02OKS:Kapitola8

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02OKS

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02OKSKyseljar 5. 9. 201511:16
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:52
Header editovatHlavičkový souborKyseljar 5. 9. 201511:04 header.tex
Kapitola1 editovatÚvodní stránkaKyseljar 5. 9. 201511:06 titlepage.tex
Kapitola2 editovatPřehled značeníKyseljar 5. 9. 201511:07 Prehled_znaceni.tex
Kapitola3 editovatÚvodMaresj23 12. 8. 201716:05 Uvod.tex
Kapitola4 editovatOperátor hustotyMaresj23 15. 9. 201712:42 Operator_hustoty.tex
Kapitola5 editovatMatematický aparátMaresj23 1. 10. 201707:30 Matematicky_aparat.tex
Kapitola6 editovatvonNeumannova entropieKyseljar 5. 9. 201511:08 vonNeumannova_entropie.tex
Kapitola7 editovatKvantové měřeníKyseljar 5. 9. 201511:09 Kvantove_mereni.tex
Kapitola8 editovatKvantové operaceKyseljar 5. 9. 201511:09 Kvantove_operace.tex
Kapitola9 editovatZměny kvantového systémuKyseljar 5. 9. 201511:09 Zmeny_kvantoveho_systemu.tex
Kapitola10 editovatDovětekKyseljar 5. 9. 201511:09 Dovetek.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02OKS}
 
\section{Kvantové operace}
\label{sec:Kvantove_operace}
 
V předchozích statích jsme se seznámili s kvantovým měřením. V případě zobecněného kvantového měření jsme si navíc zavedli jistá zobrazení, která popisovala výsledek takového měření a pravděpodobnost jeho výskytu. Tato zobrazení jsme nazvali kvantové operace. Konkrétně pro počáteční stav popsaný operátorem hustoty $\rho$ jsme koncový stav zapisovali ve tvaru $\frac{1}{p_m} \phi_m (\rho)$. Tento stav se přitom mohl vyskytovat s pravděpodobností $p_m = \tr \phi_m(\rho)$. Zde $\phi_m: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ jsou právě kvantové operace. Jejich použití se však neomezuje na popis kvantového měření. Nacházejí velmi široké uplatnění a pro studium otevřených kvantových systémů jsou klíčové. Proto se s nimi v této kapitole seznámíme podrobněji.
 
Formálně lze kvantové operace zavádět různými způsoby. My si nyní představíme axiomatický přístup. Na základě tří axiomů, které mají fyzikální opodstatnění, odvodíme tvar obecné kvantové operace. Mějme tedy nějaké zobrazení $\phi_m: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$. Pak toto zobrazení nazveme \emph{kvantová operace}, splňuje-li následující tři axiomy.
 
\begin{axiom}
Zobrazení $\phi_m$ je konvexně lineární vůči stavům. Neboli pro každý konečný soubor operátorů hustoty $\{\rho_i\}_i$ s pravděpodobnostním rozdělením $\{p_i\}_i$ platí
\begin{equation}
\phi_m \left(\sum_i p_i \rho_i \right) = \sum_i p_i \, \phi_m(\rho_i).
\end{equation}
\end{axiom}
 
Rozumnost tohoto požadavku nahlédneme v následující úloze. Mějme operátor hustoty tvaru $\rho = \sum_i p_i \rho_i$ a předpokládejme, že jsme na tomto stavu provedli měření s výsledkem $m$. Po změření dané fyzikální veličiny popsané operacemi $\{ \phi_m \}_m$ se tak počáteční stav $\rho$ zredukoval na $\frac{\phi_m(\rho)}{\tr \phi_m(\rho)}$. Současně ale můžeme výsledek měření chápat jako kdybychom ho prováděli přímo na souboru $\{\rho_i\}_i$. Protože se každé $\rho_i$ vyskytuje v $\rho$ s jistou pravděpodobností, bude i výsledek měření záviset na těchto pravděpodobnostech. Pokud bychom změřili jeden daný $\rho_i$, vypadal by koncový stav jako $\frac{\phi_m(\rho_i)}{\tr \phi_m(\rho_i)}$. My jsme ale změřili celý soubor $\{\rho_i\}_i$ najednou s výsledkem $m$. Situace, kdy změříme konkrétní $\rho_i$, tak přitom může nastat s pravděpodobností $p(i|m)$, což je pravděpodobnost změření operátoru $\rho_i$ za předpokladu, že hodnota měření byla $m$. Celkem je tedy výsledek měření možno popsat jako vážený průměr $\sum_i p(i|m) \frac{\phi_m(\rho_i)}{\tr \phi_m(\rho_i)}$. Ztotožníme-li oba přístupy, jak ten pomocí operátoru $\rho$, tak ten pomocí souboru $\{\rho_i\}_i$, dospíváme k rovnosti
\begin{equation}
\frac{\phi_m(\rho)}{\tr \phi_m(\rho)} = \sum_i  p(i|m) \frac{\phi_m(\rho_i)}{\tr \phi_m(\rho_i)}.
\label{eq:axiom1}
\end{equation}
Nyní můžeme využít Bayesova pravidla, podle něhož $p(i|m) p(m) = p(m|i) \, p_i$. Současně víme, že $p(m) = \tr \phi_m(\rho)$ a $p(m|i) = \tr \phi_m(\rho_i)$. Z předchozího vzorce si můžeme vyjádřit prav\-dě\-po\-dob\-nost $p(i|m)$ a tu dosadit do vztahu \eqref{eq:axiom1} dostávajíce
\begin{equation}
\phi_m(\rho) = \sum_i p_i \, \phi_m(\rho_i).
\end{equation}
Axiom výše hovoří pouze o linearitě na konvexní množině stavů. Z této konvexní podmnožiny lze ale kvantovou operaci lineárně dodefinovat na celý prostor.
 
\begin{axiom}
Pro každý operátor hustoty $\rho$ musí stopa zobrazení $\phi_m$ splňovat nerovnosti
\begin{equation}
0 \leq \tr \phi_m(\rho) \leq 1.
\end{equation}
\end{axiom}
Opodstatnělost tohoto axiomu přímo plyne ze skutečnosti, že chceme, aby stopa $\tr \phi_m(\rho)$ vyjadřovala pravděpodobnost. Musí být tedy nezáporná a menší nebo rovna jedné. Ostatně to jsme také předpokládali výše, když jsme chtěli nastínit rozumnost prvního axiomu. Pravděpo\-dob\-nos\-ti se musejí sčítat na jedničku, neboli
\begin{equation}
1 = \sum_m p_m = \sum_m \tr \phi_m(\rho) = \tr \left( \sum_m \phi_m(\rho) \right).
\end{equation}
Označme si $\phi = \sum_m \phi_m$. Pak rovnost výše znamená $\tr \phi(\rho) = 1$. Dále platí vztah $\tr (\phi(\rho)) = \tr (\adj{\phi}(\ident) \rho)$, který lze odvodit z vlastností Hilbert-Schmidtova skalárního součinu. Neboť je $\rho$ stav, je splněno $\tr \rho = 1$. Poskládáme-li předchozí výrazy dohromady, dostáváme
\begin{equation}
\tr (\adj{\phi}(\ident) \rho) = \tr \rho, \quad \forall \rho \in \states{\hilb}.
\end{equation}
To je splněno právě tehdy, když $\adj{\phi}(\ident)=\ident$. V této souvislosti si uveďme pár definic.
 
\begin{definice}
Řekneme, že obecné zobrazení $\phi$ \textbf{zachovává stopu} právě, když $\tr \phi(\rho) = 1$ pro všechny stavy $\rho$. Podobně řekneme, že zobrazení $\phi$ \textbf{nezvyšuje stopu} právě, když platí $\tr \adj{\phi}(\rho) \leq 1$. (Anglicky se zobrazení, které zachovává stopu, říká \emph{trace-preserving mapping}. Podobně zobrazení, které stopu nezvyšuje, se nazývá \emph{trace-non-increasing mapping}.)
\end{definice}
 
Uveďme si konečně závěrečný axiom z definice kvantových operací. K jeho vyřčení bude nutná ještě jedna definice.
 
