02TSFA:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201710:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201013:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Nejpravděpodobnější rozdělení}
\index{rozdělení, nejpravděpodobnější}
\subsection{Míra informace}
 
Zaveďme funkci, která každému mikrostavu přiřazuje nějakou hodnotu, udávající množství 
informace, které o tomto mikrostavu máme. Tato funkce, nazývejme
ji \index{míra, informace}\emph{míra informace} a označme $I(w_\gamma)$, musí mít následující vlastnosti:
 
\begin{enumerate}
 
 \item  $w_\gamma = 1 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma)=0$ \dots Pokud je určitý jev 
  jistý, nepřinese nám pokusná realizace žádnou novou informaci -- vždyť přeci víme, 
  že se realizuje jev $w_\gamma$. \uv{Vytěžená} informace z pokusu je tedy nulová.
 
 \item  $w_\gamma \rightarrow 0 \quad \Rightarrow \quad I(w_\gamma) \rightarrow \infty$ \dots 
  Realizace jevu s malou pravděpodobností nám přinese naopak informace mnoho -- 
  z pokusu vyšel velmi neočekávaný výsledek. Je to překvapení! 
 
 \item  Pro nezávislé jevy musí $I( w_\alpha . w_\beta ) = I(w_\alpha) + I(w_\beta)$ \dots Informační přínos
  od nezávislých jevů se sčítá.
 
\end{enumerate}
 
Funkci $I(w_\gamma)$ lze také brát jako míru neurčitosti. O rozdělení, které má jen jeden jistý jev, víme
vše a naše nejistota ohledně výsledku (neurčitost) je nulová. Naopak o rozdělení, sestávajícím se z~velkého
počtu málo pravděpodobných jevů nevíme nic -- nedokážeme odhadnout, který z~nich se při konkrétním pokusu
realizuje. Naše nevědomost (neurčitost) o systému je velmi vysoká.
 
Těmto třem podmínkám vyhovuje  funkce
 
\begin{center}
 \includegraphics{fcel1.pdf}
\end{center}
 
$$I(w_\gamma) = -k_B\ln(w_\gamma).$$
 
 
Běžně máme mnoho jevů či událostí. Pak je třeba brát střední hodnotu:
 
$$S = \<I\>=- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma).$$
 
To je definice \index{entropie, statistická}\emph{statistické entropie}, která se interpretuje jako míra neurčitosti systému. 
$k_B$ je kladná konstanta, zatím blíže neurčená,  $\gamma$ je index probíhající 
přes všechny možné jevy.
 
\subsection{Výpočet nejpravděpodobnějšího rozdělení}
 
\label{nejprozd}
 
 
Nyní chceme, aby naše hledané rozdělení $w_\gamma$ dávalo námi pozorované střední veličiny, ale jinak bylo co nejneurčitější.
To znamená, že vezmeme funkci 
 
$$S = - k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma)$$
 
a budeme hledat její maximum za následujících podmínek:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{ll}
 
$\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ & \dots normovací podmínka rozdělení  \tabularnewline[12pt]
$\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} = \left< A_\ell \right> $ kde $\ell \in \hat{k}$ 
   & \dots naměřené střední hodnoty $k$ veličin \tabularnewline
 & -- To dává $k$ podmínek. \tabularnewline[12pt]
 
\end{tabular}
\end{center}
 
 
 
Tato úloha vede k hledání vázaných extrémů. V podstatě jediná pro nás použitelná metoda je řešení pomocí
Lagrangeových multiplikátorů.  Sestavme si tedy Lagrangeovu funkci:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{rcl}
 
$\Lambda$ & $=$ & $S - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right) - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell
  \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right>  \right)$ =\\
  & $=$ & $-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln(w_\gamma) - k_B \alpha \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma - 1\right
) 
  - \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell \left( \suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma} - \left< A_\ell \right>  \right),$ \tabularnewline[12pt]
 
