02TSFA:Kapitola24: Porovnání verzí
Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
(zjednodušení výpočtu,) |
|||
Řádka 1: | Řádka 1: | ||
− | |||
%\wikiskriptum{02TSFA} | %\wikiskriptum{02TSFA} | ||
\section{Termodynamické nerovnosti} | \section{Termodynamické nerovnosti} | ||
Řádka 27: | Řádka 26: | ||
$$d^2U = \pderivxx{U}{S} d^2S + 2\pderivxy{U}{S}{V} dSdV+\pderivxx{U}{V}d^2V \ge 0 $$ | $$d^2U = \pderivxx{U}{S} d^2S + 2\pderivxy{U}{S}{V} dSdV+\pderivxx{U}{V}d^2V \ge 0 $$ | ||
\bigskip | \bigskip | ||
− | Forma je | + | Forma je pozitivně definitní, a proto musí být podle |
Sylvestrova kritéria (1. rohový subdeterminant) | Sylvestrova kritéria (1. rohový subdeterminant) | ||
− | $$\left(\pderivxx{U}{S}\right)_V = \termderiv{ | + | $$\left(\pderivxx{U}{S}\right)_V = \termderiv{T}{S}{V} = \frac{T}{C_V} > 0$$ |
\bigskip | \bigskip | ||
ale i celkový determinant musí být kladný | ale i celkový determinant musí být kladný | ||
− | $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\pderivxy{U}{S}{V} >0$$ | + | $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\left(\pderivxy{U}{S}{V}\right)^2 >0$$ |
− | $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\pderivxy{U}{S}{V} = \pderivx{(T,P)}{(S,V)} = | + | $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\left(\pderivxy{U}{S}{V}\right)^2 = - \pderivx{(T,P)}{(S,V)} = |
− | \pderivx{(T,P)}{(T,V)} \pderivx{(T,V)}{(S,V)} = \frac{T}{C_V}\termderiv{P}{V}{T}>0 $$ | + | -\pderivx{(T,P)}{(T,V)} \pderivx{(T,V)}{(S,V)} = -\frac{T}{C_V}\termderiv{P}{V}{T}>0 $$ |
Aktuální verze z 6. 2. 2011, 20:44
[ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol. | |
PDF Této kapitoly | [ znovu generovat, | výstup z překladu ] | Přeložení pouze této kaptioly. |
ZIP | Kompletní zdrojový kód včetně obrázků. |
Součásti dokumentu 02TSFA
součást | akce | popis | poslední editace | soubor | |||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Hlavní dokument | editovat | Hlavní stránka dokumentu 02TSFA | Admin | 1. 8. 2010 | 10:52 | ||
Řídící stránka | editovat | Definiční stránka dokumentu a vložených obrázků | Admin | 7. 9. 2015 | 13:48 | ||
Header | editovat | Hlavičkový soubor | Karel.brinda | 27. 1. 2011 | 20:47 | header.tex | |
Kapitola1 | editovat | Matematický aparát | Kunzmart | 25. 8. 2021 | 11:16 | kapitola1.tex | |
Kapitola2 | editovat | Statistický popis složitých soustav | Krasejak | 27. 6. 2014 | 12:56 | kapitola2.tex | |
Kapitola3 | editovat | Statistický soubor a rozdělovací funkce | Krasejak | 27. 6. 2014 | 13:15 | kapitola3.tex | |
Kapitola4 | editovat | Nejpravděpodobnější rozdělení | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:23 | kapitola4.tex | |
Kapitola5 | editovat | Partiční funkce systému a jeho podsystémů | Krasejak | 29. 3. 2014 | 03:02 | kapitola5.tex | |
Kapitola6 | editovat | Mikrokanonický soubor | Kunzmart | 26. 8. 2021 | 09:10 | kapitola6.tex | |
