Verze z 25. 8. 2013, 16:05

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Topologie}
 
\index{topologie}
\index{topologický prostor}
\index{otevřená množina}
\begin{define}
Buď $X$ libovolná množina, $\P(X)$ její potenční množina, $\tau\subset\P(X)$ taková, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item $\emptyset,X\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ konečná) platí:
$\bigcap\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$,
\item Pro každé $A_\alpha\in\tau,\ \alpha\in\I$ ($\I$ libovolná) platí:
$\bigcup\limits_{\alpha\in\I} A_\alpha\in\tau$.
\end{enumerate}
Potom množinu $(X,\tau)$ nazveme {\bf topologickým prostorem} a $\tau$ jeho
{\bf topologií}. Prvky topologie nazveme {\bf otevřené množiny}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\index{topologie, diskrétní} \index{topologie, triviální}
Na každé množině $X$ lze zavézt triviální topologii $\tau_0 = \{\emptyset,X\}$ a diskrétní topologii $\tau_d=\P(X)$.  
\end{remark}
 
\index{okolí bodu}
\begin{define}
Buď $x\in (X,\tau)$. Potom množinu $\H_x$ nazveme {\bf okolím bodu} $x$, právě když
$(\exists A\in\tau)(x\in A\subset\H_x)$.
\end{define}
 
\begin{example}
 Nechť je na uzavřeném intervalu $X =  [0,1] $ zavedena  topologie $\tau_{fin}$ taková, 
že do ní patří $\emptyset$, $X$ a všechny doplňky konečných podmnožin $X$.
Potom pro všechna $x \in X$  a libovolnou prostou postoupnost ($x_{n_1} \neq x_{n_2}$ pro $n_1\neq n_2$)
platí, že $x_n \longrightarrow x$, protože každé okolí $U(x)$ obsahuje $\{x_n\}$ až na konečný počet členů.
Takže neplatí tvrzení o jednoznačnosti limity. 
\end{example}
 
\index{axiomy oddělitelnosti}
Z toho důvodu zavedeme \bf{axiomy oddělitelnosti:
 
\begin{tabbing}
$T_0$: \= $(\forall x\not=y)[(\exists\H_x)(y\not\in\H_x) \lor (\exists\H_y)(x\not\in\H_y)]$ \\
$T_1$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)
(y\not\in\H_x\wedge x\not\in\H_y)$ \\
$T_2$: \> $(\forall x\not=y)(\exists\H_x,\H_y)(\H_x\cap\H_y=\emptyset)$ \\
$T_3$: \> $(\forall A=\uz{A})(\forall x\not\in A)(\exists\H_A,\H_x)(\H_A\cap\H_x=\emptyset)$\\
$T_4$: \> $(\forall A=\uz{A},B=\uz{B})(A \cap B = \emptyset)(\exists\H_A,\H_B)(\H_A\cap\H_B=\emptyset)$
\end{tabbing}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
 
\index{izolovaný bod}
\item Je-li $x$ sám svým okolím, řekneme, že $x$ je izolovaný.
\index{$\epsilon$ okolí}
\item V~metrickém prostoru definujeme $\epsilon$-okolí
$\H_x^\epsilon=B(x,\epsilon)$
\index{okolí množiny}
\item Okolí množiny $\H_A$ definujeme jako $\H_A=\bigcup_{x\in
A}\H_x$, neboli $(\exists B\in\tau)(A\subset B\subset\H_A)$
 
\end{enumerate}
\end{remark}
 
 
 
\begin{define}
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_0$ budeme nazývat \index{Kolmogorovův prostor} {\bf Kolmogorovův}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_2$ budeme nazývat \index{Hausdorffův prostor} {\bf Hausdorffův}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_3$ budeme nazývat \index{Regulární prostor} {\bf Regulární}.
 
Topologický prostor vyhovující axiomu $T_4$ budeme nazývat \index{Normální prostor} {\bf Normální}.\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item  Od~této chvíle budeme předpokládat prostor $T_2$.
\item Metrický prostor je normální.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzavřená množina}
\begin{define}
Řekneme, že množina $A$ je {\bf uzavřená} v~$X$, právě když $X\sm
A\in\tau$ (její doplněk do $X$ je otevřená).
\end{define}
 
