01RMF:Kapitola2: Porovnání verzí

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
m
 
(Není zobrazeno 158 mezilehlých verzí od 4 dalších uživatelů.)
Řádka 1: Řádka 1:
%\wikiskriptum{01RMF}
+
%\wikiskriptum{01RMF}
  
  
Řádka 32: Řádka 32:
  
 
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $.  
 
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $.  
 +
 +
S pomocí multiindexu pak můžeme psát
 +
$x^{\alpha} =x^{\alpha_1}_1 x^{\alpha_2}_2 \cdots x^{\alpha_n}_n$.
  
 
Definujme rovněž operátor  
 
Definujme rovněž operátor  
 
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
 
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
 +
 
\end{define}
 
\end{define}
  
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje  
 
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje  
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,  
+
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,  
 
právě když  
 
právě když  
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. \left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
+
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. \left( \exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$\footnote{symbolem $B_R(0)$ značíme otevřenou kouli se středem v bodě 0 a poloměrem R};
 
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$.  
 
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$.  
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 68: Řádka 72:
  
 
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.  
 
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci.  
$$ \left(\forall \phi \in \D(R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0). $$
+
$$ \left(\forall \phi \in \D(\R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0). $$
 
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
 
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
Řádka 81: Řádka 85:
 
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,  
 
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$,  
 
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$  
 
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$  
je totiž testovací, neboť její nosič je pouze sjednocením nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
+
je totiž testovací, neboť její nosič je pouze podmnožinou sjednocení nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
Pak z toho, že posloupnost konverguje plyne, že  
+
Pak z toho, že posloupnost konverguje, plyne, že  
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
\item  $\left( $\exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
+
\item  $\left( \exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
\item $\forall \aplha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$.  
+
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$.  
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
  
Řádka 114: Řádka 118:
  
 
\begin{define}
 
\begin{define}
O~zobencněné funkci $\tilde{f}$ řekneme, že je {\bf regulární zobecněnou funkcí}, ozn. $\tilde{f} \in \D'_{reg}$, pokud existuje klasická funkce~$f$~taková,  
+
O~zobecněné funkci $\tilde{f}$ řekneme, že je {\bf regulární zobecněnou funkcí}, ozn. $\tilde{f} \in \D'_{reg}$, pokud existuje klasická funkce~$f\in L^1_{loc}$~taková,  
 
že $(\tilde{f},\phi) := \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \phi (x) \dd x \: \forall \phi \in \D  $. Klasickou funkci~$f$~pak nazýváme {\bf generátorem zobecněné funkce~$~\tilde{f}$}.
 
že $(\tilde{f},\phi) := \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \phi (x) \dd x \: \forall \phi \in \D  $. Klasickou funkci~$f$~pak nazýváme {\bf generátorem zobecněné funkce~$~\tilde{f}$}.
 
\end{define}
 
\end{define}
  
V následující části se budeme věnovat diskusi ohledně jednoznačnosti přiřazení klasické funkci zobecněnou regulární funkci, tj. bude nás zajímat, jestli je možné ke každé regulární  
+
V následující části se budeme věnovat diskusi jednoznačnosti přiřazení klasické funkci regulární zobecněnou  funkci, tj. bude nás zajímat, jestli je možné ke každé regulární  
zobecněné funkci $\tilde{f}$ najít klasickou funkci $f$. Obráceně to jde, jak je vidno z definice regulární zobecněné funkce. Vyslovíme obecnou větu, kterou nedokážeme v plné obecnosti. Dokážeme její důsledek ( ten je ale v~podstatě totožný s~tvrzením věty) a se zesílenými předpoklady. Zájemci o~důkaz věty v~plném znění jej naleznou ve skriptech prof. Šťovíčka. Než ale větu vyslovíme a dokážeme,  
+
zobecněné funkci $\tilde{f}$ najít klasickou funkci $f$. Obráceně to jde, jak je vidno z definice regulární zobecněné funkce. Vyslovíme obecnou větu, kterou nedokážeme v plné obecnosti. Dokážeme její důsledek (ten je ale v~podstatě totožný s~tvrzením věty) a se zesílenými předpoklady. Zájemci o~důkaz věty v~plném znění jej naleznou ve [Šťovíček]. Než ale větu vyslovíme a dokážeme,  
 
připravíme si dvě lemmata a~jeden výsledek z~funkcionální analýzy, které pak pro její důkaz využijeme:  
 
připravíme si dvě lemmata a~jeden výsledek z~funkcionální analýzy, které pak pro její důkaz využijeme:  
 
   
 
   
Řádka 141: Řádka 145:
 
\item $M=\H$, pak $\langle a,h \rangle = 0$ pro libovolné $h\in \H$ a~tedy i~pro $h=a$. Pak ale $\langle a,a \rangle = 0$~a odtud~z~positivní definitnosti skalárního součinu plyne, že $a =0 $~v~$\H$.
 
\item $M=\H$, pak $\langle a,h \rangle = 0$ pro libovolné $h\in \H$ a~tedy i~pro $h=a$. Pak ale $\langle a,a \rangle = 0$~a odtud~z~positivní definitnosti skalárního součinu plyne, že $a =0 $~v~$\H$.
 
\item $M\subset \H, \ \overline {M} = \H$. Tato vlastnost implikuje, že pro libovolné $h \in \H$ existuje $\{b_n \}_{n\in\mathbb{N}} \subset M $ taková, že $b_n \to h \in \H$.
 
\item $M\subset \H, \ \overline {M} = \H$. Tato vlastnost implikuje, že pro libovolné $h \in \H$ existuje $\{b_n \}_{n\in\mathbb{N}} \subset M $ taková, že $b_n \to h \in \H$.
Pak $\forall n \in\mathbb{N} $ máme $0=\langle a,b_n\rangle \stackrel{\mbox{\scriptsize \ref{L1}}{\longrightarrow} \langle a, \lim b_n \rangle = \langle a,h \rangle$ pro libovolné $h\in \H$.
+
Pak $\forall n \in\mathbb{N} $ máme pro libovolné $h\in \H$
Zde již využijeme první část a máme tvrzení dokázáno.   
+
$$0=\langle a,b_n \rangle \longrightarrow \langle a, \lim b_n \rangle = \langle a, h \rangle.$$  
 +
Zde využíváme předešlého lemmatu a první části důkazu tohoto lemmatu - s jejich  máme tvrzení dokázáno.   
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
 
\end{proof}
 
\end{proof}
Řádka 161: Řádka 166:
 
Buďte $f\in L^2(\R^n)$ a~$\tilde{f} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n $.  
 
Buďte $f\in L^2(\R^n)$ a~$\tilde{f} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n $.  
 
\begin{proof}
 
\begin{proof}
Klasicky dokážeme dvě implakce
+
Klasicky dokážeme dvě implikace
 
\begin{enumerate}
 
\begin{enumerate}
 
\item[$\Leftarrow$] Triviální
 
\item[$\Leftarrow$] Triviální
Řádka 175: Řádka 180:
 
\item Tato věta nám dává odpověď na otázku, jaká je souvislost mezi zobecněnými funkcemi a~klasickými funkcemi a~umožňuje  
 
\item Tato věta nám dává odpověď na otázku, jaká je souvislost mezi zobecněnými funkcemi a~klasickými funkcemi a~umožňuje  
 
zahrnout klasické funkce do funkcí zobecněných, resp. je takto elegantně propojit. Toto nás tudíž opravňuje vynechávat vlnku ve značení  
 
zahrnout klasické funkce do funkcí zobecněných, resp. je takto elegantně propojit. Toto nás tudíž opravňuje vynechávat vlnku ve značení  
a~má smysl si například klást otázku, zda $x^n \in \D'$. Odpověď je ano, protože $x^n$ je spojitá funkce, tedy $x^n \in L^1_{loc}$ a~tedy $x^n \in \D'$.
+
a~má smysl si například klást otázku, zda $x^n \in \D'$. Odpověď je ano, protože $x^n$ je spojitá funkce, tedy $x^n \in L^1_{loc}$, a~tedy $x^n \in \D'$.
 
\item Máme $\tilde{f} = \tilde{g}$ v $\D'$ definovanou jako $(f,\phi) = (g,\phi) \: \forall \phi \in \D$. Nyní jsme k tomuto navíc ukázali, že  
 
\item Máme $\tilde{f} = \tilde{g}$ v $\D'$ definovanou jako $(f,\phi) = (g,\phi) \: \forall \phi \in \D$. Nyní jsme k tomuto navíc ukázali, že  
 
$\forall \tilde{f}, \tilde{g} \in \D'_{reg}$ platí, že $(\tilde{f},\phi) = (\tilde{g},\phi) \Rightarrow \tilde{f} = \tilde{g} \mbox{ v } \D'$, ale i~fakt, že~$f=g \mbox{ v } L^2.$
 
$\forall \tilde{f}, \tilde{g} \in \D'_{reg}$ platí, že $(\tilde{f},\phi) = (\tilde{g},\phi) \Rightarrow \tilde{f} = \tilde{g} \mbox{ v } \D'$, ale i~fakt, že~$f=g \mbox{ v } L^2.$
Tímto jsme zobecnili pojem \uv{rekonstrukce funkce z testovací funkce}
+
Tímto jsme zobecnili pojem \uv{rekonstrukce funkce z testovací funkce}.
 
\item Velikost množiny $\D$ je zásadní. Zkuste si vzít za prostor $\D$ např. množinu všech konstantních funkcí a provést naši konstrukci znova.  
 
\item Velikost množiny $\D$ je zásadní. Zkuste si vzít za prostor $\D$ např. množinu všech konstantních funkcí a provést naši konstrukci znova.  
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
Řádka 184: Řádka 189:
  
 
\subsection{Příklady}
 
\subsection{Příklady}
Na cvičeních jsme ukázali, že funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} \exp\left(-\displaystyle \frac{4}{1-\left(\frac{x}{n} \right)^2}\right), &\mbox{pro } x\in\left[-a,a\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro ostatní } x. \end{array}\right $  
+
Na cvičeních jsme ukázali, že funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} \exp\left(-\displaystyle \frac{4}{1-\left(\frac{x}{a} \right)^2}\right), &\mbox{pro } x\in\left[-a,a\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro ostatní } x. \end{array}\right $  
 
je testovací funkcí. Podívejme se, jak se chová integrál  
 
je testovací funkcí. Podívejme se, jak se chová integrál  
$\displaystyle \int^x_{+\infty}\phi_{\left[-a,a\right]}(y) \dd y$. Tato nová funkce od x je až do $-a$ nulová a od $a$ konstantní.  
+
$\displaystyle \int^x_{-\infty}\phi_{\left[-a,a\right]}(y) \dd y$. Tato nová funkce od x je až do $-a$ nulová a od $a$ konstantní.  
 
Zaveďme jistou speciální funkci:
 
Zaveďme jistou speciální funkci:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Řádka 192: Řádka 197:
 
$$\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } x\geq0, \\[.2em] 0, &\mbox{pro } x<0. \end{array}\right.$$
 
$$\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } x\geq0, \\[.2em] 0, &\mbox{pro } x<0. \end{array}\right.$$
 
\end{define}
 
\end{define}
Definujeme-li ještě opraci konvoluce funkcí, můžeme použít pro náš integrál elegantní zápis.  
+
Definujeme-li ještě operaci konvoluce funkcí, můžeme použít pro náš integrál elegantní zápis.  
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buďte $f,g$ klasické funkce integrabilní s kvadrátem. Pak {\bf konvolucí funkcí $f$ a $g$}, kterou označujeme $f\ast g$, rozumíme
 
Buďte $f,g$ klasické funkce integrabilní s kvadrátem. Pak {\bf konvolucí funkcí $f$ a $g$}, kterou označujeme $f\ast g$, rozumíme
$f \ast g := \displaystyle \int_{\R} f(y) g(x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R}g(y)f(x-y) \dd y. $$
+
$(f \ast g)(x) := \displaystyle \int_{\R} f(y) g(x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R}g(y)f(x-y) \dd y. $$
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
\begin{remark}
 +
O konvoluci a jejím korektním zavedení bude řeč později.
 +
\end{remark}
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Konvoluce funkce a Heavisideovy funkce je vlastně \uv{vyhlazením} Heavisideovy funkce danou funkcí.
 
Konvoluce funkce a Heavisideovy funkce je vlastně \uv{vyhlazením} Heavisideovy funkce danou funkcí.
Řádka 214: Řádka 222:
 
\item Zobecnění Diracovy $\delta$-funkce do $\R^n$  
 
\item Zobecnění Diracovy $\delta$-funkce do $\R^n$  
 
\begin{define}
 
\begin{define}
Nechť je $S$ je po částech hladká nadplocha v $\R^n$ a $\nu(x)$ je funkce spojitá na $S$. Definujme  
+
Nechť $S$ je po částech hladká nadplocha v $\R^n$ a $\nu(x)$ je funkce spojitá na $S$. Definujme  
$$\left( \nu \delta_S , \phi \right):= \displaystyle \int_S \nu(x)\phi(x) \dd S \: \forall \phi \in \D.$$
+
$$\left( \nu \delta_S , \phi \right):= \displaystyle \int_S \nu(x)\phi(x) \dd S \quad \forall \phi \in \D.$$
 
Funkcionál $\nu\delta_S$ nazýváme {\bf jednoduchou vrstvou}.  
 
Funkcionál $\nu\delta_S$ nazýváme {\bf jednoduchou vrstvou}.  
 
\end{define}
 
\end{define}
Řádka 232: Řádka 240:
 
\end{enumerate}
 
\end{enumerate}
  
Zabývejme se nyní otázkou, jestli jsou veškeré rozbecněné funkce zobecněnými regulárními funkcemi, ekvivalentně jestli je množina $\D' \backslash \D'_{reg}$ neprázdná.  
+
Zabývejme se nyní otázkou, jestli jsou veškeré zobecněné funkce zobecněnými regulárními funkcemi, ekvivalentně jestli je množina $\D' \backslash \D'_{reg}$ neprázdná.  
 
Pokud nějaká taková zobecněná funkce existuje, nazvěme ji {\it singulární zobecněnou funkcí}.
 
Pokud nějaká taková zobecněná funkce existuje, nazvěme ji {\it singulární zobecněnou funkcí}.
  
Řádka 246: Řádka 254:
 
\end{theorem}
 
\end{theorem}
  
\section{Základní operace v $\D'$}
+
\section{Zavedení základních operací v $\D'$}
 
Cílem této části bude zavést operace na prosotru $\D'$ tak, aby co nejvíce odpovídaly operacím na prostoru klasických funkcí. Například nás bude zajímat,  
 
Cílem této části bude zavést operace na prosotru $\D'$ tak, aby co nejvíce odpovídaly operacím na prostoru klasických funkcí. Například nás bude zajímat,  
 
jestli je možné zaměnit derivaci v~$\D$ a~v~$\D'$.  
 
jestli je možné zaměnit derivaci v~$\D$ a~v~$\D'$.  
 
\subsection{Derivace v $\D'$}
 
\subsection{Derivace v $\D'$}
Budeme chtít, aby bylo jedno, jestli funkci $f$ nejdříve zderivuji (v $\D$) a~pak z~ní vytvořím  
+
Budeme chtít, aby bylo jedno, jestli funkci $f$ nejdříve zderivuji (jako klasickou funkci) a~pak z~ní vytvořím  
 
zobecněnou funkci $\widetilde{f'}$, nebo jestli nejprve vytvoříme z klasické funkce $f$ funkci zobecněnou $\tilde{f}$ a~tu zderivujeme v $\D'$,  
 
zobecněnou funkci $\widetilde{f'}$, nebo jestli nejprve vytvoříme z klasické funkce $f$ funkci zobecněnou $\tilde{f}$ a~tu zderivujeme v $\D'$,  
 
tj. chceme, aby platilo, že $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$.  
 
tj. chceme, aby platilo, že $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$.  
Řádka 272: Řádka 280:
 
\item[{\it Linearita:}] Buďte $ \phi, \psi \in \D(\R)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak  
 
\item[{\it Linearita:}] Buďte $ \phi, \psi \in \D(\R)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak  
 
$$ \left(f',\phi + \alpha \psi \right) = - \left(f, \left(\phi + \alpha \psi \right)'\right) = -\left(f,\phi' \right) -\alpha \left(f,\psi'\right) = \left(f',\phi\right) + \alpha \left(f',\psi\right)$$
 
$$ \left(f',\phi + \alpha \psi \right) = - \left(f, \left(\phi + \alpha \psi \right)'\right) = -\left(f,\phi' \right) -\alpha \left(f,\psi'\right) = \left(f',\phi\right) + \alpha \left(f',\psi\right)$$
Při dokazování jsme využili nejprve definici derivace v~$D'(R)$ a~následněě faktu, že $f$~je zobecněná.  
+
Při dokazování jsme využili nejprve definici derivace v~$\D'(\R)$ a~následně faktu, že $f$~je zobecněná.  
 
\item[{\it Spojitost:}] Nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$. Pak chceme ukázat, že $\left(f', \phi_n\right) \to \left(f',0\right) = 0$ v~$\mathbb{C}$. Proto
 
\item[{\it Spojitost:}] Nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$. Pak chceme ukázat, že $\left(f', \phi_n\right) \to \left(f',0\right) = 0$ v~$\mathbb{C}$. Proto
 
$$ \limits \lim_{n \to +\infty} \left(f', \phi_n \right) = \limits \lim_{n \to +\infty}\left[  -\left(f, \phi'_n\right)\right] = (f, \underbrace{\limits \lim_{n \to +\infty} \phi'_n}_{0}) = 0$$
 
$$ \limits \lim_{n \to +\infty} \left(f', \phi_n \right) = \limits \lim_{n \to +\infty}\left[  -\left(f, \phi'_n\right)\right] = (f, \underbrace{\limits \lim_{n \to +\infty} \phi'_n}_{0}) = 0$$
Řádka 296: Řádka 304:
  
 
{\bf Příklad}
 
{\bf Příklad}
Najděte $\vert x \vert '$ v $\D'(\R)$. Zjevně hledáme zobecněnou funkci $f$ takovou, že \left($\vert x \vert ', \phi \right) = \left (f, \phi \right)$ pro všechny $\phi \in \D$.  
+
Najděte $\vert x \vert '$ v $\D'(\R)$. Zjevně hledáme zobecněnou funkci $f$ takovou, že $\left( \vert x \vert ', \phi \right) = \left(f, \phi \right)$ pro všechny $\phi \in \D$.  
Nejprve se přesvědčíme, že notace $\vert x \vert '$ dává dobrý smysl. Zjevně ano, protože $\vert x \vert \in \D'$, což plyne z faktu, že $\vert x \vert $ je jako klasická funkce lokálně integrabilní na $\R$.  
+
Nejprve se přesvědčíme, že notace $\vert x \vert '$ dává dobrý smysl. Zcela jistě ano, protože $\vert x \vert \in \D'$, což plyne z faktu, že $\vert x \vert $ je jako klasická funkce lokálně integrabilní na $\R$.  
 
Nyní již hledejme funkci $f$:\footnote{V tomto příkladu budeme pro větší přehlednost používat označení vlnkou pro zobecněnou funkci vytvořenou z~lokálně integrabilní funkce.}
 
Nyní již hledejme funkci $f$:\footnote{V tomto příkladu budeme pro větší přehlednost používat označení vlnkou pro zobecněnou funkci vytvořenou z~lokálně integrabilní funkce.}
 
$$\left( \widetilde{\vert x \vert} ' , \phi(x) \right) = - \left( \widetilde{\vert x \vert}, \phi'(x) \right) = - \displaystyle \int_\R \!\vert x \vert \phi'(x) \dd x =  
 
$$\left( \widetilde{\vert x \vert} ' , \phi(x) \right) = - \left( \widetilde{\vert x \vert}, \phi'(x) \right) = - \displaystyle \int_\R \!\vert x \vert \phi'(x) \dd x =  
Řádka 308: Řádka 316:
 
\begin{define}
 
\begin{define}
 
Buď $f\in \D'$, dále $\A \in \R^{n,n}$ regulární matice a $\bb \in \R^n$ vektor. Pak definujeme {\bf regulární lineární transformaci $g^{f}_{\A, \bb}$ } zobecněné funkce $f$ vztahem:  
 
Buď $f\in \D'$, dále $\A \in \R^{n,n}$ regulární matice a $\bb \in \R^n$ vektor. Pak definujeme {\bf regulární lineární transformaci $g^{f}_{\A, \bb}$ } zobecněné funkce $f$ vztahem:  
$$\left(g^{f}_{\A, \bb}, \phi \right) := \left( \phi, \psi^{\phi}_{\A, \bb} \right). $$
+
$$\left(g^{f}_{\A, \bb}, \phi \right) := \left( f, \psi^{\phi}_{\A, \bb} \right). $$
 
Přičemž $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) := \frac{1}{\vert \det \A \vert}\phi\left(\A^{-1}(x-b)\right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
 
Přičemž $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) := \frac{1}{\vert \det \A \vert}\phi\left(\A^{-1}(x-b)\right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
 
\end{define}
 
\end{define}
 +
 
\begin{remark}
 
\begin{remark}
 
Tato definice je korektní, neboť $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) \in \D \Leftrightarrow \phi \in \D$. Tato transformace funkce $\phi$ neovlivní její hladkost a~support se jen regulárně transformuje,  
 
Tato definice je korektní, neboť $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) \in \D \Leftrightarrow \phi \in \D$. Tato transformace funkce $\phi$ neovlivní její hladkost a~support se jen regulárně transformuje,  
Řádka 318: Řádka 327:
 
Obvykle se tato transformace zapisuje ale poněkud odlišně:  
 
Obvykle se tato transformace zapisuje ale poněkud odlišně:  
 
$$ \left( f (\A x+\bb), \phi(x) \right):=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right).$$
 
$$ \left( f (\A x+\bb), \phi(x) \right):=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right).$$
Tato notace je rozumná, jen je třeba si uvědomit, že zobecněná funkce $f\in \D'$ nemá argument $x$, ale jistou funkci! V následujícím odstavci pochopíme, proč se tato notace používá a~že je vlastně velmi přirozená. Naším cílem je totiž získat zobecněnou funkci takovou, aby $\wildetilde{f(\A x+\bb)} = \tilde{f}(\A x+\bb)$.  
+
\end{remark}
Z této podmínky pak totiž dostaneme:
+
Tato notace je rozumná, jen je třeba si uvědomit, že zobecněná funkce $f\in \D'$ nemá argument $x$, ale jistou funkci! V následujícím odstavci pochopíme, proč se tato notace používá a~že je vlastně velmi přirozená. Naším cílem je totiž získat zobecněnou funkci takovou, aby $\widetilde{f(\A x+\bb)} = \tilde{f}(\A x+\bb)$.  
$$ \left(\tilde{f}(\A x+\bb), \phi(x) \right) = \left(\wildetilde{f(\A x+\bb}, \phi(x) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(\A x+\bb)\phi(x) \dd x = \left{  
+
Z~této podmínky pak totiž dostaneme:
 +
$$ \left(\tilde{f}(\A x+\bb), \phi(x) \right) = \left(\wildetilde{f(\A x+\bb)}, \phi(x) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(\A x+\bb)\phi(x) \dd x = \left\{  
 
\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize transformace} \\  
 
\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize transformace} \\  
 
y = \A x + \bb  \\
 
y = \A x + \bb  \\
Řádka 326: Řádka 336:
 
\vert \mathcal{J} \vert = \frac{1}{\vert \det \A \vert}\\
 
\vert \mathcal{J} \vert = \frac{1}{\vert \det \A \vert}\\
 
\end{array}
 
\end{array}
\right} =$$
+
\right\} =$$
 +
$$ = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \displaystyle \int_{\R^n} f(y) \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \dd y = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left(\tilde{f}(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right). $$
 +
Opět ověříme, že regulární transformace je operace, která zobecněnou funkci zobrazuje na zobecněnou funkci.
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $f \in \D'$. Pak $f(\A x+\bb) \in \D'$.
 +
\begin{proof}
 +
Opět stačí ověřit tři podmínky.
 +
\begin{enumerate}
 +
\item[{\it Funkcionál:}] zřejmé;
 +
\item[{\it Linearita:}] opět zřejmá, plyne z linearity $f$;
 +
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) \to 0$. Tedy
 +
$$\limits \lim_{n \to + \infty} \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) = \limits \lim_{n \to + \infty}  \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right) = $$
 +
$$=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \underbrace{\limits \lim_{n \to + \infty}\phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)}_{=0} \right) = 0. $$
 +
V první rovnosti jsme jen použili definici, ve druhé jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a~faktu, že pokud $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,
 +
tak i~$\psi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,kde $\psi_n = \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)$. V~další se pak jen využije stejnoměrné konvergence funkcí $\phi_n$ k nule.
 +
Odtud již plyne bodová konvergence k nule a~poslední rovnost je důsledkem linearity $f. $
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
Tímto jsme získali zajímavý nástroj, pomocí kterého můžeme zkoumat např. posunutí zobecněných funkcí (to se děje volbou jednotkové matice $\A$).
 +
Rovněž sudost a lichost zobecněných funkcí lze takto vyšetřovat. Toto si ukážeme na následujícím příkladu, kde určíme, jestli je Diracova funkce sudá.
 +
 
 +
{\bf Příklad}
 +
Je Diracova funkce sudá, tj. platí, že $\delta(-x) = \delta(x)$ v $\D'$?
 +
 
 +
Vyjdeme z~rovnosti v~$\D'$, tj. ověřujeme,  zda platí, že $(\delta(x), \phi(x) ) = (\delta(-x), \phi(x) )$.
 +
Upravujeme nejprve levou stranu výrazu:
 +
$$(\delta(x), \phi(x) ) \stackrel{\A = \mathbb{I},\\ \bb = 0}{=} (\delta, \phi) = \phi(0) $$
 +
Nyní upravíme pravou stranu a využijeme toho, že tentokrát je $\A = -\mathbb{I}$ a $\bb=0$.
 +
$$(\delta(-x), \phi(x) ) = \frac{1}{1} (\delta(x), \underbrace{\phi(-x)}_{\psi(x)}) = (\delta, \psi) = \psi(0) = \phi(0).$$
 +
Tímto je dokázáno, že Diracova funkce je sudá funkce.
 +
 