Kapitola7 | editovat | Kanonický soubor | Maresj23 | 5. 1. 2014 | 11:23 | kapitola7.tex | |
Kapitola8 | editovat | Grandkanonický soubor | Godalale | 7. 6. 2023 | 21:04 | kapitola8.tex | |
Kapitola9 | editovat | Ekvivalence statistických souborů | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 00:40 | kapitola9.tex | |
Kapitola10 | editovat | Principy termodynamiky | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:29 | kapitola10.tex | |
Kapitola11 | editovat | Termodynamické potenciály | Kunzmart | 12. 7. 2021 | 03:41 | kapitola11.tex | |
Kapitola12 | editovat | Závislost termodynamických potenciálů na látkovém množství | Krasejak | 29. 3. 2014 | 02:33 | kapitola12.tex | |
Kapitola13 | editovat | Vztahy mezi derivacemi termodynamických veličin | Batysfra | 30. 8. 2011 | 14:22 | kapitola13.tex | |
Kapitola14 | editovat | Další termodynamické veličiny | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:53 | kapitola14.tex | |
Kapitola15 | editovat | Kvantověmechanický harmonický oscilátor | Kubuondr | 29. 5. 2017 | 13:21 | kapitola15.tex | |
Kapitola16 | editovat | Měření Poissonovy konstanty | Admin | 1. 8. 2010 | 10:47 | kapitola16.tex | |
Kapitola17 | editovat | Termodynamika směsí různých látek | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:38 | kapitola17.tex | |
Kapitola18 | editovat | Vratné a nevratné procesy | Kubuondr | 26. 5. 2017 | 12:32 | kapitola18.tex | |
Kapitola19 | editovat | Ustálení dynamické rovnováhy | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:40 | kapitola19.tex | |
Kapitola20 | editovat | Důsledky podmínek rovnováhy | Kubuondr | 15. 4. 2017 | 08:26 | kapitola20.tex | |
Kapitola21 | editovat | Rovnováha systému o více fázích | Tomas | 7. 9. 2010 | 14:23 | kapitola21.tex | |
Kapitola22 | editovat | Klasifikace fázových přechodů | Chladjar | 14. 9. 2020 | 14:32 | kapitola22.tex | |
Kapitola23 | editovat | Joule-Thompsonův pokus | Tomas | 7. 9. 2010 | 18:43 | kapitola23.tex | |
Kapitola24 | editovat | Termodynamické nerovnosti | Karel.brinda | 6. 2. 2011 | 20:44 | kapitola24.tex | |
Kapitola25 | editovat | Narušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip) | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:46 | kapitola25.tex | |
Kapitola26 | editovat | Statistická rozdělení soustavy volných částic | Chladjar | 15. 9. 2020 | 10:40 | kapitola26.tex | |
Kapitola27 | editovat | Odvození termodynamiky IP statistickými metodami | Admin | 25. 4. 2024 | 11:36 | kapitola27.tex | |
Kapitola28 | editovat | Fotonový plyn a záření absolutně černého tělesa | Groveond | 1. 7. 2014 | 20:35 | kapitola28.tex | |
Kapitola29 | editovat | Modely krystalů | Chladjar | 17. 9. 2020 | 17:19 | kapitola29.tex | |
Kapitola30 | editovat | Jiný statistický přístup — kinetická teorie | Tomas | 14. 2. 2011 | 23:22 | kapitola30.tex | |
