Matematika1:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu Matematika1

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu Matematika1Fucikrad 4. 9. 201510:23
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:43
Header editovatHlavičkový souborFucikrad 27. 8. 201107:16 header.tex
Kapitola1 editovatÚvod, jazyk, značeníAdmin 6. 8. 201409:43 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkceAdmin 6. 8. 201409:45 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatLimita funkceFucikrad 4. 10. 201907:49 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatSpojitost funkcePitrazby 5. 11. 201618:18 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatDerivace funkceFucikrad 5. 11. 201813:21 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatAplikace derivacePitrazby 6. 12. 201613:53 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatIntegrální početFucikrad 21. 2. 201714:57 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatTranscendentní funkceAdmin 6. 8. 201409:53 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAplikace integráluFucikrad 27. 8. 201111:33 kapitola9.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:matematika1_cosh.pdf cosh.pdf
Image:matematika1_sinh.pdf sinh.pdf
Image:matematika1_sinxx.pdf sinxx.pdf
Image:matematika1_tgh.pdf tgh.pdf
Image:matematika1_cotgh.pdf cotgh.pdf
Image:matematika1_riemann.pdf riemann.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{Matematika1}
\section[Úvod]{\fbox{Úvod}}
V této úvodní kapitole se seznámíme se základními matematickými pojmy, značením, operacemi s množinami a základy matematické logiky.
Dále jsou zde stručně probrány číselné množiny, intervaly, pojem omezenosti množiny, horní hranice (závora) množiny a konečně význam absolutní hodnoty čísla.
 
\subsection{Množiny}
	\begin{define}[Naivní definice množiny --- Cantor 1873]
	Soubor dobře definovaných a dobře rozlišitelných objektů se nazývá \textbf{množina}. 
	Množiny zapisujeme ve tvaru 
	$$
	M = \{ \hbox{prvek~} x~:\hbox{~vlastnosti prvku~} x \}.
	$$
	\end{define}
 
	\begin{define}[Operace s množinami]
	Nechť $A$ a $B$ jsou nějaké množiny a $x$ je prvek. Potom definujeme následující symboly:
 
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
	$x \in A$        & prvek $x$ náleží množině $A$.\\
	$x \notin A$     & prvek $x$ nenáleží množině $A$.\\
	$A \subset B$    & množina $A$ je částí množiny $B$. \\ 
	$A \cup B$       & sjednocení množin $A$ a $B$. \\
	$A \cap B$       & průnik množin $A$ a $B$. \\
	$\emptyset$      & prázdná množina. \\
	$A = \{ x : V \}$ & zápis množiny, která má prvky $x$, o kterých platí vlastnost $V$, např. $V:x>0$.
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Vlastnosti prázdné množiny $\emptyset$:
	\begin{itemize}
	\item $A \cup \emptyset = A$
	\item $A \cap \emptyset = \emptyset$
	\end{itemize}
	\end{remark}
 
	\begin{example}
	Nechť $A = \{ \female \}$, $B = \{ \male, \female \}$, pak platí:
	\begin{itemize}
	\item $A \subset B$
	\item $A \cap B = \{ \female \} = A$
	\item $A \cup B = \{ \male,\female \} = B$
	\end{itemize}
	\end{example}
 
	\begin{define}[Kartézský součin množin $A$ a $B$]\oprava
	$$A \times B = \{ (x,y) : x \in A \hbox{~a~} y \in B \}$$
	\end{define}
 
 
 
\subsection{Výroky}
	\begin{define}[Výrok]
	\textbf{Výrok} je tvrzení, o kterém můžeme rozhodnout zda platí nebo neplatí.
	\end{define}
 
	\begin{define}[Přehled operací s výroky]
	Nechť $V_{1}$ a $V_{2}$ jsou výroky. Potom definujeme následující značení:
 
	\begin{tabular}{lp{12cm}}
	$V_{1}$                    & výrok $V_{1}$ (platí).\\
	$\neg V_{1}$               & negace výroku $V_{1}$ (výrok $V_{1}$ neplatí).\\
	$V_{1} \wedge V_{2}$       & konjunkce - platí $V_{1}$ a zároveň $V_{2}$. \\ 
	$V_{1} \vee V_{2}$         & disjunkce - platí $V_{1}$ nebo $V_{2}$. \\
	$V_{1} \Rightarrow V_{2}$  & implikace - když platí $V_{1}$ , pak platí $V_{2}$. \\
	$V_{1} \Leftrightarrow V_{2}$ & ekvivalence - $V_{1}$ platí právě tehdy, když platí $V_{2}$. \\
	$\exists$                  & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{aspoň} jeden prvek \dots \\
	$\exists_1$ nebo $\exists!$ & existenční kvantifikátorl  - existuje \textbf{právě} jeden prvek \dots \\
	$\exists_{\infty}$         & existenční kvantifikátor - existuje \textbf{nekonečně} prvků \dots \\
	$\forall$                  & kvantifikátor: \textbf{pro všechny} prvky \dots 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{remark}
	Výlučná disjunkce (exkluzivní disjunkce, non-ekvivalence):
	$(V_1 \vee V_2) \wedge \neg(V_1 \wedge V_2)$. 
	\end{remark}
 