\begin{definice}
Zobrazení $\phi_m$ je \textbf{úplně pozitivní} právě tehdy, když je pozitivní každé zobrazení tvaru $\phi_m \otimes \ident_{\tilde{\hilb}}$, kde $\tilde{\hilb}$ označuje libovolný dodatečný Hilbertův prostor, který jsme ke sledovanému prostoru přidali, a $\ident_{\tilde{\hilb}}$ značí identitu na prostoru $\bound{\tilde{\hilb}}$. (Anglicky se úplně pozitivní řekne \emph{completely positive} a zkracuje se na \emph{CP}.)
\end{definice}
 
\begin{axiom}
Zobrazení $\phi_m$ je úplně pozitivní.
\end{axiom}
 
Na první, ani druhý, pohled není zcela jasné, co tento axiom představuje. Tento požadavek souvisí s tím, že chceme, abychom aplikací zobrazení $\phi_m$ dostávali vždy \emph{stavy} a nemohli tak dostat něco, co v kvantové mechanice nelze použít pro popis fyzikálního systému. Mějme zkoumaný systém $A$ s prostorem $\hilb_A$, na nějž aplikujeme operaci $\phi_m$. Představme si navíc, že tento systém tvoří jen část nějakého většího systému $A + B$, jehož prostor zní $\hilb_A \tens \hilb_B$. Takovouto situaci je rozumné uvažovat, dost často nás v danou chvíli nezajímá stav celého systému, ale pouze jeho podsystému. Aplikaci operace $\phi_m$ lze tedy ekvivalentně popsat pomocí operátoru $\phi_m \tens \ident$, který působí na stav celého systému $A + B$. Nyní začíná být požadavek na úplnou pozitivitu jasnější. Aby původní (libovolný) stav celého systému $A + B$ přešel opět na \emph{stav}, je nutné, aby operátor $\phi_m \tens \ident$ byl pozitivní. Neboť může být zkoumaný systém $A$ podsystémem různě velkého systému, kde se prostor $\hilb_B$ mění, je nutné, aby operace $\phi_m \tens \ident$ byla pozitivní pro různé $\hilb_B$.
 
\subsection{Vlastnosti kvantových operací}
\label{sec:Vlastnosti_kvantovych_operaci}
 
Působení superoperátoru $\phi_m \otimes \ident_{\tilde{\hilb}}$ na libovolný prvek $X = \sum_i A_i \otimes B_i \in \bound{\hilb \otimes \tilde{\hilb}}$ vypadá následovně
\begin{equation}
(\phi_m \otimes \ident_{\tilde{\hilb}})(X) = \sum_i (\phi_m \otimes \ident_{\tilde{\hilb}})(A_i \otimes B_i) = \sum_i \phi_m(A_i) \otimes B_i.
\end{equation}
Mohlo by se zdát, že ověřit úplnou pozitivitu nějakého zobrazení je těžký úkol, vždyť v definici požadujeme pozitivitu zobrazení $\phi_m \otimes \ident_{\tilde{\hilb}}$ pro každý Hilbertův prostor $\tilde{\hilb}$. Ukazuje se však, že situace je mnohem jednodušší, než by se zdálo, a to hlavně díky následující větě.
 
\begin{veta}
Lineární zobrazení $\phi: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ je úplně pozitivní právě tehdy, když
\begin{equation}
(\phi \tens \ident_d)(\ketbraME) \geq 0,
\end{equation}
kde $d = \dim \hilb$ a $\ketME = \frac{1}{\sqrt{d}}\sum_{\mu} \ket{\mu \mu}$ je maximálně provázaný stav na $\hilb \otimes \hilb$.
\label{thm:tau}
\end{veta}
 
Stačí tedy ověřovat pozitivitu jednoho konkrétního operátoru, který vznikne tak, že na maximálně provázaný stav aplikujeme zobrazení $\phi \otimes \ident_d$, které se skládá z $\phi$ a identity na dodatečném prostoru. Za tento dodatečný prostor stačí přitom volit pouze jeden konkrétní prostor a to prostor $\hilb$ samotný. Ukažme si nyní důkaz předchozí věty.
 
\begin{proof}
DIVNE, NEUVAZUJE RUZNE DIMENZE A ODKUD PLATI, ZE OPERATOR $A_k$ JE UNITARNI? 
Implikace zleva doprava je jasná. Z obecného tvrzení určitě plyne jeho konkrétní případ. Dokažme si tedy opačnou implikaci. Mějme pozitivní operátor působící na celém Hilbertově prostoru $\rho \in \bound{\hilb \otimes \hilb}$, kde $\dim \hilb = d$. Pak $(\phi \otimes \ident_d)(\rho) \geq 0$ je ekvivalentní podmínce $(\phi \otimes \ident_d)(\ketbra{\psi_k}{\psi_k}) \geq 0$ pro všechna $k$, kde $\rho = \sum_k \lambda_k \ketbra{\psi_k}{\psi_k}$. Neboť $\ket{\psi_k}$ je čistý stav, lze ho vyjádřit ve tvaru $\ket{\psi_k} = (\ident \otimes A_k)\ketME$ pro nějaký operátor $A_k: \hilb \to \hilb$, viz dříve. Takže $(\phi \otimes \ident_d)(\ketbra{\psi_k}{\psi_k}) = (\phi \otimes \ident_d)(\ident \otimes A_k)\ketbraME (\ident \otimes \adj{A}_k) = (\ident \otimes A_k) (\phi \otimes \ident_d)(\ketbraME) (\ident \otimes \adj{A}_k)$. Poslední výraz je podobnostní transformací spjat s operátorem $(\phi \otimes \ident_d)(\ketbraME)$. Podobnost zachovává pozitivitu, je-li tedy $(\phi \otimes \ident_d)(\ketbraME)$ pozitivní, je takové i $(\phi \otimes \ident_d)(\ketbra{\psi_k}{\psi_k})$.
\end{proof}
 
V právě uvedené větě byl použit operátor, jehož význam doceníme především v následujících kapitolách. Je jím \textbf{Jamiolkowského stav} $\tau_\phi$ definovaný pro každou operaci $\phi$ jako
\begin{equation}
\tau_\phi = (\phi \tens \ident_d)(\ketbraME).
\end{equation}
S využitím izomorfizmů, které jsme si zavedli na počátku, lze ukázat pěknou identitu
\begin{equation}
\tau_\phi = \frac{1}{d} X_\phi,
\label{eq:XvsTau}
\end{equation}
kde $X_\phi$ je operátor zavedený pomocí rovnice \eqref{eq:izom_3}. Než přikročíme k důkazu této rovnosti, připomeňme si značení. Mějme zobrazení $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$, $\basisPlain{\ket{\mu}}{\mu}$ nechť je ortonormální báze prostoru $\hilb_1$ a podobně nechť $\basisPlain{\ket{\nu}}{\nu}$ je ortonormální báze prostoru $\hilb_2$. Dále nechť $\basisPlain{\ket{B^{\mu \nu}}}{\mu \nu}$ a $\basisPlain{\ket{A^{m n}}}{m n}$ jsou po řadě ortonormální báze prostorů $\bound{\hilb_1}$ a $\bound{\hilb_2}$, kde jsme si označili $\ket{B^{\mu \nu}} = \ketbra{\mu}{\nu}$ a $\ket{A^{m n}} = \ketbra{m}{n}$.
 
