Matematika2:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201115:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 18. 9. 201109:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201410:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 13. 6. 201909:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 19. 3. 202007:35 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 30. 3. 202017:33 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201512:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201910:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Křivky dané parametricky]{\fbox{Křivky dané parametricky}}
\subsection{Definice}
 
	\begin{define}[Křivka daná parametricky]
	Nechť $x(t)$ a $y(t)$ jsou funkce diferencovatelné na $(\alpha, \beta)$ a spojité na $[\alpha, \beta]$. 
	Pak množinu bodů
	$$\{ [x, y] \in \R^2 : x=x(t), y=y(t), t\in [\alpha, \beta] \},$$
	nazvýváme křivkou danou parametricky.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.48\textwidth}p{0.48\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{J}}
		}
		Descartův list $\{ [x, y]_k : x^3+y^3=axy \}$.
		&
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{K}}
		Asteroida $\{ [x, y]_k : x^{\frac23} + y^{\frac23} = a^{\frac23} \}$
		}
	\end{tabular}
	\end{center}
 
	\begin{center}
	\begin{tabular}{p{0.98\textwidth}}
		{
		\centering
		\fbox{\includegraphics[width=0.45\textwidth]{L}}
		}\\
		Cykloida $\{ [x, y]_k : x(t)=a(t-\sin t), y(t)=a(1-\cos t), t \geq 0 \}$
 
