02TSFA:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02TSFA

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02TSFAAdmin 1. 8. 201011:52
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201514:48
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 27. 1. 201121:47 header.tex
Kapitola1 editovatMatematický aparátTomas 7. 9. 201013:10 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatStatistický popis složitých soustavKrasejak 27. 6. 201413:56 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatStatistický soubor a rozdělovací funkceKrasejak 27. 6. 201414:15 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatNejpravděpodobnější rozděleníKrasejak 29. 3. 201403:23 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatPartiční funkce systému a jeho podsystémůKrasejak 29. 3. 201404:02 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatMikrokanonický souborKubuondr 18. 3. 201710:50 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatKanonický souborMaresj23 5. 1. 201412:23 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatGrandkanonický souborKubuondr 11. 3. 201710:04 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatEkvivalence statistických souborůKubuondr 27. 5. 201710:52 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatPrincipy termodynamikyKrasejak 29. 3. 201403:29 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatTermodynamické potenciályTomas 7. 9. 201013:31 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatZávislost termodynamických potenciálů na látkovém množstvíKrasejak 29. 3. 201403:33 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatVztahy mezi derivacemi termodynamických veličinBatysfra 30. 8. 201115:22 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatDalší termodynamické veličinyTomas 7. 9. 201015:53 kapitola14.tex
Kapitola15 editovatKvantověmechanický harmonický oscilátorKubuondr 29. 5. 201714:21 kapitola15.tex
Kapitola16 editovatMěření Poissonovy konstantyAdmin 1. 8. 201011:47 kapitola16.tex
Kapitola17 editovatTermodynamika směsí různých látekTomas 7. 9. 201013:38 kapitola17.tex
Kapitola18 editovatVratné a nevratné procesyKubuondr 26. 5. 201713:32 kapitola18.tex
Kapitola19 editovatUstálení dynamické rovnováhyTomas 7. 9. 201013:40 kapitola19.tex
Kapitola20 editovatDůsledky podmínek rovnováhyKubuondr 15. 4. 201709:26 kapitola20.tex
Kapitola21 editovatRovnováha systému o více fázíchTomas 7. 9. 201015:23 kapitola21.tex
Kapitola22 editovatKlasifikace fázových přechodůChladjar 14. 9. 202015:32 kapitola22.tex
Kapitola23 editovatJoule-Thompsonův pokusTomas 7. 9. 201019:43 kapitola23.tex
Kapitola24 editovatTermodynamické nerovnostiKarel.brinda 6. 2. 201121:44 kapitola24.tex
Kapitola25 editovatNarušení rovnováhy (Braun-Le Chatelierův princip)Tomas 7. 9. 201013:46 kapitola25.tex
Kapitola26 editovatStatistická rozdělení soustavy volných částicChladjar 15. 9. 202011:40 kapitola26.tex
Kapitola27 editovatOdvození termodynamiky IP statistickými metodamiKubuondr 27. 5. 201716:58 kapitola27.tex
Kapitola28 editovatFotonový plyn a záření absolutně černého tělesaGroveond 1. 7. 201421:35 kapitola28.tex
Kapitola29 editovatModely krystalůChladjar 17. 9. 202018:19 kapitola29.tex
Kapitola30 editovatJiný statistický přístup — kinetická teorieTomas 15. 2. 201100:22 kapitola30.tex
Kapitola31 editovatOtázky ke zkoušce z TSFAdmin 1. 8. 201011:51 kapitola31.tex
Kapitola32 editovatReferenceTomas 7. 9. 201013:54 reference.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Image:Gauss.pdf Gauss.pdf
Image:Fcel1.pdf fcel1.pdf
Image:2krabab.pdf 2krabab.pdf
Image:Transw.pdf transw.pdf
Image:Syst.pdf syst.pdf
Image:3pt.pdf 3pt.pdf
Image:Cholesctv.pdf Cholesctv.pdf
Image:Oscpot.pdf Oscpot.pdf
Image:Spins.pdf spins.pdf
Image:Spins2.pdf spins2.pdf
Image:Spins3.pdf spins3.pdf
Image:Spins4.pdf spins4.pdf
Image:Ptdiag.pdf ptdiag.pdf
Image:Joulthom.pdf joulthom.pdf
Image:Trirozd.pdf trirozd.pdf
Image:FD_e_mu.jpg FD_e_mu.jpg
Image:Krystal.pdf krystal.pdf
Image:Krystal2.pdf krystal2.pdf
Image:Procesyr.pdf procesyr.pdf
Image:Hgraf.pdf hgraf.pdf