Jak jsme si již dříve uvedli, pro operaci $\phi$, kterou si lze vyjádřit ve tvaru $\phi = \sum \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}}$, platí následující vztah \eqref{eq:izom_3}
\begin{equation}
\phi = \sum_{m n \mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{A^{m n}}{B^{\mu \nu}} \quad \leftrightarrow \quad X_\phi = \sum_{m n \mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} A^{m n} \tens B^{\mu \nu} = \sum_{m n \mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu},
\end{equation}
tedy $X_\phi = \phi^R$. Rozepíšeme-li si maximálně provázaný stav v dané ortonormální bázi, je důkaz výše uvedené rovnosti triviální, neboť
\begin{eqnarray*}
\tau & = & \frac{1}{d}(\phi \tens \ident_d) \left(\sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu} \right) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi(\ketbra{\mu}{\nu}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi(\ket{B^{\mu \nu}}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} \\
& = & \frac{1}{d} \sum_{m n \mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m}{n} \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{m n \mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu} = \frac{1}{d} X_\phi.
\end{eqnarray*}
 
Pro praktické počítání si uveďme ještě jednu rovnost mezi stopami různých reprezentací těchže operátorů na daném prostoru s využitím Jamiolkowského stavu odpovídající dané operaci.
 
\begin{lemma}
Nechť $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je jisté zobrazení, dále nechť $\tau_\phi$ je jemu odpovídající Jamiolkowského stav a $X_\phi$ operátor zavedený vztahem \eqref{eq:izom_3}. Pak pro každou dvojici operátorů $A \in \bound{\hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_1}$ platí následující rovnosti
\begin{equation}
\tr(A \, \phi(B)) = \tr(X_\phi \, (A \tens B^T)) = d \, \tr(\tau_\phi \, (A \tens B^T)).
\label{eq:XeqnPhi}
\end{equation}
\end{lemma}
 
\begin{proof}
Druhá rovnost plyne ze vztahu \eqref{eq:XvsTau}, dokažme si tedy rovnost první. Opět začněme výčtem značení: $A = \sum_{m n} A_{m n} \ketbra{m}{n}$, $B = \sum_{\mu \nu} B_{\mu \nu} \ketbra{\mu}{\nu}$, $X_\phi = \sum_{m \mu n \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu}$, z čehož plyne $A \tens B^T = \sum_{m \mu n \nu} A_{m n} B_{\mu \nu} \ketbra{m \nu}{n \mu}$ a $\phi(B) = \phi(\sum_{\mu \nu} B_{\mu \nu} \ketbra{\mu}{\nu}) = \sum_{a b \mu \nu} B_{\mu \nu} \phi_{\substack{a b \\ \mu \nu}} \ketbra{a}{b}$. Pro levou stranu rovnosti tedy platí
\begin{eqnarray*}
\tr(A \, \phi(B)) & = & \tr \left(\sum_{m n} A_{m n} \ketbra{m}{n} \, \sum_{a b \mu \nu} B_{\mu \nu} \phi_{\substack{a b \\ \mu \nu}} \ketbra{a}{b} \right) = \tr \left( \sum_{a b m \mu n \nu} A_{m n} B_{\mu \nu} \phi_{\substack{a b \\ \mu \nu}} \ketbra{m}{n} \ketbra{a}{b} \right) \\
& = & \sum_{m \mu n \nu} A_{m n} B_{\mu \nu} \phi_{\substack{n m \\ \mu \nu}}.
\end{eqnarray*}
Přitom pro pravou stranu téže dokazované rovnosti dostáváme
\begin{eqnarray*}
\tr(X_\phi \, (A \tens B^T)) = \tr \left( \sum_{m \mu n \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}} \ketbra{m \mu}{n \nu} \sum_{a \alpha b \beta} A_{a b} B_{\alpha \beta} \ketbra{a \beta}{b \alpha} \right) = \sum_{m \mu n \nu} A_{n m} B_{\mu \nu} \phi_{\substack{m n \\ \mu \nu}}.
\end{eqnarray*}
Porovnáním odpovídajících si indexů tak vidíme, že obě strany si jsou skutečně rovny.
\end{proof}
 
Výhodnost zavedení operátoru $X_\phi$ lze ilustrovat i na příkladu následující věty podávající vztah mezi tímto operátorem a některými vlastnostmi operace $\phi$.
 
\begin{veta}
Nechť $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$. Pak platí následující ekvivalence mezi zobrazením $\phi$ a operátorem $X_\phi$, resp. $\tau_\phi$, kde $B \in \bound{\hilb_1}$ je libovolný.
\begin{enumerate}
\item Hermitovost: $\phi(\adj{B}) = \adj{\phi(B)} \Leftrightarrow X_\phi = \adj{X_\phi}$,
\item úplná pozitivita: $\phi$ je CP $\Leftrightarrow X_\phi \geq 0$,
\item zachování stopy: $\tr \phi(B) = \tr B \Leftrightarrow \trPar{\hilb_2}(X_\phi) = \ident_{\hilb_1}$,
\item unitalita: $\phi(\ident) = \ident \Leftrightarrow \trPar{\hilb_1}(X_\phi) = \ident_{\hilb_2}$.
\end{enumerate}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Abychom dokázali první bod, uvažme předchozí větu, podle níž $\tr(X_\phi \, (A \tens \cc{B})) = \tr(A \, \phi(\adj{B}))$. Předpokládejme nyní rovnost $\phi(\adj{B}) = \adj{\phi(B)}$ pro důkaz implikace zleva. Pak $\tr(A \, \phi(\adj{B})) = \tr(A \, \adj{\phi(B)}) = \tr(\adj{(\phi(B) \, \adj{A})}) = \cc{\tr(\phi(B) \, \adj{A})}$. Opět s využitím předchozí věty je poslední výraz roven $\cc{\tr(X_\phi \, (\adj{A} \tens B^T))} = \tr(\adj{X_\phi} \, (A \tens \cc{B}))$. 
%Pak $\tr(A \, \phi(\adj{B})) = \tr(A \, \adj{\phi(B)}) = \tr(\adj{(\phi(B) \, \adj{A})}) = \overline{\tr(\phi(B) \, \adj{A})}$. Opět s využitím předchozí věty je poslední výraz roven $\overline{\tr(X_\phi \, (\adj{A} \tens B^T))} = \tr(\adj{X_\phi} \, A \tens \bar{B})$. 
Porovnáním prvního výrazu výše a právě získaného posledního výrazu, kterážto rovnost musí platit pro všechna $A \in \bound{\hilb_2}$ a $B \in \bound{\hilb_1}$, dospíváme k identitě $X_\phi = \adj{X_\phi}$. Opačná implikace by se dokázala stejně, pouze v opačném pořadí. Pro důkaz druhého bodu si stačí připomenout, že $\phi$ je úplně pozitivní právě tehdy, když Jamiolkowského stav $\tau_\phi$ je pozitivní a z identity \eqref{eq:XvsTau} již plyne tvrzení. K dokázání třetího bodu vyjděme z předchozí věty: $\tr(\phi(B)) = \tr(X_\phi \, (\ident \tens B^T)) = \tre{\hilb_1}((\trPar{\hilb_2}(X_\phi)) B^T)$. Současně již z dřívějška víme, že zachování stopy je ekvivalentní s tvrzením $\adj{\phi}(\ident) = \ident$. S~využitím vlastností skalárního součinu tedy $\tr(\phi(B)) = (\ident, \phi(B)) = (\adj{\phi}(\ident),B) = (\ident,B)= \tr(B) = \tr (B^T)$. Porovnáním obou výpočtů, které si jsou rovny pro všechny operátory $B$, dostáváme $\trPar{\hilb_2}(X_\phi) = \ident_{\hilb_1}$, což jsme chtěli dokázat. Čtvrtý bod by se dokázal podobně jako bod třetí.
\end{proof}
 
\begin{pozn}
Uvědomme si důležitý vztah: \emph{Jamiolkowský stav $\tau_\phi$ úplně pozitivního zobrazení $\phi$ zachovávajícího stopu je operátorem hustoty.} Ačkoli se $\tau_\phi$ nazývá slovem \emph{stav}, skutečným stavem, tj. operátorem hustoty, je jen, když zobrazení $\phi$ splňuje podmínky uvedené v předchozí větě.
\end{pozn}
 
\begin{priklad}
Nyní si udáme příklad jednoduchého zobrazení, které je sice pozitivní, není ale úplně pozitivní. Tím zobrazením je superoperátor transponování $\phi:\bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$, $\phi(A) = A^T$ (transponování v bázi $\basis{\mu}{d}$). Neboť transpozicí nezměním spektrum operátoru, je-li tento pozitivní, je pozitivní i jeho transpozice. Je $\phi$ úplně pozitivní? Využijme věty \ref{thm:tau}. Máme tak $\tau_\phi = (\phi \tens \ident) (\ketbraME) = \frac{1}{d} (\phi \tens \ident) \sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi(\ketbra{\mu}{\nu}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \ketbra{\nu}{\mu} \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \ketbra{\nu \mu}{\mu \nu}$. Abychom viděli, že operátor $\tau_\phi$ není pozitivní, uvažme případ $d=2$ a bázi $\{ \ket{00}, \ket{01}, \ket{10}, \ket{11}\}$, pro něž dostáváme
\begin{equation}
\tau_\phi =
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Tato matice má za vlastní čísla 1 a $-1$, není tedy pozitivní a my tak můžeme shrnout, že zobrazení $\phi$ není úplně pozitivní.
\end{priklad}
 