	\begin{define}[Tabulka pravdivostních hodnot pro operace s výroky]\label{def:vyroky}
	V následující tabulce \textbf{P} znamená platí a \textbf{N} neplatí: \\     
 
	\begin{tabular}{|c||c||c|c|c|c|}
	\hline
	$V_{1}$ & $V_{2}$ & $V_{1}\wedge V_{2}$ & $V_{1}\vee V_{2}$ & $V_{1}\Rightarrow V_{2}$ &     $V_{1}\Leftrightarrow V_{2}$  
 
	\\ 
	\hline
	\hline
	P      &    P    &           P         &           P        &              P   &      P    
	\\
	\hline
	P      &    N    &           N         &           P        &              N   &      N    
	\\
	\hline
	N      &    P    &           N         &           P        &              P   &      N    
	\\
	\hline
	N      &    N    &           N         &           N        &              P   &      P    
	\\
	\hline
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
 
	\begin{lemma}\label{lemma1_7}
	Pravidla při negování výroků (z definice~\ref{def:vyroky}):
	\begin{enumerate}
	\item $\neg(V_1\vee V_2)  = \neg V_1 \wedge \neg V_2$
	\item $\neg(V_1\wedge V_2)  = \neg V_1 \vee \neg V_2$
	\item $\neg(V_1\Rightarrow V_2) = V_1 \wedge \neg V_2$
	\item $\neg(\exists x\in M) = \forall x \in M$
	\item $\neg(\forall x\in M) = \exists x \in M$
	\end{enumerate}
	\end{lemma}
 
 
 
\subsection{Číselné množiny}\label{sekce:ciselne_mnoziny}
	\begin{define}[Značení číselných množin]
 
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
 
	Přirozená čísla $\N$,   & $\N= \{ 1,2,3,4 \ldots \} $. \\
	Celá čísla $\Z$,        & $\Z= \{ \ldots -3 ,-2, -1,0, 1,2,3 \ldots \} $. \\
	Racionální čísla $\Q$,  & $\Q= \{ \frac{p}{q}~:~ p \in \Z ~ ; ~ q \in\N \} $.  \\
	Reálná čísla $\R$. \\
	Iracionální čísla $\R\setminus\Q$. \\
	Komplexní čísla $\C$, & $\C = \{ a+ib : a,b\in \R, i^2=-1 \}$. 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
	\begin{lemma}[Vlastnosti reálných čísel]
	Nechť $a$, $b$, $c$ jsou reálná čísla. Potom platí:
	\begin{enumerate}
		\item $(a<b)\vee(a>b)\vee(a=b)$
		\item $(a<b)\wedge(b<c) \Rightarrow (a<c)$ transitivita
		\item $(a+b<a+c) \Rightarrow (b<c)$
		\item $(a<b) \wedge (c>0) \Rightarrow ac<cb$ \\ $(a<b) \wedge (c<0) \Rightarrow ac>cb$
	\end{enumerate}
	\end{lemma}
 
 
	\begin{theorem}[O hustotě $\R$]\label{veta:ohmrc}
	Mezi libovolnými různými reálnými čísly je nekonečně mnoho racionálních a nekonečně mnoho iracionálních čísel.
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}
	Neexistuje nejmenší kladné reálné číslo.
	\begin{proof}
	\textbf{Sporem}. Principem důkazu sporem je ukázat, že negace tvrzení vede ke sporu. 
	Matematická věta je obvykle zapsána pomocí implikace výroků
	\begin{equation}
		\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení},
	\end{equation}
	přičemž podle pravidel negování výroku (Lemma \ref{lemma1_7}) je její negace 
	\begin{equation}
		\neg(\hbox{Předpoklad~}\Rightarrow \hbox{~Tvrzení}) = \hbox{Předpoklad~} \wedge \neg \hbox{Tvrzení},
	\end{equation}
% 	tj. předpokládáme platnost Předpokladu a zároveň neplatnost Tvrzení.
 
