Matematika1:Kapitola7

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 4. 10. 201907:49 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 5. 11. 201813:21 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivacePitrazby 6. 12. 201613:53 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201409:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 27. 8. 201111:33 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Integrální počet]{\fbox{Integrální počet}}	
\subsection{Primitivní funkce a neurčitý integrál}
	\begin{define}[Primitivní funkce]\label{def:primitiv}
	Funkci $F$ nazveme primitivní k funkci $f$ na intervalu $[a,b]$, pokud $F$ je spojitá na intervalu
	$[a,b]$ a platí $F^\prime(x) = f(x)$ pro všechna $x \in (a,b)$.
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[O jednoznačnosti primitivní funkce]
	Buď funkce $F$ primitivní k funkci $f$ na intervalu $(a,b)$. Potom funkce $G$ je primitivní k funkci $f$
	právě když $(\exists C\in\R)(\forall x\in(a,b)~)(F(x)=G(x)+C).$
	\begin{proof}
	Zjevně $F^\prime = G^\prime$, proto z definice~\ref{def:primitiv} plyne, že funkce $G$ je primitivní k $f$.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{define}[Neurčitý integrál]
	Nechť pro funkci $f$ existuje primitivní funkce $F$ na $(a,b)$. Množinu všech primitivních
	funkcí k funkci $f$ nazveme neurčitým integrálem funkce $f$ v intervalu $(a,b)$ a značíme symbolem
	$$
	\int f(x)~\ud x, \quad \hbox{nebo krátce} \quad \int f.
	$$
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	$$
	\int f = \int f(x) \ud x = \left\{ F : F \hbox{~je primitivní k ~} f \right\} = F(x)+C,
	$$
	kde $f$ \dots integrand, $x$ \dots integrační proměnná, $F$ \dots reprezentant (=nějaká primitivní funkce), $C$ \dots integrační konstanta. 
	\end{remark}
 
	\begin{theorem}[Linearita integrace]
	Buď $F$, resp. $G$ primitivní funkce k $f$, resp. $g$ na $(a,b)$ a $\alpha\in\R$. Pak $F+\alpha G$ je primitivní funkce k $f+\alpha g$ na $(a,b)$.
	\begin{proof}
	Plyne z linearity derivace a definice~\ref{def:primitiv}.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
	\begin{theorem}[Per partes]\label{thm:perpartes}
	Nechť $f$, $g$ mají na $(a,b)$ konečné derivace a funkce $h=fg^\prime$ má v $(a,b)$ primitivní
	funkci $H$. Potom funkce $f^\prime g$ má  v $(a,b)$ primitivní funkci $fg-H$. \\
	Neboli
	$$
	\int fg^\prime = fg-\int f^\prime g.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Stačí ověřit, zda funkce $fg-H$ je primitivní k $f^\prime g$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a pravidla pro derivaci součinu (Věta~\ref{thm:derivovani})
	$$
	\left(fg-H \right)^\prime = f^\prime g + \underbrace{fg^\prime}_h - \underbrace{H^\prime}_h = f^\prime g + h - h = f^\prime g. 
	$$
	\end{proof}
 
	\begin{theorem}[Substituce]\label{thm:substituce}
	Nechť $f$ má v $(a,b)$ primitivní funkci $F$, $\varphi$ je prostá a má v $(\alpha,\beta)$ konečnou derivaci
	$\varphi^\prime$ a $\varphi(\alpha,\beta)~\subset~(a,b)$. Potom funkce $F \circ \varphi$ je primitivní
	funkce $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$ v intervalu $(\alpha,\beta)$.
	Neboli
	$$
	\int f(z)~\ud z = \int f(\varphi(x)) \varphi^\prime(x)~\ud x = F(\varphi(x)) + C.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Stačí ověřit, zda funkce $F\circ\varphi$ je primitivní k $(f \circ \varphi)\varphi^\prime$, tj. dle definice~\ref{def:primitiv} a Věty~\ref{thm:circ} (řetězové pravidlo)
	$$
		\Big( (F\circ\varphi)(x) \Big)^\prime = F^\prime(\varphi(x)) \varphi^\prime(x).
	$$
	\end{proof}
 
 
	\begin{lemma}
	Pro $n \neq -1$ platí 
	$\displaystyle 
		\int x^n  = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + C.
	$
	\end{lemma}
 
