Matematika1:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 4. 10. 201907:49 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 5. 11. 201813:21 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivacePitrazby 6. 12. 201613:53 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201409:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 27. 8. 201111:33 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Spojitost funkce]{\fbox{Spojitost funkce}}
\subsection{Definice}
	\begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$]
	Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$
	je spojitá v bodě $a$, právě když $$\lim\limits_{x\to a} f(x) = f(a).$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Spojitost funkce v bodě $a$ zleva a zprava]
	Nechť pro nějaké $p>0$ je sjednocení $(a-p, a]$, resp. $[a,a+p)$ částí $D_f$. Řekneme, že funkce $f$
	je \textbf{spojitá} v bodě $a$ zleva, resp. zprava, právě když 
	$$
		\lim\limits_{x\to a-} f(x) = f(a), \quad \hbox{resp.~~}
		\lim\limits_{x\to a+} f(x) = f(a).
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Spojitost na uzavřeném intervalu]
	Řekneme, že funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a,b]$, právě když je spojitá v každém bodě \mbox{$x\in(a,b)$}, spojitá zprava v bodě $a$ a zleva v bodě $b$.
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Odstranitelná nespojitost]
	Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{odstranitelnou nespojitost} $\ekv$ $\lim\limits_{x\to a}f(x)$ existuje, ale  $\lim\limits_{x\to a}f(x)\neq f(a)$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Skoková nespojitost]
	Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{skokovou nespojitost} $\ekv$ existují obě konečné jednostranné limity, ale nerovnají se.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Podstatná nespojitost]
	Funkce $f$ má v bodě $a$ \textbf{podstatnou nespojitost} $\ekv$ alespoň jedna jednostranná limita je nekonečná nebo  neexistuje.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{theorem}
	Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ $\ekv$ Funkce $f$ je spojitá v bodě $a$ zleva i zprava.
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}
	Nechť jsou funkce $f$ a $g$ spojitá v bodě $a$ a buď $\alpha\in\R$. Potom funkce  $f+g$, $f-g$, $f\cdot g$, $\alpha~f$ i $\frac{f}{g}$ pro $g(a)\neq0$ jsou spojité v $a$.
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}
	Nechť je funkce $g$ spojitá v bodě $a$ a funkce $f$ spojitá v bodě $g(a)$. Potom funkce  $f\circ g$ je spojitá v $a$.
	\end{theorem}
 
 
\subsection{Vlastnosti spojitých funkcí}
	\begin{theorem}[Bolzano -- o existenci nulového bodu spojité funkce]\label{thm:sp}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$ a $f(a)f(b)<0$. Potom existuje $c\in(a, b)$ tak, že $f(c)=0$.
		\begin{proof}~
		Obrázkový -- graf spojité funkce nutně musí protnout osu $x$, pokud $f(a)$ a $f(b)$ mají opačná znamení.
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{theorem}[Darboux -- o existenci řešení $f(c)=d$ pro spojitou funkci $f$] 
	Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom pro každé číslo $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b))$ existuje $c \in (a, b)$, že $f(c)=d$.
		\begin{proof}
		Je-li $f$ spojitá funkce, je i $f-d$ je spojitá a pro $d$ ležící mezi $f(a)$ a $f(b)$ platí, že  \mbox{$(f(a)-d)(f(b)-d) \leq 0$}. 
		Proto podle Věty \ref{thm:sp} aplikované na funkci $f-d$ existuje $c\in(a,b)$ tak, že $f(c)-d=0$.
		\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{define}[Maximum a minumum funkce]
	Řekneme, že funkce $f$ má v bodě $a\in D_f$ \textbf{maximum}, resp. \textbf{minimum} právě tehdy, když $f(a) \geq f(x)$, resp. $f(a) \leq f(x)$ pro všechny $x\in D_f$.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Omezená funkce]
	Řekneme, že funkce $f$ je omezená na množině $M\subset D_f$ $\ekv$ $(\exists K > 0)(\forall x \in M)( |f(x)| \leq K)$.
	\end{define}
 
 
 
	\begin{theorem}[Weierstrass -- extrémy spojité funkce na uzavřeném intervalu]\label{thm:weierstrass}
	Nechť funkce $f$ je spojitá na intervalu $[a, b]$. Potom funkce $f$ je omezená a nabývá na $[a, b]$ svého minima i maxima, tj. $\exists c \in [a, b]$ a $\exists d \in [a, b]$ tak, že funkce $f$ nabývá v bodě
	$c$ svého maxima a v bodě $d$ svého minima. 
	\end{theorem}