01MAA4:Kapitola23: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
m (Drobná úprava.) |
(Bylo prohozené značení horní a dolní stupňovité funkce k f.) |
||
(Není zobrazeno 13 mezilehlých verzí od stejného uživatele.) | |||
Řádka 99: | Řádka 99: | ||
\begin{remark} | \begin{remark} | ||
− | Jednobodová množina je míry nula, takže i $\Q$ je míry nula. | + | \begin{enumerate} |
+ | \item Jednobodová množina je míry nula, takže i $\Q$ je míry nula. | ||
+ | \item Příkladem množiny míry 0, která má mohutnost kontinua (je tedy nespočetná) je tzv. \textbf{Cantorovo diskontinuum}: Začneme s intervalem $[0,1]$ a iterativně odstraňujeme prostřední třetinu intervalů z předchozího kroku. Cantorovo diskontinuum vznikne průnikem všech těchto intervalů. Součet délek intervalů tvořící sjednocení má délku $\left(\frac{2}{3}\right)^n$, tj. je nulové míry, a Cantorovo diskontinuum je jeho podmnožina. Že je Cantorovo diskontinuum nespočetné dokážeme pomocí diagonálního schématu, protože obsahuje čísla, jejichž vyjádření v trojkové soustavě obsahuje pouze číslice 0 a 2. | ||
+ | \end{enumerate} | ||
\end{remark} | \end{remark} | ||
Řádka 152: | Řádka 155: | ||
Protože $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je | Protože $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je | ||
− | $Z\sm Z'\subset\bigcup_{j=k}^r\vn{\K_j}$. Přitom pro všechna $m\ge k$ | + | $Z''=Z\sm Z'\subset\bigcup_{j=k}^r\vn{\K_j}$. Přitom pro všechna $m\ge k$ |
platí | platí | ||
\[\frac12\sum_{j=1}^{r_m}{V(\K_j)}\le\II h_m<\frac\epsilon3.\] | \[\frac12\sum_{j=1}^{r_m}{V(\K_j)}\le\II h_m<\frac\epsilon3.\] | ||
Řádka 211: | Řádka 214: | ||
\end{theorem} | \end{theorem} | ||
− | + | \begin{define}[\textit{horní a dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$}] | |
+ | Nechť $f$ je omezená funkce definovaná na intervalu $\I$ a $\{\I_k\}_{k=1}^p$ jsou částečné intervaly intervalu $\I$ při rozdělení $\sigma$. Pak | ||
+ | \[\underline{h}^f_{\sigma}=m_k=\inf_{y \in \I_k}f(y), | ||
+ | \quad \overline{h}_f^\sigma(x) =M_k=\sup_{y \in \I_k}f(y)\] nazvu \textbf{horní, resp. dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$} | ||
+ | \end{define} | ||
+ | |||
\begin{define} | \begin{define} | ||
Buď $f$ omezená funkce na intervalu $\I$. Je-li $x_0\in\I$, položme | Buď $f$ omezená funkce na intervalu $\I$. Je-li $x_0\in\I$, položme | ||
Řádka 220: | Řádka 228: | ||
resp. {\bf horní funkcí} k~funkci $f$ na intervalu $\I$. | resp. {\bf horní funkcí} k~funkci $f$ na intervalu $\I$. | ||
\end{define} | \end{define} | ||
− | + | ||
\begin{theorem} | \begin{theorem} | ||
Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. Pak $f$ je riemannovsky | Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. Pak $f$ je riemannovsky | ||
Řádka 283: | Řádka 291: | ||
$\sigma_1=(\sigma_1^{(1)},\sigma_1^{(2)},\sigma_1^{(3)})^*$, | $\sigma_1=(\sigma_1^{(1)},\sigma_1^{(2)},\sigma_1^{(3)})^*$, | ||
$\sigma_{m+1}=(\sigma_m,\sigma_{m+1}^{(1)}, | $\sigma_{m+1}=(\sigma_m,\sigma_{m+1}^{(1)}, | ||
− | \sigma_{m+1}^{(2)},\sigma_{m+1}^{(3)})^*$. Pak platí | + | \sigma_{m+1}^{(2)},\sigma_{m+1}^{(3)})^*$ (společné zjemnění těch v závorce). Pak platí |
\[k_m\le\underline{h}_{\sigma_m}\le f\le | \[k_m\le\underline{h}_{\sigma_m}\le f\le |
Aktuální verze z 10. 8. 2018, 15:00