Z výše uvedené věty o úplné pozitivitě superoperátoru plynou následující dva užitečné důsledky. Jeden hovoří o rozkladu zobrazení na úplně pozitivní zobrazení. Druhý se pak vztahuje ke kvantovému měření.
 
\begin{dusledek}
\emph{Rozklad na úplně pozitivní zobrazení.} Nechť $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je lineární zobrazení. Pak:
\begin{enumerate}
\item Zobrazení $\phi$ lze zapsat jako komplexní lineární kombinaci čtyř úplně pozitivních zobrazení.
\item Pokud je $\phi$ navíc hermitovské, tj. $\phi(\adj{B}) = \adj{\phi}(B)$, tak jej lze zapsat jako reálnou lineární kombinaci dvou úplně pozitivních zobrazení.
\end{enumerate}
\end{dusledek}
 
\begin{proof}
Zobrazení $\phi$ je izomorfně svázané s operátorem $X_\phi = d \, \tau_\phi$, jež lze rozložit způsobem $X_\phi = (X_\phi + \adj{X}_\phi)/2 + \ii (X_\phi - \adj{X}_\phi)/(2 \ii)$. Označíme-li nyní symbolem $\Pos$ pozitivní část operátoru a jako $\Neg$ jeho \uv{negativní} část, tak
\begin{equation}
X_\phi = \Pos \left( \frac{X_\phi + \adj{X}_\phi}{2} \right) - \Neg \left( \frac{X_\phi + \adj{X}_\phi}{2} \right) + \ii \Pos \left( \frac{X_\phi - \adj{X}_\phi}{2 \ii} \right) - \ii \Neg \left( \frac{X_\phi - \adj{X}_\phi}{2 \ii} \right).
\end{equation}
Všechny výrazy tvaru $\Pos(\cdot)$ či $\Neg(\cdot)$ jsou pozitivní operátory, po řadě izomorfně sdružené se zobrazeními $\phi_1$$\phi_4$, která jsou tak úplně pozitivní. Máme tak rozklad zobrazení na úplně pozitivní zobrazení ve tvaru
\begin{equation}
\phi = \phi_1 - \phi_2 + \ii \phi_3 - \ii \phi_4.
\end{equation}
Druhé tvrzení se dokáže naprosto analogicky. Hermiticita zobrazení $\phi$ zaručuje $X_\phi = \adj{X}_\phi$, které je tak tvaru $X_\phi = \Pos(X_\phi) - \Neg(X_\phi)$. Z toho již rovnou plyne $\phi = \phi_1 - \phi_2$.
\end{proof}
 
\begin{dusledek}
\emph{\uv{Žádná informace bez narušení.} -- ``No information without disturbance.''} Nechť $T_\alpha: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$ jsou instrumenty (kvantové operace). Pokud neselektivní měření nezmění stav (tedy $T = \sum_\alpha T_\alpha = \ident$), tak $T_\alpha \propto \ident$ pro všechna $\alpha$ a pravděpodobnost získání výstupu $\alpha$ je nezávislá na vstupním stavu.
\end{dusledek}
 
\begin{proof}
Máme $(T \tens \ident)(\ketbraME) = \ketbraME$ a $(T \tens \ident)(\ketbraME) = \sum_\alpha (T_\alpha \tens \ident)(\ketbraME) = \sum_\alpha \tau_\alpha$, kde $\tau_\alpha \geq 0$ a $\ketbraME$ je čistý stav. Pak tedy
\begin{equation}
\ketbraME = \sum_\alpha \tr(\tau_\alpha) \left( \frac{\tau_\alpha}{\tr(\tau_\alpha)} \right),
\end{equation}
což je konvexní lineární kombinace stavů, která dává čistý stav. Z toho již plyne existence konstant $A_\alpha$ takových, že $\tau_\phi = A_\alpha \ketbraME$ pro všechna $\alpha$, a tedy $T_\alpha = A_\alpha \ident$. Pro pravděpodobnosti navíc platí $p_\alpha = \tr(T_\alpha(\rho)) = A_\alpha$.
\end{proof}
 
Z předchozího důsledku plyne, že při měření stavu, kdy se nekoukneme na výsledek tohoto měření a toto měření navíc nijak nezmění stav, nejsme schopni zjistit jakoukoli informaci o tvaru měřeného stavu.
 
\subsection[Kvantové operace teleportací]{Implementace kvantové operace teleportací}
\label{sec:Implementace_kvantove_operace_teleportaci}
 
V předchozích kurzech jsme se seznámili s kvantovou teleportací částic. Nyní tento koncept využijeme při implementaci kvantové operace $\phi$ zachovávající stopu. Jinými slovy, zobrazení $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je nyní \emph{kvantový kanál}. Konkrétně uvažme Alici, která má ve vlastnictví kvantový kanál $\phi$ a navíc pár maximálně provázaných částic $\ketME$. Na druhé straně zeměkoule nechť čeká trpělivý Bob, jehož jediným majetkem je částice ve stavu $\rho \in \states{\hilb_1}$. Chamtivé Alici se z rozmaru zachtělo získat stav $\phi(\rho)$, svízel však tkví v tom, že vstupní stav $\rho$ leží kdesi u Boba. Zdánlivě bezvýchodnou situaci lze vyřešit s lehkou pomocí altruistického Boba následujícím kvantovým algoritmem.
\begin{enumerate}
\item Alice aplikuje svoji kvantovou operaci $\phi$ na první ze svých částic. Jestliže byl stav jejího páru částic na počátku $\ketbraME$, po aplikaci tento přechází na stav $(\phi \tens \ident)(\ketbraME) = \tau_\phi \equiv \tau$. Bob nedělá se svou částicí ve stavu $\rho$ zhola nic. Stav celého systému tří částic je tak $\tau \tens \rho$.
\item Ač nerada, pošle Alice svou druhou částici Bobovi. Trpělivý Bob se však na přijatou částici nepodívá. Kdyby to udělal, porušil by kvantové provázání a nedozvěděl by se nic. Jeho stav $\tau_B$ by totiž vypadal jako $\tau_B = \trPar{A}(\tau_\phi) = \trPar{A}((\phi \tens \ident)\ketbraME) = \frac{1}{d} \ident_B$, kde $d = \dim \hilb_1$ a poslední rovnost vyplývá z faktu, že zobrazení $\phi$ zachovává stopu. Stav $\tau_B$ je tedy maximálně smíšený a nenese tak žádnou informaci.
\item Jako poslední krok provede Bob měření pomocí sady dvou ortogonálních projektorů $P_1 = \ketbraME$, $P_2 = \ident - \ketbraME$. Měření probíhá na obou částicích, které má v tuto chvíli Bob k dispozici, jednu ve stavu $\rho$ a druhou, kterou získal od Alice. Zajímá nás přitom, kdy výsledek měření odpovídá projekci $P_1$. Po takovém měření se předchozí stav tří částic $\tau \tens \rho$ změní na stav
\begin{equation}
\rho' = \frac{1}{p'}((\ident \tens \ketbraME)(\tau \tens \rho)\adj{(\ident \tens \ketbraME)}), \quad \mathrm{kde} \quad p' = \tr((\ident \tens \ketbraME)(\tau \tens \rho))
\end{equation}
je pravděpodobnost naměření stavu $\rho'$. V tuto chvíli má Alice v držení pouze jednu částici, jejíž stav je přitom $\rho_A = \trPar{B}(\rho')$. Ale světe div se, tento stav je přitom její vysněný stav $\rho_A = \phi(\rho)$! Tento obdrží s pravděpodobností $p'$.
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
Dokažme si výše uvedený vztah $\rho_A = \phi(\rho)$. Z definice stavu podsystému a tvaru stavu $\rho'$ dostáváme pro libovolný operátor $M$ vztahy $\tr(\rho_A M) = \tr(\rho' \, (M \tens \ident)) = \frac{1}{p'} \tr((\ident \tens \ketbraME)(\tau \tens \rho)(\ident \tens \ketbraME) \, (M \tens I)) = \frac{1}{p'} \tr((\tau \tens \rho)(M \tens \ketbraME))$. Platí tedy $p' \tr(\rho_A M) = \tr((\tau \tens \rho)(M \tens \ketbraME)) = \frac{1}{d} \tr((\tau \tens \rho)(M \tens (\sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu}{\nu} \tens \ketbra{\mu}{\nu}))) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \tr(\tau(M \tens \ketbra{\mu}{\nu})) \tr(\rho \ketbra{\mu}{\nu})$. Nyní využijeme rovnosti \eqref{eq:XeqnPhi} a vztahu $\rho_{\mu \nu} = \tr(\rho \ketbra{\mu}{\nu})$ k tomu, abychom upravili poslední výraz do tvaru $\frac{1}{d^2} \sum_{\mu \nu} \tr(M \phi(\ketbra{\nu}{\mu})) \rho_{\mu \nu} = \frac{1}{d^2} \tr(M \phi(\rho))$. Pokud položíme $M = \ident$ a vzpomeneme si na vzorec pro pravděpodobnost $p'$, tak vidíme, že $p' = \frac{1}{d^2} \tr(\phi(\rho)) = \frac{1}{d^2} \tr(\rho) = \frac{1}{d^2}$. Porovnáme-li tak výraz, ze kterého jsme vycházeli, s tím, ke kterému jsme po úpravách dospěli, obdržíme rovnost $\tr(\rho_A M) = \tr(M \phi(\rho))$, která musí platit pro všechna $M$. Tím je vztah $\rho_A = \phi(\rho)$ dokázán.
\end{proof}
 
