Matematika1:Kapitola9

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 4. 10. 201907:49 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 5. 11. 201813:21 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivacePitrazby 6. 12. 201613:53 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201409:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 27. 8. 201111:33 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Aplikace integrálu]{\fbox{Aplikace integrálu}}
\subsection{Výpočet plochy}
	\begin{theorem}[Výpočet plochy mezi funkcemi]
	Nechť jsou  $f$ a $g$ funkce spojité na intervalu $[a, b]$.
	Potom plocha $A$ vymezená těmito funkcemi je
	$$
	A = \int\limits_a^b |f(x)-g(x)|~\ud x.
	$$
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}[Plocha pod grafem funkce]
	Nechť je funkce $f$ spojitá a nezáporná na intervalu $[a, b]$.
	Pak plocha $A_f$ vymezená grafem funkce $f$ a osou $x$ je
	$$
	A_f = \int\limits_a^b f(x)~\ud x.
	$$
	\end{corollary}
 
 
\subsection{Výpočet polohy těžiště}
	\begin{theorem}[Poloha těžiště plochy pod grafem funkce]
	 Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$. Potom pro těžiště  $T=[\bar{x},\bar{y}]$ plochy pod grafem funkce $f$ platí
	$$
	\bar{x}=\frac{\int\limits_a^bxf(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}, \quad
	\bar{y}=\frac12\frac{\int\limits_a^bf^2(x)\ud x}{\int\limits_a^bf(x)\ud x}.
	$$
	\begin{proof}
	Pro důkaz věty použijeme analogii postupu hledání těžiště $n$ hmotných bodů z fyziky.
	Poloha těžiště $z_T$ pro $n$ hmotných bodů o hmotnostech $m_k$ a polohách $z_k$ (na ose $z$) je
	$$
		z_T = \frac{ \sum\limits_{k=1}^n m_k z_k }{ \sum\limits_{k=1}^{n} m_k }.
	$$
 
	Na chvíli předpokládejme, že uvažovaná plocha pod grafem funkce $f$ má všude stejnou hustotu $\varrho$.
	Uvažujme rozdělení $\varsigma = \{ a=x_0<x_1<\dots<x_{n-1}<x_n=b \}$ intervalu $[a,b]$.
 
	Označme $A_k$ jednotlivé dílčí plochy pod grafem funkce $f$ mezi $x_{k-1}$ a $x_{k}$.
	Dále označme polohu těžiště na ose $x$ symbolem $t_k$. Snadno nahlédneme, že polohu těžiště $A_k$ na ose $y$ lze vyjádřit $y_k = \frac12f(t_k)$.
	Hmotnost dílčí plochy $A_k$ lze vyjádřit jako \mbox{$m_k = \varrho f(t_k)(x_k-x_{k-1})$}. 
	Každou dílčí plochu $A_k$ lze reprezentovat hmotným bodem o souřadnicích $[t_k, \frac12f(t_k)]$ a hmotnosti $m_k$.
 
	Podle vzorce pro polohu těžiště $n$ hmotných bodů dostáváme pro jednotlivé souřadnice polohy těžiště  
	$x_T(\varsigma)$ a $y_T(\varsigma)$ (při rozdělení $\varsigma$) vyjádření
	\begin{align}
	x_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho t_k f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }, \\
	y_T(\varsigma) &= \frac{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho \frac12 f^2(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) }{ \sum\limits_{k=1}^n \varrho f(t_k) (x_{k}-x_{k-1}) },
	\end{align}
	kde $t_k \in [x_{k-1},x_{k}]$. Hustota $\varrho$ je konstantní, proto ji můžeme vykrátit z obou výrazů. 
	Pro dokončení důkazu stačí v jednotlivých sumách odhadnout funkci $t\cdot f(t)$, resp. $f(t)$, resp. $\frac12f^2(t)$ svými maximy a minimy na dílčích intervalech $[x_{k-1},x_k]$, čímž obdržíme horní a dolní částečné součty. 
	Protože jsme v celém odvození uvažovali libovolné rozdělení $\varsigma$, dostáváme podle Riemannovy definice určitého integrálu~\ref{def:urcity} tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Délka grafu funkce}
	\begin{theorem}[Délka grafu funkce]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom délka grafu funkce  $L_f$ je 
	$$
	L_f = \int\limits_a^b \sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
	$$
	\begin{proof}
	Nechť $\varsigma$ je rozdělení intervalu $[a,b]$. S využitím Pythagorovy věty můžeme délku grafu funkce aproximovat úsečkou délky $d_k$ na každém dílčím intevalu $[x_{k-1},x_k]$ takto:
	$$
		d_k = \sqrt{(f(x_{k})-f(x_{k-1}))^2 + (x_k-x_{k-1})^2} = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(\frac{f(x_{k})-f(x_{k-1})}{x_k-x_{k-1}}\right)^2}.
	$$
	Na intervalu $[x_{k-1},x_k]$ použijeme Lagrangeovu větu~\ref{thm:lagrange} o přírůstku funkce: $\exists c_k\in(x_{k-1},x_k)$ tak, že 
	$$
		d_k = (x_k-x_{k-1})\sqrt{1 + \left(f^\prime(c_k)\right)^2}.
	$$
	Označíme-li 
	\begin{align*}
	m_k &= \min \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\}, \\
	M_k &= \max \left\{ \sqrt{1 + \left(f^\prime(z)\right)^2} : z\in[x_{k-1},x_k] \right\},
	\end{align*}
	dostáváme nerovnost
	$$
	(x_k-x_{k-1})m_k \leq d_k \leq  (x_k-x_{k-1})M_k
	$$
	pro všechna $k$. Sečteme-li tuto nerovnost přes všechna $k=1,2,\dots,n$, máme 
	$$
	s_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma) \leq L_f(\varsigma) \leq S_{\sqrt{1+(f^\prime)^2}}(\varsigma).
	$$
	Odtud již plyne tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Objem rotačního tělesa}
	\begin{theorem}[Objem rotačního tělesa]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom objem 
	rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je 
	$$
	V_f = \pi \int\limits_a^b f^2(x)~\ud x.
	$$
	\end{theorem}
 
 
 
\subsection{Povrch rotačního tělesa}
	\begin{theorem}[Povrch rotačního tělesa]
	Nechť funkce $f$ má spojitou první derivaci na intervalu $[a, b]$. Potom povrch 
	rotačního tělesa, které vznikne rotací grafu $f$ okolo osy $x$ je 
	$$
	S_f = 2\pi \int\limits_a^b f(x)\sqrt{1+(f^\prime(x))^2}~\ud x.
	$$
	\end{theorem}