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01MAA4
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01MAA4 | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:14 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:46 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:28 | preamble.tex | |
Kapitola15 | editovat | Regulární zobrazení | Krasejak | 7. 9. 2015 | 21:32 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Implicitní zobrazení | Kubuondr | 1. 5. 2017 | 08:09 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Variety | Kubuondr | 4. 3. 2017 | 08:48 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vázané extrémy | Krasejak | 7. 9. 2015 | 22:58 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Diferenciální formy | Kubuondr | 12. 3. 2017 | 10:53 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Křivkový integrál druhého druhu | Kubuondr | 15. 3. 2017 | 21:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Křivkový integrál prvního druhu | Nguyebin | 24. 1. 2014 | 13:55 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Riemannův integrál jako elementární integrál | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 10:01 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Stupňovité funkce | Kubuondr | 10. 8. 2018 | 15:00 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Základní integrál | Kubuondr | 1. 6. 2017 | 10:06 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Třída Lambda plus a L plus | Kubuondr | 2. 4. 2017 | 08:14 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Třída Lambda a L | Kubuondr | 11. 8. 2018 | 09:16 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Limitní přechody | Mazacja2 | 11. 4. 2016 | 20:11 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Měřitelné funkce | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:24 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Měřitelné množiny | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 08:01 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Integrál na měřitelné množině | Admin | 1. 8. 2010 | 10:04 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Výpočet integrálu | Kubuondr | 8. 4. 2017 | 08:03 | kapitola31.tex | |
Kapitola33 | editovat | Parametrické integrály | Kubuondr | 2. 6. 2017 | 12:38 | kapitola33.tex | |
Kapitola34 | editovat | Newtonova formule | Krasejak | 19. 9. 2015 | 00:48 | kapitola34.tex | |
Kapitola39 | editovat | Vnější algebra | Kubuondr | 3. 5. 2017 | 20:13 | kapitola39.tex | |
Kapitola35 | editovat | Divergenční věta | Kubuondr | 3. 6. 2018 | 08:22 | kapitola35.tex | |
Kapitola36 | editovat | Komplexní derivace | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 08:27 | kapitola36.tex | |
Kapitola37 | editovat | Holomorfní funkce | Kubuondr | 31. 5. 2017 | 12:57 | kapitola37.tex | |
Kapitola38 | editovat | Laurentovy řady | Kubuondr | 5. 6. 2017 | 10:01 | kapitola38.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:01MAA4_lauren.pdf | 01MAA4_lauren.pdf |
Image:01MAA4_draha.pdf | 01MAA4_draha.pdf |
