Verze z 13. 11. 2015, 00:28

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NUM1}
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}
 
\setcounter{define}{21}
\begin{theorem}
\label{SoucinTrojuhelniku}
Nechť jsou \( \matice A \) a \( \matice B \in \mathbbm C^{n, n} \) dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice \( \matice C = \matice A \matice B \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, \matice C_{ii} = \matice A_{ii} \matice B_{ii} \]
\begin{proof}
Protože jsou matice \( \matice A \) a \( \matice B \) dolní trojúhelníkové, platí \( \matice A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matice B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j \). Tudíž:
\[ \matice C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matice A_{ik} \matice B_{kj} \]
což je rovno 0 pro \( i < j \) a \( \matice A_{ii} \matice B_{ii}$ pro $i = j \). Důkaz pro horní trojúhelníkové matice je obdobný.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{InverzeTrojuhelniku}
Nechť je \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) regulární dolní (resp. horní) trojúhelníková matice. Pak matice \( \matice A^{-1} \) je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí:
\[ \forall i \in \hat n, (\matice A^{-1})_{ii} = \frac{1}{\matice A_{ii} } \]
\begin{proof}
TODO
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{LDR}
Každou regulární matici \( \matice A \in \mathbbm C^{n, n} \) lze jednoznačně vyjádřit ve tvaru součinu:
\[ \matice A = \matice L \matice D \matice R \]
kde:
\begin{itemize}
 \item \( \matice L \) je dolní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
 \item \( \matice D \) je diagonální matice
 \item \( \matice R \) je horní trojúhelníková matice s jedničkami na diagonále
\end{itemize}
\begin{proof}
\begin{itemize}
\item existence
 
indukcí podle n
\begin{itemize}
\item n=1
\\* $ \mathbb{A} \in \mathbb{C}^{1,1} \Rightarrow \mathbb{A}=(a_{11})=1(a_{11})1$
kde $\mathbb{L}=1$ a $\mathbb{R}=1$
\item n $\rightarrow$ n+1
\\* $ \mathbb{A} \in \mathbb{C}^{n+1,n+1}$
$\mathbb{A} = 
 \begin{pmatrix}
  \mathbb{A}\prime & \vec{v} \\
  \vec{u}^T & \alpha &  \\
  \end{pmatrix}
  \Rightarrow \mathbb{A}\prime \in \mathbb{C}^{n,n} \Rightarrow \mathbb{A}\prime = \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime
\\*\mathbb{A}=\mathbb{LDR}$ a hledám $\vec{l}$, $\vec{r}$ a $d_{n+1}$ tak, aby platil rozklad:
\newline
\\* $\begin{pmatrix}
  \mathbb{L}\prime & \vec{0} \\
  \vec{l}^T & 1 &  \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  \mathbb{D}\prime & \vec{0} \\
  \vec{0}^T & d_{n+1} &  \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  \mathbb{R}\prime & \vec{r} \\
  \vec{0}^T & 1 &  \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime & \vec{0} \\
  \vec{l}^T\mathbb{D}\prime & d_{n+1} &  \\
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  \mathbb{R}\prime & \vec{r} \\
  \vec{0}^T & 1 &  \\
  \end{pmatrix}
  = \begin{pmatrix}
  \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime & \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\vec{r} \\
  \vec{l}^T\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime & \vec{r}\vec{l}^T\mathbb{D}\prime + d_{n+1} &  \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  \mathbb{A}\prime & \vec{v} \\
  \vec{u}^T & \alpha &  \\
  \end{pmatrix}
  \newline
  \\* \mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime\vec{r}=\vec{v} \Rightarrow \vec{r}=(\mathbb{L}\prime\mathbb{D}\prime)^{-1}\vec{v}
  \\* \vec{l}^T\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime=\vec{u}^T \Rightarrow \vec{u}=(\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime)^T=\vec{l} \Rightarrow \vec{l}=((\mathbb{D}\prime\mathbb{R}\prime)^T)^{-1}\vec{u}
  \\* d_{n+1}=\alpha - \vec{r}\vec{l}^T\mathbb{D}\prime
$
\end{itemize}
\item jednoznačnost
\\* $\mathbb{A}=\mathbb{L}_1\mathbb{D}_1\mathbb{R}_1=\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2\mathbb{R}_2
\\* \mathbb{D}_1\mathbb{R}_1=(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2\mathbb{R}_2
\\* \mathbb{D}_1\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}=(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2$
kde $\mathbb{D}_1\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}$ je horní trojúhelníková matice a $(\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2\mathbb{D}_2$ je dolní trojúhelníková matice
\\* $ \Rightarrow (\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2$ je diagonální a má jedničky na diagonále
\\* $ \Rightarrow (\mathbb{L}_1)^{-1}\mathbb{L}_2=\mathbb{I} \Rightarrow \mathbb{L}_1=\mathbb{L}_2 $
\\* $\mathbb{R}_1(\mathbb{R}_2)^{-1}=\mathbb{I} \Rightarrow \mathbb{R}_1=\mathbb{R}_2
\\* \mathbb{D}_1=\mathbb{D}_2 $
\end{itemize}
\end{proof}
\end{proof}
 
\end{theorem}
\begin{remark}
Čísla na diagonále matice \( \matice D \) z \ref{LDR} \textbf{nejsou} vlastními čísly matice \( \matice A \)
\end{remark}