\begin{priklad}
\emph{Kvantová teleportace.} Nechť $\phi = \ident$, pak výše uvedený postup odpovídá již dříve popsané teleportaci stavů s tím rozdílem, že stav je teleportován od Boba k Alici! Pro případ $d=2$ dostáváme $\ketpsi_\mathrm{Bob} = \alpha \ket{0} + \beta \ket{1}$. Alice tedy získá stav $\ketpsi_\mathrm{Bob}$ s pravděpodobností $1/d^2 = 1/4$.
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
\emph{Depolarizační kanál.} Nechť $\phi(\rho) = p \, \rho + \frac{1-p}{d} \, \ident$. Je toto zobrazení úplně pozitivní? Platí $\tau_\phi = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\phi \tens \ident)(\ketbra{\mu}{\nu} \tens \ketbra{\mu}{\nu}) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (p \ketbra{\mu}{\nu} + (1-p) \ident / d) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = p \ketbraME + (1-p) \frac{1}{d^2} \ident \tens \sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu}{\nu} = p \ketbraME + \frac{1-p}{d} \ident \tens \ketbraSame{\varphi}$, kde $\ket{\varphi} = \frac{1}{\sqrt{d}} \sum_\mu \ket{\mu}$. Poslední výraz je zjevně pozitivní zobrazení a my tak můžeme uzavřít, že depolarizační kanál $\phi$ je vskutku úplně pozitivní zobrazení.
\end{priklad}
 
\subsection{Krausova reprezentace}
\label{sec:Krausova_reprezentace}
 
Kvantové operace jsou natolik důležitá zobrazení, že pro ně bylo nalezeno a zavedeno hned několik reprezentací. Tedy způsobů, jak tyto operace zapisovat a vyjadřovat jejich působení na vstupní operátory. My si představíme několik z nich s tím, že jako první si představíme patrně nejrozšířenější reprezentaci, \textbf{Krausovu reprezentaci}. Konkrétní vyjádření kvantové operace stejně jako některé její základní vlastnosti jsou shrnuty v následující větě.
 
\begin{veta}
Lineární zobrazení $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je úplně pozitivní právě tehdy, když ho lze pro každý operátor $A \in \bound{\hilb_1}$ zapsat ve tvaru
\begin{equation}
\phi(A) = \sum_{j=1}^r K_j \, A \, \adj{K}_j,
\label{eq:Kraus_repr}
\end{equation}
kde $K_j$ jsou tak zvané \textbf{Krausovy operátory}. Pro toto zobrazení dále platí následující tvrzení.
\begin{enumerate}
\item Zobrazení $\phi$ zachovává stopu právě tehdy, když $\sum_j \adj{K}_j \, K_j = \ident \in \bound{\hilb_1}$.
\item Zobrazení $\phi$ je unitální právě tehdy, když $\sum_j K_j \, \adj{K}_j= \ident \in \bound{\hilb_2}$.
\item Nechť $r$ označuje minimální počet Krausových operátorů nutných k reprezentování zobrazení $\phi$. Pak platí $r = \rank(\tau_\phi) \leq d_1 \cdot d_2$, kde $d_i = \dim \hilb_i$.
\item Ortogonalita: Pro dané zobrazení $\phi$ vždy existuje taková Krausova reprezentace, která má $r$ ortogonálních Krausových operátorů, kde $r$ je definováno výše.
\item Ekvivalentní reprezentace: Dvě množiny Krausových operátorů $\basisPlain{K_j}{j=1}^m$ a $\basisPlain{K'_j}{j=1}^n$ reprezentují tutéž kvantovou operaci $\phi$ právě tehdy, když existuje unitární matice $U$, pro níž $K_j = \sum_l U_{jl} \, K'_l$. (Pokud $m \neq n$, tak menší množinu operátorů doplníme nulovými operátory.)
\end{enumerate}
\label{thm:Kraus}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Z dřívějška víme, že $\phi$ je úplně pozitivní právě, když $\tau = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) \geq 0$, kde $\tau \in \bound{\hilb_2 \tens \hilb_1}$ je nějaký stav. Lze ho tedy zapsat pomocí čistých stavů $\ket{\psi_i} \in \hilb_2 \tens \hilb_1$ ve tvaru $\tau = \sum_i \ketbraSame{\psi_i} = \sum_i (K_i \tens \ident) \ketbraME (\adj{K}_i \tens \ident) = (\sum_i K_i \, (\cdot) \, \adj{K}_i \tens \ident)(\ketbraME)$. V druhé rovnosti jsme využili již dokázané existence jistého operátoru $K_i$ takového, že pro daný stav $\ket{\psi_i}$ platí $\ket{\psi_i} = (K_i \tens \ident)(\ketME)$. Porovnáním výrazů, které jsme právě odvodili, dostáváme žádanou rovnost $\phi = \sum_i K_i \, (\cdot) \adj{K}_i$.
\begin{enumerate}
\item Dokažme nyní první bod z výčtu výše. Zobrazení $\phi$ zachovává stopu právě, když platí $\tr \phi(A) = \tr A \Leftrightarrow (\ident, \phi(A)) = (\adj{\phi}(\ident),A) = (\ident, A) \Leftrightarrow \adj{\phi}(\ident) = \ident$. Abychom dokončili důkaz prvního bodu, odvoďme si explicitní tvar sdruženého zobrazení $\adj{\phi}$. Obecně platí $(B,\phi(A)) = (\adj{\phi}(B), A)$ neboli $\sum_i \tr (\adj{B} K_i A \adj{K}_i) = \sum_i \tr (\adj{K}_i \adj{B} K_i A)$, což lze dále upravit na $\tr (\sum_i \adj{(\adj{K}_i B K_i)} A) = (\sum_i (\adj{K}_i B K_i), A)$. Porovnáním výrazů tedy obdržíme vztah $\adj{\phi}(A) = \sum_i \adj{K}_i A K_i$. Položíme-li nyní $A = \ident$, dostáváme tvrzení prvního bodu. Podobně bychom postupovali při důkazu unitality v bodu druhém.
\item Třetí a čtvrtý bod dokážeme současně. Mějme stav $\tau = \sum_{i=1}^r \alpha_i \ketbraSame{\tilde{e}_i}$, kde $\basisAlt{\tilde{e}_i}{i}{r}$ je ortonormální báze daného Hilbertova prostoru. Označme si $\ket{e_i} = \sqrt{\alpha_i}\ket{\tilde{e}_i}$, potom $\tau = \sum \ketbraSame{e_i}$. Poznamenejme ještě, že počet vektorů $r$ nutných pro rozklad stavu $\tau$ je nejmenší, jsou-li $\ket{e_i}$ vlastní vektory. Nejmenší rozklad tedy odpovídá (nenormalizovaným) vlastním stavům k $\tau$, z čehož již plyne $r = \rank(\tau) \leq d_1 \cdot d_2$. Jak je to s ortogonalitou? Pro $i \neq j$ máme $0 = \braket{e_i}{e_j} = \braME(\adj{K}_i \tens \ident)(K_j \tens \ident)\ketME = \sum_{\mu \nu} \frac{1}{d_1} \bra{\mu \mu} (\adj{K}_i \tens \ident)(K_j \tens \ident) \ket{\nu \nu} = \sum_\mu \frac{1}{d_1} \bra{\mu} \adj{K}_i K_j \ket{\mu} = \frac{1}{d_1} \tr(\adj{K}_i K_j) = \frac{1}{d_1}(K_i, K_j)$.
\item Pro důkaz pátého bodu nejdříve ukážeme, že platí tvrzení: Mějme libovolný stav $\rho$ takový, že $\rho = \sum_{j=1}^M \ketbraSame{\psi_j}$ a současně $\rho = \sum_{l=1}^N \ketbraSame{\psi'_l}$. Pak nutnou a postačující podmínkou pro takovýto dvojitý zápis je existence unitární matice $U$ takové, že $\ket{\psi_j} = \sum_l U_{jl} \ket{\psi'_l}$. Dokažme si toto lemmátečko. Vezměme ortonormální bázi $\basis{j}{\mathrm{max}}$, kde $\mathrm{max} \equiv \max \{M,N\}$, a definujme $\ketpsi = \sum_{j=1}^\mathrm{max} \ket{\psi_j}\ket{j}$ a $\ket{\psi'} = \sum_{j=1}^\mathrm{max} \ket{\psi'_j}\ket{j}$. Oba dva právě zavedené čisté stavy jsou purifikacemi stavu $\rho$ na stejném prostoru. Z toho plyne $\rho = \trPar{2} \ketbraSame{\psi} = \trPar{2} \ketbraSame{\psi'}$. Neboť současně obecně $\rho = \sum_i \lambda_i^2 \ketbraSame{e_i}$, dostáváme $\ketpsi = \sum_i \lambda_i \ket{e_i} \ket{f_i}$
a $\ket{\psi'} = \sum_i \lambda_i \ket{e_i} \ket{f'_i}$. Ze Schmidtova rozkladu víme, že existuje unitární transformace $U$, pro níž $\ket{f_i} = U \ket{f'_i}$, $U = \sum_{jl} U_{jl} \ketbra{j}{l}$. Z toho již $\ketpsi = (\ident \tens U) \ket{\psi'}$. Dosadíme-li tento výraz zpět, dospíváme ke vztahům $\sum_j \ket{\psi_j}\ket{j} = (\ident \tens U) \sum_k \ket{\psi'_k} \ket{k} = \sum_k \ket{\psi'_k} \sum_{jl} U_{jl} \ketbra{j}{l} \ket{k} = \sum_{jk} \ket{\psi'_k} U_{jk} \ket{j} = \sum_j (\sum_k U_{jk} \ket{\psi'_k})\ket{j}$. Porovnáním tedy máme $\ket{\psi_j} = \sum_k U_{jk} \ket{\psi'_k}$. Tímto jsme dokázali lemmátečko. Aplikujme nyní toto dokázané tvrzení na pátý bod věty. Stav $\ket{\psi_j} = (K_j \tens \ident)\ketME$ je izomorfně sdružený se zobrazením $\frac{1}{\sqrt{d_1}} K_j$ a podobně stav $\ket{\psi'_k} = (K'_k \tens \ident)\ketME$ je přitom izomorfně sdružený se zobrazením $\frac{1}{\sqrt{d_1}} K'_k$. Zapůsobíme-li izomorfizmem na rovnost $(K_j \tens \ident)\ketME = \sum_{jk} U_{jk} (K'_k \tens \ident) \ketME$, dostáváme ihned $K_j = \sum_k U_{jk} K'_k$. Tím je důkaz věty dokončen.
\end{enumerate}
\end{proof}
 