Image:01MAA4_gamma.pdf | 01MAA4_gamma.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01MAA4} \section{Stupňovité funkce} \begin{define} Buď $f:\I\mapsto\R$ omezená funkce na (kompaktním) intervalu $\I$. Řekneme, že $f$ je {\bf stupňovitá} na $\I$, jestliže existuje rozdělení $\sigma$ intervalu $\I$ takové, že $f$ je konstantní na vnitřku každého částečného intervalu $\I$ podle $\sigma$. \end{define} \begin{theorem} Označme $\HH(\I)$ množinu všech stupňovitých funkcí na $\I$. Pak platí: \begin{enumerate}[(i)] \item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $h+k\in \HH(\I)$. \item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\alpha h\in \HH(\I)$. \item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\min(h,k)\in \HH(\I)$, $\max(h,k)\in \HH(\I)$. \item Je-li $h\in \HH(\I)$, pak $\abs{h}\in \HH(\I)$. \end{enumerate} \begin{proof} Určitě platí, že funkce stupňovitá při $\sigma$ je stupňovitá i~při zjemnění $\sigma^*$. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Je-li funkce $h$ stupňovitá při $\sigma$ i~při $\sigma^+$, pak platí: \[\sum_{j=1}^p h_j V(\I_j)=\sum_{j=1}^{p^+}h_j^+ V(\I_j^+)\] \begin{proof} Provedeme společné zjemnění. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $h$ stupňovitá na $\I$, $\sigma$ rozdělení $\I$, při kterém je $h$ stupňovitá. Pak definujeme \[\II h=\sum_{k=1}^ph_k V(\I_k)\] \end{define} \begin{remark} Díky minulé větě je $\II h$ nezávislé na $\sigma$. \end{remark} \begin{theorem} \begin{enumerate} \item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, pak $\II(h+k)=\II h+\II k$. \item Je-li $\alpha\in\R$, $h\in \HH(\I)$, pak $\II(\alpha h)=\alpha\II h$. \item Je-li $h,k\in \HH(\I)$, $h\le k$, pak $\II h\le\II k$. \end{enumerate} \begin{proof} Platí z~definice --- rozdělení volíme tak, aby při něm byly $h$ i $k$ stupňovité. \end{proof} \end{theorem} \begin{define} Buď $Z\subset\I$. Řekneme, že {\bf $Z$ je Lebesgueovy míry nula} (zapisujeme $\mu(Z)=0$), jestliže pro každé $\epsilon>0$ existuje nejvýše spočetný systém intervalů $\K_j$ tak, že $Z\subset\bigcup_j\vn{\K_j}$ a současně \[\sum_j V(\K_j)<\epsilon\] \end{define} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Množiny Jordanovy míry nula jsou Lebesgueovy míry nula. \item Odteď budeme předpokládat pouze Lebesgueovu míru. V literatuře se můžete pro zdůraznění Lebesgueovy míry setkat se zápisem $\lambda(Z)$ namísto $\mu(Z)$. \item Stačí předpokládat právě spočetný systém. Buď $\K_p$ poslední interval, $\alpha=\sum_1^p V(\K_j)<\frac\epsilon2$. Pak \[\K_{p+j}=\bigx_{i=1}^n\left[ -\eta_j, \eta_j\right] ,\] zvolme \[V(\K_{p+j})=(2\eta_j)^n<\frac{\epsilon-\alpha}{2^{j+1}}.\] Pak \[\sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon-\alpha}{2}<\epsilon.\] \item Stačí, aby $Z\subset\bigcup_j\K_j$, bez vnitřků a otevřenosti se obejdu: \[\K_j=\bigx_{i=1}^n\left[ a_j^i,b_j^i\right] \quad \K_j\subset\vn{\I_j}\quad \I_j=\bigx_{i=1}^n\left[ a_j^i-\eta_j, b_j^i+\eta_j\right] \] \[\sum_{j}^\infty V(\I_j)= \sum_j^\infty\underbrace{\left(V(\I_j)-V(\K_j)\right)} _{\substack{\text{spojitý polynom}\\p(\eta_j)-p(0)}} +\underbrace{\sum_j^\infty V(\K_j)}_{<\epsilon}< 2\epsilon.\] Zvolím $\eta_j$ tak, aby \[p(\eta_j)-p(0)<\frac{\epsilon}{2^j}.