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02TSFA}
\section{Statistický popis složitých soustav}
 
 
 
Pro soubor  částic, který má $n$ stupňů volnosti, existuje hamiltonián a k němu $2n$ 
kanonických pohybových rovnic
 
$$
H=\sum_{i=1}^np_i\dot{q_i}-L, \qquad \dot{p_{i}}=-\frac{\partial H}{\partial q_{i}},\ 
  \dot{q_{i}}=\frac{\partial H}{\partial p_i},
$$
 
které v daném časovém okamžiku a po zahrnutí počátečních a okrajových podmínek jednoznačně určují 
mechanický stav soustavy -- tzv. \index{mikrostav}\emph{mikrostav}. Při experimentech souvisejících s termodynamikou 
pracujeme s počtem částic řádově $10^{23}$, což by znamenalo sestavit a řešit řádově $10^{24}$
pohybových rovnic a určit ještě jednou tolik okrajových podmínek. Naměření a zpracování takového 
objemu dat je ale lidskými a technickými možnostmi neuskutečnitelné. Problémem jsou matematické 
těžkosti při exaktním řešení pohybových rovnic a také fakt, že počáteční a okrajové podmínky nejsme 
schopni stanovit úplně přesně. Ač by byly nepřesnosti v určení podmínek jakkoliv malé, výsledné 
řešení by bylo zatížené obrovskou chybou. Je tedy třeba najít přístupnější popis, a to popis
statistický. 
 
Ve statistické fyzice zavádíme pro ulehčení popisu souboru částic
pojem \index{prostor, fázový}\emph{fázový prostor}. 
Fázový prostor, nazývaný také $\Phi$ prostor, je vlastně $2n$-rozměrným prostorem kanonických
souřadnic $q_1,...,q_n,p_1,...,p_n$. Každý bod $(q,p)$ tohoto prostoru jednoznačně určuje jeden 
mikrostav a dráha tohoto bodu ve fázovém prostoru, nazývaná také
\index{trajektorie, fázová}\emph{fázová trajektorie},
určuje časový vývoj mikrostavů. Proto ve statistické fyzice mikrostav a jeho změny v čase 
popisujeme jako pohyb reprezentativního bodu ve fázovém prostoru. 
 
Když je řešení pohybových rovnic při daných počátečních podmínkách jednoznačné, a tedy každý 
počáteční stav určuje jednu fázovou trajektorii, fázové trajektorie se neprotínají ani
nedotýkají (to by totiž znamenalo, že v nějakém okamžiku mají částice na výběr, kam mají letět
a jaké mají mít hybnosti).
 
Každý mikrostav systému lze znázornit právě jedním reprezentativním bodem ve fázovém prostoru.
Tyto body zaplní určitou část fázového prostoru o objemu $\Phi_0$. V~důsledku pohybu částic se 
systém bude přesouvat z jednoho mikrostavu do druhého po nějaké fázové trajektorii. Tu lze
v klasické mechanice přesně určit, ovšem ve statistické fyzice ji neznáme a určit nemůžeme
(viz výše). 
 
 
  Ke popisu  použijeme \textit{statistického souboru}\index{soubor, statistický}, to znamená, že vezmeme $\nu$ nezávislých identických systémů s obecně různými počátečními podmínkami. Stav každého člena souboru v každém času je dán bodem ve fázovém prostoru, stav celého souboru je dán množinou bodů (oblakem) ve fázovém prostoru. Při limitním přechodu $\nu \rightarrow \infty$ můžeme mluvit o spojité hustotě mikrostavů. 
 