 +
\subsection{Násobení hladkou funkcí v $\D'$}
 +
Opět bychom chtěli vytvořit operaci násobení hladkou funkcí, která by pro $a\in \Ci$ a $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ splňovala následující: $\tilde{a}\cdot\tilde{f} = \widetilde{a \cdot f}$.
 +
Z této podmínky dostáváme:
 +
$$\left(\tilde{a}\cdot\tilde{f}, \phi \right) = \left(\widetilde{a \cdot f}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} a(x)f(x)\phi(x) \dd x = 
 +
\displaystyle \int_{\R} f(x)\underbrace{a(x)\phi(x)}_{\in \D} \dd x = \left(\tilde{f}, a\phi \right).$$
 +
Z tohoto důvodu jsme při zavedení testovacích funkcí diskutovali možnost jejich násobení hladkou funkcí.
 +
\begin{define}
 +
Buď $a\in \Ci$ a $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a nechť $f\in \D'$. Pak definujeme $\left(\tilde{a}\cdot f, \phi \right) : = \left( f, a\phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
 +
\end{define}
 +
Není možné zeslabit předpoklad na $a \in \Ci$, kvůli požadavku, aby $a\phi \in \D$. Z~tohoto důvodu není možné například vynásobit dvě Diracovy funkce.
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a $a\in \Ci$ a nechť $f \in \D'$. Pak $\tilde{a}\cdot f \in \D'$.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz je v~podstatě identický jako u předchozích operací a~čtenář si jej může provést sám jako domácí cvičení.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\section{Vlastnosti operací v $\D'$}
 +
V~této sekci se budeme zabývat vlastnostmi operací nad prostorem zobecněných funkcí. Ukážeme si, že nad prostorem zobecněných funkcí lze formulovat podobné věty jako v~matematické analýze
 +
(např. věty o~záměně) a~že se tyto věty dají formulovat oproštěné od veškerých sáhodlouhých předpokladů a~rovněž jejich důkazy jsou vyloženě triviální.
 +
\subsection{Limita v $\D'$}
 +
Nejprve ještě definujeme pojem intuitivní, ale dosud korektně neformulovaný:
 +
\begin{define}
 +
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí. Řekneme, že
 +
{\bf posloupnost zobecněných funkcí $f_n$ konverguje v $\D'$ k zobecněné funkci $f \in \D'$}, ozn. $f_n \to f$, právě tehdy když $\forall \phi \in \D$ platí,
 +
že $(f_n,\phi) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost.
 +
\end{define}
 +
Když známe pojem konvergence, můžeme zavést i pojem limity v $\D'$ (jedná se téměř o totéž)
 +
\begin{define}
 +
Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že
 +
{\bf limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$}, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když
 +
$\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{theorem}[o záměně limity a derivace]
 +
Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$. Pak $\left (\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n\right)' = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (f_n)'$ v $\D'$.
 +
\begin{proof}
 +
Zvolme libovolnou $\phi \in \D$. Pak
 +
$$ \left((\lim_{n \to + \infty} f_n)', \phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=} - \left(\lim_{n \to + \infty} f_n, \phi' \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=}
 +
- \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f_n,\phi '\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=}$$
 +
$$= \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f'_n,\phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \left(\lim_{n \to + \infty} f'_n, \phi \right)$$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
Na následujícím příkladu si ukážeme užitečnost této věty.
 +
 
 +
{\bf Příklad}
 +
Vypočtěte limitu $\displaystyle  \lim_{n \to +\infty} \cos nx$ v $\D'$. Zjevně má smysl se zabývat touto otázkou, neboť $\cos nx \in L^1_{loc}$.
 +
Pokud se pokusíme tuto limitu počítat z definice, brzy narazíme na integrál, který nebudeme schopni spočítat. Proto se nejprve zabývejme
 +
následující limitou v $\D'$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sin nx$.
 +
$$\left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}, \phi(x) \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \limits \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx, \phi(x) \right) =
 +
\limits \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{n} \sin nx \phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize záměna}}{=} \displaystyle \int_{\R} 0 \dd x = 0$$
 +
Odtud vidíme, že $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \sin nx = 0$. Proto nyní využijeme věty, kterou jsme dokázali, a s její pomocí máme
 +
$$0= \left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}\right)' \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta}} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx\right)' = \lim_{n \to +\infty}
 +
\cos nx $$
 +
Tímto jsme vypočítali limitu, kterou bychom jinak spočíst nedokázali. Je vhodné si povšimnout, že v poslední úpravě jsme využili naší definice derivace a faktu, že $\sin nx \in L^1_{loc}$.
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
Buďte $\{f_n \}_{n\in \mathbb{N}}, \{g_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D'$ a nechť jsou $f,g \in \D'$ takové, že $f_n \to f$ a $g_n \to g$. Pak
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $f_n + g_n \to f+g \mbox{ v } \D'$;
 +
\item $\tilde{a}\cdot f_n \to \tilde{a} \cdot f \mbox{ pro libovolnou } a\in \D'_{reg}, a\in \Ci$;
 +
\item $f'_n \to f'$;
 +
\item $f_n(\A x + \bb) \to f(\A x + \bb)$.
 +
\end{enumerate}
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz je ponechán čtenáři jako cvičení. Princip důkazu je ale vždy stejný. Jen se dle definice rozepíše levá strana a její působení na funkci $\phi$ a následně se upravuje dle definic.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\subsection{Identity kalkulu}
 +
V této sekci zformulujeme pro zobecněné funkce již známá tvrzení z matematické analýzy.
 +
\begin{theorem}[o derivaci složené funkce]
 +
Buďte $f \in \D'(\R)$ a  $0\neq A, b$ konstanty. Pak
 +
$$\left[f(Ax+b)\right]' = A \cdot f'(Ax+b) $$
 +
\begin{proof}
 +
Upravujme levou stranu výrazu:
 +
$$ \left(\left[f(Ax+b)\right]', \phi \right) = - \left( f(Ax+b), \frac{\dd \phi}{\dd x} \right) = -\frac{1}{| A |} \left(f(y), \left \frac{\dd \phi}{\dd x} \right|_{x = A^{-1}(y-b)} \right) = (\ast)$$
 +
Na pravé straně jsme tentokrát nedostali přesně ten výraz, který bychom rádi, ale drobným trikem si k němu pomůžeme. Potřebujeme totiž výraz
 +
$$\frac{\dd }{\dd y} \phi( A^{-1}(y-b) ) = \left \frac{\dd \phi}{\dd x}\right|_{x = A^{-1}(y-b)} \underbrace{\frac{\dd }{\dd y}( A^{-1}(y-b) )}_{\frac{1}{A}}$$
 +
Odtud již nyní ale můžeme snadno dosadit do námi upravovaného výrazu $(\ast)$:
 +
$$ (\ast) = -\frac{A}{|A|} \left(f(y), \frac{\dd \phi}{\dd y}\left( A^{-1}(y-b)\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize derivace}}{=} \frac{A}{|A|} \left(f'(y), \phi\left(A^{-1}(y-b)\right) \right) =
 +
A \cdot \left(f'(Ax+b), \phi(x) \right).$$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
Je snadno nahlédnutlné, jak by se vztah změnil, pokud bychom uvažovali $\R^n$ a derivovali dle konkrétní proměnné.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[Leibnizovo pravidlo]
 +
Buďte $f\in \D'(\R)$, $\tilde{a} \in \D'_{reg}(\R)$ a nechť $a \in \Ci$. Pak
 +
$$(\tilde{a}\cdot f)' = \widetilde{a'}\cdot f + \tilde{a} \cdot f' \quad \mbox{v } \D'(\R). $$
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz začíná neintuitivně (tentokrát neupravujeme levou stranu), ale je triviální\footnote{Z čisté lenosti nebudeme v důkaze psát $a\cdot f$, ale jen stručně $af$ atp.}:
 +
$$(\tilde{a}f', \phi) = (f', a\phi) = - (f, (a\phi)' ) = -(f, a'\phi + a\phi ') = -(f, a'\phi) - (f,a\phi') = $$
 +
$$=-(\widetilde{a'}f,\phi) -(\tilde{a}f, \phi') = -(\widetilde{a'}f,\phi) + ((\tilde{a}f)',\phi) = (((\tilde{a}f)' - \widetilde{a'}f),\phi)$$
 +
Odtud již plyne dokazované tvrzení.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
Pokud bychom postupovali dále matematickou indukcí, rozšířili bychom tvrzení i pro n-tou derivaci.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[o záměně parciálních derivací]
 +
Buď $f\in \D'(\R^n)$. Pak
 +
$$\frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} f = \frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} f. $$
 +
\begin{proof}
 +
$$\left(\frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} f(x), \phi(x) \right) = - \left(\frac{\partial }{ \partial x_l} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_k} \phi(x) \right) = \left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} \phi(x) \right) \stackrel{\phi \in \Ci}{=}$$
 +
$$ =\left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial }{ \partial x_k} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} f(x), \phi(x) \right).$$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
Notací, kterou používáme pro značení smíšených parciálních derivací, myslíme $$\frac{\partial^2 }{\partial x_k \partial x_l} f(x) := \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_l}\right).$$
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[o derivaci po částech spojité funkce]
 +
Buď $M \subset \R$, $M = \{ x_n \}$ nejvýše spočetná množina bez hromadného bodu. Buď dále $f \in \mathcal{C}^{1}(\R \backslash M )$ a nechť $\forall x\in M$ existují konečné jednostranné limity klasické funkce $f$. Nechť dále je $\{f'\} \in L^1_{loc}$, kde $\{f'\}$ označuje klasickou derivaci funkce $f$ všude, kde je možné ji provést. Pak v $\D'$ platí
 +
$$\tilde{f}' = \widetilde{\{f'\}} + \displaystyle \sum_{s \in M} \left[f\right]_s \delta (x-s),$$
 +
kde symbol $\left[f\right]_s := \displaystyle \lim_{x \to s^+} f(x) - \displaystyle \lim_{x \to s^-} f(x)$.
 +
\begin{proof}
 +
Uvažujme BÚNO množinu $M = \{x_0\}$  jednoprvkovou. Z důkazu vyplyne, že provést zobecnění pro nejvýše spočetnou není problém.
 +
$$(\tilde{f}',\phi ) = - (\tilde{f}, \phi' ) = - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi'(x) \dd x = - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f(x)\phi'(x) \dd x -\displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f(x)\phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=}$$
 +
$$ = -\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]^{x_0}_{-\infty} }_{\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) -
 +
\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]_{x_0}^{+\infty} }_{-\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) =$$
 +
$$ = \displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x + \underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)}_{\phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)} -
 +
\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x) }_{ \phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)} =
 +
\displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x \ + \ \phi(x_0) \left[ \displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) \right] = $$
 +
$$ = (\widetilde{\{f'\}},\phi) + \left(\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) }_{\left[f\right]_{x_0}}\right) (\delta _{x_0},\phi) =
 +
\left(\widetilde{\{f'\}} + \left[f\right]_{x_0}\delta(x-x_0),\phi \right). $$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
V poslední úpravě jsme použili tvrzení $\delta_{x_0} =\delta(x-x_0)$, které se bude dokazovat na cvičeních, ale čtenář si jej může dokázat snadno sám, protože se jedná jen o regulární transformaci.
 +
\end{remark}
 +
Zkusme nyní tuto větu aplikovat a vypočíst derivaci Heavisideovy funkce $\Theta(x)$. Je zřejmé, že $\{ \Theta'(x) \} = 0$. Jediným problematickým bodem je 0, kde má funkce jednotkový skok. Proto
 +
$\left[\Theta\right]_0 = 1$ \footnote{Zde je třeba si uvědomit, že nás nezajímá jen velikost skoku, ale i jeho \uv{orientace}, tj. je třeba si ohlídat znaménko. }. Pak již $\Theta'(x) = 0 + 1\cdot \delta(x-0) = \delta(x)$ v $\D'$.
 +
Již dříve jsme ukázali, že $|x|' = \sgn x$. Nyní zkusme vypočítat $|x|'{}'{}'$:
 +
$$|x|'{}'{}' = (|x|')'{}' = (\sgn x)'{}'  = (\sgn'x)' = (0 + 2\delta(x-0))' = 2\delta'(x) $$
 +
V tomto příkladu jsme větu použili ve druhé a čtvrté rovnosti. V poslední ji použít nemůžeme, neboť nejsou splněny předpoklady věty.
 +
\begin{theorem}
 +
Nechť $f$ je po částech spojitá funkce na $\R$ taková, že $f \in L^1(\R)$ a nechť $\displaystyle \int_{\R} f(x) \dd x =1 $ (toto je pouze normalizační, technická podmínka). Pak pro
 +
$f_a(x) = af(ax)$ platí:
 +
$$ \widetilde{f_a}(x) \to \delta(x) \mbox{ v } \D' \mbox{ pro } a\to +\infty $$
 +
\begin{remark}
 +
Definice $f_a(x)$ dává smysl. Buď například $a=n$ a položme $$f(y)= \psi_{\left[-1,1\right]}(y):= \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{pro } y \in \left[-1,1\right] \\[.2em] 0 &\mbox{pro } y\notin \left[-1,1\right] \end{array}\right,$$ tzv. charakteristická funkce intervalu $\left[-1,1\right]$. Pak vidíme, že aby $y=ax = nx \in \left[-1,1\right]$, tak musí $x\in \left[-1/n,1/n \right]$. Pak support
 +
n-té takové funkce je $\left[-1/n,1/n \right]$ a hodnota této funkce na supportu je $n$. V limitě $n\to +\infty$ se nosič mění na jednobodovou množinu a hodnota jde skutečně do nekonečna a integrál přes tuto funkci je pro libovolné $n$ roven 1.
 +
\end{remark}
 +
\begin{proof}
 +
Chceme ukázat, že $\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \widetilde{f_a}(x) = \delta(x)$ v $\D'$.
 +
$$\left(\displaystyle \lim_{a \to + \infty} \widetilde{f_a}(x), \phi(x)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\left(f_a(x), \phi(x)\right) =
 +
\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \displaystyle \int_{\R} a f(ax) \phi(x) \dd x = (\ast)$$
 +
Zde bychom chtěli provést záměnu limity a integrálu. Narážíme ale na problém, že nejsme schopni nalézt majorantu. Proto je třeba upravovat dále:
 +
$$(\ast) = \left\{ \begin{array}{c}
 +
\mbox{\scriptsize transformace} \\
 +
ax =y \\
 +
a\dd x = \dd y \\
 +
\end{array} \right\} = \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\displaystyle \int_{\R}  f(y) \phi \left(\frac{y}{a}\right)\dd y $$
 +
Zde již jsme schopni zaměňovat, protože $f\in L^1$ dle předpokladu a $\phi$ je omezená konstantou $K$ díky hladkosti a omezenému supportu. Pak již můžeme psát
 +
$$\displaystyle \int_{\R} f(y) \limits \lim_{a \tp + \infty} \phi \left(\frac{y}{a}\right) \dd y = \phi(0) \underbrace{\displaystyle \int_{\R}f(y)\dd y}_{=1} = \left(\delta,\phi \right).$$
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Pokud pro funkci $f$ platí, že $\displaystyle \int_{\R} f(x) \dd x =c $, pak $\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \widetilde{f_a}(x) = c \delta(x)$ v $\D'$.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[II. o derivaci]
 +
\label{ii_o_derivaci}
 +
Buď $f \in  \D'(\R)$. Pak platí
 +
$$ f'(x) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}$$
 +
\begin{proof}
 +
Opět dokazuje rovnost v $\D'$, tedy
 +
$$\left(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}, \phi(x)\right) =
 +
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}} ,\phi(x) \right) =$$
 +
$$ =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left[ \left( nf\left(x+\frac{1}{n}\right),\phi(x)\right) -\left(n f(x),\phi(x)\right) \right] \stackrel{\A = \mathbb{I}, \bb = \frac{1}{n}}{=}
 +
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n\left[\left(f(x),\phi \left(x-\frac{1}{n}\right) \right) - \left(f(x),\phi(x)\right) \right] =$$
 +
$$ = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(f(x), \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}}\right)$$
 +
V tuto chvíli bychom chtěli \uv{vtáhnout} limitu do závorek. Ze spojitosti funkce $f$ víme, že zachovává konvergenci. Proto stačí ověřit, že
 +
$\psi_n(x):=\frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
 +
Jako kandidáta na limitní funkci zvolme intuitivně $-\phi'(x)$. Pak musí být splněno:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $\nf \psi_n$ jsou stejně omezené. Toto plyne z faktu, že $\nf \phi \subset B(0,R)$ a díky předpisu $\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)$ rovněž
 +
víme, že se support $\phi$ se změní nejvýše o jedna. Pak tedy $\nf \psi_n \subset B(0, R+1)$ pro všechna $n \in \mathbb{N}$.
 +
\item Nyní musíme dokázat stejnoměrnou konvergenci derivací. Začněme s $\alpha = 0$. Pak je třeba ukázat, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x)$.
 +
K tomuto nejlépe využijeme supremové kritérium, které říká, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x) \Leftrightarrow \sigma_n:=\mathrm{sup}_{\R}|\psi_n(x) + \phi'(x)| \stackrel{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$. Supremum odhadneme pomocí Taylorova rozvoje členu $\phi\left(x-\frac{1}{n} \right)$ do řádu 2. derivace:
 +
$$\mathrm{sup}_{\R} \left| \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} + \phi'(x)\right| = \mathrm{sup}_{\R} \left|\phi'{}'(\xi) \frac{1}{n} \right| \to 0.$$
 +
Závěrečný přechod je množné psát, neboť je funkce $\phi$ hladká a je tedy na svém supportu omezená.
 +
Tímto jsme ukázali konvergenci pro $\alpha =0$. Pro $\alpha = n $ použijeme zcela stejnou metodu a odhad jen $n$krát zderivujeme.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
 
 +
Zabývejme se ještě na závěr této podkapitoly násobením v $\D'$. Předpokládejme, že $f,\tilde{g} \in \D'$ a $\tilde{g}\in \D'_{reg}$. Pokud bychom tyhle dvě zobecněné funkce chtěli pronásobit, tak podle naší předešlé definice dostáváme: $(f\cdot \tilde{g},\phi):= (f,g\phi)$. Aby ale argument $g\phi$ byl testovací funkcí, musí být nutně $g\in \Ci$. Odtud vyplývá, že nejsme schopni v $\D'$ pronásobit
 +
např. dvě spojité funkce. Rovněž nejde tímto způsobem zavést $\delta ^2$. Existují sice současné výzkumy jdoucí tímto směrem, ale dalece přesahují rámec tohoto předmětu.
 +
 
 +
\section{Nosič zobecněné funkce a další poznatky o $\D'$}
 +
\subsection{Nosič zobecněné funkce}
 +
\begin{define}
 +
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $G=G^o \subset \R^n$. Řekneme, že {\bf $f$ je nulová na $G$ }, píšeme $f=0$ na $G$, právě když
 +
$(f,\phi) = 0$ pro všechny $\phi \in \D(G)$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Lze ukázat, že pro každou zobecněnou funkci $f$ existuje největší otevřená množina $G$ s touto vlastností. Tuhle množinu nazvěme $\mathcal{N}(f)$. Důkaz tohoto tvrzení najde čtenář ve [Štovíček].
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{define}
 +
Množinu $\nf f := \R^n \backslash \mathcal{N}(f)$ nazveme {\bf nosičem zobecněné funkce $f$}.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Je zřejmé, že $\nf f$ je uzavřená množina. Rovněž je třeba zdůraznit, že pro zobecněnou funkci $f$ neplatí, že  $\nf f \subset \mathrm{Dom}(f)$, neboť definičním oborem zobecněné funkce jsou testovací funkce
 +
a nosičem je číselná množina.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ a  buď $f$ po částech spojitá funkce jedné proměnné. Pak $\nf \tilde{f} = \nf f$.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz je přenechán jako domácí cvičení.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
\begin{remark}
 +
Pro faktorové funkce (tj. funkce z faktorprostoru) není pojem nosiče klasické funkce dobře definovaný.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
Ilustrujme nyní pojem nosič zobecněné funkce na konkrétním příkladě. Určeme $\nf \delta_{x_0}$. Před\-po\-klá\-dej\-me, že máme testovací funkci, jejíž support neobsahuje bod $x_0$. Pak v tomto bodě je funkce nulová.
 +
Proto $(\delta_{x_0},\phi) = \phi(x_0) = 0$ pro libovolné $\phi$ splňující tuto vlastnost. Je zřejmé, že zobecněná funkce je tedy nenulová pouze pro ty testovací funkce, které ve svém supportu obsahují bod $x_0$
 +
a tedy platí, že $\nf \delta_{x_0} = \{x_0\}$.
 +
 
 +
\begin{theorem}[o řešení rovnice $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$]
 +
\label{o_reseni_rce}
 +
Buď $m \in \mathbb{N}$. Pak rovnice  $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$ má řešení tvaru právě $f= \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} c_k \delta^{\left(k\right)}$, kde $c_j \in \mathbb{C}$.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz nebude proveden v plné obecnosti. Dokazuje se matematickou indukcí, zájemci jej naleznou ve [Šťovíček]. Zde bude naznačen pouze první indukční krok.
 +
 
 +
Buď tedy m=1. Dokazujeme tedy, že $xf=0 \Leftrightarrow f = c\delta$ v $\D'$.
 +
\begin{enumerate}
 +
\item[$\Leftarrow$] Nechť tedy $f=c\delta$. Jelikož víme, že $a(x)\delta(x) = a(0)\delta(x)$ \footnote{$(a(x)\delta(x),\phi(x) )= (\delta(x),a(x)\phi(x))=a(0)\phi(0) = a(0)(\delta(x)\phi(x))$},
 +
tak aplikací toho vztahu na náš předpoklad dostáváme $cx\cdot\delta = 0\cdot \delta $ v $\D'$.
 +
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme, že $\forall \phi \in \D$ platí, že $(xf,\phi) = (f,x\phi) = 0$. Nyní uvažujme dvě možnosti:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Buď  nejprve $\phi \in \D$ takové, že $\phi(0) = 0$. Pak můžeme $\phi(x)$ rozepsat následujícím způsobem:
 +
$$\phi(x)= \phi(0) + \displaystyle \int_0^x \phi'(t)\dd t = \phi(0) + x \underbrace{\displaystyle \int_0^1 \phi'(x\tau)\dd \tau}_{\psi(x)\in \Ci} \stackrel{\phi(0)=0}{=} x \psi(x)$$
 +
Pak máme rovnost $\phi = x\psi$, tj. pro každou $\phi \in\D$ splňující $\phi(0) = 0 $ existuje $\psi \in \D$, a tedy $x\psi \in \D$, což plyne právě z poslední podmínky $\phi(0) =0$.\footnote{Jinak bychom nedostali omezený nosič.} Proto odtud plyne, že
 +
$(f,\phi) = (f,x\psi) = 0$.
 +
\item Buď nyní $\eta,\phi \in \D$ a nechť $\eta(0)=1$ (tuhle podmínku lze pro  testovací funkci nenulovou v bodě 0 vždy splnit přeškálováním).
 +
Pak funkce $\phi - \phi(0)\eta$ splňuje podmínky z předešlé části a lze psát:
 +
$$ (f,\phi - \phi(0)\eta) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. část}}{=} 0 \stackrel{\mbox{\scriptsize linearita $f$}}{=} (f,\phi) - \phi(0)(f,\eta)$$
 +
Odtud již ale plyne požadované tvrzení, neboť $(f,\phi) = \underbrace{\phi(0)}_{(\delta,\phi)}\underbrace{(f,\eta)}_{\mbox{\scriptsize číslo}}$, tedy $f= c\delta$, kde $c=(f,\eta)$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\subsection{Uzavřenost $\D'$}
 +
Připomeňme definici limity (konvergence) v $\D'$: Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že
 +
limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když
 +
$\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$.
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Následující poznámky slouží ke shrnutí a vyjasnění pojmu uzavřenost v $\D'$:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Jedná se o tzv. slabou konvergenci, která zajišťuje ve výsledku platnost uzavřenosti $\D'$. (více ve FA)
 +
\item Zkoumáme, jestli platí, že $\widetilde{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f_n}=\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \tilde{f_n}$. Tedy
 +
$$\displaystyle \lim_{n\to + \infty } \displaystyle \int_{\R^n}f_n(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \lim_{n\to + \infty } (\tilde{f_n},\phi) = \left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty }\tilde{f_n},\phi \right) \stackrel{?}{=} $$
 +
$$\stackrel{?}{=} \left(  \widetilde{\displaystyle \lim_{n\to + \infty } f_n},\phi\right) = \displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n\to + \infty }f_n(x)\phi(x)\dd x$$
 +
Aby tahle záměna proveditelná, musí mít výraz $|f_n(x)\phi(x)|$ integrabilní majorantu. $\phi(x)$ je spojitá na kompaktu, tedy je omezitelná konstantou $K$ a tedy je potřeba nalézt $g \in L^1_{loc}$ takovu,
 +
aby $|f_n(x)| \leq g(x)$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$.
 +
\item {\bf Uzavřenost v $\D'$}
 +
 
 +
Předpoklad $f\in \D'$ lze v definici konvergence vynechat.  Přesněji lze formulovat toto tvrzení následovně:
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'(G)$ a nechť $\forall \phi \in \D$ existuje $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(f_n,\phi) \in \mathbb{C}$. Pak
 +
$$(f,\phi):= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f_n,\phi) \ \forall \phi \in \D $$
 +
definuje zobecněnou funkci $f\in \D'(G)$.
 +
\end{theorem}
 +
Je jasné, že se jedná o zobecněnou funkci. Podmínky jsou snadno ověřitelné a plynou přímo z definice $f$.
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
 
 +
Na cvičeních se ukáže využití této vlastnosti pro tzv. {\it Sochockého distribuce}, což jsou možné regularizace funkce $\frac{1}{x}$, které jsou definovány takto:
 +
$$\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}0},\phi(x) \right):= \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+}\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}\epsilon},\phi(x) \right) \ \forall \phi \in \D $$
 +
 
