Matematika2:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201115:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 18. 9. 201109:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201410:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 13. 6. 201909:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 20. 6. 201911:17 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 29. 4. 201909:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201512:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201910:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Taylorův polynom a Taylorova řada]{\fbox{Taylorův polynom a Taylorova řada}}
 
\subsection{Taylorův polynom}
 
	\begin{theorem}\label{thm:Taylor}
	Nechť funkce $f$ má v bodě $a$ konečnou derivaci řádu $n$, $n\in\N$. Pak existuje právě jeden polynom $T_n(x)$ stupně nejvýše $n$ takový, že platí $T_n^{(k)}(a) = f^{(k)}(a)$ pro všechna $k = 0,1,2,\dots,n$.
	Tento polynom má tvar 
	$$
	T_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{define}[Taylorův polynom]
	Polynom $T_n$ z věty \ref{thm:Taylor} se nazývá $n$-tý Taylorův polynom funkce $f$ v bodě $a$.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{define}[Zbytek Taylorova polynomu]
	Zbytek Taylorova polynomu je definován pro všechna $x\in D_f$:
	$$
	R_n(x)=f(x)-T_n(x).
	$$
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[Taylorova o zbytku]
	Nechť $f$ má spojitou derivaci řádu $n+1$ na intervalu $[a,x]$ (nebo $[x,a]$) pro nějaké $x \in D_f$ . Potom
	$$
	R_n(x) = \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t,
	$$
	tj.
	$$
	f(x)=T_n(x)+R_n(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + \frac{1}{n!} \int_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n~\ud t
	$$
	\begin{proof}
	Důkaz provedeme přímo. Aplikujeme metodu per partes na integrál (pro $k\geq1$)
	$$
		\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t = \Big| \hbox{per partes} \Big| = \frac{1}{k!}\Big[ (x-t)^kf^{(k)}(t) \Big]_{a}^x + \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t,
	$$
	odkud vyjádříme člen v Taylorově polynomu (pro $k\geq1$)
	$$
		\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k = \frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t,
	$$
	který dosadíme přímo do definice zbytku $R_n(x)$
	\begin{align*}
		R_n(x) &= f(x) - T_n(x) = f(x) - \sum\limits_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k = f(x) - f(a) - \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{f^{(k)}}{k!}(a)(x-a)^k =\\
		&= f(x) - f(a) -  \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{(k-1)!}\int\limits_{a}^xf^{(k)}(t)(x-t)^{k-1}\ud t - \frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\
		&= f(x) - f(a) -  \sum\limits_{k=0}^{n-1}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^xf^{(k+1)}(t)(x-t)^{k} \ud t + \sum\limits_{k=1}^{n}\frac{1}{k!}\int\limits_{a}^x f^{(k+1)}(t)(x-t)^k\ud t \\
		&= f(x)-f(a) - \frac{1}{0!}\int\limits_{a}^xf^{(1)}(t)(x-t)^{0} \ud t + \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t \\
		&= \frac{1}{n!}\int\limits_{a}^xf^{(n+1)}(t)(x-t)^n\ud t.
	\end{align*}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Odhad zbytku]
	$$
	|R_n(x)| \leq \left( \max\limits_{t\in I} |f^{n+1}(t)| \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}. 
	$$
	\begin{proof}
	$$
		|R_n(x)| = \frac{1}{n!}\left| \int\limits_{a}^x f^{(n+1)}(t)(x-t)^n \ud t\right| \leq \frac{1}{n!} \int\limits_{a}^x |f^{(n+1)}(t)||x-t|^n \ud t \leq
		\left( \max\limits_{I} f^{(n+1)}(t) \right) \frac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Taylorova řada}
	\begin{define}[Taylorova řada]
	Nechť $f$ je nekonečně diferencovatelná v bodě $a \in D_f$ (tj. má konečné derivace všech řádů v bodě $a$) a nechť pro $x\in I$ platí, že $\lim\limits_{n\to+\infty} R_n(x) = 0$. 
	Pak lze $\forall x \in I$ zkonstruovat nekonečnou řadu 
	$$
		f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k, 
	$$
	kterou nazýváme Taylorovou řadou funkce $f$ v bodě $a$. Množinu $I$ nazýváme oborem konvergence Taylorovy (mocninné) řady.
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Důležité rozvoje funkcí do Taylorovy (mocninné) řady:
	\begin{enumerate}
	\item $\e^x  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{1}{n!}x^n \quad \forall x\in\R$. 
	\item $\sin(x)  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \quad \forall x\in\R$.
	\item $\cos(x)  = \sum\limits_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n} \quad \forall x\in\R$.
	\item $\ln(1+x)  = \sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{n} \quad \forall x\in (-1,1]$. 
	\end{enumerate}	 
	\end{remark}