\begin{definice}
Číslo $r$ z třetího bodu výše uvedené věty nazveme \textbf{Krausova hodnost} (angl. \emph{Kraus rank}) zobrazení $\phi$.
\end{definice}
 
Inu dobrá, již víme, co to je Krausova reprezentace, jak ji ale pro konkrétní zobrazení $\phi$ najít? Lze postupovat například následujícím postupem. Vyjděme z Jamiolkowského stavu $\tau_\phi$, ten si rozložme do vlastní báze a na bazické vektory aplikujme izomorfizmus. Konkrétně $\tau_\phi = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) = \sum_i \ketbraSame{\psi_i} = \frac{1}{\sqrt{d_1}} X_\phi = \frac{1}{\sqrt{d_1}} (\sum_i \ketbraSame{\varphi_i})$. Z předchozích úvah v důkazu tedy $\ket{\psi_i} = (K_i \tens \ident)\ketME \in \hilb_2 \tens \hilb_1$. Tento stav je izomorfně sdružen s jistým operátorem $\Psi_i \in \bound{\hilb_1, \hilb_2}$. Platí tedy $\Psi_i  = \frac{1}{\sqrt{d_1}} K_i$ a tak $K_i = \sqrt{d_1} \Psi_i = \varPhi_i$.
 
\begin{priklad}
\emph{``No-go theorem'' pro NOT operaci.} Existuje taková kvantová operace, aby prováděla transponování $\ketphi \to \ket{\varphi^T} \equiv \ket{\varphi}^T$? Kdyby taková operace, jíž si označíme $\varepsilon$, existovala, tak by muselo platit $\varepsilon(\ketbraSame{\varphi}) = \sum_j K_j (\ketbraSame{\varphi}) \adj{K}_j = \ketbraSame{\varphi^T}$ pro libovolné $\ketphi$. Pak tedy $0 = \braphi(\varepsilon(\ketbraSame{\varphi}))\ketphi = \sum_j \braphi K_j \ketbraSame{\varphi} \adj{K}_j \ketphi = \sum_j |\braphi K_j \ketphi|^2$, z čehož plyne $\braphi K_j \ketphi = 0$ pro všechna $\ketphi$. Položíme-li nyní $\ketphi = \alpha \ket{\varphi_1} + \beta \ket{\varphi_2}$, posledně jmenovaný nulový výraz zní $|\alpha|^2 \bra{\varphi_1} K_j \ket{\varphi_1} + |\beta|^2 \bra{\varphi_2} K_j \ket{\varphi_2} + \alpha^\star \beta \bra{\varphi_1} K_j \ket{\varphi_2} + \alpha \beta^\star \bra{\varphi_2} K_j \ket{\varphi_1}$. První dva sčítance jsou zjevně nulové. Když dosadíme $\alpha = 1 = \beta$ přejde předchozí výraz do tvaru $\bra{\varphi_1} K_j \ket{\varphi_2} + \bra{\varphi_2} K_j \ket{\varphi_1} = 0$. Pokud položíme $\alpha = \ii = \beta$, obdržíme $-\ii \bra{\varphi_1} K_j \ket{\varphi_2} + \ii \bra{\varphi_2} K_j \ket{\varphi_1} = 0$. Z těchto dvou rovností již plyne $\bra{\varphi_2} K_j \ket{\varphi_1} = 0$ a tedy $K_j = 0$ pro všechna $j$. Taková operace $\varepsilon$ tedy neexistuje.
\end{priklad}
 
\begin{priklad}
\emph{Depolarizační kanál podruhé.} Na příkladu depolarizačního kanálu si názorně ukažme některé jeho Krausovy reprezentace. Pro obecný operátor $A$ je depolarizační kanál definovaný vzorcem
\begin{equation}
\phi(A) = p \cdot A + \tr A \cdot \frac{1-p}{d} \cdot \ident.
\end{equation}
Jeho působení v prostoru dimenze dvě, $d=2$, lze ilustrovat na Blochově sféře jako její \uv{scvrknutí}. Aby mělo hledání Krausových operátorů vůbec smysl, je nutné, v souladu s větou \ref{thm:Kraus}, ukázat, že je depolarizační kanál $\phi$ úplně pozitivní zobrazení. To ale vskutku je, neboť $\tau_\phi = (\phi \tens \ident)(\ketbraME) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu}(\phi \tens \ident) \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi(\ketbra{\mu}{\nu}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (p \, \ketbra{\mu}{\nu} + \frac{1-p}{d} \, \ident \tr(\ketbra{\mu}{\nu})) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = p \, \ketbraME + \frac{1-p}{d^2} \, \ident \tens \ident$, což je zjevně pozitivní operátor.
 