 +
\begin{theorem}[Sochockého vzorce]
 +
$$\frac{1}{x \pm \mathrm{i}0} = P\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi \delta(x) \mbox{ v } \D'.$$
 +
\begin{proof}
 +
Bude dokázáno na cvičeních.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
$x\frac{1}{x \pm \mathrm{i}0} = xP\frac{1}{x} = 1$
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\section{Tensorový součin a konvoluce}
 +
\subsection{Zavedení tensorového součinu}
 +
V předešlé části jsme narazili na problém nemožnosti násobit dvě zobecněné funkce. Tento problém se nyní pokusíme vyřešit zavedením nového typu násobení, které se ale bude týkat
 +
{\it nezávislých} proměnných. Budeme-li mít dvě klasické funkce, každá bude funkcí jiné nezávislé proměnné, např. $f(x), g(y)$, pak jejich součin $f(x)\cdot g(y)$ budeme nazývat
 +
{\it tensorový součin} a budeme jej značit $f(x)\ts g(y)$. Pokud se nám tento koncept podaří zavést na prostoru $\D'$, budeme schopni vytvořit například $\delta^2:= \delta(x) \ts \delta(y)$.
 +
Proto budeme požadovat, aby
 +
$$\widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)} = \widetilde{f(x)\ts g(y)} = \widetilde{f(x)g(y)}. $$
 +
Proto zkoumejme
 +
$$\left( \widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right) = \left(\widetilde{f(x)g(y)},\phi(x,y) \right) = \displaystyle \int_{\R^{n+m}}f(x)g(y)\phi(x,y) \dd x \dd y =
 +
\left| 
 +
\begin{array}{c}
 +
Fubini \\
 +
f,g \in L^1_{loc} \\
 +
\end{array}
 +
\right| =$$
 +
$$ = \left\{
 +
\begin{array}{c}
 +
\displaystyle \int_{\R^n} f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^m} g(y)\phi(x,y)\dd y\right)\dd x = \left(\widetilde{f(x)},\left(\widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right)\right). \\
 +
\displaystyle \int_{\R^m} g(y) \left( \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x,y)\dd x\right)\dd y = \left(\widetilde{g(y)},\left(\widetilde{f(x)},\phi(x,y)\right)\right). \\
 +
\end{array} \right $$
 +
Přitom jsme tiše předpokládali, že $f\in \D'_{reg}(\R^n)$, $g\in \D'_{reg}(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$.
 +
Na základě této úvahy tedy definujme tensorový součin na prostoru zobecněných funkcí.
 +
\begin{define}
 +
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$. Pak {\bf tensorovým součinem zobecněných funkcí $f\ts g$} rozumíme:
 +
$$\left(f(x)\ts g(y), \phi(x,y) \right) := \left( f(x), \left(g(y),\phi(x,y)\right) \right).$$ 
 +
\end{define}
 +
Jelikož se jedná o operaci, která je značně netriviální, budeme si pro účely tohoto předmětu definici tensorového součinu zjednodušovat, jak jen to bude možné. \footnote{Áčkaři prominou a nahlédnou do [Šťovíček].} Bylo by vhodné ověřit, že naše definice je korektní. Proto je třeba se zabývat otázkou, jestli je $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$ a jestli objekt, který operací vznikne, je rovněž zobecněnou funkcí. Dokázat linearitu je vcelku triviální a zřejmé na první pohled. Dokázat spojitost tensorového součinu je ale značně složité a zájemci o tento důkaz jej najdou ve [Šťovíček]. My si zjednodušíme práci a dokážeme spojitost tensorového součinu
 +
pro speciální prostor testovacích funkcí, který označíme $\D_{sep}(\R^{n+m})$. Tento prostor bude lineární vektorový prostor s prvky $\phi_x(x)\phi_y(y)$, kde $\phi_x(x)\in \D(\R^n)$ a $\phi_y(y)\in \D(\R^m)$.
 +
 
 +
Odteď tedy předpokládejme, že $\phi(x,y) = \phi_x(x) \phi_y(y)$. Z tohoto předpokladu ale plyne, že $\nf \phi(x,y)$ je vždy obdélník.
 +
Ověřme nyní, že  $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$:
 +
$$ (g(y),\phi(x,y) ) = (g(y),\phi_x(x)\phi_y(y)) = \phi_x(x) \underbrace{(g(y),\phi_y(y))}_{\in \mathbb{C}} $$
 +
Tímto je toto ověřeno.
 +
 
 +
\noindent Ověřme ještě, jak se chová $\frac{\partial}{\partial x_k}  (g(y),\phi(x,y) )$:
 +
$$\frac{\partial}{\partial x_k}  (g(y),\phi(x,y) ) = \left (\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k}\right) (g(y),\phi_y(y)) = \left( g(y), \phi_y(y)\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k} \right)
 +
= \left(g(y),\frac{\partial }{\partial x_k}\phi(x,y) \right) $$
 +
Toto tvrzení je pravda pro zcela obecnou funkci $\phi \in \D$, nikoliv jen pro $\phi \in \D_{sep}$. Zájemci najdou důkaz ve [Šťovíček].
 +
Ověřením linearity se zabývat nebudeme, to si každý může provést jako domácí cvičení, ale ověříme spojitost. Předpokládejme tedy, že máme $\phi_n(x,y) \stackrel{\D}{\longrightarrow}0 \Leftrightarrow
 +
\phi_x^n(x)\phi_y^n(y)  \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0 $. Zkoumejme limitu
 +
$$ \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x) \ts g(y),\phi_n(x,y) \right) = \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x^n(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y^n(y) \right) \right) =\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x) \underbrace{\left( g(y),\phi_y^n(y)\right)}_{\in \mathbb{C}}\right) =$$
 +
$$=\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) =
 +
\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) = (\ast)$$
 +
V tuto chvíli potřebujeme vědět, jestli $\phi_x \stackrel{\D(\R^n)}{\longrightarrow} 0$ a $\phi_y \stackrel{\D(\R^m)}{\longrightarrow} 0$. Tohle ale vyplývá z konvergence
 +
$\phi^n_x(x)\phi^n_y(y) \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0$. Proto pak můžeme psát
 +
$$(\ast) = \left(g(y),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to  + \infty}\phi^n_y(y)}_{=0} \right) \left(f(x),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to  + \infty}\phi^n_x(x)}_{=0} \right).$$
 +
 
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Prostor $\D_{sep}(\R^{n+m})$ je hustý v $\D(\R^{n+m})$ vzhledem ke konvergenci v $\D(\R^{n+m})$. Toto nás (de facto) má opravňovat k tomu, že vše dokazujeme jen pro prostor separovatelných testovacích funkcí. Ovšem bylo by opět třeba toto (netriviální) tvrzení dokázat.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\subsection{Vlastnosti tensorového součinu v $\D'$}
 +
V následujícím odstavci se budeme snažit ukázat některé důležité vlastnosti tensorového součinu v $\D'$. Budeme vždy využívat v maximální možné míře všech zjednodušení, která jsme již na naši definici uvalili.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
\pagebreak
 +
 
 +
\noindent{\bf Komutativita}
 +
 
 +
Uvažujme $f,g\in \D'(\R^n)$
 +
$$\left(f(x)\ts g(y) ,\phi(x,y)\right) = \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y(y) \right) \right)= \underbrace{\left(f(x),\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C} \right)}\left(g(y),\phi_y(y)\right)  = $$
 +
$$ = \left( g(y), \left(f(x),\phi_x(x)\right) \phi_y(y) \right) = \left(g(y),\left(f(x), \phi_x(x)\phi_y(y) \right)\right) =\left(g(y)\ts f(x) ,\phi(x,y)\right) $$
 +
Toto tvrzení lze opět rozšířit i pro libovolnou (tedy ne nutně separovatelnou) testovací funkci.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Linearita v obou argumentech}
 +
 
 +
Z komutativity nám stačí ověřit linearitu pouze v jednom argumentu. Předpokládejme, že $\ts: \D'(\R^n) \times \D'(\R^m) \longrightarrow \D'(\R^{n+m})$
 +
a nechť $f,g\in \D'(\R^n)$, $h\in \D'(\R^m)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Zajímá nás
 +
$$ \left( (f+\alpha g)(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) = \left( (f+\alpha g)(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = $$
 +
$$ = \left( f(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) + \alpha \left( g(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = \left( f(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) + \alpha \left(g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right) =$$
 +
$$ = \left(f(x) \ts h(y) + \alpha  g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right)$$
 +
Tahle úprava je platná $\forall \phi \in  \D(\R^{n+m})$. Tímto jsme tedy dokázali linearitu tensorového součinu v obou argumentech, tj. bilinearitu.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Asociativita}
 +
 
 +
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $h\in \D'(\R^r)$. Platí, že $(f(x)\ts g(y))\ts h(z) = f(x) \ts (g(y)\ts h(z) ) $ v $\D'$?
 +
Upravíme obě strany výrazu a provnáme je:
 +
$$ LS = ((f(x)\ts g(y)) \ts h(z),\phi(x,y,z)) = (f(x)\ts g(y), (h(z),\phi(x,y,z) )) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
 +
$$ PS = (f(x)\ts (g(y) \ts h(z)),\phi(x,y,z)) = (f(x),(g(y)\ts h(z) , \phi(x,y,z))) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
 +
Vidíme, že levá i pravá strana se rovnají $\forall \phi \in \D(\R^{n+m+r})$, tedy jsme dokázali, že tensorový součin je jako operace asociativní.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Spojitost v obou argumentech}
 +
 
 +
Buď $\{f_k\}_{k\in \mathbb{N}} \subset \D'(\R^n)$, $f\in \D'(\R^n)$ a nechť $f_k \to f$ v $\D'$. Buď navíc $g\in \D'(\R^m)$. Platí pak, že
 +
$f_k(x)\ts g(y) \to f(x)\ts g(y)$ v $\D'$? Resp. $\displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k(x)\ts g(y) ) = (f(x) \ts g(y))$ v $\D'$?
 +
 
 +
$$ \left((\displaystyle \lim_{k\to + \infty} f_k(x)\ts g(y)) ,\phi(x,y)\right) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x)\ts g(y),\phi(x,y) )= $$
 +
$$=\displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x),(g(y),\phi(x,y))) = \left(\displaystyle \lim_{k\to +\infty} f_k(x), (g(y),\phi(x,y)) \right) =$$
 +
$$ = (f(x),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x)\ts g(y), \phi(x,y)).$$
 +
Díky komutativitě nám stačí ukázat spojitost v jednom z argumentů.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Záměna derivace a tensorového součinu}
 +
 
 +
Platí $D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y)) = (D^{\alpha}_x f(x)) \ts g(y) $ v $\D'$?
 +
$$ (D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y) ),\phi(x,y)) = (-1)^{|\alpha|} ( f(x)\ts g(y) , D^{\alpha}_x \phi(x,y)) = $$
 +
$$ = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (g(y), D^{\alpha}_x \phi(x,y))) = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (D^{\alpha}_x(g(y),\phi(x,y)))) =$$
 +
$$ = (D^{\alpha}_x f(x), (g(y),\phi (x,y))) = (D^{\alpha}_x f(x) \ts g(y), \phi(x,y)).$$
 +
Při dokazování jsme ve druhém řádku použili vztah pro $k$-tou derivaci výrazu $(g(y),\phi(x,y))$ odvozený dříve.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Násobení hladkou funkcí}
 +
 
 +
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $a\in \Ci$. Platí pak, že $a(x) (f(x) \ts g(y)) = (a(x)f(x))\ts g(y)$?
 +
$$(a(x) (f(x) \ts g(y)),\phi(x,y) ) = (f(x)\ts g(y) , a(x)\phi(x,y)) = (f(x),(g(y),a(x)\phi(x,y))) =$$
 +
$$ = (f(x),a(x) (g(y),\phi(x,y))) = (a(x)f(x), (g(y),\phi(x,y))) = ((a(x)f(x))\ts g(y), \phi(x,y)).$$
 +
\vspace{0,5 cm}
 +
 
 +
\noindent{\bf Posun argumentu}
 +
 
 +
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $b\in \R^n$. Pak platí, že $(f\ts g)(x+b,y) = f(x+b) \ts g(y)$?
 +
$$((f\ts g)(x+b,y),\phi(x,y)) = ((f\ts g)(z,y),\phi(z-b,y)) = (f(z), (g(y),\phi(z-b,y))) = $$
 +
$$=(f(z), (g,\phi)(z-b,y)) = (f(x+b),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x+b)\ts g(y),\phi(x,y))$$
 +
 
 +
\begin{define}
 +
Řekmene, že $f(x,y) \in \D'(\R^{n+m})$ {\bf nezávisí na $y$}, právě když existuje $h\in \D'(\R^n)$ taková, že $f(x,y) = h(x)\ts 1$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\subsection{Zavedení konvoluce}
 +
V téhle kapitolce se podíváme na pojem konvoluce, který již byl jednou v těchto skriptech \uv{definován}. Začneme s konvolucí klasických funkcí a postupně přejdeme ke konvoluci
 +
funkcí zobecněných. Náš přístup bude zcela odlišný od přístupů, které se objevují ve [Šťovíček] nebo [Burdík, Navrátil]. U klasických funkcí se omezíme na případ testovacích funkcí,
 +
ale bude vidět, kde je tento předpoklad zbytečný.
 +
 
 +
\begin{define}
 +
Buďte $\phi,\psi \in \D(\R^n)$. Pak {\bf konvolucí funkcí $(\phi \ast \psi)(x)$} rozumíme
 +
$$(\phi \ast \psi)(x):= \displaystyle \int_{\R^n} \phi(y)\psi(x-y) \dd y. $$
 +
\end{define}
 +
 
 +
Zamysleme se nyní nad (intuitivním) významem konvoluce. Můžeme na ni nahlížet třeba jako na vážený průměr funkce $\psi$ přes veškeré možné posuny vážený funkcí $\phi$.
 +
Pro všechny příznivce pravděpodobnosti je možné interpretovat konvoluci jako rozdělení pravděpodobností součtu dvou nezávislých jevů.
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Konvoluce je dobře definovanou operací nad prostorem $L^1\times L^1$. Proto je předpoklad $\phi,\psi \in \D$ zbytečný.
 +
\begin{proof}
 +
Musíme ukázat, že pro  $f,g \in L^1$ platí $\left| \displaystyle \int_{\R^n} (f\ast g)(x) \dd x \right| < +\infty$.
 +
$$ \left| \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y f(y)g(x-y) \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)||g(x-y)| \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$
 +
$$ = \displaystyle \int_{\R^m} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |f(y)||g(x-y)|  = \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)|}_{ = \Vert f \Vert _1 < +\infty} \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |g(x-y)|}_{ = \Vert g \Vert _1 < +\infty} < + \infty $$
 +
\end{proof}
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\subsubsection{Vlastnosti konvoluce v $\D$}
 +
V následující sekci ukážeme,  jaké vlastnosti má konvoluce dvou testovacích funkcí.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\it Komutativita}
 +
 
 +
Ze substituce okamžitě plyne vztah $\phi \ast \psi = \psi \ast \phi$.
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\it Asociativita}
 +
 
 +
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)\ast \eta = \phi \ast (\psi \ast \eta)$
 +
Nejprve si upravím obě strany výrazů pomocí komutativity:
 +
$$LS =(\phi \ast \psi)\ast \eta = (\psi \ast \phi) \ast \eta = \eta \ast (\psi \ast \phi)$$
 +
$$PS= \phi \ast (\psi \ast \eta) = (\psi \ast \eta) \ast \phi$$
 +
Pak již upravujeme dle definice
 +
$$ \eta \ast (\psi \ast \phi) = \displaystyle \int_{\R^n} \eta(y) (\psi\ast \phi) (x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \dd z\psi(x-y-z)\phi(z) \eta(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=}$$
 +
$$ = \displaystyle \int_{\R^n}\dd z \phi(z) \underbrace{\displaystyle \int_{\R^n} \dd y \psi(x-y-z)\eta(y)}_{=(\psi \ast \eta)(x-z)} = (\psi \ast \eta) \ast \phi $$
 +
 
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči posunu v argumentu }
 +
 
 +
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)(x-a) = \phi(x-a) \ast \psi = \phi\ast \psi(x-a)$. Druhá rovnost je zřejmá z komutativity konvoluce, první si rozepíšeme:
 +
$$ (\phi \ast \psi)(x-a) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
 +
$$ \underbrace{\phi(x-a)}_{ \mbox{ozn: }\phi_a(x)} \ast \psi(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi_a(x-y) \psi(y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
 +
\vspace{0,5cm}
 +
 
 +
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči derivaci}
 +
 
 +
Chtěli bychom ukázat následující: $D^{\alpha} (\phi \ast \psi)(x) = (D^{\alpha}\phi(x)) \ast \psi(x) = \phi(x) \ast (D^{\alpha}\psi(x))$.
 +
Pokud bychom to dokázali, zjistíme, že konvoluce má \uv{vyhlazovací}\footnote{Hanko, promiň!} schopnost, neboť bereme-li funkci $\phi \in \Ci$ testovací a  funkci $\phi$ libovolnou integrovatelnou, dostaneme konvolucí těchto dvou funkcí funkci, která je hladká. Důkaz nebudeme provádět přes libovolnou dimenzi $n$, ale spokojíme se s $n=1$.
 +
$$ (\phi \ast \psi)' (x) = \left( \displaystyle\int_\R \dd y  \phi(x-y)\psi(y) \right)' = \left\{
 +
\begin{array}{c}
 +
\mbox{\scriptsize Předpoklady věty o záměně:}\\
 +
\mbox{\scriptsize existuje integrabilní majoranta nezávislá na x} \\
 +
\left| \frac{\partial }{\partial x} \phi(x-y)\psi(y) \right | \leq K | \psi(y)| \\
 +
\end{array} \right\} =$$
 +
$$ = \displaystyle \int _\R \left \frac{\dd}{\dd z }  \phi(z)  \dd y \right| _{z = x-y} \psi(y) = \phi'(x) \ast \psi(x) = (\phi' \ast \psi)(x).$$
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Stojí za povšimnutí, že komutativitu a asociativitu jsme ověřili i pro $L^1$ prostory. Čtenáři je necháno na rozmyšlení, jestli je toto možné provést i u zbývajících vlastností a proč tomu tak je.
 +
\end{remark}
 +
 
 +
Věnujme se ještě chvíli \uv{vyhlazovací} schopnosti konvoluce. Následující tvrzení nám ukáže, jak velké předpoklady navíc klademe, když používáme testovací funkce.
 +
\begin{theorem}
 +
Buď $f \in \mathcal{C}^1(\R)$ taková, že $\nf f \subset B_R (0)$. Buď dále $g \in L^1 (\R)$. Pak $f\ast g  \in \mathcal{C}^1(\R)$.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz je stejný jako v předešlém případě - stačí nalézt integrabilní majorantu výrazu $\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) $ nezávislou na $x$.
 +
$$ \left\vert\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) \right \vert \leq K \vert g(y) \vert \in L^1 (\R).$$
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Následující věta bude důležitá, neboť ukáže, že konvoluce dvou testovacích funkcí je opět testovací funkce, formálně:
 +
\begin{theorem}
 +
Buďte $\phi,\psi \in \D$. Pak $\phi \ast \psi \in \D$.
 +
\begin{proof}
 +
Abychom ukázali, že se jedná o testovací funkci, musíme ověřit hladkost a stejnoměrnou omezenost nosičů.
 +
\begin{enumerate}
 +
\item [\it Hladkost:] Tato vlastnost je zřejmá a plyne přímo z aplikace předešlé věty, konkrétně volbou $\phi^{(k)} = f$ a $\psi = g$ pro všechna $k \in \mathbb{N}$. 
 +
Tedy víme, že $\forall \phi,\psi \in \D $ platí, že $\phi \ast \psi \in \Ci$.
 +
\item [\it Nosič:] Připomeňme nejprve definici konvoluce $(\phi \ast \psi)(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$. Nyní budeme hledat  veškerá $x$ taková, že
 +
$(\phi \ast \psi)(x) = 0 = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y $. Toto ale nastane tehdy, když $\phi(x-y)\psi(y) =0$ pro všechna $y$.
 +
Z předpokladu $\phi \in \D$ vyplývá, že $\exists B_R(0) \supset \nf \phi$. Pokud nyní uvažujme $x$ pevné a $\phi(x-y)$ budeme považovat pouze za funkci od $y$, máme $\nf \phi(x-y) \subset B_R(x)$.
 +
Jelikož i $\psi \in \D$, tak víme, že existuje $B_{R'}(0) \supset \nf \psi$. Pak ale odtud plyne, že pokud $B_R(x) \cap B_{R'}(0) = \emptyset$, pak $\phi(x-y)\psi(y) =0 $ pro všechna $y$.
 +
Tímto je ukázáno, že máme omezený nosič, neboť první podmínku lze vždy splnit vhodnou volbou $x$.
 +
\end{enumerate}
 +
Proto je tedy funkce $\phi\ast \psi$ testovací funkcí.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Zde se časem objeví krásný a názorný obrázek. Snad...
 +
 
 +
\begin{theorem}[Souvislost konvoluce a skalárního součinu v $\D$ pro reálné funkce]
 +
Označme $\phi^-(x):= \phi(-x)$. Pak pro reálné funkce $\phi ,\psi,\tau \in \D$ platí:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $\left\langle \phi,\psi \right \rangle = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \psi(x) \dd x = (\phi \ast \psi^-)(0)$,
 +
\item $\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$.
 +
\end{enumerate}
 +
\begin{proof}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Zřejmé z definice.
 +
\item $$\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle \stackrel{\mbox{\scriptsize dle 1}}{=} \left((\phi \ast \tau) \ast \psi^-\right)(0)\stackrel{\mbox{\scriptsize asociativita}}{=}
 +
\left( \phi \ast (\tau \ast \psi^-) \right) (0) =$$
 +
$$ = \left( \phi \ast (\tau^-\ast \psi)^- \right)(0) = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$$
 +
\end{enumerate}
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\subsection{Konvoluce testovacích a zobecněných funkcí}
 +
Následující odstavec bude důležitým mezikrokem při budování konvoluce zobecněných funkcí. Zde totiž zavedeme konvoluci zobecněné a testovací funkce, pomocí které pak definujeme konvoluci zobecněných funkcí.
 +
Principiálně se jedná o totéž, jako byla definice tensorového součinu na prostoru zobecněných funkcí.
 +
\begin{define}
 +
Buď $f\in \D', \phi \in \D$. Pak {\bf konvolucí zobecněné funkce $f$ a testovací funkce $\phi$} rozumíme $(f\ast \phi)(x):= (f(y),\phi(x-y))$ pro všechna $x\in \R^n$. Výsledkem je klasická funkce.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Naše definice je rozumná, neboť pro $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ dostáváme totéž, co předtím:
 +
$$ (\tilde{f} \ast \phi) (x) = (\tilde{f}(y) , \phi(x-y) ) = \displaystyle \int_{\R^n} f(y)\phi(x-y) \dd y = (f\ast \phi) (x) $$
 +
\item Ve smyslu předešlé věty můžeme pro $f \in \D'$ a $\phi \in \D$ psát $(f,\phi) = (f \ast \phi^-)(0)$
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
Následující věty jsou spíše technického rázu a jejich důkazy se na první pohled zdají pracné, ale není na nich nic složitého.
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
\label{veta1}
 +
Buď $f\in \D',\phi \in \D$. Pak $f \ast \phi \in \Ci$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $f\ast \phi$ má kompaktní nosič, a tudíž $f\ast \phi \in \D$.
 +
\begin{proof}
 +
Pro dokázání prvního tvrzení využijeme dvojice lemmat:
 +
\begin{lemma}
 +
\label{lemma1}
 +
$f\ast \phi$ je spojitá funkce.
 +
\begin{proof}
 +
Důkaz provedeme pomocí Heineovy věty. Berme posloupnost $x_n \to x$ a označme $\phi^x_n(y) := \phi(x_n-y)$, $\phi^x (y) = \phi(x-y)$. Je vidět, že $\phi^x_n(y) \to \phi^x(y)$ bodově.
 +
Nejprve ukážeme, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow}$, tj. že má stejnoměrně omezené nosiče a že veškeré derivace stejnoměrně konvergují:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item[{\it i) nosiče}]
 +
 
 +
Víme, že $\nf \phi \subset B_R(0)$. Pak ale $\nf \phi^x \subset B_R(x)$.
 +
Z konvergence $x_n \to x$ plyne, že existuje $n_0 \in \mathbb{N}$ takové, že $\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0$ platí, že $|x_n-x| < 1$. Tudíž $\nf \phi^x_n \subset B_{R+1}(x)$.
 +
Stejná omezenost nosičů už nyní plyne z faktu, že jsme nekonečně mnoho nosičů omezili koulí $B_{R+1}(x)$ a ze zbylých $n_0$, kterých je končený počet, můžeme vzít největší kouli.
 +
 
 +
\item[{\it ii) derivace}]
 +
Ukažme nejprve případ $n=0$, tj. chceme $\phi^x_n \sk{\R} \phi^x$. Využijme supremové kritérium:
 +
$$\mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert \phi^x_n(y) - \phi^x(y) \right \vert = \mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert\phi(x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \stackrel{\mbox{\scriptsize Taylor}}{\leq} \mathrm{sup}_{y\in \R}\left\vert  (x_n-x) \phi'(\xi) \right \vert \leq K \vert x_n - x \vert \to 0,$$
 +
přičemž $\xi \in (x_n-y,x-y)$. Stejný odhad lze provést pro libovolnou derivaci.
 +
\end{enumerate}
 +
Tímto jsme ukázali, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi^x$.
 +
Nyní již můžeme ukázat snadno spojitost:
 +
$$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f \ast \phi)(x_n) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(f(y), \underbrace{\phi(x_n-y)}_{\phi^x_n(y)} \right) =
 +
\left( f(y), \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \phi^x_n(y) \right) = (f(y),\phi^x(y)) = (f\ast \phi) (x).$$
 +
Tedy konvoluce je spojitá.
 +
\end{proof}
 +
\end{lemma}
 +
 
 +
\begin{lemma}
 +
\label{lemma2}
 +
Jestliže $f\in \D', \phi\in \D$, pak $(f\ast \phi)' = f' \ast \phi = f \ast \phi'. $
 +
\begin{proof}
 +
Z prvního lemmatu plyne, že $f\ast \phi \in L^1_{loc}$. Tedy se jedná o generátor regulární zobecněné funkce. Proto můžeme psát $f\ast \phi  \in \D'$. Pak ale dle věty \ref{ii_o_derivaci} platí:
 +
$$ (f\ast \phi)'(y) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{(f\ast \phi)\left(y+\frac{1}{n}\right) - (f\ast \phi) (y)}{\frac{1}{n}} =
 +
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f(x),\phi\left(y+\frac{1}{n}-x\right) \right) - \left( f(x), \phi(y-x)\right) }{\frac{1}{n}} = $$
 +
Nyní využijeme větu o regulární transformaci, tentokrát ji použijeme obráceně. Vidíme, že $\A^{-1} = -\mathbb{I}= \A$ a $\bb= y +\frac{1}{n}$. Pak můžeme pokračovat v úpravě:
 +
$$ = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) ,\phi(x)\right) - \left( f(-x+y),\phi(x)\right)}{\frac{1}{n}} =
 +
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) =$$
 +
$$=\left( \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) = \left(f'(y-x),\phi(x) \right) =  \left(f'(x), \phi(y-x)\right = (f' \ast \phi)(y)$$
 +
Druhá rovnost se snadno ověří úpravami z definice $f'$.
 +
\end{proof}
 +
\end{lemma}
 +
Z těchto lemmat tedy plyne, že $f\ast \phi \in \Ci $.
 +
\begin{lemma}
 +
\label{lemma3}
 +
Buď $f\in \D'$ taková, že $\nf f$ je kompakt. Pak $\nf (f\ast\phi) $ je omezená množina.
 +
\begin{proof}
 +
Víme, že $(f\ast \phi)(x) = (f(y),\phi(x-y))$. Jelikož je $\phi \in \D$, má $\phi(x-y)$ nosič omezený nějakou koulí $B_R(x)$. Volbou $x$ tak, že $\nf f \cap B_R(x) = \emptyset$ dostáváme,  fakt, že $\nf (f\ast \phi)$ je omezený.
 +
\end{proof}
 +
\end{lemma}
 +
Ze všech tří lemmat již nyní přímo plyne, že $f\ast \phi \in \D$.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
\label{veta2}
 +
Buď $f\in \D'$, $\phi,\psi \in \D$. Pak $(f\ast \phi)\ast \psi = f\ast (\phi \ast \psi)$.
 +
\begin{proof}
 +
V důkaze se (opět) omezíme pouze na $\R$. Nejprve si všimneme, že na pravé straně je výraz $(\phi \ast \psi) (x) = \displaystyle \int_{\R} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$.
 +
Ale v levé straně výrazu se integrál vůbec nevyskytuje. Je důležité si uvědomit, že tento integrál existuje a je konečný.
 +
Abychom tento integrál nějak dostali na druhou stranu, využijeme riemannovské integrální součty:
 +
$$r_n(x) = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- \frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)$$
 +
O nich víme, že bodově konvergují přímo k $(\phi \ast \psi)(x)$. Zároveň jsme si mohli dovolit volit ekvidistantní rozdělení těchto bodů, neboť víme,
 +
že integrál existuje a z vlastností testovacích funkcí $\phi$ a $\psi$ zase můžeme tvrdit, že se jedná pouze o končené sumy
 +
(neboť testovací funkce jsou nenulové na omezené množině a proto hodnoty $m$, pro které je funkce nulová, lze ze sumy vyjmout). Nyní ukážeme, resp. zdůvodníme, že $r_n$ konverguje v $\D$.
 +
To ukážeme tak, že nalezneme stejnoměrně omezené nosiče $r_n$ a využijeme věty o spojité funkci na kompaktním intervalu.
 +
 