	Uvažujme následující slovní vyjádření výroku (ozn. $V$): 
	\textit{Není pravda, že by existovalo kladné reálné číslo, které by bylo menší než všechna ostatní reálná čísla (různá od tohoto čísla)}. 
	Kvantifikovaně lze výrok $V$ vyjádřit takto:
	$$ V = \neg (\exists c\in\R, c > 0)(\forall r \in\R, r>0, r \neq c)(c < r) $$
	Tento výrok lze převést pomocí pravidel pro negování výrazů s $\exists$ a $\forall$ na výrok
	$$ V = (\forall c \in\R, c > 0)(\exists r\in\R, r>0, r \neq c)(c\geq r), $$
	které vyjadřuje ekvivalentní tvrzení 
	\textit{Pro všechna kladná reálná čísla $c$ existuje aspoň jedno reálné číslo $r$ takové, že je ostře menší než $c$.}
 
	Pro důkaz sporem tedy předpokládejme, že platí negace výroku $V$, to jest
	$$ \neg V = (\exists c \in\R, c> 0)(\forall r \in\R, r>0, r\neq c)(c < r) $$
	Označme si toto nejmenší číslo, které nyní předpokládáme, že existuje, symbolem $c_{min}$. Potom ale podle věty~\ref{veta:ohmrc} mezi čísly $0$ a $c_{min}$ existuje alespoň jedno číslo $x$ tak, že $0 < x < c_{min}$. Tedy díky větě~\ref{veta:ohmrc} snadno nalezneme kladné reálné číslo, které je menší než údajně nejmenší číslo $c_{min}$, což je \textbf{spor}.
	\end{proof}
	\end{corollary}
 
 
\subsection{Důkaz matematickou indukcí}
	\begin{remark}
	Princip důkazu tvrzení $V[n]$ matematickou indukcí. Tvrzení $V[n]$ nazýváme \textbf{indukční předpoklad}.
	\begin{enumerate}
		\item \textbf{První krok.} Ověříme, že tvrzení platí pro nejnižší index, např. že $V[1]$ platí.
		\item \textbf{Indukční krok $n\to n+1$.} Za předpkladu, že platí $V[n]$, dokážeme platnost $V[n+1]$.
	\end{enumerate}
	\end{remark}
 
 
\subsection{Intervaly}
	\begin{define}[Interval]
 
	\begin{tabular}{l}
	Otevřený interval $ (a,b) =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a < x < b ~ \} $ \\
	Uzavřený interval $ [a,b] =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq x \leq b ~ \} $ \\
	Polootevřený (polouzavřený) interval $ [a,b) =  \{ ~ x \in \R ~ : ~ a \leq  x < b ~ \} $ 
	\end{tabular}
	\end{define}
 
 
	\begin{define}[Nekonečno]
	Pro symbol $+\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x<+\infty)$.\\
	Pro symbol $-\infty$ platí, že $(\forall x\in\R)(x>-\infty)$.
	\end{define}
 
 
\subsection{Omezenost množin}
	\begin{define}[Omezenost množiny]\label{def:omezenost}
	\begin{tabular}{lp{10cm}}
	Říkáme, že množina $M$ je omezená shora  & $ \EkvDef (\exists h\in\R) (\forall x \in M) (x \leq h ) $. \\
	Říkáme, že množina $M$ je omezená zdola  & $ \EkvDef (\exists d\in\R) (\forall x \in M) (x \geq d ) $. \\
	Říkáme, že množina $M$ je omezená        & $ \EkvDef $ je omezená shora i zdola. \\
	Říkáme, že množina $M$ je neomezená        & $ \EkvDef $ není omezená shora ani zdola. \\
	\end{tabular}
	\end{define}
 
	\begin{define}[Závora množiny]
	Číslo $h$, resp. $d$ z definice~\ref{def:omezenost} nazvýváme horní, resp. dolní závora (hranice) množiny $M$. 
	\end{define}
 
 
\subsection{Absolutní hodnota}
	\begin{define}[Absolutní hodnota]
	\textbf{Absolutní hodnota} čísla $x\in\R$ je 
	$$
		|x| = \left\{ \begin{array}{lcl} 
							x & \hbox{pro} & x \geq 0 \\ \\
							-x & \hbox{pro} & x < 0
						\end{array}\right.. 
	$$
	\end{define} 
 
	\begin{remark}
	Platí $|x| = \max\{x, -x\}$ a hlavně $\sqrt{x^2} = |x|$.
	\end{remark}
 
 
	\begin{theorem}[Trojúhelníková nerovnost $\triangle\neq$]
	$$ |a+b| \leq |a| + |b|. $$
	\begin{proof}
	Platí: 
	$$  
	(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \leq |a|^2 + 2|a||b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2,
	$$
	kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostáváme
	$$
	|a+b| \leq \big| |a| + |b| \big| = |a| + |b|.
	$$
	\end{proof}
	\end{theorem}
 
	\begin{corollary}
	$$\big| |a|-|b| \big| \leq |a-b|.$$
	\begin{proof}
	$$
	(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2 \geq |a|^2-2|a||b|+|b|^2 = (|a|-|b|)^2,
	$$
	kde po odmocnění levé a pravé strany nerovnosti dostaneme tvrzení věty.
	\end{proof}
	\end{corollary}