\frac\epsilon{b-a}(u_0^2+u_m^2)\ge\frac\epsilon{\epsilon+1}\frac2{(b-a)^2}
\lrnorm u^2.
\end{equation}
Nyní již bude důkaz hračkou. Je
    \begin{equation}
    \label{hracka}
    \begin{split}
      [\A u,u]&=(-u_{\bar xx},u)_h+
      \frac{h}2(-u_{x,0}-\beta_1u_0)\frac2hu_0+
      \frac{h}2(u_{\bar x,m}-\beta_2u_m)\frac2hu_m=\\
      &=\rnor{u_{\bar x}}^2+u_0u_{x,0}-u_mu_{\bar x,m}-u_0u_{x,0}-\beta_1u_0^2+
      u_mu_{\bar x,m}-\beta_2u_m^2=\\
      &=\rnor{u_{\bar x}}^2-\beta_1u_0^2-\beta_2u_m^2\ge
      \rnor{u_{\bar x}}^2+c_1(u_0^2+u_m^2).
    \end{split}
    \end{equation}
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$ v (\ref{pomocnetvrzeni2}), dostaneme
\[
[\A u,u]\ge\frac{c_1}{c_1(b-a)+1}\frac2{b-a}\lrnorm u^2.\qed
\]
\renewcommand{\qed}{}
  \end{proof}
  \begin{tvrz}
    Diferenční schéma \eqref{eq:newton2} je stabilní a jeho řešení konverguje k
řešení úlohy \eqref{eq:newton1} s řádem $\sqrt{h}$ v normě $\lrnorm{\,\cdot\,}$
a s řádem $h$ v normě $\nor{\,\cdot\,}_{h,0}$.
  \end{tvrz}
  \begin{proof}
Budeme postupovat podobně jako v úvodu odstavce \ref{pripaddirichlet}. Úlohu
\eqref{eq:newton1} zúžíme na síť a odečteme ji od úlohy \eqref{eq:newton2}. Tak
získáme soustavu rovnic
\begin{subequations}
\begin{align}
\label{prvnircenewton}
-u_{\bar xx}-\mathcal P_h(-y'')&=0,\\
\label{druharcenewton}
-u_{x,0}-(\mathcal P_h(-y'))_0&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0,\\
\label{tretircenewton}
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_h(y'))_m&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m.
\end{align}
\end{subequations}
Položme $L:y\mapsto-y''$, $L_h:u\mapsto-u_{\bar xx}$. Chyba aproximace je dána
\[
\Psi_h=\mathcal P_h(Ly)-L_h(\mathcal P_hy)=\mathcal P_h(-y'')+(\mathcal
P_hy)_{\bar xx}
\]
a je řádu $O(h^2)$. Rovnici (\ref{prvnircenewton}) tudíž můžeme přepsat jako
\[
-u_{\bar xx}+(\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h
\]
neboli
\[
-(u-\mathcal P_hy)_{\bar xx}=\Psi_h.
\]
Dále položme $l:y\mapsto(-y',\,y')$, $l_h:u\mapsto(-u_{x,0},\,u_{\bar x,m})$.
Chyby aproximace jsou dány
\begin{align*}
\Psi_{h,0}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_0=(\mathcal
P_h(-y'))_0+(\mathcal P_hy)_{x,0},\\
\Psi_{h,m}&=\left(\mathcal P_h(ly)-l_h(\mathcal P_hy)\right)_m=(\mathcal
P_h(y'))_m-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m},
\end{align*}
a jsou řádu $O(h)$. Nyní můžeme (\ref{druharcenewton}), (\ref{tretircenewton})
přepsat jako
\begin{align*}
-u_{x,0}+(\mathcal P_hy)_{x,0}&=\beta_1(u-\mathcal P_hy)_0+\Psi_{h,0},\\
u_{\bar x,m}-(\mathcal P_hy)_{\bar x,m}&=\beta_2(u-\mathcal P_hy)_m+\Psi_{h,m}.
\end{align*}
Položíme-li $z=u-\mathcal P_hy$, získáme soustavu rovnic
    \[
    \begin{split}
      -z_{\bar xx}&=\Psi_h,\\
      -z_{x,0}&=\beta_1z_0+\Psi_{h,0},\\
      z_{\bar x,m}&=\beta_2z_m+\Psi_{h,m}.