V případě dvourozměrného prostoru $d=2$ můžeme Krausovu reprezentaci depolarizačního kanálu volit takto: %$\ket{\psi_0} = \sqrt{p} \ketME$, $\ket{\psi_1} = \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{00}$, $\ket{\psi_2} = \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{01}$, $\ket{\psi_3} = \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{10}$ a $\ket{\psi_4} = \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{11}$.
\begin{equation}
\begin{array}{rcl c rcl}
\ket{\psi_0} & = & \sqrt{p} \ketME, & & & & \\
\ket{\psi_1} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{00}, & & \ket{\psi_2} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{01}, \\
\ket{\psi_3} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{10}, & & \ket{\psi_4} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{11}.
\end{array}
\end{equation}
%\begin{eqnarray}{rcl c rcl}
%\ket{\psi_0} & = & \sqrt{p} \ketME, & & & & \\
%\ket{\psi_1} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{00}, & & \ket{\psi_2} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{01}, \\
%\ket{\psi_3} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{10}, & & \ket{\psi_4} & = & \frac{\sqrt{1-p}}{d} \, \ket{11}.
%\end{eqnarray}
Odpovídající Krausovy operátory pak vypadají následovně:
\begin{equation}
\begin{array}{rcl c rcl}
K_0 & = & \sqrt{p} \, \ident, & & & & \\
K_1 & = & \sqrt{\frac{1-p}{d}} \, 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}
 & & 
K_2 & = & \sqrt{\frac{1-p}{d}} \, 
\begin{pmatrix}
0 & 1 \\ 0 & 0
\end{pmatrix}, \\
K_3 & = & \sqrt{\frac{1-p}{d}} \, 
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 1 & 0
\end{pmatrix}, & &
K_4 & = & \sqrt{\frac{1-p}{d}} \, 
\begin{pmatrix}
0 & 0 \\ 0 & 1
\end{pmatrix}.
\end{array}
\end{equation}
Lze ale brát i jiné rozklady jako třeba $\ket{\Omega_0} = \ketME$, $\ket{\Omega_i} = (\sigma_i \tens \ident)\ketME$, kde $\sigma_i$ jsou Pauliho matice. Z konstrukce jsou všechny $\{ \ket{\Omega_i} \}_{i=0}^3$ maximálně provázané stavy, které jsou navzájem kolmé. Platí pak $\tau_\phi = p \ketbraSame{\Omega_0} + \frac{1-p}{4} \sum_{i=0}^4 \ketbraSame{\Omega_i} = \frac{1+3p}{4} \ketbraSame{\Omega_0} + \frac{1-p}{4} \sum_{i=1}^4 \ketbraSame{\Omega_i}$. Navíc z tvaru $\ket{\Omega_i}$ plyne $K_0 = \frac{\sqrt{1+3p}}{2} \, \ident$, $K_i = \frac{\sqrt{1-p}}{2} \, \sigma_i$.
\end{priklad}
 
\begin{definice}
Jedním ze speciálních příkladů kvantové operace je zobrazení nazvané \textbf{náhodná unitární operace} (angl. \emph{random unitary operation}). V jejím případě mají Krausovy operátory tvar $K_i = \sqrt{p_i} \, U_i$, kde $U_i$ je nějaké unitární zobrazení a $p_i$ je pravděpodobnostní rozdělení. Celkově tedy
\begin{equation}
\phi(A) = \sum_{i=1}^n p_i U_i \, A \, \adj{U}_i,
\end{equation}
kde $p_i \geq 0$ pro všechny $i \in \setn{n}$ a navíc $\sum_i p_i = 1$. Náhodnou unitární operaci lze chápat jako vážený průměr různých unitárních vývojů systému.
\end{definice}
 
Pro uzavřený vývoj systému ve stavu $\rho$ platí, že po určitém čase se tento systém bude nacházet ve stavu $U \, \rho \, \adj{U}$, kde $U$ je odpovídající evoluční operátor. V otevřeném vývoji už toto však neplatí. Na náhodnou unitární operaci tak lze nahlížet jako na zobecnění uzavřeného unitárního vývoje, neboť při volbě $n=1$ dostáváme z této operace opět uzavřený vývoj. Před představením další reprezentace si ještě uveďme následující větu, kterou nebudeme dokazovat.
 
\begin{veta}
Pro $d=2$ platí, že každý kanál $\phi$ lze zapsat jako náhodně unitární operaci.
\end{veta}
 
\subsection{Stinespringova reprezentace}
\label{sec:Stinespringova_reprezentace}
 
Jak již bylo řečeno, kromě Krausovy reprezentace kvantových operací existují i další způsoby jejího vyjádření. Jedním z nich je Stinespringova reprezentace, kterou si před\-sta\-ví\-me v ná\-sle\-du\-jí\-cí větě.
 
\begin{veta}
\emph{Stinespringova reprezentace v Heisenbergově obraze.} Nechť $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je úplně pozitivní zobrazení. Potom pro všechna čísla $r \geq \rank(\tau)$ existuje zobrazení $V$ takové, že $V: \hilb_1 \to \C^r \tens \hilb_2$ a platí
\begin{equation}
\adj{\phi}(A) = \adj{V} (\ident_{\C^r} \tens A) V,
\label{eq:Stinespring_repr}
\end{equation}
kde $V$ je izometrií právě tehdy, když $\phi$ zachovává stopu.
\label{thm:Stinespring}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Vyjděme z Krausovy reprezentace zobrazení $\phi$: $\phi(A) = \sum_{j=1}^r K_j A \adj{K}_j$ a tedy $\adj{\phi}(A) = \sum_{j=1}^r \adj{K}_j A K_j$, $K_j: \hilb_1 \to \hilb_2$. Definujme $V = \sum_{j=1}^r \ket{j} \tens K_j$, kde $\basis{j}{r}$ je ortonormální báze prostoru $\C^r$, tj. $V \ketphi = \sum_{j=1}^r \ket{j} \tens K_j \ketphi$. Potom $\adj{\phi}(A) = \sum_{j=1}^r (\bra{j} \tens \adj{K}_j)(\ident \tens A)(\sum_{l=1}^r \ket{l} \tens K_l) = \adj{V} (\ident \tens A) V$. Navíc $\phi$ zachovává stopu právě tehdy, když $\sum_{j=1}^r \adj{K}_j K_j = \ident$, což je ekvivalentní s podmínkou $\adj{V} V = \ident_{\hilb_1}$.
\end{proof}
 
\begin{pozn}
Když $V$ je izometrie, tak ji lze přidáním vhodné ancilly rozšířit na unitární operátor. Pro pomocný prostor $\C^r$ se v angličtině používá pojem \emph{dilation space}. Věta výše platí i pro zobrazení $\phi$ samotné, pak $V: \hilb_2 \to \C^r \tens \hilb_1$. Hlavní důvod pro používání jeho sdružení $\adj{\phi}$ je snazší dokazování, že dané $\phi$ zachovává stopu. Nakonec si ještě osvětleme, proč je v předchozí větě zmínka o Heisenbergově obrazu. Pro libovolnou pozorovatelnou $A$ máme $\average{A}{\rho(t)} = \tr(A \, \rho(t)) = \tr(A \, \phi_t (\rho(0))) = (\adj{A}, \phi_t (\rho(0))) = (\adj{\phi}_t(\adj{A}), \rho(0)) = \tr(\adj{\phi}_t(A) \rho(0)) = \average{A(t)}{\rho(0)}$, kde jsme v poslední rovnosti definovali $A(t) = \adj{\phi}_t(A)$. Operace $\phi$ je tedy schopna popsat časový vývoj pozorovatelných v Heisenbergově obraze.
\end{pozn}
 
\begin{pozn}
\emph{Částečné uspořádání úplně pozitivních zobrazení.} Na množině úplně pozitivních zobrazení lze zavést částečné uspořádání následujícím způsobem. Mějme dvě taková zobrazení $\phi_i$ a jim odpovídající $\tau_i = (\phi_i \tens \ident)(\ketbraME)$, pak definujeme
\begin{equation}
\phi_1 \geq \phi_2 \quad \Leftrightarrow \quad \tau_2 \geq \tau_1.
\end{equation}
Operátory $\tau_i$ odpovídající úplně pozitivním $\phi_i$ jsou samy pozitivní a je na nich tak přirozeně zavedeno uspořádání. Výraz výše má tedy smysl. V souvislosti s částečným uspořádáním úplně pozitivních zobrazení si dokažme následující větu.
\end{pozn}
 