Kapitola31 | editovat | Otázky ke zkoušce z TSF | Admin | 1. 8. 2010 | 10:51 | kapitola31.tex | |
Kapitola32 | editovat | Reference | Tomas | 7. 9. 2010 | 12:54 | reference.tex |
Vložené soubory
soubor | název souboru pro LaTeX |
---|---|
Image:Gauss.pdf | Gauss.pdf |
Image:Fcel1.pdf | fcel1.pdf |
Image:2krabab.pdf | 2krabab.pdf |
Image:Transw.pdf | transw.pdf |
Image:Syst.pdf | syst.pdf |
Image:3pt.pdf | 3pt.pdf |
Image:Cholesctv.pdf | Cholesctv.pdf |
Image:Oscpot.pdf | Oscpot.pdf |
Image:Spins.pdf | spins.pdf |
Image:Spins2.pdf | spins2.pdf |
Image:Spins3.pdf | spins3.pdf |
Image:Spins4.pdf | spins4.pdf |
Image:Ptdiag.pdf | ptdiag.pdf |
Image:Joulthom.pdf | joulthom.pdf |
Image:Trirozd.pdf | trirozd.pdf |
Image:FD_e_mu.jpg | FD_e_mu.jpg |
Image:Krystal.pdf | krystal.pdf |
Image:Krystal2.pdf | krystal2.pdf |
Image:Procesyr.pdf | procesyr.pdf |
Image:Hgraf.pdf | hgraf.pdf |
Zdrojový kód
%\wikiskriptum{02TSFA} \section{Termodynamické nerovnosti} Odvoďme si nějaké další vztahy vyplývající z podmínek rovnováhy. Nechť je chemický systém v rovnováze. Potom platí $$dU = TdS - pdV = 0 \qquad \qquad U = U_0 \qquad \qquad d^2U > 0$$ \bigskip v nějakých bodech $S_0,V_0$. Rozložme $U$ v okolí $U_0 = U(S_0, V_0)$ do Taylorovy řady: $$U = U_0 + \left[\termderiv{U}{S}{V} dS + \termderiv{U}{V}{S}dV \right] + \pul \left[ \pderivxx{U}{S} d^2S + 2\pderivxy{U}{S}{V} dSdV +\pderivxx{U}{V}d^2V \right] + \dots $$ \bigskip což je ale $$U = U_0 + dU + \pul d^2U + \dots$$ \bigskip Protože ovšem je $dU = 0$, platí, že $$d^2U = \pderivxx{U}{S} d^2S + 2\pderivxy{U}{S}{V} dSdV+\pderivxx{U}{V}d^2V \ge 0 $$ \bigskip Forma je pozitivně definitní, a proto musí být podle Sylvestrova kritéria (1. rohový subdeterminant) $$\left(\pderivxx{U}{S}\right)_V = \termderiv{T}{S}{V} = \frac{T}{C_V} > 0$$ \bigskip ale i celkový determinant musí být kladný $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\left(\pderivxy{U}{S}{V}\right)^2 >0$$ $$\pderivxx{U}{S}\pderivxx{U}{V}-\left(\pderivxy{U}{S}{V}\right)^2 = - \pderivx{(T,P)}{(S,V)} = -\pderivx{(T,P)}{(T,V)} \pderivx{(T,V)}{(S,V)} = -\frac{T}{C_V}\termderiv{P}{V}{T}>0 $$ \bigskip Zkoumejme rozdíl $C_p - C_V$. Platí, že $$C_p - C_V = \left[ p + \termderiv{U}{V}{T} \right]\termderiv{V}{T}{p}= T\termderiv{p}{T}{V}\termderiv{V}{T}{p}$$ \bigskip Upravme si $$\termderiv{V}{T}{p} = \djac{V}{p}{T}{p} = \frac{\ \djac{V}{p}{V}{T}\ }{\djac{T}{p}{V}{T}} = - \frac{\termderiv{p}{T}{V}}{\termderiv{p}{V}{T}}$$ \bigskip a dosaďme do rozdílu $C_p - C_V$: $$C_p - C_V = - T \frac{\termderiv{p}{T}{V} ^2}{\termderiv{p}{V}{T}}$$ \bigskip Druhá mocnina je vždy kladná, teplota v tomto případě rovněž a zbytek je kladný kvůli dříve vypočteným nerovnostem. Z toho plyne, že $C_p - C_V > 0$, a tedy máme důležitý závěr, že při kvazistatických dějích platí coby důsledek podmínek rovnováhy $$C_p > C_V > 0$$