 +
Fakt, že nosiče $r_n$ jsou stejně omezené plyne z faktu, že $\phi$ a $\psi $ mají stejně omezené nosiče a z faktu, že řada je konečná.
 +
Pak totiž od jistého $n_0$ výše platí, že  $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$  a tudíž $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$.
 +
 
 +
Stejnoměrná konvergence je snadno dokázatelná. Vidíme, že $r_n(x)$ bodově konverguje. Přitom funkce $r_n(x)$ je spojitá na kompaktu,
 +
tedy je stejnoměrně spojitá a tedy stejnoměrně konverguje, dokonce na celém $\R$ díky nulovosti funkcí mimo support. Ostatní  derivace se ukážou zcela stejně, jen nevyužíváme stejnoměrné spojitosti funkcí
 +
$\phi$ a $\psi$, ale jejich derivací.
 +
 
 +
Nyní už můžeme přistoupit k úpravě výrazu:
 +
$$(f\ast (\phi \ast \psi))(x) = (f(y),(\phi\ast \psi)(x-y)) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. krok}}{=} \left(f(y),\displaystyle \lim_{n\to + \infty} r_n(x-y)\right) =$$
 +
$$= \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left(f(y),r_n(x-y)\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(y), \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize řada je konečná}}{=} $$
 +
$$=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \left(f(y), \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) =
 +
\displaystyle \int_{\R} (f(y),\phi(x-y-z)\psi(z))\dd z =$$
 +
$$=\displaystyle \int_{\R} \underbrace{(f(y),\phi(x-y-z))}_{(f\ast \phi)(x-z)} \psi(z) \dd z = ((f\ast \phi) \ast \psi)(x).$$
 +
 
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Následující poznámka je přímým důsledkem právě vyřčené věty.
 +
\begin{remark}
 +
Buďte $f\in \D'$, $\phi ,\psi \in  \D$. Pak $(f\ast \phi, \psi) = (f,\phi^- \ast \psi )$.
 +
\begin{proof}
 +
$$(\underbrace{f\ast \phi}_{\mbox{\scriptsize klas. funkce}}, \psi) = \left( (f\ast \phi)\ast \psi^-\right)(0) \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=}\left( f\ast (\phi \ast \psi^-) \right) (0) =$$
 +
$$ = \left( f\ast (\phi^- \ast \psi)^- \right) (0) = (f,\phi^- \ast \psi) $$
 +
Je vhodné poznamenat, že při první úpravě se využila definice konvoluce zobecněné a testovací funkce.
 +
\end{proof}
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}
 +
\label{veta3}
 +
Nechť $f\in \D'$ taková, že $\nf f $ je kompakt. Pak pro libovolnou posloupnost $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ v $\D$ takovou, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi \in \D$, platí, že 
 +
$f\ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \phi $.
 +
\begin{proof}
 +
Aby vůbec mělo smysl se tvrzením věty zabývat, je třeba ukázat, že $f\ast \phi_n, f\ast \phi \in \D $. Tento fakt ale plyne přímo z věty \ref{veta1}.
 +
Proto má smysl ověřovat stejnou omezenost nosičů $f\ast \phi_n$ a stejnoměrnou konvergenci derivací těchto funkcí.
 +
Stejnoměrná omezenost  $\nf f\ast \phi_n$ ale vyplývá přímo ze stejné omezenosti $\nf \phi_n$ a z lemmatu \ref{lemma3}.
 +
 
 +
Pro ověření druhé podmínky konvergence v $\D$ musíme ukázat, že $f\ast \phi_n \sk{\R} f\ast \phi$ a stejně tak pro libovolné další derivace $\phi_n$.
 +
My toto dokážeme pomocí drobného triku. Uvažujme funkci $F\left(x,s=\frac{1}{n}\right) := (f\ast \phi_n) (x)$ a $F(x,0):= (f\ast \phi) (x)$.
 +
Pokud dokážeme, že je tato funkce spojitá na kompaktu a odtud již bude plynou její stejnoměrná spojitost, pomocí které dokážeme stejnoměrnou konvergenci  $f\ast \phi_n$.
 +
Je vidět, že funkce $F$ je spojitá dle definice všude, jen  v bodě $s=0$ je problém. Abychom ukázali spojitost i v bodě $s=0$, využijeme následujícího lemmatu:
 +
 
 +
\begin{lemma}
 +
Buď $\{\phi_{k_n}\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D$ posloupnost taková, že  $\phi_{k_n} \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi  \in \D$
 +
a buď dále  $\{x_n\}_{n\in  \mathbb{N}}$ číselná posloupnost v $\R$ taková, že $x_n \to x \in \R$. Pak
 +
$$\phi_{k_n} (x_n-y) \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi(x-y) \mbox{ jakožto funkce proměnné }y.$$
 +
\begin{proof}
 +
Pro dokázání stejnoměrné konvergence derivací zkoumejme rozdíl $k_n$-tého členu a limitní funkce.
 +
Pro nultou derivaci dostaneme:
 +
$$\left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \leq \left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) -\phi (x_n -y) \right \vert + \left \vert \phi(x_n-y) - \phi(x-y) \right \vert < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon $$
 +
První člen jsme odhadli díky konvergenci  $\phi_{k_n}$ v $\D$. Konkrétně jsme využili stejnoměrnou konvergenci nulté derivace. Druhý člen je odhadnutelný díky stejnoměrné
 +
spojitosti testovací funkce $\phi$. Tato vlastnost vyplývá z hladkosti $\phi$ a z faktu, že její support je kompaktní množina. 
 +
Tento postup je možné analogicky provést pro všechny ostatní derivace.
 +
 
 +
Je rovněž zřejmné, že nosiče funkcí jsou stejně omezené díky konvergenci $\phi_{k_n}$ v $\D$.
 +
\end{proof}
 +
 
 +
Když máme k dispozici toto lemma, není těžké ověřit spojitost funkce $F$ v bodě $(x,s=0)$. Využijeme k tomu opět Heineovy věty.
 +
Berme $x_n\to x$ a $k_n \to +\infty$ \footnote{Protože pak $\frac{1}{k_n} \to 0$ a to chceme. } libovolné posloupnosti. Pak
 +
$$F\left(x_n, \frac{1}{k_n} \right) = (f\ast \phi_{k_n})(x_n) = (f(y), \phi_{k_n}(x_n-y) ) \to (f(y),\phi(x-y)) = (f\ast \phi) (x) = F(x,0)$$
 +
Přičemž jsme využili toho, že funkce $f(y)\in \D'$, a tedy je spojitá, a o posloupnosti $\phi_{ k_n}(x_n-y)$ víme, že konverguje v $\D$ dle lemmatu. Proto jsme mohli limitu takto vypočíst.
 +
Tedy o $F$ víme, že je spojitá, je spojitá na kompaktu, tudíž je na něm stejnoměrně spojitá a tedy i speciálně pro $\left(F(x,s = \frac{1}{n} \right) \sk{\R} F(x,0)$, což ale dle naší definice $F$
 +
neříká nic jiného, než $(f\ast \phi_n)(x) \sk{\R} (f\ast \phi) (x)$. To jsme ale chtěli dokázat. V důkazu jsme nikde nevyužívali faktu, že pracujeme s 0. derivací funkce $\phi_n$. Proto můžeme celý postup opakovat pro libovolné derivace testovacích funkcí $\phi_n$.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
\begin{theorem}[přibližné identity]
 +
\label{veta4}
 +
Buď $\phi \in \D$ a nechť $\phi(x)\geq 0$ $\forall  x \in \R$ a navíc $\displaystyle \int_{\R}\phi(x) \dd x =1$. Označme $\phi_n(x) = n\phi(nx)$, tzv. {\it přibližnou identitu}.
 +
Pak pro libovolnou $\psi \in \D$ platí, že $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \psi$.
 +
\begin{proof}
 +
Je třeba opět ověřit podmínky konvergence v $\D$. Víme, že konvolucí testovacích funkcí vzniká testovací funkce. Proto stačí ukázat, že posloupnost $\phi_n(x)$ má stejně omezené nosiče.
 +
Nechť $\nf \phi \subset [-R,R]$. Pak  pro všechna $n\in \mathbb{N}$ zřejmě platí, že $\nf \phi_n(x) \subset \left[-\frac{R}{n},\frac{R}{n}\right] \subset [-R,R]$. Tímto máme zajištěnu stejnou omezenost nosičů.
 +
V důkazu stejnoměrné konvergence derivací si podstatnou část práce ulehčíme konstatováním, že $(\phi_n \ast \psi)^{(k)} = \phi_n \ast \psi^{(k)}$.
 +
Proto opět stačí uvažovat pouze nultou derivaci, neboť vyšší derivace by se ukázaly zcela stejným způsobem. Zkoumáme tedy rozdíl:
 +
$$\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert = \left \vert \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \psi(x-y) \dd y -
 +
\underbrace{\displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n}}\phi_n(y)\dd y}_{=1} \psi(x) \right \vert \leq $$
 +
$$\leq \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \left\vert \underbrace{\psi(x-y) - \psi(x)}_{< \epsilon} \right \vert \dd y \sk{\R}0$$
 +
Fakt, že výraz v posledním integrandu je menší než $\epsilon$ plyne ze stejnoměrné spojitosti testovací funkce $\psi$. Odtud již pak také plyne stejnoměrná konvergence celého výrazu k nule, neboť integrál z funkce $\phi_n(x)$ je dle předpokladu roven jedné a tedy  formálně jsme pro libovolné $\epsilon$ nalezli takové $n_0$, že pro všechna $x,y\in \R$ platí,
 +
že $\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert < \epsilon$. 
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Tento výsledek by pro nás neměl být zas až tak překvapivý, neboť jsme již dříve ukázali, že $\phi_n \to \delta$ v $\D'$.
 +
 
 +
\begin{theorem}[o aproximovatelnosti zobecněných funkcí]
 +
\label{veta5}
 +
Každá zobecněná funkce $f$ je limitou jisté posloupnosti funkcí $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \Ci$ \footnote{Zde chápejme tuhle notaci jako označení regulárních zobecněných funkcí,
 +
jejichž generátory jsou funkce třídy $\Ci$} ve smyslu konvergence v $\D'$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D$ a
 +
$\phi_n$ lze volit tak, že $\forall \psi \in \D$ je $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi$.
 +
\begin{proof}
 +
Nechť $\eta_n$ jsou přibližné identity z předešlé věty. Pak označme $\phi_n = f\ast \eta_n^-\in \Ci$. Toto plyne z věty \ref{veta1}. Pak $\forall \psi \in \D$
 +
$$(\phi_n ,\psi) = (f\ast \eta_n^- ,\psi) = (f, \eta_n \ast \psi) \stackrel{n\to +\infty}{\longrightarrow} (f,\psi)$$
 +
To ale znamená, že $\phi_n \to f$ v $\D'$. Poznamenejme, že při úpravě jsme ve druhém kroku využili poznámky za větou \ref{veta2}, následně jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a limitu jsme mohli vypočíst díky větě o přibližných identitách.
 +
 
 +
Pokud nyní navíc budeme předpokládat, že $\nf f$ je kompakt, máme $\phi_n = f\ast \eta_n^- \in \D$ dle věty \ref{veta1} a tudíž platí
 +
$$\phi_n \ast \psi = (f\ast \eta_n^-)\ast \psi \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=} f\ast (\eta_n^- \ast \psi) \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi.$$
 +
V přechodu ke konvergenci jsme využili věty \ref{veta1} a konvergence plyne z věty \ref{veta3}.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Touto větou jsme vytvořili aparát potřebný pro zavedení konvoluce zobecněných funkcí, kterou zavedeme v následující sekci.
 +
 
 +
\subsection{Konvoluce zobecněných funkcí}
 +
Než přistoupíme k samotné definici, je třeba vyslovit jistý požadavek. V naší definici budeme potřebovat, aby jedna z \uv{konvoluovaných} zobecněných funkcí měla kompaktní nosič. Tato podmínka totiž dle dříve dokázané věty zajišťuje to, že $f\ast \phi \in \D$, což potřebujeme.
 +
\begin{define}
 +
Buďte $f,g\in \D'$ a nechť $\nf f$ je kompakt. Pak {\bf konvolucí zobecněných funkcí $f$ a $g$} rozumíme
 +
$$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi) = (g(y),(f(x),\phi(x+y))),$$
 +
kde $f^-(x) = f(-x)$.
 +
\end{define}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Následující poznámky jsou jisté drobné postřehy o takto definovaném zobrazení:
 +
\begin{enumerate}
 +
\item Konvoluce je operace nad zobecněnými funkcemi a tedy jejím výsledkem je opět zobecněná funkce. Linearita plyne z linearity funkcí $f$ a $g$, spojitost ukážeme snadno. Uvažujme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
 +
Pak $(g\ast f, \phi_n)  = (g, f^- \ast \phi_n) \stackrel{\mbox{\scriptsize věta \ref{veta3}}}{\longrightarrow} (g,f^-\ast \phi ) = (g\ast f, \phi)$.
 +
\item Že je naše definice konzistentní a dobře pasuje do námi budované teorie dokazuje fakt, že beru-li $f\in \D$ (nikoliv z $\D'$!), tak dostávám pro $g\in \D'$ a $\phi \in \D$ dle poznámky pod větou \ref{veta2} toto:
 +
$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi)$ což je ve shodě s naší definicí.
 +
\item Konvoluce námi takto definovaná není symetrická! Existují obecnější definice konvoluce, např. v [Šťovíček] nebo [Krbálek], které mají vlastnost symetrie, ale je to na úkor jiných vlastností.
 +
\item Konvoluce má vlastnost levé spojitosti. Tzn. buď $g \in \D'$, $\nf g$ je kompakt. Buď dále $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$, $f\in \D'$ a nechť $f_n \to f$ v $\D'$.
 +
Pak $f_n\ast g \to f \ast g$ v $\D'$.
 +
\begin{proof}
 +
$$\left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n\ast g, \phi\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n\ast g, \phi) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n, g^-\ast \phi) =
 +
(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n,g^-\ast  \phi) = (f, g^-\ast \phi) = (f\ast g,\phi)$$
 +
\end{proof}
 +
\end{enumerate}
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{remark}
 +
Budeme uvažovat konvoluci v $\D'$ funkcí s omezeným nosičem (tj. s kompaktem).
 +
\end{remark}
 +
 
 +
\begin{theorem}[Vlastnosti konvoluce v $\D'$]
 +
Buďte $f,g,h\in \D'$ zobecněné funkce s omezeným nosičem. Pak
 +
\begin{enumerate}
 +
\item $f\ast g = g\ast f;$
 +
\item $(f\ast g) \ast h = f \ast (g\ast h);$
 +
\item $(f\ast g)' = f'\ast g = f\ast g';$
 +
\item $(f\ast g)(x-a) = (f(x-a))\ast g(x) = f(x) \ast g(x-a).$
 +
\end{enumerate}
 +
\begin{remark}
 +
Z předešlé poznámky a prvního bodu této věty plyne spojitost konvoluce v obou argumentech.
 +
\end{remark}
 +
\begin{proof}
 +
Dokážeme první tvrzení, zbytek je ponechán čtenáři jako cvičení.
 +
Dle věty \ref{veta5} víme, že pro $f\in \D'$ s omezeným nosičem existuje $\{\phi_n\} \subset \D$ taková, že $\phi_n \to f$ v $\D'$ a
 +
$\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$.  Rovněž pro $g\in \D' $ s omezeným nosičem existuje $\{\eta_n\} \subset \D$ taková, že $\eta_n \to g$ v $\D'$ a $\eta_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} g \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$.
 +
 
 +
Pro $\phi_n$ a $\eta_m$ platí, že $\phi_n \ast \eta_m \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \eta_m$. Zároveň z komutativity testovacích funkcí plyne, že
 +
$\eta_m \ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \eta_m \ast f$, protože pro $h\in\D'$ platí $(h\ast \phi_n ,\psi) = (h,\phi_n ^- \ast \psi) \to (h,f^-\ast \psi)$
 +
a volbou $h = \eta_m$. Tedy máme $f\ast \eta_m = \eta_m \ast f$. Pak již postup/limitu stačí provést v $m$  a tvrzení platí.
 +
\end{proof}
 +
\end{theorem}
 +
 
 +
Věnujme se nyní souvislosti konvoluce a tensorového součinu. Bylo by možné totiž provést následující úvahu:
 +
$(f\ast g, \phi) = (f,g^-\ast \phi) = (f(x),(g^-\ast \phi)(x)) = (f(x), (g^-(y),\phi(x-y))) = (f(x)\ts g(-y), \phi(x-y)) = (f(x)\ts g(y),\phi (x+y)).$
 +
Zde ale docházíme k problému, neboť funkce $\phi(x+y) \notin \D(\R^{2n})$. Při této úvaze totiž omezenost výsledného supportu zajišťuje omezenost supportů funkcí $f$ a $g$.
 +
 
 +
{\bf Příklad}
 +
 
 +
Určete $\delta \ast f$ pro $f\in \D'$ s kompaktním nosičem.
 +
 
 +
$$(\delta \ast f,\phi) = (f \ast \delta,\phi) = (f,(\delta ^- \ast \phi)) = (f,\phi), $$
 +
přičemž $(\delta ^- \ast \phi) = (\delta(-y),\phi(x-y)) = (\delta(y) ,\phi(x+y)) = \phi(x)$.
 +
 
 +
Odtud tedy plyne, že $\delta$ funguje jako jednotka při konvoluci. 
 +
 
 +
\section{Užití konvoluce pro řešení diferenciálních rovnic v $\D'$}
 +
Mějme $\mathrm{L}$ lineární diferenciální operátor (např. pro ODR $\mathrm{L} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k \frac{\dd^k}{\dd x^k}$). Řešíme nyní rovnici $\mathrm{L}u = f$.
 +
Označíme-li fundamentální řešení $\epsilon$ rovnice $\mathrm{L}\epsilon = \delta$. Pak $\mathrm{L}u=f$ má řešení $u=\epsilon \ast f $. Je tomu skutečně tak, protože
 +
$$\mathrm{L}u = \mathrm{L} (\epsilon \ast f) = (\mathrm{L}\epsilon) \ast f = \delta \ast f = f $$
 +
 
 +
Tímto jsme dostali odpověď na otázku, k čemu jsou ty zobecněné funkce vlastně vůbec dobré.

Aktuální verze z 7. 12. 2019, 16:51

PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01RMF

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01RMFMazacja2 16. 12. 201618:29
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMazacja2 28. 12. 201613:12
Header editovatHlavičkový souborMazacja2 18. 12. 201621:10 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaMazacja2 9. 11. 201620:51 predmluva.tex
Kapitola1 editovatMotivaceJohndavi 8. 4. 201916:34 motivace.tex
Kapitola2 editovatZobecněné funkceLomicond 7. 12. 201916:51 zobecnene_funkce.tex
Kapitola3 editovatIntegrální transformaceLomicond 25. 12. 201915:58 integralni_transformace.tex
Kapitola4 editovatŘešení dif. rovnicJohndavi 9. 4. 201915:15 reseni.tex
Kapitola5 editovatIntegrální rovniceJohndavi 8. 4. 201916:25 Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSturm-Liouvilleova teorieJohndavi 8. 4. 201915:35 Kapitola6.tex

Zdrojový kód

 %\wikiskriptum{01RMF}
 
 
\chapter{Zobecněné funkce}
V~této kapitole korektně zavedeme zobecněné funkce a~uvidíme, že naše předešlá definice je jen velmi speciálním případem zobecněné funkce. 
Zároveň budeme v~definici požadovat, aby náš nově definovaný objekt byl něco rozdílného od klasické funkce, ale zároveň se od ní příliš nelišil. 
Rádi bychom totiž využívali některá tvrzení a~některé věty, které již máme z~předchozího studia matematické analýzy dokázány. 
\section{Zavedení zobecněných funkcí}
\begin{define}
Nechť $f$ je lineární funkcionál nad $\D(G)$, tj, $f:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ a~$f$ je lineární. Množinu všech lineárních a spojitých, 
tj. konvergenci zachovávajících, funkcionálů nad $\D(G)$ nazveme {\bf prostorem zobecněných funkcí}, označujme ji $\D'(G)$. 
Hodnotu funkcionálu $f$ na funkci $\phi$ označujme $\left( f, \ \phi \right)$ namísto $f(\phi)$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item {\it Rovnost zobecněných funkcí} (tj. $f = g$ v $\D'$) nastává právě tehdy, když $\forall \phi \in \D $ platí, že $(f,\phi) = (g,\phi)$. 
\item $\D'$ je lineární vektorový prostor s~přirozeně definovanými operacemi sčítání a~násobení, tzn, $\forall f ,g \in \D'$ definujme sčítání
$$ (f+g,\phi) := (f,\phi) + (g,\phi) \: \forall  \phi \in \D $$
a pro $\alpha \in \mathbb{C}$ a pro $f\in \D'$ definujeme násobení
$$ (\alpha  \cdot f,\phi) := \alpha (f,\phi) \: \forall \phi \in \D. $$ 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
Vidíme, že prostor zobecněných funkcí závisí na volbě konvergence v $\D$. Tímto pojmem bude $\D'$~značně ovlivněno 
(kvůli identifikaci lineárních a~především spojitých funkcionálů nad  $\D$). Z~toho důvodu nyní definujeme konvergenci 
v~$\D$. Ještě předtím ale zavedeme pojem multiindex a~zavedeme notaci derivací pomocí multiindexu. 
 
\begin{define}
{\bf Multiindexem} $\alpha$ v~n-dimenzionálním prostoru rozumíme  uspořádanou n-tici čísel $\left(\alpha_1, \ \alpha_2, \ \dots, \ \alpha_n \right)$ ze 
$\mathbb{Z}_+ ^n := \left(\mathbb{N}\cup\{0\}\right)^n$. 
 
Označme $\vert \alpha \vert = \displaystyle \sum_{k=1} ^n \alpha_k $. 
 
S pomocí multiindexu pak můžeme psát
$x^{\alpha} =x^{\alpha_1}_1 x^{\alpha_2}_2 \cdots x^{\alpha_n}_n$. 
 
Definujme rovněž operátor 
$D^{\alpha} : = \displaystyle\frac{\partial^{\vert \alpha \vert}}{\partial^{\alpha_1}x_1 \partial^{\alpha_2}x_2 \dots \partial^{\alpha_n}x_n}$.
 
\end{define}
 
\begin{define}
Nechť $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N} }$ je posloupnost v $\D(G)$ a $\phi \in \D(G)$. Řekneme, že {\bf $\phi_n$ konverguje 
k~$\phi$ v $\D$}, označme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$, 
právě když 
\begin{enumerate}
\item nosiče $\phi_n $ jsou stejně (stejnoměrně) omezené, tj. \left( \exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$\footnote{symbolem $B_R(0)$ značíme otevřenou kouli se středem v bodě 0 a poloměrem R};
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n$ konverguje stejnoměrně na množině $G$ k~$D^\alpha \phi$, tedy $D^\alpha \phi_n \sk{G} D^\alpha \phi$. 
\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
Tato definice vyžaduje znalost limitní funkce $\phi$. Je ale možné definovat i~\uv{vlastnost konvergence} 
a~to za pomoci Bolzano-Cauchyovy podmínky pro stejnoměrnou konvergenci, 
která nám umožňuje nepsat ve druhé podmínce $D^\alpha \phi$. Pak můžeme tvrdit, že posloupnost funkcí 
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}}$ konverguje v~$\D$ a~tuto vlastnost zapisovat 
jako $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D(G)$ a nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} $. 
Pak existuje limitní funkce $\phi \in \D(G)$ taková, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$.
\begin{proof}
Důkaz nechť si čtenář provede sám jako cvičení. Při dokazování je vhodné najít kandidáta na funkci $\phi$ pomocí nulté derivace. 
Dále je vhodné si uvědomit, že kandidát musí být třídy $\Ci$ a~že $\nf \phi$ má být kompakt. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Příklad zobecněné funkce}
{\bf Diracova $\delta$-funkce}
 
S~touto funkcí jsme se setkali hned na začátku tohoto textu. Nyní ji korektně zavedeme a~dokážeme, že se jedná o~zobecněnou funkci. 
$$ \left(\forall \phi \in \D(\R) \right) \ \mbox{definujeme } \left(\delta, \ \phi\right) := \phi(0). $$
Pro $\delta$ musíme tedy ověřit, že je to funkcionál nad~$\D$, že je lineární a~že je spojitý.
\begin{enumerate}
\item[{\it Funcionál:}] $\delta: \D \longrightarrow \mathbb{C}$. Jelikož je $\phi(0) < + \infty$, víme, že se tedy jedná o~funkcionál, 
neboť jeho definice dává dobrý smysl $\forall \phi \in \D$.
\item[{\it Linearita:}] Uvažujme $\phi, \psi \in  \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak 
$$( \delta, \underbrace{\phi + \alpha \psi}_{\eta \in \D} ) = \eta(0) = \left( \phi + \alpha \psi \right) (0) 
= \phi (0) + \alpha \psi(0) = \left( \delta, \phi \right) + \alpha \left( \delta, \psi\right)$$
\item[{\it Spojitost:}] Abychom dokázali spojitost námi definovaného funkcionálu, uvažujme konvergentní posloupnost 
$\{ \phi_n \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \D$, která konverguje $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. 
Chceme ukázat, že odtud plyne, že v~$\mathbb{C}$~konverguje číselná posloupnost$\left(\delta, \phi_n\right) \longrightarrow \left(\delta, \phi\right)$. 
Můžeme bez újmy na obecnosti uvažovat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$ \footnote{Pokud by $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$, 
pak víme, že funkce~$\phi$ je opět testovací funkcí a~můžeme přejít od~$\phi_n$ k~$\phi_n - \phi$, která již konverguje~k~0. Funkce $\phi_n - \phi$ 
je totiž testovací, neboť její nosič je pouze podmnožinou sjednocení nosičů funkcí $\phi_n$ a~$\phi$ a~rozdílem dvou hladkých funkcí je opět funkce hladká. }.
Pak z toho, že posloupnost konverguje, plyne, že 
\begin{enumerate}
\item  $\left( \exists R>0 \right) \left(\forall n \in \mathbb{N} \right) \left(\nf \phi_n \subset B_R(0)\right)$;
\item $\forall \alpha \in \mathbb{Z}_+ ^n$ platí, že $D^\alpha \phi_n \sk{\R^n} 0$. 
\end{enumerate}
 
Druhá podmínka platí pro všechny multiindexy, tedy speciálně i~pro nulový. Pak tedy dostáváme $\phi_n \sk{\R^n} 0 \Rightarrow \phi_n(x) \stackrel{\R^n}{\rightarrow} 0$ pro všechna $x\in \R^n$. 
Pokud nyní za $x$ volím 0, dostávám tvrzení, které jsem chtěl dokázat, neboť $\underbrace{\lim_{n\to\infty} \left(\delta, \phi_n \right)}_{\displaystyle\lim_{n\to\infty} \phi_n(0) = 0} = \left(\delta, 0 \right) = 0$, přičemž poslední rovnost plyne z linearity funkcionálu. 
\end{enumerate}
 
\noindent Tímto jsme tedy dokázali, že {\it Diracova $\delta$-funkce} je zobecněnou funkcí. Obdobně se dá ukázat, že i~{\it centrovaná Diracova $\delta$-funkce}\footnote{\left(\delta_{x_0}, \ \phi\right) := \phi(x_0)} je zobecněná. Důkaz je zcela totožný, až na poslední krok, kdy se místo 0 volí $x_0$. 
 
