01NUM1:Kapitola2: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(Založena nová stránka s textem „%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry}“) |
(Věta 22) |
||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
%\wikiskriptum{01NUM1} | %\wikiskriptum{01NUM1} | ||
\section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry} | \section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry} | ||
+ | |||
+ | \setcounter{define}{21} | ||
+ | \begin{theorem} | ||
+ | Nechť jsou $\matrix A$ a $\matrix B \in \mathbbm C^{nn}$ dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice $\matrix C = \matrix A \matrix B$ je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: | ||
+ | $$\forall i \in \hat n, \matrix C_{ii} = \matrix A_{ii} \matrix B_{ii} $$ | ||
+ | \begin{proof} | ||
+ | Protože jsou matice $\matrix A$ a $\matrix B$ dolní trojúhelníkové, platí $\matrix A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matrix B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j$. Tudíž: | ||
+ | $$\matrix C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} $$ | ||
+ | což je rovno 0 pro $i < j$ a $\matrix A_{ii} \matrix B_{ii}$ pro $i = j$. | ||
+ | \end{proof} | ||
+ | \end{theorem} |
Verze z 12. 11. 2015, 20:31
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 01NUM1
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 01NUM1 | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:49 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 19:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Dedicma2 | 17. 1. 2016 | 16:20 | header.tex | |
Kapitola0 | editovat | Značení | Dedicma2 | 23. 5. 2017 | 21:32 | znaceni.tex | |
Kapitola2 | editovat | Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:41 | prezentace2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Úvod do numerické matematiky | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 15:51 | prezentace3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Přímé metody pro lineární soustavy | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:47 | prezentace4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Iterativní metody | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 16:59 | prezentace5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Vlastní čísla a vektory matic | Dedicma2 | 3. 6. 2024 | 17:07 | prezentace6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Nelineární rovnice | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 14:27 | prezentace7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Interpolace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 15:43 | prezentace8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Derivace a integrace | Kubuondr | 31. 1. 2017 | 17:33 | prezentace9.tex |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{01NUM1} \section{Opakování a doplnění znalostí z lineární algebry} \setcounter{define}{21} \begin{theorem} Nechť jsou $\matrix A$ a $\matrix B \in \mathbbm C^{nn}$ dolní (resp. horní) trojúhelníkové matice. Pak matice $\matrix C = \matrix A \matrix B$ je dolní (resp. horní) trojúhelníková. Dále pak platí: $$\forall i \in \hat n, \matrix C_{ii} = \matrix A_{ii} \matrix B_{ii} $$ \begin{proof} Protože jsou matice $\matrix A$ a $\matrix B$ dolní trojúhelníkové, platí $\matrix A_{ik} = 0 \; \; \forall i < k$ a $\matrix B_{kj} = 0 \; \; \forall k < j$. Tudíž: $$\matrix C_{ij} = \sum_{k = 1}^n \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = 1}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} = \sum_{k = j}^i \matrix A_{ik} \matrix B_{kj} $$ což je rovno 0 pro $i < j$ a $\matrix A_{ii} \matrix B_{ii}$ pro $i = j$. \end{proof} \end{theorem}