 
\medskip
 
Objemový element fázového prostoru
 
$$d\Phi = d^np \: d^nq$$
\bigskip
 
je invariantní vůči kanonickým transformacím. Kanoničnost transformace vyjadřuje tu skutečnost,
že pro nové proměnné $p_j'$ a $q_j '$ platí stejné kanonické rovnice jako pro původní
proměnné $p_i$, $q_i$. Na kanonické proměnné $p'$, $q'$ lze pohlížet jako na původní proměnné,
které ale systém má v~čase $t' = t + \tau$. To znamená, že fázový objem se s~časem nemění:
 
$$\frac{d}{dt}\int d\Phi = 0.$$
 
Toto tvrzení je obsahem \index{věta, Liouvillova}\emph{Liouvillovy věty o invariantnosti fázového objemu}, jejíž 
důkaz najdete například v \emph{Teoretická fyzika, str. 153; Noga, Čulík: Termodynamika
a štatistická fyzika, str.14}, resp. \emph{Kvasnica: Statistická fyzika, str.24}.
 
\bigskip
 
Dále věnujme pozornost tomu, že při daných podmínkách se nevyskytují všechny mikrostavy 
stejně často, respektive pravděpodobnost realizace určitých mikrostavů nemusí být stejná.
Pravděpodobnost daného mikrostavu je pak určena hustotou pravděpodobnosti $w(q,p,t)$.
 
%%% Pro SF vlastně ergodický teorém vůbec nepotřebujeme: vždy pracujeme pouze se souborovnými středními hodnotami. - V.P.
%Při měření teploty, energie, tlaku soustavy nebo jiné makroskopické veličiny $G$ měříme 
%vlastně její střední časovou hodnotu: 
%   
%$$\left< G(t) \right> =\frac{1}{\tau}\integral{t}{t+\tau} G(t')d t'$$
%
%Střední hodnotu veličiny můžeme vyjádřit také pomocí hustoty pravděpodobnosti vztahem
%\footnote{tzv. \index{problém, ergodický} ergodický problém, není dokázaný, ale předpokládá se, že v určité formě platí, Kvasnica, str. 30} 
%
%$$\left< G(t) \right> =\integral{\Phi}{}G(q,p)w(q,p,t)d\Phi$$
 
Při měření teploty, energie, tlaku soustavy, nebo jiné makroskopické veličiny $G$ měříme 
vlastně její střední hodnotu: 
$$\left< G(t) \right> =\integral{\Phi}{}G(q,p)w(q,p,t)d\Phi$$
Uvědomte si, že $p,q$ zde vystupují jako integrační proměnné, pro nalezení střední hodnoty proto nepotřebujeme znát řešení pohybových rovnic. 
\bigskip
 
Pokud rozdělovací funkce nezávisí explicitně na čase, a tedy $\pderivx{
  w}{ t} = 0$, mluvíme o~\index{funkce, rozdělovací, rovnovážná}\emph{rovnovážné rozdělovací funkci} a příslušný soubor nazveme \emph{stacionární soubor}. \index{soubor, stacionární}
 
Zaveďme novou funkci, tzv. \index{hustota, mikrostavů}\emph{hustotu mikrostavů} $\rho$ (v některé literatuře hustota 
fázových bodů) vztahem: 
 
$$\varrho(q,p,t)=\frac{\Delta M}{\Delta \Phi},$$
 
kde $\Delta M$ je počet mikrostavů našeho statistického souboru, které se vyskytnou v malinké oblasti fázového prostoru 
o objemu $\Delta \Phi$ v časovém intervalu $(t, t+dt)$. Funkce je normovaná, takže platí 
 
$$\integral{\Phi}{}\varrho(q,p,t)dq\:dp = M,$$
 
tedy hustota počtu mikrostavů přes celý objem fázového prostoru je rovna celkovému počtu 
mikrostavů v libovolném čase (resp. fázovému objemu ve spojitém případě).
 