 
 
\subsection{Určitý integrál}
 
	\begin{define}[Rozdělení intervalu $\varsigma$]
	Rozdělením $\varsigma$ intervalu $[a,b]$ rozumíme množinu bodů $\varsigma = \left\{ x_k : k = 0, 1, 2, \dots, n\right\}$ takovou, že $a=x_0 < x_1 < x_2 < \dots x_{n-1} < x_n=b$. Intervaly $[x_{k-1}, x_k]$ nazýváme částečnými intervaly rozdělení $\varsigma$ pro $k = 1, 2, \dots, n$.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$]
	Horní integrální součet $S_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je 
	$$
		S_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} M_k (x_{k}-x_{k-1}),
	$$
	kde $\displaystyle M_k = \max \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$]
	Dolní integrální součet $s_f(\varsigma)$ funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$ je 
	$$
		s_f(\varsigma) = \sum\limits_{k=1}^{n} m_k (x_{k}-x_{k-1}),
	$$
	kde $\displaystyle m_k = \min \left\{f(x) : x\in[x_{k-1},x_k] \right\}$ pro $k=1,2,\dots,n$.
	\end{define}
 
	\begin{figure}[htb]
	\centering
	\includegraphics{riemann}
	\caption{{Ilustrace k Riemannově definici určitého integrálu}}\label{fig:riemann}
	\end{figure}
 
	\begin{define}[Určitý integrál]\label{def:urcity}
	Buď $s_f(\varsigma)$, resp. $S_f(\varsigma)$ dolní, resp. horní integrální součet funkce $f$ při rozdělení $\varsigma$
	intervalu $[a,b]$. Potom jednoznačně určené číslo $I$, které pro všechna možná rozdělení $\varsigma$ splňuje
	$$
	s_f(\varsigma) \leq I \leq S_f(\varsigma)
	$$
	se nazývá určitý integrál funkce $f$ od $a$ do $b$ (přes interval $(a,b)$) a značí se
	$$
	I = \int\limits_a^b f(x)~\ud x = \int\limits_a^b f.
	$$
	Funkce, která má určitý integrál se nazývá Riemannovsky integrovatelná (integrabilní).
	\end{define}
 
	\begin{theorem}[Základní vlastnosti určitého integrálu]\oprava
	\begin{enumerate}
		\item $\displaystyle \int\limits_a^b f + \int\limits_b^c f = \int\limits_a^c f,$ pokud jednotlivé integrály existují.
		\item $\displaystyle \int\limits_a^a f = 0$
		\item $\displaystyle \int\limits_a^b f= - \int\limits_b^a f$
	\end{enumerate}
	\begin{proof}~
	\begin{enumerate}
		\item Plyne přímo z definice~\ref{def:urcity} nebo též z grafického znázornění integrálu jako plochy pod grafem funkce $f$ pokud $a<b<c$.
		\item Z prvního tvrzení je patrné, že pro volbu $a=b=c$ máme rovnost $2\int\limits_a^af = \int\limits_a^af$, kterou splňuje pouze $\int\limits_a^af = 0$.
		\item Z prvního a druhého tvrzení dostaneme pro volbu $c=a$ rovnost $\int\limits_a^bf+\int\limits_b^af=0$, odkud již plyne třetí tvrzení.
	\end{enumerate}
 	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{define}[Integrál jako funkce horní, resp. dolní meze]
	Nechť funkce $f$ je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $[a,b]$. Potom 
	$$
		x \mapsto \int\limits_a^x f(t)\ud t
	$$
	nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí horní meze} a
	$$
		x \mapsto \int\limits_x^b f(t)\ud t
	$$
	nazýváme \textbf{integrálem jako funkcí dolní meze}.
	\end{define}
 
 
	\begin{lemma}\label{lemma:newton}
	Funkce $\displaystyle F(x) = \int\limits_a^x f(t)\ud t$ je primitivní funkce k funkci $f$, tj. 
	$$
		\frac{\ud}{\ud x}\left( \int\limits_a^x f(t)\ud t \right) = f(x).
	$$
	\end{lemma}
 
