01DIFRcviceni:Kapitola11: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Není zobrazena jedna mezilehlá verze od stejného uživatele.) | |||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
+ | %\wikiskriptum{01DIFRcviceni} | ||
\section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu} | \section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu} | ||
Řádka 16: | Řádka 17: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} - y = x^2 - x + 1 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 27: | Řádka 28: | ||
Podle kuchařky teď budeme tedy hledat polynom druhého stupně. Nula je nulanásobný kořen ( :-) ) polynomu P(x), takže | Podle kuchařky teď budeme tedy hledat polynom druhého stupně. Nula je nulanásobný kořen ( :-) ) polynomu P(x), takže | ||
$x^0 = 1$ se v rovnici nevyskytuje. Hledaný polnynom má obecný předpis tento: $ z(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \Longrightarrow | $x^0 = 1$ se v rovnici nevyskytuje. Hledaný polnynom má obecný předpis tento: $ z(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \Longrightarrow | ||
− | z | + | z^{\prime\prime} (x) = 2a$. Dosadíme do rovnice: |
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^{\prime\prime} - z = x^2 - x + 1 |
\end{math} | \end{math} | ||
Řádka 51: | Řádka 52: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} - 4y^\prime = - 12 x^2 + 6x - 4 |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 63: | Řádka 64: | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^\prime (x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^{\prime\prime} (x) = 6a \cdot x + 2b |
\end{math} | \end{math} | ||
Řádka 92: | Řádka 93: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} - 2y^\prime + y = 4 e^x |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 101: | Řádka 102: | ||
\begin{center} | \begin{center} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^\prime(x) = 2x A e^x + x^2 A e^x |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^{\prime\prime}(x) = A \Big( e^x \big( 2 + 2x \big) + e^x \big( 2x + x^2 \big) \Big) = A e^x \big( 2 + 4x + x^2 \big) |
\end{math} | \end{math} | ||
Řádka 128: | Řádka 129: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} - 3y^\prime = e^{3x} - 18x |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 148: | Řádka 149: | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^\prime (x) = A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) |
\end{math} | \end{math} | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^{\prime\prime} = 3A e^{3x} \big( 2 + 3x \big) |
\end{math} | \end{math} | ||
Řádka 188: | Řádka 189: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} - y = 2 \sin x - 4 \cos x |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 199: | Řádka 200: | ||
\begin{math} | \begin{math} | ||
− | z | + | z^{\prime\prime} (x) = -A \cos x - B \sin x |
\end{math} | \end{math} | ||
Řádka 218: | Řádka 219: | ||
\begin{displaymath} | \begin{displaymath} | ||
− | y | + | y^{\prime\prime} + y = 4x \cos x |
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
Řádka 248: | Řádka 249: | ||
y(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) + C_1 \cos x + C_2 \sin x | y(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) + C_1 \cos x + C_2 \sin x | ||
\end{displaymath} | \end{displaymath} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |
Aktuální verze z 13. 2. 2011, 20:41
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01DIFRcviceni
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceni | Admin | 13. 2. 2011 | 20:47 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:45 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Admin | 1. 8. 2010 | 02:34 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:33 | kapitola1.tex | ||