\subsection{Souvislost mezi klasickými funkcemi a zobecněnými funkcemi}
V následujícím odstavci bychom chtěli ukázat, že každé klasické funkci $f$ můžeme přiřadit jistou zobecněnou funkci $\tilde{f}$. Jako množinu funkcí $f$, ke které 
budeme vytvářet množinu zobecněných funkcí, vezměme lokálně integrabilní funkce na $\R^n$. Pro tyhle funkce jsme již ukázali, že  integrál 
$\displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x$ konverguje pro každou $\phi \in \D(\R^n)$. Pro tuhle hezkou vlastnost budeme definovat zobecněnou funkci (tj. funkcionál)
následovně: 
$$\left(\tilde{f},\phi \right) := \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x)\dd x.$$ 
Z konvergence nám okamžitě plyne fakt, že $\tilde{f}:\D \longrightarrow \mathbb{C}$ je funkcionál.
Nyní, podobně jako v předešlém případě, dokážeme, že se jedná o zobecněnou funkci. 
\begin{enumerate}
\item[{\it Linearita:}] Buďte $\phi, \psi \in \D$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak 
$$\left( \tilde{f}, \phi + \alpha \psi \right) = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)(\phi + \alpha \psi) (x) \dd x = \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\phi(x) \dd x + 
\alpha \displaystyle \int_{\R^n}f(x)\psi(x) = \left(\tilde{f},\phi \right) + \alpha \left(\tilde{f},\psi \right). $$
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( \tilde{f},\phi_n \right) \longrightarrow 0 \mbox{ pro } n \to +\infty$.
Tedy platí, že $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(\tilde{f},\phi \right) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi_n(x) \dd x= 0$?
Pokud by bylo možné zaměnit limitu a integrál, pak bychom měli $\displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(x) \phi_n (x) \dd x
\stackrel{\phi_n(x) \to 0}{=} \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\cdot 0 \dd x  = 0$. Abychom mohli záměnu provést, je třeba ověřit podmínky věty o záměně, ale prakticky nám stačí nalézt 
integrabilní majorantu, která nezávisí na $n$. Tohle bude ukázáno na cvičení. 
\end{enumerate}
 
\begin{define}
O~zobecněné funkci $\tilde{f}$ řekneme, že je {\bf regulární zobecněnou funkcí}, ozn. $\tilde{f} \in \D'_{reg}$, pokud existuje klasická funkce~$f\in L^1_{loc}$~taková, 
že $(\tilde{f},\phi) := \displaystyle \int_{\R^n} f(x) \phi (x) \dd x \: \forall \phi \in \D  $. Klasickou funkci~$f$~pak nazýváme {\bf generátorem zobecněné funkce~$~\tilde{f}$}.
\end{define}
 
V následující části se budeme věnovat diskusi jednoznačnosti přiřazení klasické funkci regulární zobecněnou  funkci, tj. bude nás zajímat, jestli je možné ke každé regulární 
zobecněné funkci $\tilde{f}$ najít klasickou funkci $f$. Obráceně to jde, jak je vidno z definice regulární zobecněné funkce. Vyslovíme obecnou větu, kterou nedokážeme v plné obecnosti. Dokážeme její důsledek (ten je ale v~podstatě totožný s~tvrzením věty) a se zesílenými předpoklady. Zájemci o~důkaz věty v~plném znění jej naleznou ve [Šťovíček]. Než ale větu vyslovíme a dokážeme, 
připravíme si dvě lemmata a~jeden výsledek z~funkcionální analýzy, které pak pro její důkaz využijeme: 
 
\begin{lemma}[spojitost skalárního součinu]
\label{L1}
Buď $\H $ Hilbertův prostor a~nechť $\{x_n \} _{n\in\mathbb{N}} \subset \H$ taková, že $x_n \to x \in \H$. Pak 
$\langle x_n,y \rangle \to \langle x,y\rangle$ pro $n \to + \infty$ pro všechna $y\in \H$.
\begin{proof}
Nejprve přepíšeme výraz $\langle x_n, y\rangle = \langle x_n - x +x ,y \rangle = \langle x_n - x,y \rangle + \langle x,y \rangle$. Využijeme konvergence posloupnosti, tzn. 
$x_n \to x \in \H \Leftrightarrow \Vert x_n - x \Vert \to 0 $ v $\mathbb{C}$. Pak na výraz $\langle x_n - x,y \rangle $ aplikujeme Schwarzovu nerovnost, tedy 
$\vert \langle x_n - x,y \rangle \vert \leq \Vert x_n-x\Vert \cdot \Vert y \Vert$. Jelikož je $\Vert y \Vert < + \infty$, máme lemma dokázáno, neboť limitním 
přechodem pro $n \to + \infty$ získáme $\langle x_n, y\rangle  \stackrel{n \to + \infty}{\longrightarrow} \langle x,y\rangle$. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
Nechť $\langle a,b\rangle = 0$ pro všechna $b\in M$, kde $\overline{M} = \H$. Pak $a=0$ v $\H$.
\begin{proof}
Důkaz provedeme pro dva případy:
\begin{enumerate}
\item $M=\H$, pak $\langle a,h \rangle = 0$ pro libovolné $h\in \H$ a~tedy i~pro $h=a$. Pak ale $\langle a,a \rangle = 0$~a odtud~z~positivní definitnosti skalárního součinu plyne, že $a =0 $~v~$\H$.
\item $M\subset \H, \ \overline {M} = \H$. Tato vlastnost implikuje, že pro libovolné $h \in \H$ existuje $\{b_n \}_{n\in\mathbb{N}} \subset M $ taková, že $b_n \to h \in \H$.
Pak $\forall n \in\mathbb{N} $ máme pro libovolné $h\in \H$ 
$$0=\langle a,b_n \rangle \longrightarrow \langle a, \lim b_n \rangle = \langle a, h \rangle.$$ 
Zde využíváme předešlého lemmatu a první části důkazu tohoto lemmatu - s jejich  máme tvrzení dokázáno.  
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{lemma}
 
Následující výsledek pochází z funkcionální analýzy a dokazovat jej nebudeme:
\begin{theorem}
\label{Dscarkou}
Buď $\D$ prostor testovacích funkcí s~normou z~$L^p$. Pak $\D$ je v $L^p$ hustý, tedy $\overline{\D} = L^p.$
\end{theorem}
 
Nyní už věta, jejíž důsledek chceme dokázat:
\begin{theorem}[o jednoznačnosti]
Buďte $f,g \in L^1_{loc}(\R^n)$ a~$\tilde{f},\tilde{g} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = \tilde{g} \Leftrightarrow f(x) = g(x)$ skoro všude na $\R^n$. 
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[důsledek]
Buďte $f\in L^2(\R^n)$ a~$\tilde{f} \in \D'_{reg}(\R^n)$. Pak $\tilde{f} = 0 \Leftrightarrow f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n $. 
\begin{proof}
Klasicky dokážeme dvě implikace
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Triviální
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme tedy $\tilde{f}=0$~v~$\D' \Leftrightarrow (\tilde{f}, \phi ) = (0, \phi) =0$ pro všechna $\phi \in \D$. 
To ale znamená (dle definice akce) $\forall \phi \in \D: \: 0= \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x) \dd x = \langle f, \phi \rangle_{L^2(\R^n)} $ \footnote{Správně bychom měli psát $\langle f,\overline{\phi} \rangle$, ale je to jedno. } Nyní už máme skalární součin (z~tohoto důvodu jsme požadovali kvadratickou integrabilitu~$f$), takže využijeme druhého lemmatu a věty \ref{Dscarkou}. Pak totiž tyhle podmínky zaručují $f = 0$ v $L^2(\R^n)$, tedy $f(x) = 0$ skoro všude na $\R^n$. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Následující poznámky můžeme chápat jako důsledky a drobná pozorování, která z této věty plynou: 
\begin{enumerate}
\item Tato věta nám dává odpověď na otázku, jaká je souvislost mezi zobecněnými funkcemi a~klasickými funkcemi a~umožňuje 
zahrnout klasické funkce do funkcí zobecněných, resp. je takto elegantně propojit. Toto nás tudíž opravňuje vynechávat vlnku ve značení 
a~má smysl si například klást otázku, zda $x^n \in \D'$. Odpověď je ano, protože $x^n$ je spojitá funkce, tedy $x^n \in L^1_{loc}$, a~tedy $x^n \in \D'$.
\item Máme $\tilde{f} = \tilde{g}$ v $\D'$ definovanou jako $(f,\phi) = (g,\phi) \: \forall \phi \in \D$. Nyní jsme k tomuto navíc ukázali, že 
$\forall \tilde{f}, \tilde{g} \in \D'_{reg}$ platí, že $(\tilde{f},\phi) = (\tilde{g},\phi) \Rightarrow \tilde{f} = \tilde{g} \mbox{ v } \D'$, ale i~fakt, že~$f=g \mbox{ v } L^2.$
Tímto jsme zobecnili pojem \uv{rekonstrukce funkce z testovací funkce}.
\item Velikost množiny $\D$ je zásadní. Zkuste si vzít za prostor $\D$ např. množinu všech konstantních funkcí a provést naši konstrukci znova. 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\subsection{Příklady}
Na cvičeních jsme ukázali, že funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}(x) :=\left\{\begin{array}{ll} \exp\left(-\displaystyle \frac{4}{1-\left(\frac{x}{a} \right)^2}\right), &\mbox{pro } x\in\left[-a,a\right], \\[.2em] 0, &\mbox{pro ostatní } x. \end{array}\right $ 
je testovací funkcí. Podívejme se, jak se chová integrál 
$\displaystyle \int^x_{-\infty}\phi_{\left[-a,a\right]}(y) \dd y$. Tato nová funkce od x je až do $-a$ nulová a od $a$ konstantní. 
Zaveďme jistou speciální funkci:
\begin{define}
{\bf Heavisideova funkce $\Theta(x)$} je funkce $\Theta: \R \to \{0,1\}$ definovaná následovně:
$$\Theta(x)=\left\{\begin{array}{ll} 1, &\mbox{pro } x\geq0, \\[.2em] 0, &\mbox{pro } x<0. \end{array}\right.$$
\end{define}
Definujeme-li ještě operaci konvoluce funkcí, můžeme použít pro náš integrál elegantní zápis. 
\begin{define}
Buďte $f,g$ klasické funkce integrabilní s kvadrátem. Pak {\bf konvolucí funkcí $f$ a $g$}, kterou označujeme $f\ast g$, rozumíme
$(f \ast g)(x) := \displaystyle \int_{\R} f(y) g(x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R}g(y)f(x-y) \dd y. $$
\end{define}
\begin{remark}
O konvoluci a jejím korektním zavedení bude řeč později. 
\end{remark}
\begin{remark}
Konvoluce funkce a Heavisideovy funkce je vlastně \uv{vyhlazením} Heavisideovy funkce danou funkcí.
\end{remark}
Ve smyslu této definice je pak možno náš integrál psát jako $\Theta(x) \ast \phi_{\left[-a,a\right]}$. Pokud bychom nyní udělali konvoluci funkce $\phi_{\left[-a,a\right]}$ 
a~\uv{obrácené} Heavisideovy funkce, tj. funkce, která přiřazuje jedničku všem $x<0$ a provedli součin těchto dvou integrálů, získáme opět testovací funkci. 
Toto tvrzení, zformulované níže, bude dokázáno na cvičeních, ale je zřejmé. 
 
\begin{theorem}
Nechť $f \in L^1_{loc}$ a buď $\epsilon >0$. Pak $f(x) \ast \phi_{\left[-\epsilon, \epsilon\right]} (x) \in \Ci$. 
\end{theorem}
\vspace{1cm}
{\bf Příklady zobecněných funkcí}
\begin{enumerate}
\item Již jsme dokázali, že $\delta_{x_0} \in \D'$.
\item Ukázali jsme, že $\D'_{reg} \subset \D'$.
\item Zobecnění Diracovy $\delta$-funkce do $\R^n$ 
\begin{define}
Nechť  $S$ je po částech hladká nadplocha v $\R^n$ a $\nu(x)$ je funkce spojitá na $S$. Definujme 
$$\left( \nu \delta_S , \phi \right):= \displaystyle \int_S \nu(x)\phi(x) \dd S \quad \forall \phi \in \D.$$
Funkcionál $\nu\delta_S$ nazýváme {\bf jednoduchou vrstvou}. 
\end{define}
I tento funkcionál je zobecněnou funkcí, tj. $\nu\delta_S \in \D'$ (cvičení)
\item Vyvstává otázka, zda je libovolné funkci možné přiřadit zobecněnou funkci, tj. funkcionál, který by měl podobné chování? 
Například bychom chtěli vyřešit problém, který vyvstane, když chceme funkci $f(x) = \frac{1}{x}$ přiřadit zobecněnou funkci. Narážíme na problém, neboť 
$\frac{1}{x} \notin L^1_{loc}(R)$, a proto $\frac{1}{x}$ nelze chápat jako zobecněnou funkci. 
Cítíme ale, že by bylo vhodné, abychom nějakou takovou zobecněnou funkci měli. 
Proto provedeme tzv. {\it regularizaci} této funkce, která by náš problém mohla odstanit. 
Vidíme, že problematickým bodem v definičním oboru (a tedy i při integraci) je 0. 
Zkusíme tedy definovat funkcionál, který by \uv{suploval} funkci $\frac{1}{x}$ následovně: 
$$ \left( P\frac{1}{x}, \phi(x) \right) := \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+} \displaystyle \int_{\R \backslash (-\epsilon,\epsilon)} \frac{\phi(x)}{x}\dd x $$
Tato limita se běžně označuje  jako $V_p\displaystyle \int_{\R} \frac{\phi(x)}{x}\dd x$ a nazývá se {\it integrál ve smyslu hlavní hodnoty}. 
Na cvičeních bude ukázáno, že tímto krokem dojde k odstranění našeho problému, tj. $P\frac{1}{x}\in \D'$ a že se zachovávají vlastnosti, které 
platily pro klasické funkce (např. $x^n P\frac{1}{x} = x^{n-1}$ v $\D'$ pro $n \geq 1$).
\end{enumerate}
 
Zabývejme se nyní otázkou, jestli jsou veškeré zobecněné funkce zobecněnými regulárními funkcemi, ekvivalentně jestli je množina $\D' \backslash \D'_{reg}$ neprázdná. 
Pokud nějaká taková zobecněná funkce existuje, nazvěme ji {\it singulární zobecněnou funkcí}.
 
\begin{theorem}
Diracova $\delta$-funkce je singulární zobecněnou funkcí, tj. $\delta \in \D' \backslash \D'_{reg}$. 
\begin{proof} (pro jednoduchost a ilustrativitu tohoto tvrzení předpokládejme $\D'(\R^1)$) \\
{\it Sporem:} Nechť $\exists f\in L^1_{loc}$ taková, že $\left( \tilde{f},\phi \right) = \left( \delta, \phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$. 
Zároveň z definice Diracovy funkce máme $\phi(0) = \left(\delta, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R}f(x)\phi(x) \dd x$ pro všechna $\phi \in \D$. 
Buď nyní $\eta(x) = x^2\in \Ci$. Pak zjevně $\eta\phi \in \D$  pro všechna $\phi \in \D$. Zároveň víme, že 
$(\eta\phi)(0) = 0 = \displaystyle \int_{\R} f(x) \eta(x) \phi(x) \dd x$  pro všechna $\phi \in \D$. Odtud ale plyne, že 
$(f\eta)(x) = 0$ skoro všude a~tudíž $f = 0$ skoro všude. Tohle je ale spor, neboť v~tuto chvíli by Diracova funkce byla vždy nulová. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Zavedení základních operací v $\D'$}
Cílem této části bude zavést operace na prosotru $\D'$ tak, aby co nejvíce odpovídaly operacím na prostoru klasických funkcí. Například nás bude zajímat, 
jestli je možné zaměnit derivaci v~$\D$ a~v~$\D'$. 
\subsection{Derivace v $\D'$}
Budeme chtít, aby bylo jedno, jestli funkci $f$ nejdříve zderivuji (jako klasickou funkci) a~pak z~ní vytvořím 
zobecněnou funkci $\widetilde{f'}$, nebo jestli nejprve vytvoříme z klasické funkce $f$ funkci zobecněnou $\tilde{f}$ a~tu zderivujeme v $\D'$, 
tj. chceme, aby platilo, že $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$. 
 
Zdálo by se přirozené pro $f \in \D'$ zavést tuto derivaci $f' \in \D'$ takto: 
$$ \left( f', \phi\right) := \left(f, \phi ' \right) \mbox{ pro všechny } \phi \in \D.$$
Tato definice je intutitvní (nikoliv však na první pohled), ale bohužel špatná.
Abychom tedy nalezli ekvivalent derivace, je třeba se držet striktně našich požadavků. 
Proto požadujeme, aby platilo  $\widetilde{f'} = \left(\tilde{f}\right)'$, tj. $\left(\left(\tilde{f}\right)', \phi \right) = \left(\widetilde{f'}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} f'(x)\phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} \left[ f(x)\phi(x) \right]^{+\infty}_{-\infty} - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi(x)' \dd x = - \left(\tilde{f},\phi'\right). $
Tedy tímto můžeme definovat derivaci v $\D'$, která je kompatibilní s~derivací v~klasickém smyslu. 
 
\begin{define}
Buď $f \in \D'(\R).$ Pak derivaci $f'$~v~$\D'(\R)$ definujeme předpisem 
$$ (f',\phi):= - (f, \phi') \mbox{ pro libovolné } \phi \in \D. $$  
\end{define}
 
Nyní ověříme, že takto definovaná derivace zobecněné funkci $f$ přiřadí opět zobecněnou funkci $f'$. Abychom tohle dokázali, je třeba ukázat, že jsou splněny tři podmínky:
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] Že se jedná o funkcionál je zřejmé, neboť derivace je definovaná jako $-\left(f, \phi'\right)$ a vzhledem k faktu, že $\phi'\in \D$. Odtud již potom 
plyne, že $\vert -\left(f, \phi'\right) \vert < + \infty $, čímž je dokázána dobrá definice funkcionálu. 
\item[{\it Linearita:}] Buďte $ \phi, \psi \in \D(\R)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Pak 
$$ \left(f',\phi + \alpha \psi \right) = - \left(f, \left(\phi + \alpha \psi \right)'\right) = -\left(f,\phi' \right) -\alpha \left(f,\psi'\right) = \left(f',\phi\right) + \alpha \left(f',\psi\right)$$
Při dokazování jsme využili nejprve definici derivace v~$\D'(\R)$ a~následně faktu, že $f$~je zobecněná. 
\item[{\it Spojitost:}] Nechť $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$. Pak chceme ukázat, že $\left(f', \phi_n\right) \to \left(f',0\right) = 0$ v~$\mathbb{C}$. Proto
$$ \limits \lim_{n \to +\infty} \left(f', \phi_n \right) = \limits \lim_{n \to +\infty}\left[  -\left(f, \phi'_n\right)\right] = (f, \underbrace{\limits \lim_{n \to +\infty} \phi'_n}_{0}) = 0$$
První úprava je jen přepsání výrazu v limitě dle definice. Ve druhém kroku bychom chtěli využít spojitosti zobecněné funkce $f$. 
Proto musíme ověřit, že platí implikace $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \phi'_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 $. 
Toto ale platí, neboť posloupnost funkce  $\phi'_n $ mají stejnoměrně omezené nosiče. Tato vlastnost plyne z~inkluze $\nf \phi'_n \subset \nf \phi_n$ pro libovolné $n$. 
Druhá podmínka, tj. podmínka na stejnoměrnou konvergenci všech derivací, je splněna triviálně díky konvergenci $\phi_n$ v $\D$. 
\end{enumerate}
 
Tedy jsme našli zobrazení na prostoru $\D'(R)$, které libovolné funkci $f\in \D'(R)$ přiřadí $f \longmapsto f' \in \D'(R)$. Tento postup mohu očividně opakovat a~vždy získám zobecněnou funkci. 
\begin{theorem}
Každá zobecněná funkce $f$ má všechny derivace. 
\begin{proof}
Vizte poznámku výše.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Derivaci jsme zavedli pouze pro $f\in \D'(\R)$. Pokud bychom chtěli provést rozšíření, stačí si uvědomit, že za každý další řád derivace přibude pouze další znaménko \uv{$-$}. 
Proto můžeme definovat derivaci pro libovolnou $f \in \D' (\R^n)$ následovně:
$$ \left(D^{\alpha} f, \phi\right): = (-1)^{\vert \alpha \vert} \left( f, D^{\alpha} \phi \right) $$.
\end{remark}
 
{\bf Příklad}
Najděte $\vert x \vert '$ v $\D'(\R)$. Zjevně hledáme zobecněnou funkci $f$ takovou, že $\left( \vert x \vert ', \phi \right) = \left(f, \phi \right)$ pro všechny $\phi \in \D$. 
Nejprve se přesvědčíme, že notace $\vert x \vert '$ dává dobrý smysl. Zcela jistě ano, protože $\vert x \vert \in \D'$, což plyne z faktu, že $\vert x \vert $ je jako klasická funkce lokálně integrabilní na $\R$. 
Nyní již hledejme funkci $f$:\footnote{V tomto příkladu budeme pro větší přehlednost používat označení vlnkou pro zobecněnou funkci vytvořenou z~lokálně integrabilní funkce.}
$$\left( \widetilde{\vert x \vert} ' , \phi(x) \right) = - \left( \widetilde{\vert x \vert}, \phi'(x) \right) = - \displaystyle \int_\R \!\vert x \vert \phi'(x) \dd x = 
- \displaystyle \int_{- \infty}^0 \!\underbrace{\vert x \vert}_{-x} \phi'(x) \dd x - \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! \underbrace{\vert x \vert}_{x} \phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=} $$
$$= \underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]_{- \infty}^0}_{= 0} - \displaystyle \int_{- \infty}^0\! 1 \cdot \phi(x) \dd x - 
\underbrace{ \left[ x \phi(x) \right]^{+ \infty}_0}_{= 0} + \displaystyle \int^{+ \infty}_0 \! 1 \cdot \phi \dd x = \displaystyle \int_{\R} \sgn (x) \phi(x) \dd x  = \left(\widetilde{\sgn (x)}, \phi(x) \right). $$
Tímto jsme dokázali, že $\widetilde{\vert x \vert} ' = \widetilde {\sgn(x)}$ v~$\D'(\R)$.
 
\subsection{Regulární lineární transformace}
\begin{define}
Buď $f\in \D'$, dále $\A \in \R^{n,n}$ regulární matice a $\bb \in \R^n$ vektor. Pak definujeme {\bf regulární lineární transformaci $g^{f}_{\A, \bb}$ } zobecněné funkce $f$ vztahem: 
$$\left(g^{f}_{\A, \bb}, \phi \right) := \left( f, \psi^{\phi}_{\A, \bb} \right). $$
Přičemž $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) := \frac{1}{\vert \det \A \vert}\phi\left(\A^{-1}(x-b)\right)$ pro všechny $\phi \in \D$.
\end{define}
 
\begin{remark}
Tato definice je korektní, neboť $\psi^{\phi}_{\A, \bb}(x) \in \D \Leftrightarrow \phi \in \D$. Tato transformace funkce $\phi$ neovlivní její hladkost a~support se jen regulárně transformuje, 
tj. posune se anebo se přeškáluje. 
\end{remark}
\begin{remark}
Obvykle se tato transformace zapisuje ale poněkud odlišně: 
$$ \left( f (\A x+\bb), \phi(x) \right):=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right).$$
\end{remark}
Tato notace je rozumná, jen je třeba si uvědomit, že zobecněná funkce $f\in \D'$ nemá argument $x$, ale jistou funkci! V následujícím odstavci pochopíme, proč se tato notace používá a~že je vlastně velmi přirozená. Naším cílem je totiž získat zobecněnou funkci takovou, aby $\widetilde{f(\A x+\bb)} = \tilde{f}(\A x+\bb)$. 
Z~této podmínky pak totiž dostaneme:
$$ \left(\tilde{f}(\A x+\bb), \phi(x) \right) = \left(\wildetilde{f(\A x+\bb)}, \phi(x) \right) = \displaystyle \int_{\R^n} f(\A x+\bb)\phi(x) \dd x = \left\{ 
\begin{array}{c} \mbox{\scriptsize transformace} \\ 
y = \A x + \bb  \\
 x = \A^{-1}(y-b) \\ 
\vert \mathcal{J} \vert = \frac{1}{\vert \det \A \vert}\\
\end{array}
\right\} =$$
$$ = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \displaystyle \int_{\R^n} f(y) \phi\left(\A^{-1}(y-b)\right) \dd y = \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left(\tilde{f}(x), \phi\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right). $$ 
Opět ověříme, že regulární transformace je operace, která zobecněnou funkci zobrazuje na zobecněnou funkci. 
\begin{theorem}
Buď $f \in \D'$. Pak $f(\A x+\bb) \in \D'$. 
\begin{proof}
Opět stačí ověřit tři podmínky. 
\begin{enumerate}
\item[{\it Funkcionál:}] zřejmé;
\item[{\it Linearita:}] opět zřejmá, plyne z linearity $f$;
\item[{\it Spojitost:}] Chceme ukázat, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0 \Rightarrow \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) \to 0$. Tedy
$$\limits \lim_{n \to + \infty} \left( f(\A x +\bb), \phi_n(x) \right) = \limits \lim_{n \to + \infty}  \frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right) \right) = $$
$$=\frac{1}{\vert \det \A \vert} \left( f(x), \underbrace{\limits \lim_{n \to + \infty}\phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)}_{=0} \right) = 0. $$
V první rovnosti jsme jen použili definici, ve druhé jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a~faktu, že pokud $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$, 
tak i~$\psi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} 0$,kde $\psi_n = \phi_n\left(\A^{-1}(x-b)\right)$. V~další se pak jen využije stejnoměrné konvergence funkcí $\phi_n$ k nule.
Odtud již plyne bodová konvergence k nule a~poslední rovnost je důsledkem linearity $f. $
\end{proof}
\end{theorem}
Tímto jsme získali zajímavý nástroj, pomocí kterého můžeme zkoumat např. posunutí zobecněných funkcí (to se děje volbou jednotkové matice $\A$). 
Rovněž sudost a lichost zobecněných funkcí lze takto vyšetřovat. Toto si ukážeme na následujícím příkladu, kde určíme, jestli je Diracova funkce sudá.
 