Hustota mikrostavů v dané oblasti přirozeně závisí na pravděpodobnosti realizace 
mikrostavů v této  oblasti a je rovna této pravděpodobnosti násobené počtem mikrostavů:
 
$$\varrho(q,p,t) = M\,w(q,p,t)$$
 
Zkoumejme, jak závisí hustota mikrostavů v dané oblasti na čase. Při vývoji statistického souboru 
jednotlivé mikrostavy ani nevznikají, ani nezanikají -- proto musí být časový úbytek mikrostavů z oblasti fázového prostoru roven počtu mikrostavů, které \uv{protečou} za jednotku času přes plochu 
$S$ ohraničující tento objem, tj. platí:
 
$$-M\integral{\Delta \Phi}{} \pderivx{\varrho}{t}d\Phi = M\oint\limits_{\partial \Delta \Phi}{} \varrho v \: d S,$$
 
kde součin hustoty mikrostavů a zobecněné rychlosti ${\bf v} (\dot q ,\dot p )$ vyjadřuje tzv. \emph{proudovou hustotu mikrostavů}. 
Pomocí Gaussovy věty a díky invariantnosti objemu fázového prostoru můžeme upravit vztah na:
 
$$-M\integral{\Delta  \Phi}{}\pderivx{\varrho}{t}d\Phi = M \integral {\Delta \Phi}{} \mathop{\rm div}( \varrho {\bf v}) d\Phi$$
 
 
a dále na
 
$$\integral{\Delta\Phi}{}\left[ \frac{\partial \varrho}{\partial t} + \mathop{\rm div}(\varrho {\bf v})\right]d\Phi=0.$$
 
 
Integrál se rovná nule pro libovolnou oblast, proto musí být i integrand roven nule:
 
$$\frac{\partial \varrho}{\partial t} + \mathop{\rm div}(\rho {\bf v})=0.$$
 
 
Získali jsme rovnici kontinuity pro hustotu mikrostavů. Divergence $\rho {\bf v}$ je rovna ${\bf v} \cdot \nabla \varrho + \varrho \cdot \nabla {\bf v}$:
 
$$\frac{\partial \varrho}{\partial t} + \suma{i}{}\left[\frac{\partial \varrho}{\partial   q_i}
  \dot{q_{i}}+\frac{\partial \varrho}{\partial p_i}\dot{p_{i}}\right] + \varrho \underbrace{\suma{i}{}
  \left[\frac{\partial \dot{q_{i}}}{\partial q_i}+
  \frac{\partial \dot{p_{i}}}{\partial p_i}\right]}_{ = 0}= 0,$$
 
 
což plyne z pohybových rovnic a záměnnosti druhých derivací $H$.  Tedy
 
 
$$
\pderivx{\varrho}{t} + \mathop{\rm div}(\varrho v) = \pderivx{\varrho}{t} + 
   \suma{i}{}\left[  \pderivx{\varrho}{q_i}\dot{q_i} + \pderivx{\varrho}{p_i}\dot{p_i}  \right] =
 \derivx{\varrho}{t} = 0.
\label{LiouTeorem}
$$
 
Poslední rovnost se jmenuje \index{teorém, Liouville}\emph{Liouvilleův teorém} a říká, že úplná časová derivace hustoty  mikrostavů je rovna nule. $\rho$ je tedy invariantem pohybových rovnic. 
 
 
Následkem je značné omezení možnosti závislosti $\rho$ na proměnných $p,q,t$. Může na těchto proměnných záviset jen prostřednictvím funkcí $y_k = F_k(p,q,t)$, které jsou také integrály pohybu
 
$$\derivx{\rho}{t} = \sum_i \pderivx{\rho}{y_i}\derivx{F_i}{t} = 0.$$  
 
 
% Protože hustota pravděpodobnosti souvisí s $\varrho$ vztahem $\varrho(q,p,t) = M\,w(q,p,t)$, 
% je možné vložit střední hodnoty veličin do funkce $w$
%  
% $$w = w(\widehat{G_1}(p,q),\widehat{G_2}(p,q),...)$$
%  
% a jelikož střední hodnota makroskopické veličiny je definovaná vztahem 
%  
% $$\left< G \right> (t)=\integral{\Phi}{}G(q,p) w(q,p,t)d\Phi \: ; \quad \frac{d w}{d t}=0$$
% \bigskip
%  
% bude platit, že 
%  
% $$\frac{d\left< G \right> (t)}{d t}= \frac{d}{d t}\int G(q,p)w(q,p,t)d\Phi = 
%    \int G(q,p)\frac{d w(q,p,t)}{d t}d\Phi = 0$$
%  
% a také střední hodnota této veličiny bude v čase neměnná.