Kapitola2 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:35 | kapitola2.tex | ||
Kapitola3 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola3.tex | ||
Kapitola4 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:37 | kapitola4.tex | ||
Kapitola5 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:39 | kapitola5.tex | ||
Kapitola6 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:31 | kapitola6.tex | ||
Kapitola7 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:39 | kapitola7.tex | ||
Kapitola8 | editovat | Kubuondr | 16. 4. 2017 | 10:16 | kapitola8.tex | ||
Kapitola9 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:45 | kapitola9.tex | ||
Kapitola10 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:43 | kapitola10.tex | ||
Kapitola11 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola11.tex | ||
Kapitola12 | editovat | Admin | 13. 2. 2011 | 20:41 | kapitola12.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01DIFRcviceni} \section{Několik receptů jak hádat řešení LDR n-tého řádu} Jak z přednášky víme, řešení těchto rovnic je součtem jednoho konkrétního řešení (partikulárního řešení) a dalšího libovolného řešení rce bez pravé strany. Za jistých okolností ( v závislosti na tvaru rovnice a pravé strany ) se dá ale toto řešení docela snadno uhodnout. Nyní si ukážeme tři nejzákladnější, z nichž poslední v sobě zahrnuje dva předešlé. \subsection{Rovnice tvaru $L (y) = P (x)$} Požadavek: 0 \ldots k-násobný kořen polynomu P(x). Řešení budeme hledat ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot Q(x)$ kde Q(x) je polynom nejvýše stupně polynomu P(x). \subsubsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} - y = x^2 - x + 1 \end{displaymath} Tedy charakteristický polynom je: $\lambda ^2 - 1 = 0$. Proto můžu rovnou psát obecné řešení bez pravé strany jako: \begin{displaymath} y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x} \end{displaymath} Podle kuchařky teď budeme tedy hledat polynom druhého stupně. Nula je nulanásobný kořen ( :-) ) polynomu P(x), takže $x^0 = 1$ se v rovnici nevyskytuje. Hledaný polnynom má obecný předpis tento: $ z(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c \Longrightarrow z^{\prime\prime} (x) = 2a$. Dosadíme do rovnice: \begin{center} \begin{math} z^{\prime\prime} - z = x^2 - x + 1 \end{math} \begin{math} 2a - a \cdot x^2 - b \cdot x - c = x^2 - x + 1 \end{math} \end{center} Prostým porovnáním koeficientů zjišťujeme, že $a =-1; b = 1; c = -3$. Partikulární řešení tedy je: $z (x) = -x^2 + x -3$. Celkovým výsledkem tedy je: \begin{displaymath} y (x) = -x^2 + x - 3 + C_1 \cdot e^x + C_2 \cdot e^{-x} \end{displaymath} \subsubsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} - 4y^\prime = - 12 x^2 + 6x - 4 \end{displaymath} Charakteristický polynom tedy je: $\lambda ^2 - 4 \lambda = 0$. Tedy nula je jednonásobný kořen. Obecné řešení rce bez pravé strany je: $ y (x) = C_1 + C_2 \cdot e^4x$. Budu hledat partikulární řešení ve tvaru: \begin{center} \begin{math} z(x) = x \big( a \cdot x^2 + b \cdot x + c \big) \end{math} \begin{math} z^\prime (x) = 3a \cdot x^2 + 2b \cdot x + c \end{math} \begin{math} z^{\prime\prime} (x) = 6a \cdot x + 2b \end{math} dosadím: \begin{math} 6a \cdot x + 2b - 12 a \cdot x^2 - 8b -4c = -12x^2 + 6x -4 \end{math} \end{center} a opět porovnáním členů před mocninami x dostávám řešení: \begin{displaymath} y(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{4x} + x^3 + x \end{displaymath} \subsection{Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \cdot P (x)$} Nechť a \ldots k-násobný kořen charakteristického polynomu. Pak hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k \cdot e^{ax} \cdot Q(x)$ \subsubsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} - 2y^\prime + y = 4 e^x \end{displaymath} Stestavím