02TSFA:Kapitola5

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůTomas 7. 9. 201012:44 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicKubuondr 27. 5. 201715:46 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůTomas 7. 9. 201014:24 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Partiční funkce systému a jeho podsystémů}
 
 
Předpokládejme, že máme systém $\mathcal{A}$, který je možné direktně rozložit na několik podsystémů:
 
$$\mathcal{A} = \bigoplus _q \mathcal{A}(q),$$
 
kde $\bigoplus _q$ značí direktní součet všech podsystémů $q$. Předpokládejme, že systém je 
popsán $k$ veličinami, a dále, že podsystémy jsou na sobě nezávislé. Existuje pouze slabá vazba, 
která umožní nastolení rovnováhy, ale jinak se neprojevuje. Každý mikrostav $\gamma$ složeného
systému je pak určen jako kombinace mikrostavů $\gamma_q$ jednotlivých podsystémů, $\gamma = (\gamma_1,\ldots,\gamma_n)$. Potom také
 $$A_{\ell\gamma} =  \sum_q A_{\ell\gamma_q},$$
 
 
kde $A_\gamma$ je veličina celkového systému a $A_{\gamma_q}$ odpovídající veličiny jednotlivých podsystémů. Výpočtem nejpravděpodobnějšího rozdělení celého systému a využitím statistické nezávislosti podsystémů  dospějeme ke vztahu 
$$\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell}  A_{\ell  \gamma}   = \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q}. $$
 
 
 
Lagrangeovy
multiplikátory jsou společné pro všechny podsystémy -- to umožňuje právě ona slabá vazba. Bez ní by bylo třeba počítat s tím, že
mohou být obecně různé. %Za uvedených předpokladů platí, že:
 
 
% $$Z = \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}\exp\left( \suma{q}{}
%      \left(-\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q)\right) \right) = $$
% $$=\suma{(\gamma_q)}{}\produkt{q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma}(q) \right) 
%   =\produkt{q}{}\suma{\gamma_q}{}\exp\left( -\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell\gamma_q}(q) \right) = \produkt{q}{}Z_q$$
%  
 
Pro pravděpodobnosti z nezávislosti platí
 
 
$$w_\gamma = \frac{1}{Z}\exp\left(\suma{\ell=1}{k}\lambda_{\ell}  A_{\ell  \gamma}\right) =\prod_q w_{\gamma_q} = \prod_q   \frac{1}{Z_q}\exp\left( \sum_q \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell A_{\ell \gamma_q}\right). $$
 
Z toho dostáváme, že
$$Z = \prod_q   {Z_q}.$$
 
% 
% Platnost předposledního kroku je zaručena nezávislostí jednotlivých podsystémů, tedy skutečností, že hodnota
% $A_{\ell\gamma}(q)$ závisí vlastně jen na mikrostavu podsystému $q$. Můžeme ji tedy přeznačit $A_{\ell\gamma_q}(q)$
% a rozdělit členy produktu $\produkt{q}{}$ k jednotlivým sumám tvořícím $\suma{(\gamma_q)}{}$.
 
Toto tedy znamená, že celková partiční funkce je násobkem partičních funkcí jednotlivých
podsystémů. Typickým příkladem je ideální plyn. Jeho částice jsou na sobě nezávislé a tvoří tedy obrovské
množství podsystémů.  Celková energie plynu je součtem energií jednotlivých částic a partiční funkci lze pak
nalézt jako
 
$$Z = (\zeta)^N,$$
 
kde $\zeta$ je jednočásticová partiční funkce. Dále platí, že
 
$$ S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\left< A_\ell \right> \right) = k_B\left(\ln\produkt{q}{}Z_q 
   + \suma{\ell=1}{k}\suma{q}{}\lambda _\ell\left<A_\ell(q)\right> \right) = $$
$$ = k_B\left(\suma{q}{}\ln Z_q + \suma{q}{}\suma{\ell=1}{k}\lambda _l\left<A_\ell(q)\right> \right) = 
    \suma{q}{}k_B\left(\ln Z_q + \suma{\ell=1}{k}\left<A_\ell(q)\right> \right) = \suma{q}{}S_q.$$
 
To ovšem znamená, že entropie je extenzivní veličina, tj. že je aditivní vůči nezávislým podsystémům:
 
$$S = \suma{q}{}S_q.$$
 
 
\begin{remark}
 
Střední hodnoty veličin jsou aditivní vůči rozkladu na podsystémy:
 
$$ \left< A_\ell \right>  = -\pderivx{ (\ln Z)}{\lambda_\ell} = -\pderivx{\ln \prod Z_q}{\lambda_\ell}=
    -\suma{q}{}\pderivx{( \ln Z_q)}{\lambda_\ell} = \suma{q}{}\left<A_\ell(q)\right>. $$
 
\end{remark}