	\end{tabular}
	\end{center}
 
\subsection{Tečny ke křivce dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Rovnice tečny]
	Mějme křivku $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$. Nechť $\dot{x}(t)$ a $\dot{y}(t)$ existují
	na $(\alpha, \beta)$ a nechť je alespoň jedna z derivací $\dot{x}(t_0)$ a $\dot{y}(t_0)$ nenulová. Pak rovnice tečny ke křivce v bodě
	$[x(t_0), y(t_0)]$ je 
	$$
	\dot{y}(t_0)(x-x(t_0)) = \dot{x}(t_0)(y-y(t_0)).
	$$
	\begin{proof}
	\begin{enumerate}
	 \item Nechť $\dot{x}(t_0) \neq 0$:\\
	Sestrojíme sečnu $s$ procházející bodem $[x(t_0),y(t_0)]$ a nějakým blízkým bodem $[x(t_0+h),y(t_0+h)]$ ($h>0$ malé) a pomocí limitního přechodu $h\to0$ získáme rovnci tečny $t:y=kx+q$. 
	Směrnice $k_s$ takové sečny má rovnici
	$$
		k_s(h) = \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) }.
	$$
	Provedeme-li limitní přechod $h \to 0$, dostaneme směrnici tečny $k$ v bodě $[x(t_0),y(t_0)]$:
	$$
		k = \lim\limits_{h\to0} k_s(h) = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } = 
		\lim\limits_{h\to0} \frac{ y(t_0+h)-y(t_0) }{ x(t_0+h)-x(t_0) } \frac{h}{h} = 
		\frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)}
	$$
	Koeficient $q$ vypočítáme po dosazení bodu $[x(t_0),y(t_0)]$ do rovnice tečny
	$$
		q = y_(t_0) - kx(t_0) = y(t_0) - \frac{\dot{y}(t_0)}{\dot{x}(t_0)} x(t_0).
	$$
	Odtud dostáváme tvrzení věty.
	\item Je-li $\dot{x}(t_0) = 0$, pak $x(t) = x(t_0)$ a podle předpokladů je nutně $\dot{y}(t_0) \neq 0$. Dostáváme tedy vertikální tečnu o rovnici $x = x(t_0)$.
	\end{enumerate}
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Plocha v křivce dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Plocha v křivce]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom plocha vymezená křivkou a osou x je  dána vzorcem
	$$
	A = \int\limits_\alpha^\beta y(t)\dot{x}(t)\ud t.
	$$
	\begin{proof}
	Protože $x=x(t)$ je prostá funkce (přeznačme ji pro přehlednost jako $x(t)=\psi(t)$), použijeme inverzní transformaci $t = \psi^{-1}(x)$ a křivku vyjádříme jako funkční předpis 
	$$
		f(x) = y(t) = y(\psi^{-1}(x)).
	$$
	Plocha pod grafem funkce $f$ je
	$$
		A = \int\limits_a^b f(x) \ud x,
	$$
	kde $\alpha=\psi^{-1}(a)$ a $\beta=\psi^{-1}(b)$. Dále zpětně provedeme substituci $x=\psi(t)$ a dostaneme tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Délka křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Délka parametrické křivky]\label{thm:delka_krivky}
	Nechť $\dot{x}$ a $\dot{y}$ jsou spojité funkce na $[\alpha, \beta]$. 
	Délka křivky dané parametricky je dána vzorcem
	$$
	L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) }\ud t.
	$$
%	\begin{proof}
%		Větu dokážeme pomocí věty o délce grafu funkce pro případ, kdy je buď $x=x(t)$ nebo $y=y(t)$ prostá funkce na nějakém intervalu, ze které lze vyjádřit $t = g(x)$, resp. $t=g(y)$. 
%		Předpokládejme tedy, že křivku lze rozdělit diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$, $k=0,1,\dots n$ tak, že na intervalech $[t_{k-1},t_k]$ je a) $x=x(t)$ nebo b) $y=y(t)$ prostá funkce.
%		
%		(a) $x=x(t)$ je prostá funkce, proto existuje její inverzní funkce $t=g(x)$ tak, že $g(x(t))=t$ a $y(t) = y(g(x)) =: f(x)$. Pak délka grafu funkce $f$ je dána 
%		\begin{equation*}
%			L_k = \int\limits_{x(t_{k-1})}^{x(t_k)} \sqrt{ 1 + \left( f^\prime(x) \right)^2 } \ud x,
%		\end{equation*}
%		kde provedeme př
%	\end{proof}
%	\begin{proof}
%	Nechť $\varsigma = \{ \alpha=t_0<t_1<\dots t_{n-1}<t_n=\beta \}$ je rozdělení intervalu $[\alpha,\beta]$. 
%	Křivku rozdělíme na diskrétní body $A_k = [x(t_k),y(t_k)]$ a její délku $L$ aproximujeme délkou po částech lomené čáry $d = \sum\limits_{k=1}^n d_k$, kde $d_k = \ud(A_{k-1},A_k)$:
%	\begin{equation*}
%	\begin{split}
%		d_k = \sqrt{ \left( x(t_{k})-x(t_{k-1}) \right)^2 + \left( y(t_{k})-y(t_{k-1}) \right)^2}
%		\\
%		=(t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \frac{x(t_{k})-x(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2 + \left( \frac{y(t_{k})-y(t_{k-1})}{t_k-t_{k-1}} \right)^2}.
%	\end{split}
%	\end{equation*}
%	Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě můžeme zlomky v závorkách aproximovat derivacemi $\dot{x}(c_x)$, resp. $\dot{y}(c_y)$, kde $c_x \in (t_{k-1},t_k)$, resp. $c_y \in (t_{k-1},t_k)$:
%	$$
%		d_k = (t_k-t_{k-1}) \sqrt{ \left( \dot{x}(c_x) \right)^2 + \left( \dot{y}(c_y) \right)^2}.
%	$$
%	
%	
%	\todo{coz nedelat Lagrange, ale dokazat, ze ty podily v zavorce na druhou sou vetsi a mensi nez norma derivaci?}
%	
%	Označíme-li 
%	\begin{align*}
%	m_k &= \min \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},\\
%	M_k &= \max \left\{\sqrt{\dot{x}^2(t) + \dot{y}^2(t)} : t \in [t_{k-1},t_k] \right\},
%	\end{align*}
%	dostaneme odhad pro $d_k$
%	$$
%		 m_k (t_k-t_{k-1}) \leq  d_k \leq  (t_k-t_{k-1}) M_k,
%	$$
%	tj. po vysčítání přes $k$
%	$$
%		s_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma) \leq d \leq S_{\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}}(\varsigma).
%	$$
%	Podle Riemannovy definice určitého integrálu odtud plyne tvrzení věty.
% 	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Délka křivky v polárních souřadnicích]
	Nechť $r$ a $\dot{r}$ jsou spojité funkce na $[\alpha,\beta]$. 
	Délka křivky v polárních souřadnicích
	$$
		L = \int\limits_\alpha^\beta \sqrt{r^2(\varphi) + \dot{r}^2(\varphi)}\ud\varphi. 
	$$
	\begin{proof}
	Ve Větě~\ref{thm:delka_krivky} přejdeme do polárních souřadnic vztahy
	\begin{align*}
	x(\varphi) &= r(\varphi)\cos\varphi, \\ 
	y(\varphi) &= r(\varphi)\sin\varphi,
	\end{align*}
	pro které platí
	$$
		\dot{x}^2 + \dot{y}^2 = r^2 + \dot{r}^2.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Objem rotující křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$ spojitá a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta y^2(t)\dot{x}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Objem křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{y}(t)$ spojitá a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom objem tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem
	$$
	V = \pi\int\limits_\alpha^\beta x^2(t)\dot{y}(t) \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Povrch rotující křivky dané parametricky}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $x$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $x(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $y(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $x$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta y(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Povrch křivky rotující okolo osy $y$]
	Nechť $\{ [x(t), y(t)] : t \in [\alpha,\beta] \}$ je křivka daná parametricky
	a nechť $y(t)$ je prostá, $\dot{x}(t)$, $\dot{y}(t)$ spojité a $x(t)\geq 0$ pro $\forall t\in [\alpha, \beta]$.
	Potom povrch tělesa, které vznikne rotací křivky dané parametricky okolo osy $y$ je dán vzorcem
	$$
	P = 2\pi\int\limits_\alpha^\beta x(t)\sqrt{ \dot{x}^2(t)+\dot{y}^2(t) } \ud t.
	$$
	\end{theorem}