char. polynom: $ \lambda ^2 - 2 \lambda + 1 = 0$, tedy $ \big( \lambda - 1 \big) ^2 = 0$. Kořenem je pouze $\lambda = 1$, jedná se o dvojnásobný kořen. Tedy řešení rce bez pravé strany je: $y(x) = C_1 \cdot e^x + C_2 x \cdot e^x $. Budu hledat řešení tvaru: $z(x) = x^2 A e^x$. \begin{center} \begin{math} z^\prime(x) = 2x A e^x + x^2 A e^x \end{math} \begin{math} z^{\prime\prime}(x) = A \Big( e^x \big( 2 + 2x \big) + e^x \big( 2x + x^2 \big) \Big) = A e^x \big( 2 + 4x + x^2 \big) \end{math} \begin{math} A e^x \big( x^2 + 4x +2 \big) - 2A e^x \big( x^2 + 2x \big) + x^2Ae^x = 4e^x \end{math} \begin{math} b = 2 \end{math} \end{center} Řešením tedy je: \begin{displaymath} y(x) = C_1 e^x + C_2 x e^x + 2x^2 e^x \end{displaymath} \subsubsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} - 3y^\prime = e^{3x} - 18x \end{displaymath} Tento příklad je trochu komplikovanější. Na pravé straně rovnice máme dva členy. Ale z přednášky víme, že bude stačit sečíst obě řešení jednotlivých případů. Začneme klasicky a prvně se mrkneme na exponencielu: \begin{center} \begin{math} F( \lambda ) : \lambda ^2 - 3 \lambda = 0 \Longrightarrow \lambda _1 = 0; \lambda _2 = 3 \end{math} \begin{math} y(x) = C_1 + C_2 e^{3x} \end{math} \begin{math} z(x) = Ax e^{3x} \end{math} \begin{math} z^\prime (x) = A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) \end{math} \begin{math} z^{\prime\prime} = 3A e^{3x} \big( 2 + 3x \big) \end{math} dosadím: \begin{math} 3Ae^{3x} \big( 2 + 3x \big) - 3 A e^{3x} \big( 1 + 3x \big) = e^3x \end{math} \begin{math} A = \frac{1}{3} \end{math} \begin{math} z(x) = C_1 + C_2 \cdot e^{3x} + \frac{1}{3} x e^{3x} \end{math} \end{center} A nyní už jen zbývá dopočítat zbylé řešení. Protože je to ale už ten předešlý případ, nechám dopočítání na Vás samotných. Celkové řešení rovnice je: \begin{displaymath} y(x) = 3x^2 + 2x + \frac{1}{3} x e^{3x} + C_1 + C_2 e^{3x} \end{displaymath} \subsection{ Rovnice tvaru $L (y) = e^{ax} \big\{ P_1 (x) \cos bx + P_2 (x) \sin bx \big\} $} Předpoklad: $a + ib \ldots$ k-násobný kořen $F( \lambda )$ Hledáme řešení ve tvaru: $z(x) = x^k e^{ax} \big\{ Q_1 (x) \cos bx + Q_2 (x) \sin bx \big\} $, kde $Q_1, Q_2$ jsou polynomy stejného stupně rovnému maximu stupňů polynomů $P_1, P_2$. \subsubsection*{Příklad č.1} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} - y = 2 \sin x - 4 \cos x \end{displaymath} Tedy víme, že: $y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$. Dále víme: $a=0, b=1$. Budeme tedy hledat řešení: \begin{center} \begin{math} z(x) = A \cos x + A \sin x \end{math} \begin{math} z^{\prime\prime} (x) = -A \cos x - B \sin x \end{math} \begin{math} -2A \cos x - 2B \sin x = 2 \sin x - 4 \cos x \end{math} \end{center} tedy víme: $A = 2, B = -1$. Můžu rovnou zapsat řešení jako: \begin{displaymath} y(x) = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + 2 \cos x - \sin x \end{displaymath} \subsubsection*{Příklad č.2} Řešte: \begin{displaymath} y^{\prime\prime} + y = 4x \cos x \end{displaymath} Dovolím si rovnou napsat fundamentální systém (ověřte): $ \big\{ e^{ix}, e^{-ix} \big\} $. Když víme, že: $e^{ix} = \cos x + i \sin x $, můžeme rovněž zapsat: \begin{center} \begin{math} Re \big( e^{ix} \big) = \cos x \end{math} \begin{math} Im \big( e^{ix} \big) = \sin x \end{math} \end{center} Můžu tedy sestavit reálný fundamentální systém: $ \big\{ \cos x ; \sin x \big\} $. Dále víme, že $a = 0, b = 1$, takže budu hledat: \begin{center} \begin{math} z(x) = x \Big\{ \big( A_1x + B_1 \big) \sin x + \big( A_2 x + B_2 \big) \cos x \Big\} \end{math} \end{center} Dopočítání nechám na Vás samotných. Vyjde to: $ z(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) $. Tedy celkové řešení je: \begin{displaymath} y(x) = x \big( x \sin x + \cos x \big) + C_1 \cos x + C_2 \sin x \end{displaymath}