{\bf Příklad}
Je Diracova funkce sudá, tj. platí, že $\delta(-x) = \delta(x)$ v $\D'$?
 
Vyjdeme z~rovnosti v~$\D'$, tj. ověřujeme,  zda platí, že $(\delta(x), \phi(x) ) = (\delta(-x), \phi(x) )$.
Upravujeme nejprve levou stranu výrazu: 
$$(\delta(x), \phi(x) ) \stackrel{\A = \mathbb{I},\\ \bb = 0}{=} (\delta, \phi) = \phi(0) $$
Nyní upravíme pravou stranu a využijeme toho, že tentokrát je $\A = -\mathbb{I}$ a $\bb=0$. 
$$(\delta(-x), \phi(x) ) = \frac{1}{1} (\delta(x), \underbrace{\phi(-x)}_{\psi(x)}) = (\delta, \psi) = \psi(0) = \phi(0).$$
Tímto je dokázáno, že Diracova funkce je sudá funkce.
 
\subsection{Násobení hladkou funkcí v $\D'$}
Opět bychom chtěli vytvořit operaci násobení hladkou funkcí, která by pro $a\in \Ci$ a $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ splňovala následující: $\tilde{a}\cdot\tilde{f} = \widetilde{a \cdot f}$. 
Z této podmínky dostáváme:
$$\left(\tilde{a}\cdot\tilde{f}, \phi \right) = \left(\widetilde{a \cdot f}, \phi \right) = \displaystyle \int_{\R} a(x)f(x)\phi(x) \dd x =  
\displaystyle \int_{\R} f(x)\underbrace{a(x)\phi(x)}_{\in \D} \dd x = \left(\tilde{f}, a\phi \right).$$
Z tohoto důvodu jsme při zavedení testovacích funkcí diskutovali možnost jejich násobení hladkou funkcí. 
\begin{define}
Buď $a\in \Ci$ a $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a nechť $f\in \D'$. Pak definujeme $\left(\tilde{a}\cdot f, \phi \right) : = \left( f, a\phi \right)$ pro všechna $\phi \in \D$.
\end{define}
Není možné zeslabit předpoklad na $a \in \Ci$, kvůli požadavku, aby $a\phi \in \D$. Z~tohoto důvodu není možné například vynásobit dvě Diracovy funkce. 
 
\begin{theorem}
Buď $\tilde{a}\in \D'_{reg}$ a $a\in \Ci$ a nechť $f \in \D'$. Pak $\tilde{a}\cdot f \in \D'$.
\begin{proof}
Důkaz je v~podstatě identický jako u předchozích operací a~čtenář si jej může provést sám jako domácí cvičení.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Vlastnosti operací v $\D'$}
V~této sekci se budeme zabývat vlastnostmi operací nad prostorem zobecněných funkcí. Ukážeme si, že nad prostorem zobecněných funkcí lze formulovat podobné věty jako v~matematické analýze 
(např. věty o~záměně) a~že se tyto věty dají formulovat oproštěné od veškerých sáhodlouhých předpokladů a~rovněž jejich důkazy jsou vyloženě triviální.
\subsection{Limita v $\D'$}
Nejprve ještě definujeme pojem intuitivní, ale dosud korektně neformulovaný:
\begin{define}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí. Řekneme, že
{\bf posloupnost zobecněných funkcí $f_n$ konverguje v $\D'$ k zobecněné funkci $f \in \D'$}, ozn. $f_n \to f$, právě tehdy když $\forall \phi \in \D$ platí,
že $(f_n,\phi) \to (f,\phi)$ jako číselná posloupnost. 
\end{define}
Když známe pojem konvergence, můžeme zavést i pojem limity v $\D'$ (jedná se téměř o totéž)
\begin{define}
Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že 
{\bf limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$}, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když 
$\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$. 
\end{define}
 
\begin{theorem}[o záměně limity a derivace]
Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$. Pak $\left (\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n\right)' = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (f_n)'$ v $\D'$. 
\begin{proof}
Zvolme libovolnou $\phi \in \D$. Pak 
$$ \left((\lim_{n \to + \infty} f_n)', \phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=} - \left(\lim_{n \to + \infty} f_n, \phi' \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=}
- \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f_n,\phi '\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. derivace}}{=}$$
$$= \limits \lim_{n \to + \infty} \left(f'_n,\phi \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \left(\lim_{n \to + \infty} f'_n, \phi \right)$$
\end{proof}
\end{theorem}
Na následujícím příkladu si ukážeme užitečnost této věty. 
 
{\bf Příklad}
Vypočtěte limitu $\displaystyle  \lim_{n \to +\infty} \cos nx$ v $\D'$. Zjevně má smysl se zabývat touto otázkou, neboť $\cos nx \in L^1_{loc}$. 
Pokud se pokusíme tuto limitu počítat z definice, brzy narazíme na integrál, který nebudeme schopni spočítat. Proto se nejprve zabývejme 
následující limitou v $\D'$: $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{1}{n} \sin nx$. 
$$\left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}, \phi(x) \right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \limits \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx, \phi(x) \right) =
\limits \lim_{n \to +\infty} \displaystyle \int_{\R} \frac{1}{n} \sin nx \phi(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize záměna}}{=} \displaystyle \int_{\R} 0 \dd x = 0$$
Odtud vidíme, že $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\frac{1}{n} \sin nx = 0$. Proto nyní využijeme věty, kterou jsme dokázali, a s její pomocí máme
$$0= \left(\limits \lim_{n \to +\infty} \widetilde{\frac{1}{n} \sin nx}\right)' \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta}} = \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{1}{n} \sin nx\right)' = \lim_{n \to +\infty}
\cos nx $$
Tímto jsme vypočítali limitu, kterou bychom jinak spočíst nedokázali. Je vhodné si povšimnout, že v poslední úpravě jsme využili naší definice derivace a faktu, že $\sin nx \in L^1_{loc}$.
 
\begin{theorem} 
Buďte $\{f_n \}_{n\in \mathbb{N}}, \{g_n \}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D'$ a nechť jsou $f,g \in \D'$ takové, že $f_n \to f$ a $g_n \to g$. Pak
\begin{enumerate}
\item $f_n + g_n \to f+g \mbox{ v } \D'$;
\item $\tilde{a}\cdot f_n \to \tilde{a} \cdot f \mbox{ pro libovolnou } a\in \D'_{reg}, a\in \Ci$;
\item $f'_n \to f'$;
\item $f_n(\A x + \bb) \to f(\A x + \bb)$. 
\end{enumerate}
\begin{proof}
Důkaz je ponechán čtenáři jako cvičení. Princip důkazu je ale vždy stejný. Jen se dle definice rozepíše levá strana a její působení na funkci $\phi$ a následně se upravuje dle definic. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Identity kalkulu}
V této sekci zformulujeme pro zobecněné funkce již známá tvrzení z matematické analýzy. 
\begin{theorem}[o derivaci složené funkce]
Buďte $f \in \D'(\R)$ a  $0\neq A, b$ konstanty. Pak 
$$\left[f(Ax+b)\right]' = A \cdot f'(Ax+b) $$
\begin{proof}
Upravujme levou stranu výrazu:
$$ \left(\left[f(Ax+b)\right]', \phi \right) = - \left( f(Ax+b), \frac{\dd \phi}{\dd x} \right) = -\frac{1}{| A |} \left(f(y), \left \frac{\dd \phi}{\dd x} \right|_{x = A^{-1}(y-b)} \right) = (\ast)$$
Na pravé straně jsme tentokrát nedostali přesně ten výraz, který bychom rádi, ale drobným trikem si k němu pomůžeme. Potřebujeme totiž výraz
$$\frac{\dd }{\dd y} \phi( A^{-1}(y-b) ) = \left \frac{\dd \phi}{\dd x}\right|_{x = A^{-1}(y-b)} \underbrace{\frac{\dd }{\dd y}( A^{-1}(y-b) )}_{\frac{1}{A}}$$
Odtud již nyní ale můžeme snadno dosadit do námi upravovaného výrazu $(\ast)$:
$$ (\ast) = -\frac{A}{|A|} \left(f(y), \frac{\dd \phi}{\dd y}\left( A^{-1}(y-b)\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize derivace}}{=} \frac{A}{|A|} \left(f'(y), \phi\left(A^{-1}(y-b)\right) \right) = 
A \cdot \left(f'(Ax+b), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Je snadno nahlédnutlné, jak by se vztah změnil, pokud bychom uvažovali $\R^n$ a derivovali dle konkrétní proměnné. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Leibnizovo pravidlo]
Buďte $f\in \D'(\R)$, $\tilde{a} \in \D'_{reg}(\R)$ a nechť $a \in \Ci$. Pak 
$$(\tilde{a}\cdot f)' = \widetilde{a'}\cdot f + \tilde{a} \cdot f' \quad \mbox{v } \D'(\R). $$
\begin{proof}
Důkaz začíná neintuitivně (tentokrát neupravujeme levou stranu), ale je triviální\footnote{Z čisté lenosti nebudeme v důkaze psát $a\cdot f$, ale jen stručně $af$ atp.}:
$$(\tilde{a}f', \phi) = (f', a\phi) = - (f, (a\phi)' ) = -(f, a'\phi + a\phi ') = -(f, a'\phi) - (f,a\phi') = $$
$$=-(\widetilde{a'}f,\phi) -(\tilde{a}f, \phi') = -(\widetilde{a'}f,\phi) + ((\tilde{a}f)',\phi) = (((\tilde{a}f)' - \widetilde{a'}f),\phi)$$
Odtud již plyne dokazované tvrzení. 
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pokud bychom postupovali dále matematickou indukcí, rozšířili bychom tvrzení i pro n-tou derivaci.
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o záměně parciálních derivací]
Buď $f\in \D'(\R^n)$. Pak 
$$\frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} f = \frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} f. $$
\begin{proof}
$$\left(\frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} f(x), \phi(x) \right) = - \left(\frac{\partial }{ \partial x_l} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_k} \phi(x) \right) = \left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} \phi(x) \right) \stackrel{\phi \in \Ci}{=}$$
$$ =\left(f(x), \frac{\partial ^2}{\partial  x_k \partial  x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial }{ \partial x_k} f(x), \frac{\partial }{ \partial x_l} \phi(x) \right) = \left(\frac{\partial ^2}{\partial  x_l \partial  x_k} f(x), \phi(x) \right).$$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Notací, kterou používáme pro značení smíšených parciálních derivací, myslíme $$\frac{\partial^2 }{\partial x_k \partial x_l} f(x) := \frac{\partial}{\partial x_k} \left(\frac{\partial f(x)}{\partial x_l}\right).$$
\end{remark}
 
\begin{theorem}[o derivaci po částech spojité funkce]
Buď $M \subset \R$, $M = \{ x_n \}$ nejvýše spočetná množina bez hromadného bodu. Buď dále $f \in \mathcal{C}^{1}(\R \backslash M )$ a nechť $\forall x\in M$ existují konečné jednostranné limity klasické funkce $f$. Nechť dále je $\{f'\} \in L^1_{loc}$, kde $\{f'\}$ označuje klasickou derivaci funkce $f$ všude, kde je možné ji provést. Pak v $\D'$ platí
$$\tilde{f}' = \widetilde{\{f'\}} + \displaystyle \sum_{s \in M} \left[f\right]_s \delta (x-s),$$
kde symbol $\left[f\right]_s := \displaystyle \lim_{x \to s^+} f(x) - \displaystyle \lim_{x \to s^-} f(x)$. 
\begin{proof}
Uvažujme BÚNO množinu $M = \{x_0\}$  jednoprvkovou. Z důkazu vyplyne, že provést zobecnění pro nejvýše spočetnou není problém.
$$(\tilde{f}',\phi ) = - (\tilde{f}, \phi' ) = - \displaystyle \int_{\R} f(x)\phi'(x) \dd x = - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f(x)\phi'(x) \dd x -\displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f(x)\phi'(x) \dd x \stackrel{\mbox{\scriptsize per partes}}{=}$$
$$ = -\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]^{x_0}_{-\infty} }_{\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int^{x_0}_{-\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) - 
\left( \underbrace{\left[ f(x)\phi(x)\right]_{x_0}^{+\infty} }_{-\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)} - \displaystyle \int_{x_0}^{+\infty} f'(x)\phi(x) \dd x \right) =$$
$$ = \displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x + \underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x)\phi(x)}_{\phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)} -
\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x)\phi(x) }_{ \phi (x_0)\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)} = 
\displaystyle \int_{\R} \{f'\} \phi(x) \dd x \ + \ \phi(x_0) \left[ \displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) \right] = $$
$$ = (\widetilde{\{f'\}},\phi) + \left(\underbrace{\displaystyle \lim_{x\to x_0^{+}} f(x) - \displaystyle \lim_{x\to x_0^{-}} f(x) }_{\left[f\right]_{x_0}}\right) (\delta _{x_0},\phi) = 
\left(\widetilde{\{f'\}} + \left[f\right]_{x_0}\delta(x-x_0),\phi \right). $$
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
V poslední úpravě jsme použili tvrzení $\delta_{x_0} =\delta(x-x_0)$, které se bude dokazovat na cvičeních, ale čtenář si jej může dokázat snadno sám, protože se jedná jen o regulární transformaci.
\end{remark}
Zkusme nyní tuto větu aplikovat a vypočíst derivaci Heavisideovy funkce $\Theta(x)$. Je zřejmé, že $\{ \Theta'(x) \} = 0$. Jediným problematickým bodem je 0, kde má funkce jednotkový skok. Proto 
$\left[\Theta\right]_0 = 1$ \footnote{Zde je třeba si uvědomit, že nás nezajímá jen velikost skoku, ale i jeho \uv{orientace}, tj. je třeba si ohlídat znaménko. }. Pak již $\Theta'(x) = 0 + 1\cdot \delta(x-0) = \delta(x)$ v $\D'$.
Již dříve jsme ukázali, že $|x|' = \sgn x$. Nyní zkusme vypočítat $|x|'{}'{}'$:
$$|x|'{}'{}' = (|x|')'{}' = (\sgn x)'{}'  = (\sgn'x)' = (0 + 2\delta(x-0))' = 2\delta'(x) $$
V tomto příkladu jsme větu použili ve druhé a čtvrté rovnosti. V poslední ji použít nemůžeme, neboť nejsou splněny předpoklady věty.
\begin{theorem}
Nechť $f$ je po částech spojitá funkce na $\R$ taková, že $f \in L^1(\R)$ a nechť $\displaystyle \int_{\R} f(x) \dd x =1 $ (toto je pouze normalizační, technická podmínka). Pak pro 
$f_a(x) = af(ax)$ platí: 
$$ \widetilde{f_a}(x) \to \delta(x) \mbox{ v } \D' \mbox{ pro } a\to +\infty $$
\begin{remark}
Definice $f_a(x)$ dává smysl. Buď například $a=n$ a položme $$f(y)= \psi_{\left[-1,1\right]}(y):= \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{pro } y \in \left[-1,1\right] \\[.2em] 0 &\mbox{pro } y\notin \left[-1,1\right] \end{array}\right,$$ tzv. charakteristická funkce intervalu $\left[-1,1\right]$. Pak vidíme, že aby $y=ax = nx \in \left[-1,1\right]$, tak musí $x\in \left[-1/n,1/n \right]$. Pak support 
n-té takové funkce je $\left[-1/n,1/n \right]$ a hodnota této funkce na supportu je $n$. V limitě $n\to +\infty$ se nosič mění na jednobodovou množinu a hodnota jde skutečně do nekonečna a integrál přes tuto funkci je pro libovolné $n$ roven 1. 
\end{remark}
\begin{proof}
Chceme ukázat, že $\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \widetilde{f_a}(x) = \delta(x)$ v $\D'$. 
$$\left(\displaystyle \lim_{a \to + \infty} \widetilde{f_a}(x), \phi(x)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize def. limity}}{=} \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\left(f_a(x), \phi(x)\right) = 
\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \displaystyle \int_{\R} a f(ax) \phi(x) \dd x = (\ast)$$
Zde bychom chtěli provést záměnu limity a integrálu. Narážíme ale na problém, že nejsme schopni nalézt majorantu. Proto je třeba upravovat dále:
$$(\ast) = \left\{ \begin{array}{c}
\mbox{\scriptsize transformace} \\
ax =y \\
a\dd x = \dd y \\
\end{array} \right\} = \displaystyle \lim_{a\to + \infty}\displaystyle \int_{\R}  f(y) \phi \left(\frac{y}{a}\right)\dd y $$
Zde již jsme schopni zaměňovat, protože $f\in L^1$ dle předpokladu a $\phi$ je omezená konstantou $K$ díky hladkosti a omezenému supportu. Pak již můžeme psát
$$\displaystyle \int_{\R} f(y) \limits \lim_{a \tp + \infty} \phi \left(\frac{y}{a}\right) \dd y = \phi(0) \underbrace{\displaystyle \int_{\R}f(y)\dd y}_{=1} = \left(\delta,\phi \right).$$
 
\begin{remark}
Pokud pro funkci $f$ platí, že $\displaystyle \int_{\R} f(x) \dd x =c $, pak $\displaystyle \lim_{a\to + \infty} \widetilde{f_a}(x) = c \delta(x)$ v $\D'$. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[II. o derivaci] 
\label{ii_o_derivaci}
Buď $f \in  \D'(\R)$. Pak platí 
$$ f'(x) = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}$$
\begin{proof}
Opět dokazuje rovnost v $\D'$, tedy 
$$\left(  \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}}, \phi(x)\right) = 
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right) - f(x)}{\frac{1}{n}} ,\phi(x) \right) =$$ 
$$ =\displaystyle \lim_{n \to +\infty}\left[ \left( nf\left(x+\frac{1}{n}\right),\phi(x)\right) -\left(n f(x),\phi(x)\right) \right] \stackrel{\A = \mathbb{I}, \bb = \frac{1}{n}}{=}
\displaystyle \lim_{n \to +\infty} n\left[\left(f(x),\phi \left(x-\frac{1}{n}\right) \right) - \left(f(x),\phi(x)\right) \right] =$$
$$ = \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \left(f(x), \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}}\right)$$
V tuto chvíli bychom chtěli \uv{vtáhnout} limitu do závorek. Ze spojitosti funkce $f$ víme, že zachovává konvergenci. Proto stačí ověřit, že 
$\psi_n(x):=\frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} \stackrel{\D}{\longrightarrow} $.
Jako kandidáta na limitní funkci zvolme intuitivně $-\phi'(x)$. Pak musí být splněno:
\begin{enumerate}
\item $\nf \psi_n$ jsou stejně omezené. Toto plyne z faktu, že $\nf \phi \subset B(0,R)$ a díky předpisu $\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)$ rovněž 
víme, že se support $\phi$ se změní nejvýše o jedna. Pak tedy $\nf \psi_n \subset B(0, R+1)$ pro všechna $n \in \mathbb{N}$. 
\item Nyní musíme dokázat stejnoměrnou konvergenci derivací. Začněme s $\alpha = 0$. Pak je třeba ukázat, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x)$. 
K tomuto nejlépe využijeme supremové kritérium, které říká, že $\psi_n \sk{\R} - \phi'(x) \Leftrightarrow \sigma_n:=\mathrm{sup}_{\R}|\psi_n(x) + \phi'(x)| \stackrel{n \to +\infty}{\longrightarrow}0$. Supremum odhadneme pomocí Taylorova rozvoje členu $\phi\left(x-\frac{1}{n} \right)$ do řádu 2. derivace:
$$\mathrm{sup}_{\R} \left| \frac{\phi\left(x-\frac{1}{n}\right)-\phi(x)}{\frac{1}{n}} + \phi'(x)\right| = \mathrm{sup}_{\R} \left|\phi'{}'(\xi) \frac{1}{n} \right| \to 0.$$
Závěrečný přechod je množné psát, neboť je funkce $\phi$ hladká a je tedy na svém supportu omezená. 
Tímto jsme ukázali konvergenci pro $\alpha =0$. Pro $\alpha = n $ použijeme zcela stejnou metodu a odhad jen $n$krát zderivujeme. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
 
Zabývejme se ještě na závěr této podkapitoly násobením v $\D'$. Předpokládejme, že $f,\tilde{g} \in \D'$ a $\tilde{g}\in \D'_{reg}$. Pokud bychom tyhle dvě zobecněné funkce chtěli pronásobit, tak podle naší předešlé definice dostáváme: $(f\cdot \tilde{g},\phi):= (f,g\phi)$. Aby ale argument $g\phi$ byl testovací funkcí, musí být nutně $g\in \Ci$. Odtud vyplývá, že nejsme schopni v $\D'$ pronásobit 
např. dvě spojité funkce. Rovněž nejde tímto způsobem zavést $\delta ^2$. Existují sice současné výzkumy jdoucí tímto směrem, ale dalece přesahují rámec tohoto předmětu. 
 
\section{Nosič zobecněné funkce a další poznatky o $\D'$}
\subsection{Nosič zobecněné funkce}
\begin{define}
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $G=G^o \subset \R^n$. Řekneme, že {\bf $f$ je nulová na $G$ }, píšeme $f=0$ na $G$, právě když 
$(f,\phi) = 0$ pro všechny $\phi \in \D(G)$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Lze ukázat, že pro každou zobecněnou funkci $f$ existuje největší otevřená množina $G$ s touto vlastností. Tuhle množinu nazvěme $\mathcal{N}(f)$. Důkaz tohoto tvrzení najde čtenář ve [Štovíček]. 
\end{remark}
 
\begin{define}
Množinu $\nf f := \R^n \backslash \mathcal{N}(f)$ nazveme {\bf nosičem zobecněné funkce $f$}. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Je zřejmé, že $\nf f$ je uzavřená množina. Rovněž je třeba zdůraznit, že pro zobecněnou funkci $f$ neplatí, že  $\nf f \subset \mathrm{Dom}(f)$, neboť definičním oborem zobecněné funkce jsou testovací funkce 
a nosičem je číselná množina. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Buď $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ a  buď $f$ po částech spojitá funkce jedné proměnné. Pak $\nf \tilde{f} = \nf f$. 
\begin{proof}
Důkaz je přenechán jako domácí cvičení. 
\end{proof}
\end{theorem}
\begin{remark}
Pro faktorové funkce (tj. funkce z faktorprostoru) není pojem nosiče klasické funkce dobře definovaný.
\end{remark}
 
Ilustrujme nyní pojem nosič zobecněné funkce na konkrétním příkladě. Určeme $\nf \delta_{x_0}$. Před\-po\-klá\-dej\-me, že máme testovací funkci, jejíž support neobsahuje bod $x_0$. Pak v tomto bodě je funkce nulová. 
Proto $(\delta_{x_0},\phi) = \phi(x_0) = 0$ pro libovolné $\phi$ splňující tuto vlastnost. Je zřejmé, že zobecněná funkce je tedy nenulová pouze pro ty testovací funkce, které ve svém supportu obsahují bod $x_0$
a tedy platí, že $\nf \delta_{x_0} = \{x_0\}$. 
 
\begin{theorem}[o řešení rovnice $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$]
\label{o_reseni_rce}
Buď $m \in \mathbb{N}$. Pak rovnice  $x^m f = 0$ v $\D'(\R)$ má řešení tvaru právě $f= \displaystyle \sum_{k=0}^{m-1} c_k \delta^{\left(k\right)}$, kde $c_j \in \mathbb{C}$. 
\begin{proof}
Důkaz nebude proveden v plné obecnosti. Dokazuje se matematickou indukcí, zájemci jej naleznou ve [Šťovíček]. Zde bude naznačen pouze první indukční krok. 
 
