Matematika2:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika2Fucikrad 14. 9. 201116:01
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201519:27
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 14. 9. 201115:56 header.tex
Kapitola1 editovatTechniky integraceFucikrad 18. 9. 201109:50 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatZobecněný Riemannův integrálFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatKuželosečkyAdmin 26. 2. 201410:52 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatPolární souřadniceFucikrad 13. 6. 201909:59 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKřivky dané parametrickyFucikrad 20. 6. 201911:17 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSupremum a infimumFucikrad 13. 3. 201214:41 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatPosloupnosti reálných číselFucikrad 20. 6. 201911:18 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatŘadyFucikrad 29. 4. 201909:59 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatTaylorův polynom a Taylorova řadaFucikrad 4. 5. 201512:46 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatMocninné řadyFucikrad 13. 5. 201910:15 kapitola10.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:kuzelky.pdf kuzelky.pdf
Image:A.png A.png
Image:B.png B.png
Image:C.png C.png
Image:D.png D.png
Image:E1.png E1.png
Image:E2.png E2.png
Image:E3.png E3.png
Image:E4.png E4.png
Image:F1.png F1.png
Image:F2.png F2.png
Image:F3.png F3.png
Image:F4.png F4.png
Image:J.png J.png
Image:K.png K.png
Image:L.png L.png

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika2}
\section[Kuželosečky]{\fbox{Kuželosečky}}
 
 
\subsection{Kartézský systém souřadnic v $\R^2$}
	\begin{remark}
	Kartézský systém souřadnic $(O,x,y)$. Posunutí (přechod) do systému $(O',x', y')$, kde $O' = [x_0, y_0]$ transformacemi
	\begin{align*}
	x &= x_0 + x', \\
	y &= y_0 + y'.
	\end{align*}
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Vzdálenost bodů]
	Vzdálenost dvou bodů $A=[x_1, y_1]$ a $B=[x_2, y_2]$: $$\ud(A,B) = \sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}.$$ 
	\end{define}
 
	\begin{define}[Vzdálenost bodu a přímky]
	Vzdálenost bodu $A= [x_A, y_A]$ a přímky $p$:
% 	o rovnici $p: ax+by+c=0$ je definována
	 $$\ud(p, A) = \min_{B\in p}\ud(A,B).$$ 
	\end{define}
 
 
	\begin{theorem}[Vzdálenost  přímky od počátku]\label{thm:vzdalenost}
	Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od počátku $O=[0,0]$ je dána výrazem
	$$
		d(p,O) = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
	$$
	\begin{proof}
	Vzdálenost počátku $O$ od přímky $p$ se realizuje na kolmici. Sestrojíme proto kolmici $q$ k přímce $p$, která prochází počátkem a změříme vzdálenost bodu $A$ průniku přímek $p$ a $q$ od $O$.
 
	Připomeňme, že koeficienty $a$ a $b$ tvoří normálový (kolmý) vektor k přímce $p$. Proto přímku $q$ hledáme ve tvaru $q: bx-ay+d=0$ neb vektor $(b,-a)$ je kolmý na $(a,b)$. Nyní stačí určit koeficient $d$ podle podmínky $O \in q$, odkud $d = 0$.
 
	Dalším krokem je nalezení průsečíku $A=[x_A,y_A]$ přímek $p$ a $q$. Řešením rovnic
	\begin{align*}
	ax_A+by_A+c&=0 \\ 
	bx_A-ay_A&=0.
	\end{align*}
	dostaneme souřadnice průsečíku
	$$
		x_A = -\frac{ac}{a^2+b^2}, \quad y_A = -\frac{bc}{a^2+b^2}.
	$$
 
