02KVANCV:Kapitola3: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Řádka 36: | Řádka 36: | ||
e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}, | e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}, | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{M} | + | kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{M} t$. |
\begin{cvi} | \begin{cvi} | ||
Řádka 50: | Řádka 50: | ||
\navod Je zapotřebí spočítat $| \psi(x,t) |^2 \sim \left|e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}\right|^2$ (nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoďte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro určení střední kvadratické odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete | \navod Je zapotřebí spočítat $| \psi(x,t) |^2 \sim \left|e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}\right|^2$ (nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoďte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro určení střední kvadratické odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
− | \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 {\rm Re}A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B} t - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}{\rm Re}\vec{B}t ,\\ | + | \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 {\rm Re}A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}{\rm Re}\vec{B}\ t ,\\ |
− | \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4{\rm Re} A} + \frac{\hbar^2}{M^2}{\rm Re}A t^2 + \frac{\hbar^2}{M^2}\frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A} t^2 - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A} t. | + | \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4{\rm Re} A} + \frac{\hbar^2}{M^2}{\rm Re}A\ t^2 + \frac{\hbar^2}{M^2}\frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A}\ t^2 - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}\ t. |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
Neurčitost polohy je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta x_j) = \sigma(t)$. Vlnový balík se může po konečnou dobu zužovat, pokud je ${\rm Im}A\neq 0$. Pro $A>0$ se pouze rozšiřuje, vztahy se zjednoduší na | Neurčitost polohy je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta x_j) = \sigma(t)$. Vlnový balík se může po konečnou dobu zužovat, pokud je ${\rm Im}A\neq 0$. Pro $A>0$ se pouze rozšiřuje, vztahy se zjednoduší na | ||
\begin{eqnarray} | \begin{eqnarray} | ||
− | \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B} t,\\ | + | \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t,\\ |
− | \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4A} + \frac{\hbar^2}{M^2}A t^2. | + | \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4A} + \frac{\hbar^2}{M^2}A\ t^2. |
\end{eqnarray} | \end{eqnarray} | ||
Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro částici cca $10^{12} \, {\rm let}$. | Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro částici cca $10^{12} \, {\rm let}$. |
Verze z 12. 9. 2017, 10:40
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02KVANCV
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02KVANCV | Steffy | 29. 8. 2013 | 14:57 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 14:50 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Steffy | 29. 8. 2013 | 15:15 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Klasická mechanika a statistická fyzika | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:14 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | de Broglieova vlna | Steffy | 8. 9. 2015 | 15:42 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Volná částice | Steffy | 13. 9. 2017 | 15:07 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Pravoúhlá potenciálová jáma | Steffy | 11. 9. 2017 | 12:22 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Harmonický oscilátor | Steffy | 8. 9. 2017 | 10:17 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Moment hybnosti | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:30 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Posunovací operátory | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:15 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Výsledky měření | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:42 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Časový vývoj | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:51 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Spin | Stefamar | 11. 9. 2019 | 09:52 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Poruchová teorie | Steffy | 11. 9. 2017 | 13:51 | kapitola11.