    \end{split}
    \]
To je ovšem diferenční schéma \eqref{eq:newton2}, jež můžeme maticově zapsat ve
tvaru
    \[\A z=
    \begin{pmatrix}
      \frac2h\Psi_{h,0}\\
      (\Psi_{h,i})_{i=1}^{m-1}\\
      \frac2h\Psi_{h,m}
    \end{pmatrix},
    \]
Podle předchozího lemmatu existuje $c>0$ tak, že
    \[\lrnorm{z}^2\le\frac1c[\A z,z]\le
    \frac1c\lrnorm{\A z}\lrnorm{z},\quad\forall z\in\mathcal H_h.\]
Odtud
    \[
    \begin{split}
\lrnorm{u-\mathcal P_hy}&=\lrnorm{z}\le\frac1c\lrnorm{\A z}=\\
      &=\frac1c
      \left(\sum_{i=1}^{m-1}h(\Psi_{h,i})^2+\frac{h}2
        \left(
          \frac4{h^2}\Psi_{h,0}^2+\frac4{h^2}\Psi_{h,m}^2
        \right)
      \right)^{\frac12}=O(h^{1/2}).
    \end{split}
    \]
 
    Podle definice je $\nor{u}_{h,0}=\max\limits_{i\in\hat m_0}\abs{u_i}$. Podle
důkazu lemmatu \ref{energ_lemma2} je
    \[
    u_k^2\le\frac{1+\epsilon}{2}(u_0^2+u_m^2)+    \frac{1+\frac1\epsilon}{2}(b-a)\rnor{u_{\bar x}}^2,
    \]
    a proto
    \[
    \begin{split}
\nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+\epsilon}{2}(z_0^2+z_m^2)+\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\rnor{z_{\bar x}}^2=\\
&=\frac{1+\epsilon}{2\epsilon}(b-a)\left[\frac\epsilon{b-a}(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right].
    \end{split}
    \]
Zvolíme-li $\epsilon=c_1(b-a)$, dostaneme s využitím (\ref{hracka})
    \[
    \begin{split}
      \nor{z}_{h,0}^2&\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[c_1(z_0^2+z_m^2)+\rnor{z_{\bar x}}^2\right]\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}[\A z,\,z]=\\
      &=\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\Psi_{h,i}z_i+\frac h2\left(\frac2h\Psi_{h,0}z_0+\frac2h\Psi_{h,m}z_m\right)\right]\le\\
      &\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]\nor{z}_{h,0}.
    \end{split}
    \]
    Odtud
    \[\nor{u-\mathcal Py}_{h,0}=\nor{z}_{h,0}\le\frac{1+c_1(b-a)}{2c_1}\left[\sum_{i=1}^{m-1}h\abs{\Psi_{h,i}}+\abs{\Psi_{h,0}}+\abs{\Psi_{h,m}}\right]=O(h).\qed\]
    \renewcommand{\qed}{}
  \end{proof}
 
\begin{remark}
Výsledkem realizace metody sítí pro jednorozměrné okrajové úlohy je soustava
$\A\vec u=\vec\phi$ s 3-diagonální maticí. K řešení takových soustav používáme
např. metodu faktorizace: Uvažme soustavu rovnic
\begin{align*}
u_0&=\kappa_1u_1+\mu_1,\\
A_iu_{i-1}-C_iu_i+B_iu_{i+1}&=-F_i,&i\in\widehat{m-1},\\
u_m&=\kappa_2u_{m-1}+\mu_2.
\end{align*}
Řešení hledejme rekurentně jako lineární kombinace
\begin{equation}
\label{linearnikombinace}
u_i=\alpha_{i+1}u_{i+1}+\beta_{i+1},\quad i=m-1,\,\hdots,\,0.
\end{equation}
Po dosazení do soustavy dostaneme
\begin{align*}
\alpha_1&=\kappa_1,&\beta_1&=\mu_1,\\
\alpha_{i+1}&=\frac{B_i}{C_i-\alpha_iA_i},&\beta_{i+1}&=\frac{\beta_iA_i+F_i}{C_i-\alpha_iA_i},&i\in\widehat{m-1}.
\end{align*}
Po vyčíslení těchto koeficientů můžeme vypočítat
\[
u_m=\frac{\mu_2+\kappa_2\beta_m}{1-\alpha_m\kappa_2}
\]
a další složky řešení počítáme podle (\ref{linearnikombinace}).
\end{remark}