\] \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Nejvýše spočetné sjednocení množin míry nula je opět míry nula. \begin{proof} Buď $Z_1,Z_2,\dots,Z_m,\dots$ Máme dokázat, že $Z=\bigcup_{j=1}^\infty Z_j$ je míry nula. $Z_m$ pokryji systémem $\system{j=1}{\infty}{K_j^m}$. \[Z_m\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(K_j^m\right)};\quad \sum_{j=1}^\infty V(K_j^m)<\frac\epsilon{2^m}\] \[Z\subset\bigcup_{m,j=1}^\infty K_j^m;\quad \sum_{m,j=1}^\infty V(K_j^m)<\epsilon\] \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} \begin{enumerate} \item Jednobodová množina je míry nula, takže i $\Q$ je míry nula. \item Příkladem množiny míry 0, která má mohutnost kontinua (je tedy nespočetná) je tzv. \textbf{Cantorovo diskontinuum}: Začneme s intervalem $[0,1]$ a iterativně odstraňujeme prostřední třetinu intervalů z předchozího kroku. Cantorovo diskontinuum vznikne průnikem všech těchto intervalů. Součet délek intervalů tvořící sjednocení má délku $\left(\frac{2}{3}\right)^n$, tj. je nulové míry, a Cantorovo diskontinuum je jeho podmnožina. Že je Cantorovo diskontinuum nespočetné dokážeme pomocí diagonálního schématu, protože obsahuje čísla, jejichž vyjádření v trojkové soustavě obsahuje pouze číslice 0 a 2. \end{enumerate} \end{remark} \begin{theorem} Buď $Z\subset\I$. $Z$ je míry nula, právě když pro každé $\epsilon>0$ existuje rostoucí posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí ($h_n\ge 0$, $h_n\le h_{n+1}$, $h_n\in \HH(\I)$) taková, že platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $\sup_{n\in\N}h_n(x)\ge 1$ pro každé $x\in Z$, \item $(\forall n\in\N)(\II h_n<\epsilon)$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $(\Rightarrow)$ Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém $\system{j=1}{\infty}{\K_j}$ takový, že \[Z\subset\bigcup_{j=1}^\infty\vn{\left(\K_j\right)} \quad\wedge\quad \sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\epsilon.\] Sestrojíme posloupnost funkcí: \[ h_m(x)= \begin{cases} 1 & \text{pro }x\in\left(\bigcup_{j=1}^m \K_j\right)\cap\I\\ 0 & \text{jinak.} \end{cases} \] Posloupnost je rostoucí pro každé $x\in\I$, funkce jsou stupňovité a nezáporné, $\sup\ge 1$. Dále platí \[\II h_m\le\sum_{j=1}^m V(K_j)<\epsilon\] a je-li $x\in Z$, potom existuje $m\in\N$ tak, že $x\in\K_m\cap\I$, tudíž $h_m(x)=1$ a $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$. \item $(\Leftarrow)$ Buď $\epsilon>0$. Potom existuje rostoucí posloupnost $\posl{h_m}$ nezáporných stupňovitých funkcí taková, že $\II h_m\le\frac\epsilon3$ pro každé $m\in\N$. Buď dále $\sigma_m$ rozdělení, při kterém je $h_m$ stupňovitá pro každé $m\in\N$. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že $\sigma_m$ je posloupnost zjemňujících se rozdělení. Buď $Z'$ množina všech hraničních bodů všech částečných intervalů všech rozdělení $\sigma_m$. Platí, že $\mu(Z')=0$. Zvolme $k\in\N$ tak, aby funkční hodnota funkce $h_k$ již byla ve vnitřku některého částečného intervalu rozdělení $\sigma_k$ alespoň $\frac12$. Označme $\K_1,\dots,\K_{r_k}$ částečné intervaly rozdělení $\sigma_k$, na jejichž vnitřcích má funkce $h_k$ funkční hodnotu větší nebo rovnu $\frac12$. Označme dále $\K_{r_k+1},\dots,\K_{r_{k+1}}$ částečné intervaly rozdělení $\sigma_{k+1}$, na jejichž vnitřcích má funkce $h_k$ funkční hodnotu větší nebo rovnu $\frac12$, ale které nejsou obsaženy v~$\bigcup_{j=1}^{r_k}\K_j$. Získáme tak rostoucí posloupnost $\posloupnost{m=k}{\infty}{r_m}$ a nejvýše spočetný systém intervalů $\system{j=1}{r}{\K_j}$, kde $r=\lim_{m\to\infty}r_m$ s~vzájemně disjunktními vnitřky. Protože $\sup_{m\in\N}h_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z$, je $Z''=Z\sm Z'\subset\bigcup_{j=k}^r\vn{\K_j}$. Přitom pro všechna $m\ge k$ platí \[\frac12\sum_{j=1}^{r_m}{V(\K_j)}\le\II h_m<\frac\epsilon3.