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02KVANCV} \chapter{Volná částice} \begin{cvi} Pomocí Fourierovy transformace určete řešení \sv y \rc e pro volnou částici, které v čase $t=0$ má tvar \be \psi(\vec x,0)=g(\vec x)=C\exp[-Ax^2+\vec B\vec x] \ll{mvb} \ee kde $Re\ A>0,\ \vec B\in\complex^3,\ C\in\complex$. \ll{ex:vlnbal} \end{cvi} \navod Při řešení používáme Fourierovu transformaci (FT) ve tvaru $$\tilde\psi(\vec{p},t)=\frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t) d^3 x,$$ která převede \sv u \rc i na obyčejnou diferenciální rovnici 1. řádu v čase $$ i\hbar\frac{\partial \tilde{\psi}}{\partial t} = \frac{p^2}{2M}\tilde{\psi}. $$ Řešení této rovnice je \begin{equation} \label{free:p} \tilde{\psi}(\vec{p},t) = e^{-\frac{i}{\hbar}\frac{p^2}{2M}t}\tilde{\psi}(\vec{p},0), \end{equation} kde $\tilde{\psi}(\vec{p},0)$ je FT počáteční podmínky $\psi(\vec x,0)$, tj. $$ \tilde{\psi}(\vec{p},t_{0}) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{-\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \psi(\vec{x},t_0) d^3 x = \frac{C}{(\sqrt{2 A \hbar})^3} e^\frac{(\vec{B}-\frac{i}{\hbar}\vec{p})^2}{4 A} $$ Řešení v proměnné $\vec{x}$ získáme inverzní FT \begin{equation} \label{free:x} \psi(\vec{x},t) = \frac{1}{(\sqrt{2\pi\hbar})^3}\int\limits_{\mathds{R}^3} e^{\frac{i}{\hbar} \vec{p}\cdot\vec{x}} \tilde{\psi}(\vec{p},t) d^3 p = C\chi(t)^{-3/2}e^{\frac{\vec B^2}{4A}} e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}, \end{equation} kde $\chi(t)=1+\frac{2iA\hbar}{M} t$. \begin{cvi} \label{vlnbal:pr} Čemu je úměrná hustota pravděpodobnosti pro řešení (\ref{free:x}) z příkladu \ref{ex:vlnbal}? Jak se mění poloha jejího maxima s časem? Čemu je rovna její střední kvadratická odchylka? Jak se mění s časem? Za jak dlouho se zdvojnásobí "šířka" vlnového balíku pro elektron lokalisovaný s přesností 1 cm a pro částici s hmotností 1 gram, jejíž těžiště je lokalizováno s přesností $10^{-6}$m? \ll{ex:pstvb} \end{cvi} \navod Je zapotřebí spočítat $| \psi(x,t) |^2 \sim \left|e^{-A\frac{[\vec x-\vec B/(2A)]^2}{\chi(t)}}\right|^2$ (nezajímá nás časový vývoj normalizace, i v dalším počítání je vhodné vynechávat celkové faktory nezávisející na $x$). Odvoďte si a využijte $|e^{z}|^2 = e^{2 {\rm Re} z}$. Pro určení střední kvadratické odchylky atd. porovnejte výsledek s tvarem Gaussovy rozdělovací funkce a najdete \begin{eqnarray} \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 {\rm Re}A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}{\rm Re}\vec{B}\ t ,\\ \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4{\rm Re} A} + \frac{\hbar^2}{M^2}{\rm Re}A\ t^2 + \frac{\hbar^2}{M^2}\frac{({\rm Im}A)^2}{{\rm Re}A}\ t^2 - \frac{\hbar}{M}\frac{{\rm Im}A}{{\rm Re}A}\ t. \end{eqnarray} Neurčitost polohy je stejná ve všech směrech, tj. $(\Delta x_j) = \sigma(t)$. Vlnový balík se může po konečnou dobu zužovat, pokud je ${\rm Im}A\neq 0$. Pro $A>0$ se pouze rozšiřuje, vztahy se zjednoduší na \begin{eqnarray} \nonumber \vec{x}_0(t) & = & \frac{{\rm Re} \vec{ B}}{2 A} + \frac{\hbar}{M}{\rm Im} \vec{B}\ t,\\ \nonumber \sigma^2(t) & = & \frac{1}{4A} + \frac{\hbar^2}{M^2}A\ t^2. \end{eqnarray} Zdvojnásobení: pro elektron cca $ 3 \, {\rm s}$, pro částici cca $10^{12} \, {\rm let}$. \begin{cvi} Částice s hmotností $m$ a hybností $p$ letí kolmo proti stěně se dvěma štěrbinami v bodech $\pm x_0$. Šířka štěrbin je $\sigma_0$. Ve vzdálenosti $d$ od štěrbin je stínítko. Určete hustotu pravděpodobnosti nalezení částice na stínítku. Předpokládejte, že po průchodu horní, resp. spodní štěrbinou, je stav částice možné popsat vlnovým balíkem se střední hodnotou polohy $\pm x_0$ a střední kvadratickou odchylkou rovnou $\sigma_0$. \end{cvi} \navod Vlnová funkce popisující stav částice po průchodu štěrbinami je superpozicí vlnových balíků $$ \psi(x,t) = \psi_1(x,t) + \psi_2(x,t),\quad \psi_{1,2}(x,t) = e^{-\frac{(x\mp x_0)^2}{4 \sigma_0^2\chi(t)}} = e^{\frac{(x\mp x_0)^2(2\sigma_0^2-i\frac{\hbar}{M}t)}{2(4\sigma_0^4 + \frac{\hbar^2 t^2}{M^2})}}. $$ Doba letu částice od štěrbin na stínítko je $t = \frac{d M}{p}$. Hustota pravděpodobnosti nalezení částice v místě $x$ na stínítku je tedy rovna $$ |\psi(x,t = \frac{d M}{p})|^2 = |\psi_1(x) + \psi_2(x)|^2 = |\psi_1(x)|^2 + |\psi_2(x)|^2 + \psi_1(x)\overline{\psi_2}(x) + \overline{\psi_1}(x)\psi_2(x). $$ První dva členy odpovídají situaci jen s horní (resp. spodní) štěrbinou $$ |\psi_{1,2}(x)|^2 = e^{-\frac{(x\mp x_0)^2}{2\sigma^2}},\quad \sigma^2 = \sigma_0^2 + \left(\frac{\hbar d}{4p\sigma_0}\right)^2. $$ Zbylé dva členy jsou zodpovědné za interferenci $$ \psi_1(x)\overline{\psi_2}(x) + \overline{\psi_1}(x)\psi_2(x) = 2 e^{-\frac{x^2 + x_0^2}{2\sigma^2}} \cos\left(\frac{4\hbar d p x x_0}{4 p^2\sigma_0^4 + \hbar^2 d^2}\right). $$