\index{kotopologie}
\begin{remark}
Systém všech uzavřených množin nazýváme {\bf kotopologie}, značíme $c\tau$.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
Nechť $(X,\tau)$ je topologický prostor, $c\tau$ jeho kotopologie. Pak platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item $\emptyset,X\in c\tau$
\item $B_i\in c\tau\Rightarrow\bigcup\limits_{i=1}^n B_i\in c\tau$
\item $B_\alpha\in c\tau,\ \alpha\in\I
\Rightarrow\bigcap\limits_{\alpha\in\I} B_\alpha\in c\tau$
\end{enumerate}
\begin{proof}
\begin{enumerate}[(i)]
\item $X\sm\emptyset=X\in\tau$, $X\sm X=\emptyset\in\tau$.
\item S~využitím de Morganových zákonů dostáváme
      \[X\sm \bigcup_{i=1}^n B_i=\bigcap_{i=1}^n(X\sm B_i)\in\tau\]
\item
      \[X\sm \bigcap_{\alpha\in\I}B_\alpha=
        \bigcup_{\alpha\in\I}(X\sm B_\alpha)\in\tau\]
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
de Morganovy zákony se dokáží aplikací vztahů 
$$X\sm (A\cap B) = (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
$$X\sm (A\cup B) = (X\sm A)\cap( X\sm B)$$
$A,B\subset X$ pak platí
$$x\in X\sm (A\cap B) \Leftrightarrow x\notin  A\cap B \Leftrightarrow   x\notin A \vee x\notin B $$
$$\Leftrightarrow x\in X\sm A \vee x\in X\sm B \Leftrightarrow x \in    (X\sm A)\cup( X\sm B)$$
druhý vztah se dokáže podobně
\end{remark}
 
 
 
\index{obojetná množina}
\begin{define}
Množinu $A\subset X$, pro kterou platí $A\in\tau\cap c\tau$ nazveme {\bf obojetnou}.
\end{define}
\begin{remark}
 Například  $\emptyset,X$ jsou obojetné množiny.
\end{remark}
 
\index{vnitřek}
\begin{define}
Buď $A\subset X$. Potom {\bf vnitřkem} množiny $\vn{A}$ je sjednocení
\[\vn{A}=\bigcup_{\substack{B\subset A\\B\in\tau}}B.\]
\end{define}
 
\index{vnějšek}
\index{vnější bod}
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Vnitřek $A$ je největší otevřená podmnožina $A$; $A=\vn A$ $\iff$ $A$ je otevřená $\iff A \in \tau$.
\item Je-li $A\subset X$, potom {\bf vnějšek} množiny je vnitřek doplňku
(tj. $\vn{(X\sm A)}$). Prvky vnějšku nazýváme {\bf vnějšími body}.
\index{okolí bodu}
\item Alternativní definice okolí: $\H_x$ nazveme okolím bodu $x$
  $\iff$ $x\in\vn{\H_x}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{hranice}
\begin{define}
{\bf Hranicí množiny} $A$ nazýváme množinu 
$\hr{A}=X\sm(\vn{A}\cup\vn{(X\sm A)})$, její prvky pak {\bf hraniční body}.
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\hr{A}\in c\tau$, tj. hranice je uzavřená.
\item $\hr{(A\cup B)}\subset\hr{A}\cup\hr{B}$.
\item $x\in\hr{A}\iff (\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset
\wedge\H_x\cap(X\sm A)\not=\emptyset)$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{uzávěr}
\begin{define}
{\bf Uzávěrem} $\uz{A}$ množiny $A$ nazveme nejmenší uzavřenou nadmnožinu, tj.
\[\uz{A}=\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C\]
\end{define}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item $\vn{A}\subset A\subset\uz{A}$.
\bigskip\item Uzávěr a vnějšek libovolné množiny jsou disjunktním rozkladem
množiny $X$:
\[
X\sm\uz{A}=X\sm\bigcap_{\substack{C\supset A\\C\in c\tau}}C=
\bigcup_{\substack{X\sm C\subset X\sm A\\X\sm C\in\tau}}(X\sm C)=
\vn{(X\sm A)},
\]
tedy $\uz{A}=\vn{X\sm(X\sm A)}$,
$\uz{A}=\vn{A}\cup\hr{A}=A\cup\hr{A}$.
\bigskip\item Pro uzavřenou množinu platí: $A\subset\uz{A}\subset A$, tedy
$\uz{A}=A$.
\bigskip\item Pro otevřenou množinu platí: $\vn{A}=A$.
\bigskip\item $A\subset B\implies\uz{A}\subset\uz{B}$,
$\uz{A\cap B}\subset\uz{A}\cap\uz{B}$,
$\uz{A\cup B}=\uz{A}\cup\uz{B}$.
\bigskip\item $\uz{\uz{A}}=\uz{A}$, $\vn{\vn{A}}=\vn{A}$.
\bigskip\item $x\in\uz{A}$, právě když 
$(\forall\H_x)(\H_x\cap A\not=\emptyset)$,
v~metrickém prostoru 
$(\forall\epsilon>0)(B(x,\epsilon)\cap A\not=\emptyset)$.
\bigskip\item $\uz{\hr{A}}=\hr{A}$,
$\hr{\uz{A}}=\uz{\uz{A}}\sm\vn{(\uz{A})}\subset
\uz{A}\sm\vn{A}=\hr{A}$.
\bigskip\item $\hr{\hr{A}}=\uz{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{A})}\subset\hr{A}$,
$\hr{\hr{\hr{A}}}=\hr{\hr{A}}\sm\vn{(\hr{\hr{A}})}=\hr{\hr{A}}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\index{topologický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\tau)$ topologický prostor, $A\subset X$. Na $A$ definujeme
{\bf relativní} (též {\bf indukovanou}) topologii $\tau_A=(B\cap
A|B\in\tau)$. $(A,\tau_A)$ nazveme {\bf topologickým podprostorem}.
\end{define}
 