\] V~limitě pak \[\frac12\sum_{j=1}^r{V(\K_j)}\le\II h_m\le\frac\epsilon3<\epsilon,\] tedy $Z''$ je nulové míry. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $\posl{h_n}$ posloupnost nezáporných stupňovitých funkcí, $h_{n+1}\le h_n$. Pak platí: \[\lim_{n\to\infty}\II h_n=0 \Longleftrightarrow \mu\left( \left\{x\in\I\left|\lim_{n\to\infty}h_n(x)>0\right.\right\} \right)=0.\] \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $(\Rightarrow)$ Buď \[Z_p=\left\{x\in\I\left|\lim_{m\to\infty}h_m(x) \ge\frac1p\right.\right\}\] pak platí $ph_m(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$ a všechna $m\in N$. Protože $\lim_{m\to\infty}\II(ph_m)=p\lim_{m\to\infty}\II h_m=0$, lze při libovolném $\epsilon>0$ nalézt $m\in\N$ tak, že $\II(ph_m)<\epsilon$ a $(ph_m)(x)\ge 1$ pro všechna $x\in Z_p$. Z~toho vyplývá, že $\mu(Z_p)=0$ a protože \[Z=\bigcup_{p=1}^\infty Z_p,\] je i $\mu(Z)=0$. \item $(\Leftarrow)$ Nechť $Z_1$ je množina všech hraničních bodů všech částečných intervalů, při nichž jsou všechny $h_m$ stupňovité, buď $Z_2=\{x\in\I|\lim_{m\to\infty} h_m(x)>0\}$. Potom, protože množina $Z_1$ má nulovou míru, je $\mu(Z_1\cup Z_2)=0$. Pro každé $\epsilon>0$ existuje systém intervalů $\sys{\K_j}$ takový, že platí \[ Z_1\cup Z_2\subset\bigcup_{j=1}^\infty\K_j \quad\wedge\quad \sum_{j=1}^\infty V(\K_j)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}, \] kde $M>h_1(x)$ pro každé $x\in\I$. Pro každé $x\in\I\sm(Z_1\cup Z_2)$ platí, že $\lim_{m\to\infty}h_m(x)=0$, tedy existuje $m(x)$ takové, že \[h_m(x)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }m\ge m(x).\] Protože $x$ leží ve vnitřku nějakého částečného intervalu $\I_x$ rozdělení, při němž je $h_m$ stupňovitá, platí dále \[h_{m(x)}(y)<\frac{\epsilon}{M+V(\I)}\quad\text{pro každé }y\in\vn{\I_x}.\] Systém intervalů $\sys{\K_j}\cup\{\I_y\}_{y\in\I\sm Z}$ pokrývá množinu $\I$. Protože $\I$ je kompaktní, existuje konečné podpokrytí \[\I\subset\bigcup_{i=1}^r\vn{\K_{j_i}}\cup\bigcup_{k=1}^s\vn{\I_{x_k}}.\] Buď $m_0=\max(m(x_1),\dots,m(x_s))$. Pak pro každé $m>m_0$ platí \[\II h_m\le M\frac{\epsilon}{M+V(\I)}+ \frac{\epsilon}{M+V(\I)}V(\I)=\epsilon,\] tedy pro každé $\epsilon$ existuje $m_0$, od kterého je $\II h_m<\epsilon$. \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{define}[\textit{horní a dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$}] Nechť $f$ je omezená funkce definovaná na intervalu $\I$ a $\{\I_k\}_{k=1}^p$ jsou částečné intervaly intervalu $\I$ při rozdělení $\sigma$. Pak \[\underline{h}^f_{\sigma}=m_k=\inf_{y \in \I_k}f(y), \quad \overline{h}_f^\sigma(x) =M_k=\sup_{y \in \I_k}f(y)\] nazvu \textbf{horní, resp. dolní stupňovitá funkce k $f$ při rozdělení $\sigma$} \end{define} \begin{define} Buď $f$ omezená funkce na intervalu $\I$. Je-li $x_0\in\I$, položme \[\underline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to 0+}\inf_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x), \quad\overline{f}(x_0)=\lim_{\delta\to 0+}\sup_{\abs{x-x_0}<\delta}f(x).