\end{tabular}
\end{center}
 
kde $k_B$ je již dříve zmíněná normovací konstanta, $\alpha$ a $\lambda_\ell$ tvoří $k+1$ Lagrangeových multiplikátorů
pro $k+1$ vazebných podmínek a $\left< A_\ell \right> $ je $k$ naměřených veličin (středních hodnot). Zderivujme $\Lambda$ podle všech 
proměnných $w_\gamma$ a položme derivace rovny nule:
 
$$0 = \pderivx{\Lambda}{w_\gamma} = -k_B\left( \ln(w_\gamma) + w_\gamma \frac{1}{w_\gamma}\right) - k_B \alpha - 
    \suma{\ell=1}{k} k_B \lambda_\ell A_{\ell \gamma}$$
 
pro  $\forall\gamma$, to znamená pro všechny mikrostavy (a těch bývá hodně). Pro spojité rozdělení se musí použít variačního počtu. Z toho plyne, že
 
$$k_B\ln(w_\gamma) = k_B\left( -1 - \alpha  \stavsuma \right);$$ 
$$w_\gamma = \exp \left(-1 -\alpha \stavsuma \right). $$
 
 
Nyní vezměme normovací podmínku $\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1$ a dosaďme do ní nalezený vztah pro $w_\gamma$:
 
$$1 = \suma{\gamma}{}w_\gamma = \suma{\gamma}{} \exp ( -1 -\alpha ) \exp \left( \stavsuma \right),$$
 
$$\exp ( -1 -\alpha) = \frac{1}{\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)}.$$
 
Výraz pro $\exp(-1 -\alpha)$ zpětně dosadíme do vztahu pro $w_\gamma$:
 
$$w_\gamma = \frac{1}{\suma{\gamma}{}\exp\left( \stavsuma \right) } 
  \exp\left( \stavsuma \right)$$
 
Výraz ve jmenovateli nazýváme \index{funkce, partiční}\emph{partiční funkce} a značíme $Z$\footnote{Písmeno $Z$ pochází z německého slova Zustandsumme.}. Vztahy pak můžeme přepsat takto:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{rl}
 
 
$Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$  &  \dots partiční funkce \tabularnewline[12pt]
$w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & \dots nejpravděpodobnější rozdělení 
\tabularnewline[12pt]
 
\end{tabular}
\end{center}
 
 
Otázkou zůstává, jaký fyzikální smysl dát Lagrangeovým multiplikátorům $\lambda_\ell$ -- to už záleží na konkrétních fyzikálních
aplikacích.
 
 
\subsection{Důsledky}
 
Nyní si odvoďme několik dalších vztahů. Předně by nás mohlo zajímat, jakou hodnotu vlastně maximální entropie má. To zjistíme
prostým dosazením $w_\gamma$ do vztahu pro $S$:
 
$$ S = \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma \ln(w_\gamma) = \-k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma \ln\left(\frac{1}{Z}\exp\left[\stavsuma\right]\right) = $$
$$ = k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln\left( \exp\left[\stavsuma\right]\right) = 
   k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\ln Z \- k_B\suma{\gamma}{}w_\gamma\left(\stavsuma\right) = $$
$$= k_B\ln Z\suma{\gamma}{}w_\gamma \+ k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{\ell \gamma}.$$
 
Ovšem první suma v tomto výrazu je jednička (normování rozdělení) a poslední je výraz pro výpočet střední hodnoty
veličiny. Proto
 
$$S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>  \right).$$
 
Dále platí:
 
$$ \pderivx{Z}{\lambda_a} = \pderivx{}{\lambda_a} \suma{\gamma}{}\exp\left(\stavsuma\right) = 
   \suma{\gamma}{} -A_{ a \gamma }\exp\left(\stavsuma\right);$$
$$\pderivx{( \ln Z )}{\lambda_a} = \pderivx{Z}{\lambda_a}\frac{1}{Z} = 
   \suma{\gamma}{}\frac{1}{Z}\left(-A_{a\gamma}\exp\left(\stavsuma\right)\right) = $$
$$ = - \suma{\gamma}{} \left(\frac{1}{Z}\exp\left(\stavsuma\right)\right)A_{a\gamma} = 
    -\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma} = -\left<A_a\right>. $$
 
To znamená, že známe-li $Z$, potom střední hodnotu veličiny $A_\ell$ lze určit  takto:
 
$$\left< A_\ell \right>  = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}.$$
\bigskip
 
Prověřme druhé derivace partiční funkce dle Lagrangeových multiplikátorů:
 
$$\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}= \pderivx{}{\lambda_a}\suma{\gamma}{} -A_{b \gamma} \exp\left(\stavsuma\right)$$
$$ = -\suma{\gamma}{}A_{b \gamma}\pderivx{}{\lambda_a}\exp\left(\stavsuma\right) = \suma{\gamma}{}A_{a\gamma}A_{b\gamma}\exp\left(\stavsuma\right);$$
 
