02TSFA:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201010:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201120:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201012:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201412:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201413:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201402:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201403:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201709:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201411:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201709:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201709:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201402:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201012:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201402:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201114:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201014:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201713:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201010:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201012:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201712:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201012:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201708:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201014:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůTomas 7. 9. 201012:44 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201018:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201120:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201012:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicKubuondr 27. 5. 201715:46 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201715:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201420:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůTomas 7. 9. 201014:24 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 14. 2. 201123:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201010:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201012:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Statistický soubor a rozdělovací funkce}
 
K popsání obrovského systému stačí pro běžné aplikace obvykle jen několik parametrů (tlak, teplota, objem).
Tyto parametry se pozorují a měří, přičemž ale \uv{dovnitř} systému nevidíme (nemáme informace o~každé z~molekul
v nádobě s~plynem) -- nevíme, ve kterém mikrostavu se celý systém zrovna nachází.
 
Naše úloha nyní stojí takto: známe obecně tvar všech mikrostavů, z~nichž každý je popsán okamžitým stavem všech částic --
tj. pro mikrostav $\gamma$ známe i hodnotu libovolné veličiny $A$, označme ji $A_\gamma$. Naměřili jsme $A$ na celém systému
-- to je ovšem střední hodnota, která nejenže nám neřekne, v~jakém mikrostavu se systém právě nachází, ale
dokonce žádnému z mikrostavů nemusí odpovídat. Z~těchto velmi chudých údajů nyní chceme zjistit rozdělení
$w$, tj. každému z~mikrostavů přiřadit jeho relativní četnost $w_\gamma$, respektive zjistit hustotu
pravděpodobnosti $\varrho(\gamma)$ (nejedná se již o~hustotu mikrostavů). Jako \index{příklad, kostka}příklad uveďme šestistěnnou hrací kostku.
 
Víme, že
 
$$\suma{\gamma}{}w_\gamma = 1.$$
 
To je normovací podmínka. V případě kostky bude $\gamma \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ a rozdělení je diskrétní.
Dále jsme učinili mnoho hodů a zjistili jsme, že veličina $A$, udávající počet ok, má střední hodnotu
 
$$\left< A \right>  \: = \suma{\gamma}{}A_\gamma w_\gamma = 3.5.$$
 
Povšimněme si, že hodnota $\left< A \right>  \: = 3.5$ se nevyskytuje na žádné ze stěn kostky -- typický příklad toho, jak střední hodnota veličiny nemusí odpovídat žádnému mikrostavu. Známe ale strukturu všech mikrostavů, hodům
$\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$ odpovídají hodnoty veličiny takto: $A_1 = 1, A_2 = 2, A_3 = 3, A_4 = 4, A_5 = 5, A_6 = 6$. Jaké těmto podmínkám odpovídá rozdělení? Máme mnoho možností:
 
\begin{center} 
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|}
 
\hline
&&&& \tabularnewline[3pt]
$w_1 = 0   $ & $w_1 = \frac{1}{3}$ & $w_1 = \ctvrt$ & $w_1 = 0     $ & $w_1 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
$w_2 = 0   $ & $w_2 = \frac{1}{6}$ & $w_2 = \ctvrt$ & $w_2 = \ctvrt$ & $w_2 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
$w_3 = \pul$ & $w_3 = 0    $ & $w_3 = 0     $ & $w_3 = \ctvrt$ & $w_3 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
$w_4 = \pul$ & $w_4 = 0    $ & $w_4 = 0     $ & $w_4 = \ctvrt$ & $w_4 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
$w_5 = 0   $ & $w_5 = \frac{1}{6}$ & $w_5 = \ctvrt$ & $w_5 = \ctvrt$ & $w_5 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
$w_6 = 0   $ & $w_6 = \frac{1}{3}$ & $w_6 = \ctvrt$ & $w_6 = 0     $ & $w_6 = \frac{1}{6}$ \tabularnewline[5pt]
\hline
 
\end{tabular}
\end{center}
 
\medskip
a spousta dalších. Zeptáme-li se ale soudného člověka, které rozdělení by pro hrací kostku vybral, 
patrně by zvolil to poslední -- to je
totiž \emph{nejpravděpodobnější rozdělení}. Realizujeme-li jeden hod, samozřejmě dopředu nevíme, co padne. Předpokládáme,
že každá strana kostky může padnout, a to se stejnou pravděpodobností. To znamená, že naše nevědomost o systému je velká. Kdybychom zvolili první rozdělení, věděli bychom jistě, že padne trojka nebo čtyřka a určitě
nic jiného. To už je nějaká znalost o systému navíc. 
 
Všechny tyto dodatečné informace jsou v tomto případě samozřejmě triviálně nesmyslné, máme-li ale obrovský systém 
s řádově $10^{24}$ částicemi, musíme vycházet z toho, že kromě střední hodnoty veličin o systému nevíme nic, a podobné
spekulace typu \textit{tyhle-mikrostavy-se-určitě-nezrealizují} si pouze na základě svých přání a tužeb nemůžeme dovolit.
Hledáme-li rozdělení $w_\gamma$ a nemáme-li nějaké dodatečné podmínky, musíme vybrat takové, které naše znalosti 
o systému minimalizuje. K~tomu je ovšem třeba zavést nějakou
\index{míra, informace}\textit{míru informace}, kterou o systému máme.