\index{metrický podprostor}
\begin{define}
Buď $(X,\rho)$ metrický prostor, $Y\subset X$, $\rho_Y=\rho|_{Y\times
Y}$. Potom uspořádanou dvojici $(Y,\rho_Y)$ nazveme {\bf metrickým
podprostorem} $Y\pp X$.
\end{define}
 
\begin{theorem}
Buď $Y\pp X$, $A\subset Y$. Potom $\uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}$.
\begin{proof}
\[\uz{A}^Y=\{x\in Y|\rho(x,A)=0\}=Y\cap
\underbrace{\{x\in X|\rho(x,A)=0\}}_{\displaystyle\uz{A}}
=Y\cap\uz{A}\]
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
Buď $Y$ metrický podprostor prostoru $X$. Potom platí:
$A=\uz{A}^Y\iff (A=Y\cap B,B=\uz{B})$.
\begin{proof}
\begin{enumerate}[a)]
\item $(\Rightarrow)$: $A=\uz{A}^Y\implies A=Y\cap\uz{A}=Y\cap B$.
\item $(\Leftarrow)$: $A=Y\cap B,B=\uz{B}\implies A\subset B\implies
      \uz{A}\subset\uz{B}=B\implies \uz{A}^Y=Y\cap\uz{A}\subset
      Y\cap B=A$. Opačná inkluze ($A\subset\uz{A}^Y$) je triviální.
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\item Buď $A\subset Y\subset X$. Pak platí:
$A=\uz{A}^X\implies A=\uz{A}^Y$: 
$A=Y\cap A=Y\cap\uz{A}^X=\uz{A}^Y$.
\item $A=\vn{A}^X\implies A=\vn{A}^Y$.
\item $A=\uz{A}^Y\wedge Y=\uz{Y}^X\implies A=\uz{A}^X$:
$A=\uz{A}^Y=\underbrace{Y\cap B}_{\text{uzavřené v~}X}$.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
\begin{enumerate}
\index{izolovaný bod}
\index{izolátor}
\item {\bf Izolovaným bodem} množiny $A$ nazýváme bod $x\in A$, pro
který existuje okolí $\H_x$ takové, že $\H_x\cap A=\{x\}$. Množinu
$\iz{A}$ všech izolovaných bodů množiny $A$ nazýváme {\bf izolátorem}.
\index{hromadný bod}
\index{derivace množiny}
\item Bod $x\in\uz{A}$ nazýváme {\bf hromadným bodem} množiny $A$,
právě když není jejím bodem izolovaným. Množinu všech hromadných bodů
nazýváme {\bf derivací} množiny $A$, značíme $A'$.
\item $A'=\uz{A}\sm\iz{A}$.
\item $\uz{A}=\iz{A}\cup A'=A\cup A'$.
\item $A=\uz{A}\iff A'\subset A$.
\item $A'=\uz{A'}$: $\subset$ jasné;
 $\supset$: $x \in \uz{A \sm \{x\}} \iff \forall \H_x: \H_x \cap (A \sm \{x\}) \neq \emptyset$, tj. má jiný společný bod než je $x$, a tudíž dle definice $x \in A'$
\item $(A')'\subset\uz{A'}=A'$ (př. množiny, která se derivováním menší $A=\{(\frac{1}{n},\frac{1}{m})\in \R^2|m,n$ přirozená$\}$ pak $A'=\{(\frac{1}{n}, 0),(0,\frac{1}{n}), (0,0)|n$ přirozené$\}$ a následně $(A')'=\{(0,0)\}$)
\index{diskrétní množina}
\item $A=\iz{A}$ --- diskrétní množina.
\index{perfektní množina}
\item $A=A'$ --- perfektní množina.
\end{enumerate}
\end{remark}