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \pderivx{}{\lambda_a}\left[\pderivx{Z}{\lambda_b}\frac{1}{Z} \right] = 
  \pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} + \pderivx{Z}{\lambda_a}\pderivx{Z}{\lambda_b}\left(-\frac{1}{Z^2}\right) =$$
$$= \pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - 
  \left(-\pderivx{Z}{\lambda _a}\frac{1}{Z}\right)\left(-\pderivx{Z}{\lambda _b}\frac{1}{Z}\right) = $$
$$=\pderivxy{Z}{\lambda_a}{\lambda_b}\frac{1}{Z} - 
  \left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _a}\right)\left(-\pderivx{(\ln Z)}{\lambda _b}\right).$$
\bigskip
 
Dosadíme z dříve vypočtených vztahů pro $\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell}$:
 
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b}=\suma{\gamma}{}A_{a \gamma} A_{b \gamma} \frac{1}{Z} \exp\left(\stavsuma\right) - 
   \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{a \gamma}\right) \left(\suma{\gamma}{}w_\gamma A_{b \gamma}\right);$$
 
z toho plyne, že
 
$$\pderivxy{(\ln Z)}{\lambda_a}{\lambda_b} = \left<A_a . A_b \right>  - \<A_a\> \left<A_b\right> = 
\<(A_a-\<A_a\>)(A_b-\<A_b\>)\>. $$
 
To je tzv. \index{koeficient, korelace}\emph{koeficient korelace} veličin $A_a$ a $A_b$, tedy míra jejich nezávislosti. Dosadíme-li $a = b = \ell$,
získáme rozptyl veličiny $A_\ell$:
 
$$\pderivxx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} = \left<A_\ell^2\right>  - \left< A_\ell \right> ^2.$$
 
 
Prozkoumejme, jaký tvar má totální diferenciál entropie $dS$ v Lagrangeových koeficientech:
 
$$ S = k_B \left( \ln Z - \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell}  \right) =
     k_B\ln Z + k_B\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>. $$
 
Protože
 
$$d \ln Z = \suma{\ell=1}{k}\pderivx{ (\ln Z) }{\lambda_\ell} d\lambda_\ell = -\suma{\ell=1}{k}\left< A_\ell \right>  d\lambda_\ell,$$
 
je
 
$$dS = k_B d\ln Z + k_B d\suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>  =$$
$$= k_B d \ln Z + k_B \suma{\ell=1}{k}\left( \lambda_\ell d\left< A_\ell \right>  + \left< A_\ell \right>  d\lambda_\ell\right) = $$
$$= k_B ( d \ln Z - d \ln Z ) + k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right>. $$
 
Tedy při nejpravděpodobnějším rozdělení má entropie (rovnovážná) diferenciál
 
$$ dS = k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right>.  $$
 
 
To umožňuje konstruovat vztahy mezi termodynamickými veličinami, neboť platí, že
 
$$\pderivx{S}{\left< A_\ell \right> } = k_B \lambda_\ell.$$
 
 
 
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|ll|}
 
\hline
 
Shrnutí & \tabularnewline \hline 
 
$Z=\suma{\gamma}{} \exp \left( \stavsuma \right)$  &  Partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
$w_{\gamma} = \frac{1}{Z} \exp \left( \stavsuma \right)$ & Nejpravděpodobnější rozdělení \tabularnewline[12pt]
 
$S = k_B\left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k} \lambda_\ell \left< A_\ell \right>  \right)$ & Maximální statistická entropie \tabularnewline[12pt]
 
$dS = k_B \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell d\left< A_\ell \right> $ & Diferenciál entropie \tabularnewline[12pt]
 
$\left<A_{\ell}\right>  = - \pderivx{}{\lambda_\ell} (\ln Z)$ & \label{str_hod}Střední hodnota veličiny z partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
$\left<A_i A_j\right>  - \left<A_i\right> \left<A_j\right>  = \pderivxy{}{\lambda_i}{\lambda_j} (\ln Z)$ & Koeficient korelace veličin z partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
$\left<A_{\ell}^2\right>  - \left<A_{\ell}\right> ^2 = \pderivxx{}{\lambda_\ell} (\ln Z)$ & Rozptyl veličiny z partiční funkce \tabularnewline[12pt]
 