	Nakonec spočítáme vzdálenost bodu $A$ od počátku $O$
	$$
		d(p,O) = d(O,A) = \frac{\sqrt{a^2c^2+b^2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2}^2} = \frac{|c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}[Vzdálenost přímky od bodu]
	Vzdálenost přímky $p: ax+by+c=0$ od bodu $B=[x_B,y_B]$ je dána výrazem
	$$
		d(p,B) = \frac{|ax_B+by_B+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}.
	$$
	\begin{proof}
	Použijeme výsledek Věty~\ref{thm:vzdalenost}, pro který posuneme počátek pomocné soustavy souřadné $(O',x',y')$ do bodu $B$, tj. počátek $O'$ má v původní souřadné soustavě souřadnice \mbox{$O'=B=[x_B,y_B]$}. Transformační vztahy posunutí $(O,x,y) \to (O',x',y')$ jsou 
	\begin{align*}
	x &= x_B + x', \\ 
	y &= y_B + y'.
	\end{align*}
	Přímka $p$ má tedy v čárkované soustavě rovnici $p: a(x_B+x') + b(y_B+y')+c=0$, tj. 
	$$
		p: ax'+by' + \underbrace{ax_B+by_B+c}_{\hbox{ozn.~}c'} = 0.
	$$
	Podle Věty~\ref{thm:vzdalenost} je vzdálenost počátku $O'$ od přímky $p$ (vyjádřené v čárkované soustavě)
	$$
		d(O',p) = \frac{{|c'|}}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{{|ax_B+by_B+c|}}{\sqrt{a^2+b^2}}.
	$$
	\end{proof}
	\end{corollary}
 
 
	\begin{figure}[hbt]
	\centering
	\includegraphics[width=0.4\textwidth]{kuzelky}
	\end{figure}
 
\subsection{Kružnice}
	\begin{define}[Kružnice]
	Kružnice se středem v bodě $S$ o poloměru $r>0$
	$$
		\mathcal{K} = \left\{ A : \ud(A,S) = r \right\}.
	$$
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Nechť $S=[x_0,y_0]$ a bod $A=[x,y]$. Pak $A\in\mathcal{K}$ když $\ud(A,S)=r$, tj.
	$$
		(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = r^2.
	$$
	\end{remark}
 
\subsection{Elipsa}
	\begin{define}[Elipsa]
	Elipsa s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou hlavní poloosy $a$
	$$
		\mathcal{E} = \left\{ A : \ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a \right\},
	$$
	kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a > \ud(F_1,F_2)\geq 0$. 
 
	\end{define}
 
 
	\begin{remark}
	Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$, tj. hlavní poloosa je ve směru osy $x$. 
	Číslo $e$ nazýváme excentricita (výstřednost). Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{E}$ dostaneme z definiční rovnice
	$$
	\ud(A,F_1) + \ud(A,F_2) = 2a 
	$$
	pomocí algebraických manipulací ve tvaru
	$$
		\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,
	$$
	kde mezi koeficienty $a$, $b$ a $e$ platí z Pythagorovy věty
	$$
		e^2 + b^2 = a^2.
	$$
	Koeficient $b$ se nazývá vedlejší poloosa ($b<a$).Vrcholy elipsy se nacházejí v bodech $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$.
 
	Analogicky lze odvodit rovnici pro elipsu s hlavní poloosou ve směru osy $y$.
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}[Rovnice elipsy]
	Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $x$
	$$
		\frac{(x-x_0)^2}{a^2} + \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.
	$$
	Rovnice elipsy se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a hlavní poloosou $a$ ve směru osy $y$
	$$
		\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1.
	$$
	Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 + b^2 = a^2$.
	\begin{proof}
	Plyne z definice a předchozí poznámky. Vrcholy $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$, $V_{3,4}=[x_0,y_0 \pm b]$.
	V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Hyperbola}
	\begin{define}[Hyperbola]
	Hyperbola s ohnisky $F_1$ a $F_2$ a délkou reálné poloosy $a>0$
	$$
		\mathcal{H} = \left\{ A : \Big| \ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) \Big| = 2a \right\},
	$$
	kde střed $S$ se nachází v polovině úsečky $\overline{F_1F_2}$ a $2a < \ud(F_1,F_2)$. 
	\end{define}
 