Buď tedy m=1. Dokazujeme tedy, že $xf=0 \Leftrightarrow f = c\delta$ v $\D'$. 
\begin{enumerate}
\item[$\Leftarrow$] Nechť tedy $f=c\delta$. Jelikož víme, že $a(x)\delta(x) = a(0)\delta(x)$ \footnote{$(a(x)\delta(x),\phi(x) )= (\delta(x),a(x)\phi(x))=a(0)\phi(0) = a(0)(\delta(x)\phi(x))$}, 
tak aplikací toho vztahu na náš předpoklad dostáváme $cx\cdot\delta = 0\cdot \delta $ v $\D'$. 
\item[$\Rightarrow$] Předpokládejme, že $\forall \phi \in \D$ platí, že $(xf,\phi) = (f,x\phi) = 0$. Nyní uvažujme dvě možnosti:
\begin{enumerate}
\item Buď  nejprve $\phi \in \D$ takové, že $\phi(0) = 0$. Pak můžeme $\phi(x)$ rozepsat následujícím způsobem:
$$\phi(x)= \phi(0) + \displaystyle \int_0^x \phi'(t)\dd t = \phi(0) + x \underbrace{\displaystyle \int_0^1 \phi'(x\tau)\dd \tau}_{\psi(x)\in \Ci} \stackrel{\phi(0)=0}{=} x \psi(x)$$
Pak máme rovnost $\phi = x\psi$, tj. pro každou $\phi \in\D$ splňující $\phi(0) = 0 $ existuje $\psi \in \D$, a tedy $x\psi \in \D$, což plyne právě z poslední podmínky $\phi(0) =0$.\footnote{Jinak bychom nedostali omezený nosič.} Proto odtud plyne, že 
$(f,\phi) = (f,x\psi) = 0$. 
\item Buď nyní $\eta,\phi \in \D$ a nechť $\eta(0)=1$ (tuhle podmínku lze pro  testovací funkci nenulovou v bodě 0 vždy splnit přeškálováním). 
Pak funkce $\phi - \phi(0)\eta$ splňuje podmínky z předešlé části a lze psát:
$$ (f,\phi - \phi(0)\eta) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. část}}{=} 0 \stackrel{\mbox{\scriptsize linearita $f$}}{=} (f,\phi) - \phi(0)(f,\eta)$$
Odtud již ale plyne požadované tvrzení, neboť $(f,\phi) = \underbrace{\phi(0)}_{(\delta,\phi)}\underbrace{(f,\eta)}_{\mbox{\scriptsize číslo}}$, tedy $f= c\delta$, kde $c=(f,\eta)$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Uzavřenost $\D'$}
Připomeňme definici limity (konvergence) v $\D'$: Buď  $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$ posloupnost zobecněných funkcí a buď $f \in \D'$. Pak řekneme, že 
 limita posloupnosti funkcí $f_n$ je rovna $f$, ozn. $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f_n = f$, právě tehdy, když 
$\displaystyle  \lim_{n\to +\infty}(f_n,\phi) = (f,\phi)$ pro libovolnou $\phi \in \D$. 
 
\begin{remark}
Následující poznámky slouží ke shrnutí a vyjasnění pojmu uzavřenost v $\D'$:
\begin{enumerate}
\item Jedná se o tzv. slabou konvergenci, která zajišťuje ve výsledku platnost uzavřenosti $\D'$. (více ve FA)
\item Zkoumáme, jestli platí, že $\widetilde{\displaystyle \lim_{n \to +\infty}f_n}=\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \tilde{f_n}$. Tedy
$$\displaystyle \lim_{n\to + \infty } \displaystyle \int_{\R^n}f_n(x)\phi(x)\dd x = \displaystyle \lim_{n\to + \infty } (\tilde{f_n},\phi) = \left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty }\tilde{f_n},\phi \right) \stackrel{?}{=} $$
$$\stackrel{?}{=} \left(  \widetilde{\displaystyle \lim_{n\to + \infty } f_n},\phi\right) = \displaystyle \int_{\R^n} \displaystyle \lim_{n\to + \infty }f_n(x)\phi(x)\dd x$$
Aby tahle záměna proveditelná, musí mít výraz $|f_n(x)\phi(x)|$ integrabilní majorantu. $\phi(x)$ je spojitá na kompaktu, tedy je omezitelná konstantou $K$ a tedy je potřeba nalézt $g \in L^1_{loc}$ takovu,
aby $|f_n(x)| \leq g(x)$ pro všechna $n\in \mathbb{N}$.
\item {\bf Uzavřenost v $\D'$}
 
Předpoklad $f\in \D'$ lze v definici konvergence vynechat.  Přesněji lze formulovat toto tvrzení následovně:
\begin{theorem}
Buď $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'(G)$ a nechť $\forall \phi \in \D$ existuje $\displaystyle \lim_{n \to +\infty}(f_n,\phi) \in \mathbb{C}$. Pak 
$$(f,\phi):= \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f_n,\phi) \ \forall \phi \in \D $$
definuje zobecněnou funkci $f\in \D'(G)$.
\end{theorem}
Je jasné, že se jedná o zobecněnou funkci. Podmínky jsou snadno ověřitelné a plynou přímo z definice $f$. 
\end{enumerate} 
\end{remark}
 
Na cvičeních se ukáže využití této vlastnosti pro tzv. {\it Sochockého distribuce}, což jsou možné regularizace funkce $\frac{1}{x}$, které jsou definovány takto: 
$$\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}0},\phi(x) \right):= \displaystyle \lim_{\epsilon \to 0^+}\left( \frac{1}{x \pm \mathrm{i}\epsilon},\phi(x) \right) \ \forall \phi \in \D $$
 
\begin{theorem}[Sochockého vzorce]
$$\frac{1}{x \pm \mathrm{i}0} = P\frac{1}{x} \mp \mathrm{i}\pi \delta(x) \mbox{ v } \D'.$$
\begin{proof}
Bude dokázáno na cvičeních. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
$x\frac{1}{x \pm \mathrm{i}0} = xP\frac{1}{x} = 1$
\end{remark}
 
\section{Tensorový součin a konvoluce}
\subsection{Zavedení tensorového součinu}
V předešlé části jsme narazili na problém nemožnosti násobit dvě zobecněné funkce. Tento problém se nyní pokusíme vyřešit zavedením nového typu násobení, které se ale bude týkat 
{\it nezávislých} proměnných. Budeme-li mít dvě klasické funkce, každá bude funkcí jiné nezávislé proměnné, např. $f(x), g(y)$, pak jejich součin $f(x)\cdot g(y)$ budeme nazývat
{\it tensorový součin} a budeme jej značit $f(x)\ts g(y)$. Pokud se nám tento koncept podaří zavést na prostoru $\D'$, budeme schopni vytvořit například $\delta^2:= \delta(x) \ts \delta(y)$. 
Proto budeme požadovat, aby 
$$\widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)} = \widetilde{f(x)\ts g(y)} = \widetilde{f(x)g(y)}. $$
Proto zkoumejme 
$$\left( \widetilde{f(x)} \ts \widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right) = \left(\widetilde{f(x)g(y)},\phi(x,y) \right) = \displaystyle \int_{\R^{n+m}}f(x)g(y)\phi(x,y) \dd x \dd y = 
\left|  
\begin{array}{c}
Fubini \\
f,g \in L^1_{loc} \\
\end{array}
\right| =$$
$$ = \left\{
\begin{array}{c}
\displaystyle \int_{\R^n} f(x) \left( \displaystyle \int_{\R^m} g(y)\phi(x,y)\dd y\right)\dd x = \left(\widetilde{f(x)},\left(\widetilde{g(y)},\phi(x,y) \right)\right). \\
\displaystyle \int_{\R^m} g(y) \left( \displaystyle \int_{\R^n} f(x)\phi(x,y)\dd x\right)\dd y = \left(\widetilde{g(y)},\left(\widetilde{f(x)},\phi(x,y)\right)\right). \\
\end{array} \right $$
Přitom jsme tiše předpokládali, že $f\in \D'_{reg}(\R^n)$, $g\in \D'_{reg}(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$. 
Na základě této úvahy tedy definujme tensorový součin na prostoru zobecněných funkcí.
\begin{define}
Buď $f\in \D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $\phi \in \D(\R^{n+m})$. Pak {\bf tensorovým součinem zobecněných funkcí $f\ts g$} rozumíme:
$$\left(f(x)\ts g(y), \phi(x,y) \right) := \left( f(x), \left(g(y),\phi(x,y)\right) \right).$$  
\end{define}
Jelikož se jedná o operaci, která je značně netriviální, budeme si pro účely tohoto předmětu definici tensorového součinu zjednodušovat, jak jen to bude možné. \footnote{Áčkaři prominou a nahlédnou do [Šťovíček].} Bylo by vhodné ověřit, že naše definice je korektní. Proto je třeba se zabývat otázkou, jestli je $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$ a jestli objekt, který operací vznikne, je rovněž zobecněnou funkcí. Dokázat linearitu je vcelku triviální a zřejmé na první pohled. Dokázat spojitost tensorového součinu je ale značně složité a zájemci o tento důkaz jej najdou ve [Šťovíček]. My si zjednodušíme práci a dokážeme spojitost tensorového součinu 
pro speciální prostor testovacích funkcí, který označíme $\D_{sep}(\R^{n+m})$. Tento prostor bude lineární vektorový prostor s prvky $\phi_x(x)\phi_y(y)$, kde $\phi_x(x)\in \D(\R^n)$ a $\phi_y(y)\in \D(\R^m)$.
 
Odteď tedy předpokládejme, že $\phi(x,y) = \phi_x(x) \phi_y(y)$. Z tohoto předpokladu ale plyne, že $\nf \phi(x,y)$ je vždy obdélník. 
Ověřme nyní, že  $(g(y),\phi(x,y) )\in \D(\R^n)$:
$$ (g(y),\phi(x,y) ) = (g(y),\phi_x(x)\phi_y(y)) = \phi_x(x) \underbrace{(g(y),\phi_y(y))}_{\in \mathbb{C}} $$
Tímto je toto ověřeno. 
 
\noindent Ověřme ještě, jak se chová $\frac{\partial}{\partial x_k}  (g(y),\phi(x,y) )$:
$$\frac{\partial}{\partial x_k}  (g(y),\phi(x,y) ) = \left (\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k}\right) (g(y),\phi_y(y)) = \left( g(y), \phi_y(y)\frac{\partial \phi_x(x)}{\partial x_k} \right) 
= \left(g(y),\frac{\partial }{\partial x_k}\phi(x,y) \right) $$
Toto tvrzení je pravda pro zcela obecnou funkci $\phi \in \D$, nikoliv jen pro $\phi \in \D_{sep}$. Zájemci najdou důkaz ve [Šťovíček]. 
Ověřením linearity se zabývat nebudeme, to si každý může provést jako domácí cvičení, ale ověříme spojitost. Předpokládejme tedy, že máme $\phi_n(x,y) \stackrel{\D}{\longrightarrow}0 \Leftrightarrow
\phi_x^n(x)\phi_y^n(y)  \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0 $. Zkoumejme limitu 
$$ \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x) \ts g(y),\phi_n(x,y) \right) = \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x^n(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y^n(y) \right) \right) =\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x) \underbrace{\left( g(y),\phi_y^n(y)\right)}_{\in \mathbb{C}}\right) =$$
$$=\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) = 
\displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( g(y),\phi_y^n(y)\right) \displaystyle \lim_{n\to  + \infty} \left( f(x),\phi_x^n(x)\right) = (\ast)$$
V tuto chvíli potřebujeme vědět, jestli $\phi_x \stackrel{\D(\R^n)}{\longrightarrow} 0$ a $\phi_y \stackrel{\D(\R^m)}{\longrightarrow} 0$. Tohle ale vyplývá z konvergence
$\phi^n_x(x)\phi^n_y(y) \stackrel{\D(\R^{n+m})}{\longrightarrow}0$. Proto pak můžeme psát
$$(\ast) = \left(g(y),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to  + \infty}\phi^n_y(y)}_{=0} \right) \left(f(x),\underbrace{\displaystyle \lim_{n\to  + \infty}\phi^n_x(x)}_{=0} \right).$$
 
 
\begin{remark}
Prostor $\D_{sep}(\R^{n+m})$ je hustý v $\D(\R^{n+m})$ vzhledem ke konvergenci v $\D(\R^{n+m})$. Toto nás (de facto) má opravňovat k tomu, že vše dokazujeme jen pro prostor separovatelných testovacích funkcí. Ovšem bylo by opět třeba toto (netriviální) tvrzení dokázat. 
\end{remark}
 
\subsection{Vlastnosti tensorového součinu v $\D'$}
V následujícím odstavci se budeme snažit ukázat některé důležité vlastnosti tensorového součinu v $\D'$. Budeme vždy využívat v maximální možné míře všech zjednodušení, která jsme již na naši definici uvalili. 
\vspace{0,5cm}
\pagebreak
 
\noindent{\bf Komutativita}
 
Uvažujme $f,g\in \D'(\R^n)$
$$\left(f(x)\ts g(y) ,\phi(x,y)\right) = \left( f(x), \left( g(y), \underbrace{\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C}}\phi_y(y) \right) \right)= \underbrace{\left(f(x),\phi_x(x)}_{\in \mathbb{C} \right)}\left(g(y),\phi_y(y)\right)  = $$
$$ = \left( g(y), \left(f(x),\phi_x(x)\right) \phi_y(y) \right) = \left(g(y),\left(f(x), \phi_x(x)\phi_y(y) \right)\right) =\left(g(y)\ts f(x) ,\phi(x,y)\right) $$
Toto tvrzení lze opět rozšířit i pro libovolnou (tedy ne nutně separovatelnou) testovací funkci.
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\bf Linearita v obou argumentech}
 
Z komutativity nám stačí ověřit linearitu pouze v jednom argumentu. Předpokládejme, že $\ts: \D'(\R^n) \times \D'(\R^m) \longrightarrow \D'(\R^{n+m})$ 
a nechť $f,g\in \D'(\R^n)$, $h\in \D'(\R^m)$ a $\alpha \in \mathbb{C}$. Zajímá nás
$$ \left( (f+\alpha g)(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) = \left( (f+\alpha g)(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = $$
$$ = \left( f(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) + \alpha \left( g(x) , (h(y),\phi(x,y) ) \right) = \left( f(x) \ts h(y) , \phi(x,y) \right) + \alpha \left(g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right) =$$
$$ = \left(f(x) \ts h(y) + \alpha  g(x)\ts h(y) , \phi(x,y) \right)$$
Tahle úprava je platná $\forall \phi \in  \D(\R^{n+m})$. Tímto jsme tedy dokázali linearitu tensorového součinu v obou argumentech, tj. bilinearitu. 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\bf Asociativita}
 
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a $h\in \D'(\R^r)$. Platí, že $(f(x)\ts g(y))\ts h(z) = f(x) \ts (g(y)\ts h(z) ) $ v $\D'$? 
Upravíme obě strany výrazu a provnáme je:
$$ LS = ((f(x)\ts g(y)) \ts h(z),\phi(x,y,z)) = (f(x)\ts g(y), (h(z),\phi(x,y,z) )) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
$$ PS = (f(x)\ts (g(y) \ts h(z)),\phi(x,y,z)) = (f(x),(g(y)\ts h(z) , \phi(x,y,z))) = (f(x),(g(y) (h(z),\phi(x,y,z))))$$
Vidíme, že levá i pravá strana se rovnají $\forall \phi \in \D(\R^{n+m+r})$, tedy jsme dokázali, že tensorový součin je jako operace asociativní. 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\bf Spojitost v obou argumentech}
 
Buď $\{f_k\}_{k\in \mathbb{N}} \subset \D'(\R^n)$, $f\in \D'(\R^n)$ a nechť $f_k \to f$ v $\D'$. Buď navíc $g\in \D'(\R^m)$. Platí pak, že 
$f_k(x)\ts g(y) \to f(x)\ts g(y)$ v $\D'$? Resp. $\displaystyle \lim_{k\to + \infty} (f_k(x)\ts g(y) ) = (f(x) \ts g(y))$ v $\D'$?
 
$$ \left((\displaystyle \lim_{k\to + \infty} f_k(x)\ts g(y)) ,\phi(x,y)\right) = \displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x)\ts g(y),\phi(x,y) )= $$
$$=\displaystyle \lim_{k\to +\infty} (f_k(x),(g(y),\phi(x,y))) = \left(\displaystyle \lim_{k\to +\infty} f_k(x), (g(y),\phi(x,y)) \right) =$$
$$ = (f(x),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x)\ts g(y), \phi(x,y)).$$
Díky komutativitě nám stačí ukázat spojitost v jednom z argumentů. 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\bf Záměna derivace a tensorového součinu}
 
Platí $D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y)) = (D^{\alpha}_x f(x)) \ts g(y) $ v $\D'$? 
$$ (D^{\alpha}_x (f(x)\ts g(y) ),\phi(x,y)) = (-1)^{|\alpha|} ( f(x)\ts g(y) , D^{\alpha}_x \phi(x,y)) = $$
$$ = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (g(y), D^{\alpha}_x \phi(x,y))) = (-1)^{|\alpha|} (f(x), (D^{\alpha}_x(g(y),\phi(x,y)))) =$$
$$ = (D^{\alpha}_x f(x), (g(y),\phi (x,y))) = (D^{\alpha}_x f(x) \ts g(y), \phi(x,y)).$$
Při dokazování jsme ve druhém řádku použili vztah pro $k$-tou derivaci výrazu $(g(y),\phi(x,y))$ odvozený dříve. 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\bf Násobení hladkou funkcí}
 
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $a\in \Ci$. Platí pak, že $a(x) (f(x) \ts g(y)) = (a(x)f(x))\ts g(y)$? 
$$(a(x) (f(x) \ts g(y)),\phi(x,y) ) = (f(x)\ts g(y) , a(x)\phi(x,y)) = (f(x),(g(y),a(x)\phi(x,y))) =$$
$$ = (f(x),a(x) (g(y),\phi(x,y))) = (a(x)f(x), (g(y),\phi(x,y))) = ((a(x)f(x))\ts g(y), \phi(x,y)).$$
\vspace{0,5 cm}
 
\noindent{\bf Posun argumentu}
 
Buď $f\in\D'(\R^n)$, $g\in \D'(\R^m)$ a nechť $b\in \R^n$. Pak platí, že $(f\ts g)(x+b,y) = f(x+b) \ts g(y)$?
$$((f\ts g)(x+b,y),\phi(x,y)) = ((f\ts g)(z,y),\phi(z-b,y)) = (f(z), (g(y),\phi(z-b,y))) = $$
$$=(f(z), (g,\phi)(z-b,y)) = (f(x+b),(g(y),\phi(x,y))) = (f(x+b)\ts g(y),\phi(x,y))$$
 
\begin{define}
Řekmene, že $f(x,y) \in \D'(\R^{n+m})$ {\bf nezávisí na $y$}, právě když existuje $h\in \D'(\R^n)$ taková, že $f(x,y) = h(x)\ts 1$. 
\end{define}
 
\subsection{Zavedení konvoluce}
V téhle kapitolce se podíváme na pojem konvoluce, který již byl jednou v těchto skriptech \uv{definován}. Začneme s konvolucí klasických funkcí a postupně přejdeme ke konvoluci 
funkcí zobecněných. Náš přístup bude zcela odlišný od přístupů, které se objevují ve [Šťovíček] nebo [Burdík, Navrátil]. U klasických funkcí se omezíme na případ testovacích funkcí,
ale bude vidět, kde je tento předpoklad zbytečný. 
 
\begin{define}
Buďte $\phi,\psi \in \D(\R^n)$. Pak {\bf konvolucí funkcí $(\phi \ast \psi)(x)$} rozumíme 
$$(\phi \ast \psi)(x):= \displaystyle \int_{\R^n} \phi(y)\psi(x-y) \dd y. $$
\end{define}
 
Zamysleme se nyní nad (intuitivním) významem konvoluce. Můžeme na ni nahlížet třeba jako na vážený průměr funkce $\psi$ přes veškeré možné posuny vážený funkcí $\phi$. 
Pro všechny příznivce pravděpodobnosti je možné interpretovat konvoluci jako rozdělení pravděpodobností součtu dvou nezávislých jevů. 
 
\begin{remark}
Konvoluce je dobře definovanou operací nad prostorem $L^1\times L^1$. Proto je předpoklad $\phi,\psi \in \D$ zbytečný. 
\begin{proof}
Musíme ukázat, že pro  $f,g \in L^1$ platí $\left| \displaystyle \int_{\R^n} (f\ast g)(x) \dd x \right| < +\infty$. 
$$ \left| \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y f(y)g(x-y) \right| \leq \displaystyle \int_{\R^n} \dd x \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)||g(x-y)| \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=} $$
$$ = \displaystyle \int_{\R^m} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |f(y)||g(x-y)|  = \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^m} \dd y |f(y)|}_{ = \Vert f \Vert _1 < +\infty} \underbrace{ \displaystyle \int_{\R^n} \dd x |g(x-y)|}_{ = \Vert g \Vert _1 < +\infty} < + \infty $$
\end{proof}
\end{remark}
 
\subsubsection{Vlastnosti konvoluce v $\D$}
V následující sekci ukážeme,  jaké vlastnosti má konvoluce dvou testovacích funkcí.
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\it Komutativita}
 
Ze substituce okamžitě plyne vztah $\phi \ast \psi = \psi \ast \phi$. 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\it Asociativita}
 
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)\ast \eta = \phi \ast (\psi \ast \eta)$
Nejprve si upravím obě strany výrazů pomocí komutativity:
$$LS =(\phi \ast \psi)\ast \eta = (\psi \ast \phi) \ast \eta = \eta \ast (\psi \ast \phi)$$
$$PS= \phi \ast (\psi \ast \eta) = (\psi \ast \eta) \ast \phi$$
Pak již upravujeme dle definice
$$ \eta \ast (\psi \ast \phi) = \displaystyle \int_{\R^n} \eta(y) (\psi\ast \phi) (x-y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \dd y \displaystyle \int_{\R^n} \dd z\psi(x-y-z)\phi(z) \eta(y) \stackrel{\mbox{\scriptsize Fubini}}{=}$$
$$ = \displaystyle \int_{\R^n}\dd z \phi(z) \underbrace{\displaystyle \int_{\R^n} \dd y \psi(x-y-z)\eta(y)}_{=(\psi \ast \eta)(x-z)} = (\psi \ast \eta) \ast \phi $$
 
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči posunu v argumentu } 
 
Chceme ukázat, že $(\phi \ast \psi)(x-a) = \phi(x-a) \ast \psi = \phi\ast \psi(x-a)$. Druhá rovnost je zřejmá z komutativity konvoluce, první si rozepíšeme: 
$$ (\phi \ast \psi)(x-a) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
$$ \underbrace{\phi(x-a)}_{ \mbox{ozn: }\phi_a(x)} \ast \psi(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi_a(x-y) \psi(y) \dd y = \displaystyle \int_{\R^n} \phi((x-a)-y) \psi(y) \dd y$$
\vspace{0,5cm}
 
\noindent{\it Chování $\ast$ vůči derivaci}
 
Chtěli bychom ukázat následující: $D^{\alpha} (\phi \ast \psi)(x) = (D^{\alpha}\phi(x)) \ast \psi(x) = \phi(x) \ast (D^{\alpha}\psi(x))$. 
Pokud bychom to dokázali, zjistíme, že konvoluce má \uv{vyhlazovací}\footnote{Hanko, promiň!} schopnost, neboť bereme-li funkci $\phi \in \Ci$ testovací a  funkci $\phi$ libovolnou integrovatelnou, dostaneme konvolucí těchto dvou funkcí funkci, která je hladká. Důkaz nebudeme provádět přes libovolnou dimenzi $n$, ale spokojíme se s $n=1$.
$$ (\phi \ast \psi)' (x) = \left( \displaystyle\int_\R \dd y  \phi(x-y)\psi(y) \right)' = \left\{ 
\begin{array}{c}
\mbox{\scriptsize Předpoklady věty o záměně:}\\
\mbox{\scriptsize existuje integrabilní majoranta nezávislá na x} \\
\left| \frac{\partial }{\partial x} \phi(x-y)\psi(y) \right | \leq K | \psi(y)| \\
\end{array} \right\} =$$
$$ = \displaystyle \int _\R \left \frac{\dd}{\dd z }  \phi(z)  \dd y \right| _{z = x-y} \psi(y) = \phi'(x) \ast \psi(x) = (\phi' \ast \psi)(x).$$
 
\begin{remark}
Stojí za povšimnutí, že komutativitu a asociativitu jsme ověřili i pro $L^1$ prostory. Čtenáři je necháno na rozmyšlení, jestli je toto možné provést i u zbývajících vlastností a proč tomu tak je. 
\end{remark}
 
Věnujme se ještě chvíli \uv{vyhlazovací} schopnosti konvoluce. Následující tvrzení nám ukáže, jak velké předpoklady navíc klademe, když používáme testovací funkce. 
\begin{theorem}
Buď $f \in \mathcal{C}^1(\R)$ taková, že $\nf f \subset B_R (0)$. Buď dále $g \in L^1 (\R)$. Pak $f\ast g  \in \mathcal{C}^1(\R)$. 
\begin{proof}
Důkaz je stejný jako v předešlém případě - stačí nalézt integrabilní majorantu výrazu $\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) $ nezávislou na $x$. 
$$ \left\vert\frac{\partial}{\partial x} f(x-y)g(y) \right \vert \leq K \vert g(y) \vert \in L^1 (\R).$$
\end{proof}
\end{theorem}
 
Následující věta bude důležitá, neboť ukáže, že konvoluce dvou testovacích funkcí je opět testovací funkce, formálně:
\begin{theorem}
Buďte $\phi,\psi \in \D$. Pak $\phi \ast \psi \in \D$. 
\begin{proof}
Abychom ukázali, že se jedná o testovací funkci, musíme ověřit hladkost a stejnoměrnou omezenost nosičů.
\begin{enumerate}
\item [\it Hladkost:] Tato vlastnost je zřejmá a plyne přímo z aplikace předešlé věty, konkrétně volbou $\phi^{(k)} = f$ a $\psi = g$ pro všechna $k \in \mathbb{N}$.  
Tedy víme, že $\forall \phi,\psi \in \D $ platí, že $\phi \ast \psi \in \Ci$.
\item [\it Nosič:] Připomeňme nejprve definici konvoluce $(\phi \ast \psi)(x) = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$. Nyní budeme hledat  veškerá $x$ taková, že 
$(\phi \ast \psi)(x) = 0 = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x-y)\psi(y) \dd y $. Toto ale nastane tehdy, když $\phi(x-y)\psi(y) =0$ pro všechna $y$. 
Z předpokladu $\phi \in \D$ vyplývá, že $\exists B_R(0) \supset \nf \phi$. Pokud nyní uvažujme $x$ pevné a $\phi(x-y)$ budeme považovat pouze za funkci od $y$, máme $\nf \phi(x-y) \subset B_R(x)$. 
Jelikož i $\psi \in \D$, tak víme, že existuje $B_{R'}(0) \supset \nf \psi$. Pak ale odtud plyne, že pokud $B_R(x) \cap B_{R'}(0) = \emptyset$, pak $\phi(x-y)\psi(y) =0 $ pro všechna $y$. 
Tímto je ukázáno, že máme omezený nosič, neboť první podmínku lze vždy splnit vhodnou volbou $x$. 
\end{enumerate}
Proto je tedy funkce $\phi\ast \psi$ testovací funkcí. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
Zde se časem objeví krásný a názorný obrázek. Snad...
 
\begin{theorem}[Souvislost konvoluce a skalárního součinu v $\D$ pro reálné funkce]
Označme $\phi^-(x):= \phi(-x)$. Pak pro reálné funkce $\phi ,\psi,\tau \in \D$ platí:
\begin{enumerate}
\item $\left\langle \phi,\psi \right \rangle = \displaystyle \int_{\R^n} \phi(x) \psi(x) \dd x = (\phi \ast \psi^-)(0)$,
\item $\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$.
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Zřejmé z definice.
\item $$\left\langle \phi \ast \tau, \psi \right \rangle \stackrel{\mbox{\scriptsize dle 1}}{=} \left((\phi \ast \tau) \ast \psi^-\right)(0)\stackrel{\mbox{\scriptsize asociativita}}{=} 
\left( \phi \ast (\tau \ast \psi^-) \right) (0) =$$
$$ = \left( \phi \ast (\tau^-\ast \psi)^- \right)(0) = \left \langle \phi, \tau^- \ast \psi \right\rangle$$
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\subsection{Konvoluce testovacích a zobecněných funkcí}
Následující odstavec bude důležitým mezikrokem při budování konvoluce zobecněných funkcí. Zde totiž zavedeme konvoluci zobecněné a testovací funkce, pomocí které pak definujeme konvoluci zobecněných funkcí. 
Principiálně se jedná o totéž, jako byla definice tensorového součinu na prostoru zobecněných funkcí. 
\begin{define}
Buď $f\in \D', \phi \in \D$. Pak {\bf konvolucí zobecněné funkce $f$ a testovací funkce $\phi$} rozumíme $(f\ast \phi)(x):= (f(y),\phi(x-y))$ pro všechna $x\in \R^n$. Výsledkem je klasická funkce. 
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Naše definice je rozumná, neboť pro $\tilde{f} \in \D'_{reg}$ dostáváme totéž, co předtím: 
$$ (\tilde{f} \ast \phi) (x) = (\tilde{f}(y) , \phi(x-y) ) = \displaystyle \int_{\R^n} f(y)\phi(x-y) \dd y = (f\ast \phi) (x) $$
\item Ve smyslu předešlé věty můžeme pro $f \in \D'$ a $\phi \in \D$ psát $(f,\phi) = (f \ast \phi^-)(0)$
\end{enumerate}
\end{remark}
Následující věty jsou spíše technického rázu a jejich důkazy se na první pohled zdají pracné, ale není na nich nic složitého. 
 
\begin{theorem}
\label{veta1}
Buď $f\in \D',\phi \in \D$. Pak $f \ast \phi \in \Ci$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $f\ast \phi$ má kompaktní nosič, a tudíž $f\ast \phi \in \D$.
\begin{proof}
Pro dokázání prvního tvrzení využijeme dvojice lemmat:
\begin{lemma}
\label{lemma1}
$f\ast \phi$ je spojitá funkce. 
\begin{proof}
Důkaz provedeme pomocí Heineovy věty. Berme posloupnost $x_n \to x$ a označme $\phi^x_n(y) := \phi(x_n-y)$, $\phi^x (y) = \phi(x-y)$. Je vidět, že $\phi^x_n(y) \to \phi^x(y)$ bodově. 
Nejprve ukážeme, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow}$, tj. že má stejnoměrně omezené nosiče a že veškeré derivace stejnoměrně konvergují:
\begin{enumerate}
\item[{\it i) nosiče}]
 
Víme, že $\nf \phi \subset B_R(0)$. Pak ale $\nf \phi^x \subset B_R(x)$. 
Z konvergence $x_n \to x$ plyne, že existuje $n_0 \in \mathbb{N}$ takové, že $\forall n \in \mathbb{N}, n > n_0$ platí, že $|x_n-x| < 1$. Tudíž $\nf \phi^x_n \subset B_{R+1}(x)$. 
Stejná omezenost nosičů už nyní plyne z faktu, že jsme nekonečně mnoho nosičů omezili koulí $B_{R+1}(x)$ a ze zbylých $n_0$, kterých je končený počet, můžeme vzít největší kouli.
 