\hline
 
\end{tabular}
\end{center}
 
 
\begin{remark}
 
Entropie a $\ln Z$ jsou k sobě legendreovsky transformované. Je-li $S$ v~roli $f$ a $\ln Z$ v~roli $g$, veličiny
$\left< A_\ell \right> $ a $\lambda_\ell$ pak v úlohách $x_i$ a $y_i$ (viz matematický aparát), potom:
 
$$ f \equiv \frac{S( \left< A_\ell \right>  )}{k_B}, \qquad g \equiv \ln Z(\lambda_\ell). $$
 
Dle definice entropie je
 
$$S = k_B \left( \ln Z + \suma{\ell=1}{k}\lambda_\ell \left< A_\ell \right>  \right) \quad 
    \Leftrightarrow \quad \ln Z = \frac{S}{k_B} - \suma{\ell=1}{k} \lambda_\ell\left< A_\ell \right>. $$
 
To je ale tvar Legendreovy transformace $g = f - \suma{i}{}x_i y_i$. Potom musí platit vztahy 
$x_i = - \pderivx{g}{y_i}$ a $y_i = \pderivx{f}{x_i}$, což znamená, že
 
$$ \lambda_\ell = \pderivx{ (\frac{S}{k_B})}{\left< A_\ell \right> } = \frac{1}{k_B}\pderivx{S}{\left< A_\ell \right> } \qquad
   \left< A_\ell \right>  = -\pderivx{(\ln Z)}{\lambda_\ell} $$
 
a také
 
$$\pderivx{\lambda_\ell}{\left<A_k\right> } = \frac{1}{k_B}\pderivxy{S}{A_k}{A_\ell} = \frac{1}{k_B}\pderivxy{S}{A_\ell}{A_k} =
 \pderivx{\lambda_k}{\left< A_\ell \right> }.$$
 
 
\end{remark}
 
 \bigskip
 
 
\subsection{Normální rozdělení jako nepravděpodobnější rozdělení}
Podobně jako v předchozím příkladě se můžeme pokusit nalézt nejpravděpodobnější spojité rozdělení. Z definice entropie platí 
 
$$
S(\rho) = -k \int\rho(x) \ln \rho(x) dx
$$
 
a maximum entropie budeme hledat za následujících podmínek:
 
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{ll}
 
$\langle 1 \rangle = 1$ & \dots normovací podmínka rozdělení  \tabularnewline[12pt]
$\langle x \rangle = \mu$   & \dots střední hodnota rozdělení \tabularnewline[12pt]
$\langle(x-\mu)^2\rangle = \sigma^2$ 	&  \dots střední kvadratická odchylka \tabularnewline[12pt]
\end{tabular}
\end{center}
 
V tomto případě je extrém hledán na nekonečně rozměrné varietě s kodimenzí 3. Zapíšeme si Lagrangovu funkci
 
$$
\Lambda = S(\rho) -\alpha  \left( \int\rho(x)dx -1\right) -\beta  \left(\int x\rho(x)  dx-\mu\right) - \gamma \left(\int (x-\mu)^2\rho(x)  dx-\sigma^2\right)
$$
a vyřešíme ji pomocí variačního počtu. Požadujeme, aby variace $\delta \Lambda$ byla nulová.
$$ \delta\Lambda   = \int\left[-k \left(\rho + \delta\rho\right)\ln \left(\rho + \delta\rho\right) -\alpha \left( \rho + \delta\rho\right) -\beta x\left(\rho + \delta\rho\right) - \gamma  (x-\mu)^2\left(\rho + \delta\rho\right)  \right]dx+$$
$$ +\alpha+\beta\mu+\gamma \sigma^2 - \Lambda = 0.
$$
Když dosadíme za $\Lambda$ a rozvineme funkce do 1. řádu, vyjde
$$ \delta\Lambda = \int \left[ -k\left(\ln\rho+\rho\frac1\rho \right)-\alpha-\beta x-\gamma(x-\mu)^2 \right]\delta\rho dx = 0,$$
a protože to platí pro libovolnou $\delta\rho$, tak ze základního lemmatu variačního počtu plyne
$$ k\ln\rho(x)+k+\alpha+\beta x+\gamma(x-\mu)^2 = 0.$$
Odsud už můžeme vyjádřit $\rho$:
$$ \rho(x) = \exp\left[-\frac{1}{k}\left(\alpha+\beta x +\gamma (x-\mu)^2\right)  \right].$$
A jak si čtenář může sám odvodit, po dosazení do vazebních podmínek a po výpočtu Lagrangeových multiplikátorů vyjde
$$\varrho(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma ^2}} \exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2 \sigma ^2}\right).$$