 
	\begin{remark}
	Nechť $S=[0,0]$, $F_1=[-e,0]$, $F_2=[e,0]$ ($e$--excentricita), tj. reálná poloosa $a$ je ve směru osy $x$. 
	Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{H}$ odvodíme z definiční rovnice
	$$
	\Big|\ud(A,F_1) - \ud(A,F_2)\Big| = 2a,
	$$
	kterou je též možné zapsat ve tvaru
	$$
		\ud(A,F_1) - \ud(A,F_2) = \pm2a,
	$$
	který vyjadřuje obě větve hyperboly (pro $x>0$ i $x<0$).
	Po dosazení za definici vzdálenosti bodů jednu z odmocnin převedeme na druhou stranu rovnice 
	$$
		\sqrt{(x+e)^2+y^2} - \sqrt{(x-e)^2+y^2} = \pm 2a
	$$
	a umocníme na druhou
	$$
		(x+e)^2 + y^2 = (x-e)^2 + y^2 \pm 4a\sqrt{(x-e)^2+y^2} + 4a^2.
	$$
	Tuto rovnici upravíme a umocníme na druhou 
	$$
		x^2(e^2-a^2) - a^2y^2= a^2(e^2-a^2).
	$$
	Dle předpokladu je $0<2a<\ud(F_1,F_2)=2e$, proto $a<e$ a můžeme zavést parametr $b^2 = e^2-a^2$, který nazveme imaginární poloosou.
	Celkem rovnici hyperboly zapisujeme ve tvaru
	$$
		\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.
	$$
	Vrcholy hyperboly se nacházejí v bodech $V_{1,2} = [\pm a,0]$.
 
	Analogicky lze odvodit rovnici pro hyperbolu s reálnou poloosou ve směru osy $y$.
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}[Rovnice hyperboly]
	Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $x$
	$$
		\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.
	$$
	Rovnice hyperboly se středem v bodě $S=[x_0,y_0]$, excentricitou $e$ a reálnou poloosou $a$ ve směru osy $y$
	$$
		-\frac{(x-x_0)^2}{b^2} + \frac{(y-y_0)^2}{a^2} = 1.
	$$
	Pro parametry $a$, $b$ a $e$ platí $e^2 = a^2 + b^2$.
	\begin{proof}
	Plyne z definice a předchozí poznámky.
	V prvním případě, $F_{1,2}=[x_0\pm e,y_0]$ a $V_{1,2}=[x_0\pm a,y_0]$. V druhém pak $F_{1,2}=[x_0,y_0\pm e]$ a $V_{1,2}=[x_0,y_0 \pm a]$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Asymptoty hyperboly]
	Hyperbola o rovnici 
	$$
		\frac{(x-x_0)^2}{a^2}-\frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1
	$$
	má v $\pm \infty$ asymptoty 
	$$
		y = y_0\pm \frac{b}{a}(x-x_0).
	$$
	\begin{proof}
	Z rovnice hyperboly umíme vyjádřit dva funkční předpisy 
	$$
		f_{1,2}(x) = y_0\pm \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2},
	$$
	které popisují horní ($y>y_0$) a spodní ($y<y_0$) část grafu hyperboly. Snadno nahlédneme, že
	$$
		\lim\limits_{x\to\infty} \sqrt{\frac{b^2}{a^2}(x-x_0)^2 - b^2}- \frac{b}{a}(x-x_0) = 0.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Parabola}
 
	\begin{define}[Parabola]
	Parabola s ohniskem $F$ a řídící přímkou $p$ 
	$$
		\mathcal{P} = \left\{ A : \ud(A,F) = \ud(A,p) \right\}.
	$$
	Vrchol paraboly $V$ se nachází v polovině vzdálenosti $\ud(F,p)$ od ohniska $F$ na normále k řídící přímce procházející ohniskem $F$. 
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Nechť $V=[0,0]$, $F=[0,e]$, $p: y=-e$ a $e>0$, tj. parabola je otevřena v kladném směru osy $y$. 
	Rovnici všech bodů $A = [x,y]\in\mathcal{P}$ dostaneme z definiční rovnice
	$$
	\ud(A,F) = \ud(A,p),
	$$
	tj. 
	$$
		\sqrt{x^2+(y-e)^2} = \sqrt{(y+e)^2},
	$$
	odkud pomocí algebraických manipulací dostaneme rovnici paraboly ve tvaru
	$$
		x^2 = 4ey.
	$$
 
	Analogicky lze odvodit rovnici pro parabolu otevřenou v kladném směru osy $x$: $y^2=4ex$. Pokud $e<0$, je parabola otevřena v záporném směru os.
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}[Rovnice paraboly]
	Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $x$ má rovnici  
	$$
		(y-y_0)^2 = 4e(x-x_0).
	$$
	Parabola s vrcholem v bodě $V=[x_0, y_0]$ a excentricitou $e$ položená v kladném ($e>0$) nebo záporném ($e<0$) směru osy $y$ má rovnici  
	$$
		(x-x_0)^2 = 4e(y-y_0).
	$$	\end{theorem}