\] Funkci $\underline f$ resp. $\overline f$ nazýváme {\bf dolní} resp. {\bf horní funkcí} k~funkci $f$ na intervalu $\I$. \end{define} \begin{theorem} Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. Pak $f$ je riemannovsky integrabilní, právě když množina bodů nespojitosti má nulovou Lebesgueovu míru. \begin{proof} Funkce $f$ je riemannovsky integrabilní právě tehdy, je-li $\underline{\int_\J}f=\overline{\int_\J}f$. Tato rovnost je splněna právě tehdy, existuje-li posloupnost zjemňujících se rozdělení $\posl{\sigma_m}$ taková, že \[\lim_{m\to\infty}\II\overline{h}_f^{\sigma_m}= \lim_{m\to\infty}\II\underline{h}^f_{\sigma_m},\] tj. \[\lim_{m\to\infty}\II\left( \overline{h}_f^{\sigma_m}-\underline{h}^f_{\sigma_m} \right)=0.\] Tato rovnost je splněna právě tehdy, má-li množina \[ Z=\left\{ x\in\I\left| \lim_{m\to\infty}\left( \overline{h}_f^{\sigma_m}(x)-\underline{h}^f_{\sigma_m}(x) \right)>0 \right. \right\}= \{x\in\I| \overline{f}^\sigma(x)-\underline{f}_\sigma(x)>0 \} \] nulovou míru. Platí, že $\overline{f}^\sigma(x)=\overline{f}(x)$ a $\underline{f}_\sigma(x)=\underline{f}(x)$ až na množinu nulové míry. Platí, že $\overline{f}(x)=\underline{f}(x)$, právě když $f$ je v~$x$ spojitá. \end{proof} \end{theorem} \begin{theorem} Buď $f$ omezená na kompaktním intervalu $\I$. $f$ je riemannovsky integrabilní na $\I$, právě když existují posloupnosti $\posl{k_m}$ a $\posl{l_m}$ stupňovitých funkcí takové, že platí: \begin{enumerate}[(i)] \item $\posl{k_m}$ je rostoucí a \[(\forall x\in\I\sm Z_1)\left(\lim_{m\to\infty} k_m(x)=f(x)\right) \text{, kde }\mu(Z_1)=0,\] \item $\posl{l_m}$ je klesající a \[(\forall x\in\I\sm Z_2)\left(\lim_{m\to\infty} l_m(x)=f(x)\right) \text{, kde }\mu(Z_2)=0,\] \item $(\forall x\in\I)(k_m(x)\le f(x)\le l_m(x))$. \end{enumerate} \begin{proof} \begin{enumerate}[1)] \item $(\Rightarrow)$ Buď $f$ riemannovsky integrabilní na $\I$, $(\sigma_m)$ posloupnost zjemňujících se rozdělení. Pak $k_m=\underline{h}_{\sigma_m}$ a $l_m=\overline{h}_{\sigma_m}$. \item $(\Leftarrow)$ Buď $\posl{\sigma_m^{(1)}}$ posloupnost, rozdělení, při nichž jsou $k_m$ stupňovité, $\posl{\sigma_m^{(2)}}$ posloupnost, rozdělení, při nichž jsou stupňovité $l_m$, $\posl{\sigma_m^{(3)}}$ libovolná normální posloupnost rozdělení. Definujme $\sigma_1=(\sigma_1^{(1)},\sigma_1^{(2)},\sigma_1^{(3)})^*$, $\sigma_{m+1}=(\sigma_m,\sigma_{m+1}^{(1)}, \sigma_{m+1}^{(2)},\sigma_{m+1}^{(3)})^*$ (společné zjemnění těch v závorce). Pak platí \[k_m\le\underline{h}_{\sigma_m}\le f\le \overline{h}^{\sigma_m}\le l_m,\] tedy \[\II k_m\le\II\underline{h}_{\sigma_m}\le \II\overline{h}^{\sigma_m}\le\II l_m\] a \[\lim_{m\to\infty}\II k_m\le\underline{\int_\I}f\le \overline{\int_\I}f\le\lim_{m\to\infty}\II l_m.\] $k_m$ je klesající, $l_m$ je rostoucí a platí, že \[\lim_{m\to\infty}(l_m-k_m)(x)=0\] pro všechna $x\in\I$ až na množinu nulové míry. Z~toho vyplývá \[\lim_{m\to\infty}\II(l_m-k_m)=0,\] tedy \[\lim_{m\to\infty}\II k_m=\lim_{m\to\infty}\II l_m= \underline{\int_\I}f=\overline{\int_\I}f=\int_\I f.\] \end{enumerate} \end{proof} \end{theorem} \begin{remark} K~existenci Riemanna jsou tedy nutné existence dvou posloupností stupňovitých funkcí. Lebesguovi stačí jen jedna. Tím odstraní problém normy na prostoru funkcí: \[\int f^2=0\not\implies f=0\] je seminorma, norma je to pouze na prostoru spojitých funkcí, který ale není úplný. \end{remark}