	\begin{theorem}[Newtonova formule]\label{thm:newton}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na $[a,b]$ a $F$ její primitivní funkce. Potom
	$$
	\int\limits_a^b f(x)~\ud x = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F(a).
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Dle lemmatu~\ref{lemma:newton} zkoumejme primitivní funkci $F$ k $f$ ve tvaru
	$$
		F(x) = \int\limits_a^x f(t) \ud t + K,
	$$
	kde $K\in\R$. Z hodnoty v bodě $x=a$ určíme $K$ takto:
	$$
		F(a) = \int\limits_a^a f(t) \ud t + K = 0 + K,
	$$
	odkud $K = F(a)$. Z hodnoty v bodě $x=b$ pak dostaneme tvrzení věty:
	$$
		F(b) = \int\limits_a^b f(t) \ud t + F(a).
	$$
	\end{proof}
 
 
	\begin{theorem}[Per partes]
	Nechť funkce $f$, $g$ mají na $[a,b]$ spojité derivace. Potom
	$$
	\int\limits_a^b f(x)g^\prime(x) = [f(x)g(x)]_a^b - \int\limits_a^b f^\prime(x)g(x)~\ud x.
	$$
	\begin{proof}
	Plyne z vět~\ref{thm:perpartes} a \ref{thm:newton}.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Substituce]
	Buď $\varphi^\prime$ spojitá a nenulová na intervalu $[\alpha,\beta]$ (tj. $\varphi$ je prostá na $\alpha, \beta$]). Nechť funkce $f$ je spojitá na $H_\varphi$.
	Potom
	$$
	\int\limits_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi^\prime(t) ~\ud t= \int\limits_{\varphi(\alpha)}^{\varphi(\beta)} f(u)~\ud u.
	$$
	\begin{proof}
	Plyne z vět~\ref{thm:substituce} a \ref{thm:newton}.
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Vlastnosti určitého integrálu}
	\begin{theorem}[Vlastnosti určitého integrálu]\oprava
	\begin{enumerate}
		\item Nechť $f \geq 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f \geq 0$.
		\item Nechť $f > 0$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f > 0$.
		\item Nechť $f < g$ na $(a,b)$. Pak $\displaystyle \int\limits_a^b f < \int\limits_a^b g$.
		\item $\displaystyle \Big| \int\limits_a^b f \Big| \leq \int\limits_a^b |f|$, přičemž rovnost nastává, pokud je funkce $f$ nezáporná na $(a,b)$.
		\item $\displaystyle m(b-a) < \int\limits_a^b f < M(b-a)$, kde $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$.
	\end{enumerate}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Věta o střední hodnotě integrálu]\label{thm:stredni}
	Nechť $f$ a $g$ jsou spojité funkce na intervalu $[a,b]$ a navíc funkce $g$ nezáporná na $[a,b]$. Potom $\exists c\in [a,b]$ tak, že
	$$
	\int\limits_a^b f(x)g(x)~\ud x = f(c)\int\limits_a^b g(x)~\ud x.
	$$
	\end{theorem}
	\begin{proof}
	Označme $m=\min \left\{ f(x):x\in[a,b]\right\}$ a $M = \max \left\{ f(x) : x \in[a,b]\right\}$, pak platí 
	$$
		mg(x) \leq f(x)g(x) \leq Mg(x).
	$$
	Integrací přes interval $[a,b]$ dostaneme nerovnost
	$$
		m\int\limits_a^bg(x)\ud x \leq \int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x \leq M\int\limits_a^bg(x)\ud x.
	$$
	Celou nerovnost můžeme vydělit kladným integrálem (číslem) $\int\limits_a^bg$, neboť dle předpokladů je $g>0$
	$$
		m \leq \underbrace{\frac{\int\limits_a^bf(x)g(x)\ud x}{\int\limits_a^bg(x)\ud x}}_{Y} \leq M.
	$$
	Tento výsledek je možné interpretovat také tak, že pro $Y$ ležící mezi $m$ (minimem $f$) a $M$ (maximem $f$) existuje ze spojitosti funkce $f$ takové $c\in[a,b]$, že $f(c) = Y$.
	\end{proof}
 
	\begin{corollary}
	Nechť $f$ je spojitá na $[a,b]$. Pak existuje $c\in[a,b]$ tak, že 
	$$
		\int\limits_a^b f(x)\ud x = f(c)(b-a).
	$$
	\begin{proof}
	Ve větě~\ref{thm:stredni} zvolme $g(x) = 1$.
	\end{proof}
	\end{corollary}