\item[{\it ii) derivace}]
Ukažme nejprve případ $n=0$, tj. chceme $\phi^x_n \sk{\R} \phi^x$. Využijme supremové kritérium:
$$\mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert \phi^x_n(y) - \phi^x(y) \right \vert = \mathrm{sup}_{y\in \R} \left\vert\phi(x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \stackrel{\mbox{\scriptsize Taylor}}{\leq} \mathrm{sup}_{y\in \R}\left\vert  (x_n-x) \phi'(\xi) \right \vert \leq K \vert x_n - x \vert \to 0,$$
přičemž $\xi \in (x_n-y,x-y)$. Stejný odhad lze provést pro libovolnou derivaci. 
\end{enumerate}
Tímto jsme ukázali, že $\phi^x_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi^x$. 
Nyní již můžeme ukázat snadno spojitost: 
$$ \displaystyle \lim_{n \to +\infty} (f \ast \phi)(x_n) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left(f(y), \underbrace{\phi(x_n-y)}_{\phi^x_n(y)} \right) = 
\left( f(y), \displaystyle \lim_{n \to +\infty} \phi^x_n(y) \right) = (f(y),\phi^x(y)) = (f\ast \phi) (x).$$
Tedy konvoluce je spojitá. 
\end{proof}
\end{lemma}
 
\begin{lemma}
\label{lemma2}
Jestliže $f\in \D', \phi\in \D$, pak $(f\ast \phi)' = f' \ast \phi = f \ast \phi'. $
\begin{proof}
Z prvního lemmatu plyne, že $f\ast \phi \in L^1_{loc}$. Tedy se jedná o generátor regulární zobecněné funkce. Proto můžeme psát $f\ast \phi  \in \D'$. Pak ale dle věty \ref{ii_o_derivaci} platí: 
$$ (f\ast \phi)'(y) = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{(f\ast \phi)\left(y+\frac{1}{n}\right) - (f\ast \phi) (y)}{\frac{1}{n}} = 
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f(x),\phi\left(y+\frac{1}{n}-x\right) \right) - \left( f(x), \phi(y-x)\right) }{\frac{1}{n}} = $$
Nyní využijeme větu o regulární transformaci, tentokrát ji použijeme obráceně. Vidíme, že $\A^{-1} = -\mathbb{I}= \A$ a $\bb= y +\frac{1}{n}$. Pak můžeme pokračovat v úpravě:
$$ = \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{\left(f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) ,\phi(x)\right) - \left( f(-x+y),\phi(x)\right)}{\frac{1}{n}} = 
\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \left( \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) =$$
$$=\left( \displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac{f\left(-x+y+\frac{1}{n}\right) - f(-x+y)}{\frac{1}{n}},\phi(x) \right) = \left(f'(y-x),\phi(x) \right) =  \left(f'(x), \phi(y-x)\right = (f' \ast \phi)(y)$$
Druhá rovnost se snadno ověří úpravami z definice $f'$.
\end{proof}
\end{lemma}
Z těchto lemmat tedy plyne, že $f\ast \phi \in \Ci $. 
\begin{lemma}
\label{lemma3}
Buď $f\in \D'$ taková, že $\nf f$ je kompakt. Pak $\nf (f\ast\phi) $ je omezená množina. 
\begin{proof}
Víme, že $(f\ast \phi)(x) = (f(y),\phi(x-y))$. Jelikož je $\phi \in \D$, má $\phi(x-y)$ nosič omezený nějakou koulí $B_R(x)$. Volbou $x$ tak, že $\nf f \cap B_R(x) = \emptyset$ dostáváme,  fakt, že $\nf (f\ast \phi)$ je omezený. 
\end{proof}
\end{lemma}
Ze všech tří lemmat již nyní přímo plyne, že $f\ast \phi \in \D$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{veta2}
Buď $f\in \D'$, $\phi,\psi \in \D$. Pak $(f\ast \phi)\ast \psi = f\ast (\phi \ast \psi)$. 
\begin{proof}
V důkaze se (opět) omezíme pouze na $\R$. Nejprve si všimneme, že na pravé straně je výraz $(\phi \ast \psi) (x) = \displaystyle \int_{\R} \phi(x-y)\psi(y) \dd y$. 
Ale v levé straně výrazu se integrál vůbec nevyskytuje. Je důležité si uvědomit, že tento integrál existuje a je konečný. 
Abychom tento integrál nějak dostali na druhou stranu, využijeme riemannovské integrální součty:
$$r_n(x) = \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- \frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)$$
O nich víme, že bodově konvergují přímo k $(\phi \ast \psi)(x)$. Zároveň jsme si mohli dovolit volit ekvidistantní rozdělení těchto bodů, neboť víme,
že integrál existuje a z vlastností testovacích funkcí $\phi$ a $\psi$ zase můžeme tvrdit, že se jedná pouze o končené sumy 
(neboť testovací funkce jsou nenulové na omezené množině a proto hodnoty $m$, pro které je funkce nulová, lze ze sumy vyjmout). Nyní ukážeme, resp. zdůvodníme, že $r_n$ konverguje v $\D$. 
To ukážeme tak, že nalezneme stejnoměrně omezené nosiče $r_n$ a využijeme věty o spojité funkci na kompaktním intervalu. 
 
Fakt, že nosiče $r_n$ jsou stejně omezené plyne z faktu, že $\phi$ a $\psi $ mají stejně omezené nosiče a z faktu, že řada je konečná. 
Pak totiž od jistého $n_0$ výše platí, že  $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$   a tudíž $\nf \phi\left(x-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right) \subset B_{R+1}(x)$. 
 
Stejnoměrná konvergence je snadno dokázatelná. Vidíme, že $r_n(x)$ bodově konverguje. Přitom funkce $r_n(x)$ je spojitá na kompaktu, 
tedy je stejnoměrně spojitá a tedy stejnoměrně konverguje, dokonce na celém $\R$ díky nulovosti funkcí mimo support. Ostatní  derivace se ukážou zcela stejně, jen nevyužíváme stejnoměrné spojitosti funkcí 
$\phi$ a $\psi$, ale jejich derivací. 
 
Nyní už můžeme přistoupit k úpravě výrazu:
$$(f\ast (\phi \ast \psi))(x) = (f(y),(\phi\ast \psi)(x-y)) \stackrel{\mbox{\scriptsize 1. krok}}{=} \left(f(y),\displaystyle \lim_{n\to + \infty} r_n(x-y)\right) =$$
$$= \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left(f(y),r_n(x-y)\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} \left( f(y), \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) \stackrel{\mbox{\scriptsize řada je konečná}}{=} $$
$$=\displaystyle \lim_{n\to + \infty} \frac{1}{n}\displaystyle \sum_{m = -\infty}^{+\infty} \left(f(y), \phi\left(x- y-\frac{m}{n}\right)\psi\left(\frac{m}{n}\right)\right) = 
\displaystyle \int_{\R} (f(y),\phi(x-y-z)\psi(z))\dd z =$$
$$=\displaystyle \int_{\R} \underbrace{(f(y),\phi(x-y-z))}_{(f\ast \phi)(x-z)} \psi(z) \dd z = ((f\ast \phi) \ast \psi)(x).$$
 
\end{proof}
\end{theorem}
 
Následující poznámka je přímým důsledkem právě vyřčené věty.
\begin{remark}
Buďte $f\in \D'$, $\phi ,\psi \in  \D$. Pak $(f\ast \phi, \psi) = (f,\phi^- \ast \psi )$.
\begin{proof}
$$(\underbrace{f\ast \phi}_{\mbox{\scriptsize klas. funkce}}, \psi) = \left( (f\ast \phi)\ast \psi^-\right)(0) \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=}\left( f\ast (\phi \ast \psi^-) \right) (0) =$$
$$ = \left( f\ast (\phi^- \ast \psi)^- \right) (0) = (f,\phi^- \ast \psi) $$
Je vhodné poznamenat, že při první úpravě se využila definice konvoluce zobecněné a testovací funkce.
\end{proof}
\end{remark}
 
\begin{theorem}
\label{veta3}
Nechť $f\in \D'$ taková, že $\nf f $ je kompakt. Pak pro libovolnou posloupnost $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ v $\D$ takovou, že $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi \in \D$, platí, že  
$f\ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \phi $. 
\begin{proof}
Aby vůbec mělo smysl se tvrzením věty zabývat, je třeba ukázat, že $f\ast \phi_n, f\ast \phi \in \D $. Tento fakt ale plyne přímo z věty \ref{veta1}. 
Proto má smysl ověřovat stejnou omezenost nosičů $f\ast \phi_n$ a stejnoměrnou konvergenci derivací těchto funkcí.
Stejnoměrná omezenost  $\nf f\ast \phi_n$ ale vyplývá přímo ze stejné omezenosti $\nf \phi_n$ a z lemmatu \ref{lemma3}. 
 
Pro ověření druhé podmínky konvergence v $\D$ musíme ukázat, že $f\ast \phi_n \sk{\R} f\ast \phi$ a stejně tak pro libovolné další derivace $\phi_n$. 
My toto dokážeme pomocí drobného triku. Uvažujme funkci $F\left(x,s=\frac{1}{n}\right) := (f\ast \phi_n) (x)$ a $F(x,0):= (f\ast \phi) (x)$.
Pokud dokážeme, že je tato funkce spojitá na kompaktu a odtud již bude plynou její stejnoměrná spojitost, pomocí které dokážeme stejnoměrnou konvergenci  $f\ast \phi_n$. 
Je vidět, že funkce $F$ je spojitá dle definice všude, jen  v bodě $s=0$ je problém. Abychom ukázali spojitost i v bodě $s=0$, využijeme následujícího lemmatu:
 
\begin{lemma}
Buď $\{\phi_{k_n}\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \D$ posloupnost taková, že  $\phi_{k_n} \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi  \in \D$
 a buď dále  $\{x_n\}_{n\in  \mathbb{N}}$ číselná posloupnost v $\R$ taková, že $x_n \to x \in \R$. Pak 
$$\phi_{k_n} (x_n-y) \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi(x-y) \mbox{ jakožto funkce proměnné }y.$$
\begin{proof}
Pro dokázání stejnoměrné konvergence derivací zkoumejme rozdíl $k_n$-tého členu a limitní funkce.
Pro nultou derivaci dostaneme:
$$\left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) - \phi(x-y) \right \vert \leq \left\vert \phi_{k_n} (x_n -y) -\phi (x_n -y) \right \vert + \left \vert \phi(x_n-y) - \phi(x-y) \right \vert < \epsilon + \epsilon = 2 \epsilon $$
První člen jsme odhadli díky konvergenci  $\phi_{k_n}$ v $\D$. Konkrétně jsme využili stejnoměrnou konvergenci nulté derivace. Druhý člen je odhadnutelný díky stejnoměrné 
spojitosti testovací funkce $\phi$. Tato vlastnost vyplývá z hladkosti $\phi$ a z faktu, že její support je kompaktní množina.  
Tento postup je možné analogicky provést pro všechny ostatní derivace. 
 
Je rovněž zřejmné, že nosiče funkcí jsou stejně omezené díky konvergenci $\phi_{k_n}$ v $\D$. 
\end{proof}
 
Když máme k dispozici toto lemma, není těžké ověřit spojitost funkce $F$ v bodě $(x,s=0)$. Využijeme k tomu opět Heineovy věty. 
Berme $x_n\to x$ a $k_n \to +\infty$ \footnote{Protože pak $\frac{1}{k_n} \to 0$ a to chceme. } libovolné posloupnosti. Pak 
$$F\left(x_n, \frac{1}{k_n} \right) = (f\ast \phi_{k_n})(x_n) = (f(y), \phi_{k_n}(x_n-y) ) \to (f(y),\phi(x-y)) = (f\ast \phi) (x) = F(x,0)$$
Přičemž jsme využili toho, že funkce $f(y)\in \D'$, a tedy je spojitá, a o posloupnosti $\phi_{ k_n}(x_n-y)$ víme, že konverguje v $\D$ dle lemmatu. Proto jsme mohli limitu takto vypočíst. 
Tedy o $F$ víme, že je spojitá, je spojitá na kompaktu, tudíž je na něm stejnoměrně spojitá a tedy i speciálně pro $\left(F(x,s = \frac{1}{n} \right) \sk{\R} F(x,0)$, což ale dle naší definice $F$ 
neříká nic jiného, než $(f\ast \phi_n)(x) \sk{\R} (f\ast \phi) (x)$. To jsme ale chtěli dokázat. V důkazu jsme nikde nevyužívali faktu, že pracujeme s 0. derivací funkce $\phi_n$. Proto můžeme celý postup opakovat pro libovolné derivace testovacích funkcí $\phi_n$. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[přibližné identity]
\label{veta4}
Buď $\phi \in \D$ a nechť $\phi(x)\geq 0$ $\forall  x \in \R$ a navíc $\displaystyle \int_{\R}\phi(x) \dd x =1$. Označme $\phi_n(x) = n\phi(nx)$, tzv. {\it přibližnou identitu}. 
Pak pro libovolnou $\psi \in \D$ platí, že $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} \psi$. 
\begin{proof}
Je třeba opět ověřit podmínky konvergence v $\D$. Víme, že konvolucí testovacích funkcí vzniká testovací funkce. Proto stačí ukázat, že posloupnost $\phi_n(x)$ má stejně omezené nosiče.
Nechť $\nf \phi \subset [-R,R]$. Pak  pro všechna $n\in \mathbb{N}$ zřejmě platí, že $\nf \phi_n(x) \subset \left[-\frac{R}{n},\frac{R}{n}\right] \subset [-R,R]$. Tímto máme zajištěnu stejnou omezenost nosičů. 
V důkazu stejnoměrné konvergence derivací si podstatnou část práce ulehčíme konstatováním, že $(\phi_n \ast \psi)^{(k)} = \phi_n \ast \psi^{(k)}$. 
Proto opět stačí uvažovat pouze nultou derivaci, neboť vyšší derivace by se ukázaly zcela stejným způsobem. Zkoumáme tedy rozdíl: 
$$\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert = \left \vert \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \psi(x-y) \dd y - 
\underbrace{\displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n}}\phi_n(y)\dd y}_{=1} \psi(x) \right \vert \leq $$
$$\leq \displaystyle \int_{-\frac{R}{n}}^{\frac{R}{n }}\phi_n(y) \left\vert \underbrace{\psi(x-y) - \psi(x)}_{< \epsilon} \right \vert \dd y \sk{\R}0$$
Fakt, že výraz v posledním integrandu je menší než $\epsilon$ plyne ze stejnoměrné spojitosti testovací funkce $\psi$. Odtud již pak také plyne stejnoměrná konvergence celého výrazu k nule, neboť integrál z funkce $\phi_n(x)$ je dle předpokladu roven jedné a tedy  formálně jsme pro libovolné $\epsilon$ nalezli takové $n_0$, že pro všechna $x,y\in \R$ platí,
 že $\vert (\phi_n \ast \psi)(x) - \psi(x)\vert < \epsilon$.  
\end{proof}
\end{theorem}
 
Tento výsledek by pro nás neměl být zas až tak překvapivý, neboť jsme již dříve ukázali, že $\phi_n \to \delta$ v $\D'$. 
 
\begin{theorem}[o aproximovatelnosti zobecněných funkcí]
\label{veta5}
Každá zobecněná funkce $f$ je limitou jisté posloupnosti funkcí $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}}\subset \Ci$ \footnote{Zde chápejme tuhle notaci jako označení regulárních zobecněných funkcí, 
jejichž generátory jsou funkce třídy $\Ci$} ve smyslu konvergence v $\D'$. Má-li navíc zobecněná funkce $f$ kompaktní nosič, pak $\{\phi_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D$ a 
$\phi_n$ lze volit tak, že $\forall \psi \in \D$ je $\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi$. 
\begin{proof}
Nechť $\eta_n$ jsou přibližné identity z předešlé věty. Pak označme $\phi_n = f\ast \eta_n^-\in \Ci$. Toto plyne z věty \ref{veta1}. Pak $\forall \psi \in \D$
$$(\phi_n ,\psi) = (f\ast \eta_n^- ,\psi) = (f, \eta_n \ast \psi) \stackrel{n\to +\infty}{\longrightarrow} (f,\psi)$$
To ale znamená, že $\phi_n \to f$ v $\D'$. Poznamenejme, že při úpravě jsme ve druhém kroku využili poznámky za větou \ref{veta2}, následně jsme využili spojitosti zobecněné funkce $f$ a limitu jsme mohli vypočíst díky větě o přibližných identitách. 
 
Pokud nyní navíc budeme předpokládat, že $\nf f$ je kompakt, máme $\phi_n = f\ast \eta_n^- \in \D$ dle věty \ref{veta1} a tudíž platí
$$\phi_n \ast \psi = (f\ast \eta_n^-)\ast \psi \stackrel{\mbox{\scriptsize Věta \ref{veta2}}}{=} f\ast (\eta_n^- \ast \psi) \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \psi.$$
V přechodu ke konvergenci jsme využili věty \ref{veta1} a konvergence plyne z věty \ref{veta3}. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
Touto větou jsme vytvořili aparát potřebný pro zavedení konvoluce zobecněných funkcí, kterou zavedeme v následující sekci.
 
\subsection{Konvoluce zobecněných funkcí}
Než přistoupíme k samotné definici, je třeba vyslovit jistý požadavek. V naší definici budeme potřebovat, aby jedna z \uv{konvoluovaných} zobecněných funkcí měla kompaktní nosič. Tato podmínka totiž dle dříve dokázané věty zajišťuje to, že $f\ast \phi \in \D$, což potřebujeme. 
\begin{define} 
Buďte $f,g\in \D'$ a nechť $\nf f$ je kompakt. Pak {\bf konvolucí zobecněných funkcí $f$ a $g$} rozumíme 
$$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi) = (g(y),(f(x),\phi(x+y))),$$
kde $f^-(x) = f(-x)$. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Následující poznámky jsou jisté drobné postřehy o takto definovaném zobrazení:
\begin{enumerate}
\item Konvoluce je operace nad zobecněnými funkcemi a tedy jejím výsledkem je opět zobecněná funkce. Linearita plyne z linearity funkcí $f$ a $g$, spojitost ukážeme snadno. Uvažujme $\phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \phi$. 
Pak $(g\ast f, \phi_n)  = (g, f^- \ast \phi_n) \stackrel{\mbox{\scriptsize věta \ref{veta3}}}{\longrightarrow} (g,f^-\ast \phi ) = (g\ast f, \phi)$.
\item Že je naše definice konzistentní a dobře pasuje do námi budované teorie dokazuje fakt, že beru-li $f\in \D$ (nikoliv z $\D'$!), tak dostávám pro $g\in \D'$ a $\phi \in \D$ dle poznámky pod větou \ref{veta2} toto: 
$(g\ast f,\phi) = (g, f^-\ast \phi)$ což je ve shodě s naší definicí. 
\item Konvoluce námi takto definovaná není symetrická! Existují obecnější definice konvoluce, např. v [Šťovíček] nebo [Krbálek], které mají vlastnost symetrie, ale je to na úkor jiných vlastností. 
\item Konvoluce má vlastnost levé spojitosti. Tzn. buď $g \in \D'$, $\nf g$ je kompakt. Buď dále $\{f_n\}_{n\in \mathbb{N}} \subset \D'$, $f\in \D'$ a nechť $f_n \to f$ v $\D'$. 
Pak $f_n\ast g \to f \ast g$ v $\D'$. 
\begin{proof}
$$\left(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n\ast g, \phi\right) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n\ast g, \phi) = \displaystyle \lim_{n\to + \infty} (f_n, g^-\ast \phi) = 
(\displaystyle \lim_{n\to + \infty} f_n,g^-\ast   \phi) = (f, g^-\ast \phi) = (f\ast g,\phi)$$
\end{proof}
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
Budeme uvažovat konvoluci v $\D'$ funkcí s omezeným nosičem (tj. s kompaktem). 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Vlastnosti konvoluce v $\D'$]
Buďte $f,g,h\in \D'$ zobecněné funkce s omezeným nosičem. Pak 
\begin{enumerate}
\item $f\ast g = g\ast f;$
\item $(f\ast g) \ast h = f \ast (g\ast h);$
\item $(f\ast g)' = f'\ast g = f\ast g';$
\item $(f\ast g)(x-a) = (f(x-a))\ast g(x) = f(x) \ast g(x-a).$ 
\end{enumerate}
\begin{remark}
Z předešlé poznámky a prvního bodu této věty plyne spojitost konvoluce v obou argumentech.
\end{remark}
\begin{proof}
Dokážeme první tvrzení, zbytek je ponechán čtenáři jako cvičení. 
Dle věty \ref{veta5} víme, že pro $f\in \D'$ s omezeným nosičem existuje $\{\phi_n\} \subset \D$ taková, že $\phi_n \to f$ v $\D'$ a 
$\phi_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} f \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$.  Rovněž pro $g\in \D' $ s omezeným nosičem existuje $\{\eta_n\} \subset \D$ taková, že $\eta_n \to g$ v $\D'$ a $\eta_n \ast \psi \stackrel{\D}{\longrightarrow} g \ast \psi$ pro libovolné $\psi \in \D$. 
 
Pro $\phi_n$ a $\eta_m$ platí, že $\phi_n \ast \eta_m \stackrel{\D}{\longrightarrow} f\ast \eta_m$. Zároveň z komutativity testovacích funkcí plyne, že 
$\eta_m \ast \phi_n \stackrel{\D}{\longrightarrow} \eta_m \ast f$, protože pro $h\in\D'$ platí $(h\ast \phi_n ,\psi) = (h,\phi_n ^- \ast \psi) \to (h,f^-\ast \psi)$ 
a volbou $h = \eta_m$. Tedy máme $f\ast \eta_m = \eta_m \ast f$. Pak již postup/limitu stačí provést v $m$  a tvrzení platí. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
Věnujme se nyní souvislosti konvoluce a tensorového součinu. Bylo by možné totiž provést následující úvahu:
$(f\ast g, \phi) = (f,g^-\ast \phi) = (f(x),(g^-\ast \phi)(x)) = (f(x), (g^-(y),\phi(x-y))) = (f(x)\ts g(-y), \phi(x-y)) = (f(x)\ts g(y),\phi (x+y)).$
Zde ale docházíme k problému, neboť funkce $\phi(x+y) \notin \D(\R^{2n})$. Při této úvaze totiž omezenost výsledného supportu zajišťuje omezenost supportů funkcí $f$ a $g$.
 
{\bf Příklad}
 
Určete $\delta \ast f$ pro $f\in \D'$ s kompaktním nosičem.
 
$$(\delta \ast f,\phi) = (f \ast \delta,\phi) = (f,(\delta ^- \ast \phi)) = (f,\phi), $$
přičemž $(\delta ^- \ast \phi) = (\delta(-y),\phi(x-y)) = (\delta(y) ,\phi(x+y)) = \phi(x)$. 
 
Odtud tedy plyne, že $\delta$ funguje jako jednotka při konvoluci.  
 
\section{Užití konvoluce pro řešení diferenciálních rovnic v $\D'$}
Mějme $\mathrm{L}$ lineární diferenciální operátor (např. pro ODR $\mathrm{L} = \displaystyle \sum_{k=0}^{n}a_k \frac{\dd^k}{\dd x^k}$). Řešíme nyní rovnici $\mathrm{L}u = f$. 
Označíme-li fundamentální řešení $\epsilon$ rovnice $\mathrm{L}\epsilon = \delta$. Pak $\mathrm{L}u=f$ má řešení $u=\epsilon \ast f $. Je tomu skutečně tak, protože
$$\mathrm{L}u = \mathrm{L} (\epsilon \ast f) = (\mathrm{L}\epsilon) \ast f = \delta \ast f = f $$
 
Tímto jsme dostali odpověď na otázku, k čemu jsou ty zobecněné funkce vlastně vůbec dobré.