\begin{veta}
Nechť $\phi_i: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ jsou dvě úplně pozitivní zobrazení taková, že $\phi_2 \geq \phi_1$. Nechť dále $V_i: \hilb_2 \to \C^{r_i} \tens \hilb_1$ jsou jejich Stinespringovy reprezentace (ve Schrödingerově obraze). Potom existuje kontrakce $C: \C^{r_2} \to \C^{r_1}$ taková, že $V_1 = (C \tens \ident_{\hilb_1}) V_2$. Pod kontrakcí přitom chápeme zobrazení $C$ splňující $\adj{C} C \leq \ident$, tj. $\|C\| \leq 1$.
\end{veta}
 
\begin{proof}
Definujme si zobrazení $W_i = (\ident_{\C_{r_i}} \tens \braME)(V_i \tens \ident_{\hilb_1})$, $W_i \in \bound{\hilb_2 \tens \hilb_1, \C^{r_i}}$. Pro ně platí 
\begin{eqnarray*}%{rCl}
\adj{W}_i W_i & = & (\adj{V}_i \tens \ident_{\hilb_1})(\ident_{\C_{r_i}} \tens \ketME)(\ident_{\C_{r_i}} \tens \braME)(V_i \tens \ident_{\hilb_1}) \ = \ (\adj{V}_i \tens \ident)(\ident \tens \ketbraME)(V_i \tens \ident) \\
%& = & (\adj{V}_i \tens \ident)(\ident \tens \ketbraME)(V_i \tens \ident) \\
& = & \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\adj{V}_i \tens \ident)(\ident \tens \ketbra{\mu}{\nu} \tens \ketbra{\mu}{\nu})(V_i \tens \ident) \ = \ \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\adj{V}_i (\ident \tens \ketbra{\mu}{\nu}) V_i) \tens \ketbra{\mu}{\nu} \\
%& = & \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\adj{V}_i (\ident \tens \ketbra{\mu}{\nu}) V_i) \tens \ketbra{\mu}{\nu} \\
& = & \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi_i (\ketbra{\mu}{\nu}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} \ = \ \frac{1}{d} (\phi_i \tens \ident) \Big( \sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu} \Big) \ = \ \frac{1}{d}(\phi_i \tens \ident)(\ketbraME) \\
%& = & \frac{1}{d} (\phi_i \tens \ident) \left( \sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu} \right) \\
%& = & \frac{1}{d}(\phi_i \tens \ident)(\ketbraME) 
& = & \tau_i,
\end{eqnarray*}
%$\adj{W}_i W_i = (\adj{V}_i \tens \ident_{\hilb_1})(\ident_{\C_{r_i}} \tens \braME)(\ident_{\C_{r_i}} \tens \ketME)(V_i \tens \ident_{\hilb_1}) = (\adj{V}_i \tens \ident)(\ident \tens \ketbraME)(V_i \tens \ident) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\adj{V}_i \tens \ident)(\ident \tens \ketbra{\mu}{\nu} \tens \ketbra{\mu}{\nu})(V_i \tens \ident) = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} (\adj{V}_i (\ident \tens \ketbra{\mu}{\nu}) V_i) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} \sum_{\mu \nu} \phi_i (\ketbra{\mu}{\nu}) \tens \ketbra{\mu}{\nu} = \frac{1}{d} (\phi_i \tens \ident) (\sum_{\mu \nu} \ketbra{\mu \mu}{\nu \nu}) = \frac{1}{d}(\phi_i \tens \ident)(\ketbraME) = \tau_i$, 
kde $d = \dim \hilb_1$. Tento výsledek implikuje, že normy zobrazení $W_1$ splňují jednoduchou nerovnost $\| W_1 \ketphi \|^2 = \braphi \adj{W}_1 W_1 \ketphi = \braphi \tau_1 \ketphi \leq \braphi \tau_2 \ketphi = \| W_2 \ketphi \|^2$. Následkem tohoto platí $\Ker W_2 \subset \Ker W_1$ a tedy $\Ran W_1 \subset \Ran W_2$. Z toho plyne, že existuje lineární zobrazení $C: \C^{r_2} \to \C^{r_1}$, pro nějž $W_1 = C \, W_2$. Z již dokázané nerovnosti norem máme $\adj{W}_1 W_1 \leq \adj{W}_2 W_2$, neboli $\adj{W}_2 \, \adj{C} C W_2 \leq \adj{W}_2 W_2$. Úpravou získáváme $\adj{W}_2 (\ident - \adj{C} C) W_2 \geq 0$ a $C$ je tak kontrakce, $\ident - \adj{C} C \geq 0$. Ukažme ještě, že vztah zobrazení $V_i$ a $W_i$ je jednoznačný. Platí
\begin{eqnarray}
d (W_i \tens \ident)(\ident \tens \ketME) & = & d ((\ident \tens \braME)(V_i \tens \ident) \tens \ident)(\ident \tens \ketME) \\
& = & \sum_{\mu \nu} ((\ident \tens \bra{\mu} \tens \bra{\mu})(V_i \tens \ident) \tens \ident)(\ident \tens \ket{\nu} \tens \ket{\nu}) \\
& = & \sum_{\mu \nu} ((\ident \tens \bra{\mu}) V_i) \tens \ket{\nu} \braket{\mu}{\nu} \\
& = & \sum_{\mu} ((\ident \tens \bra{\mu}) V_i) \tens \ket{\mu}.
\end{eqnarray}
%$d (W_i \tens \ident)(\ident \tens \ketME) = d (((\ident \tens \braME)(V_i \tens \ident)) \tens \ident)(\ident \tens \ketME) = \sum_{\mu \nu} (((\ident \tens \ket{\mu \mu})(V_i \tens \ident)) \tens \ident)(\ident \tens \ket{\nu}) \tens \ket{\nu} = \sum_{\mu \nu} ((\ident \tens \ket{\mu}) V_i) \tens \ket{\nu} \braket{\mu}{\nu} = \sum_{\mu} ((\ident \tens \bra{\mu}) V_i) \tens \ket{\mu}$.
Připomeňme si nyní vztah $V_i = \sum_{j \nu n} V^{(i)}_{j \nu, n} \ketbra{j \nu}{n}$. Dosadíme-li tento do posledního výrazu našeho výpočtu, obdržíme rovnosti $\sum_{\mu} (\ident \tens \bra{\mu}) V_i \tens \ket{\mu} = \sum_{\mu} \sum_{j \nu n} V^{(i)}_{j \nu, n} \ket{j} \braket{\mu}{\nu} \bra{n} \tens \ket{\mu} = \sum_{\mu j n} V^{(i)}_{j \mu, n} \ketbra{j}{n} \tens \ket{\mu} = \sum_{\mu j n} V^{(i)}_{j \mu, n} \ketbra{j \mu}{n} = V_i$. Celkově tedy $V_1 = d(W_1 \tens \ident_{\hilb_1})(\ident_{\hilb_2} \tens \ketME) = d(C W_2 \tens \ident_{\hilb_1})(\ident_{\hilb_2} \tens \ketME) = (C \tens \ident_{\hilb_1}) V_2$.
\end{proof}
 
Stinespringovu reprezentaci lze rozšířit i na případ kvantových instrumentů. Společně se Stinespringovou reprezentací lze kvantovou operaci zapisovat v podobném tvaru k \eqref{eq:Stinespring_repr}, kde však navíc využijeme částečné stopy. Blíže se těmto otázkám věnují následující dvě tvrzení.
 
\begin{veta}
\emph{Radonova-Nikodymova reprezentace kvantových instrumentů.} Nechť $\{ \phi_i \}_i$ je mno\-ži\-na úplně pozitivních zobrazení $\phi_i: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ takových, že $\sum_i \phi_i = \phi$. Nechť Stinespringova reprezentace zobrazení $\phi$ je $V: \hilb_2 \to \C^r \tens \hilb_1$, tj. $\phi(A) = \adj{V} (\ident_{\C^r} \tens A) V$. Potom existuje množina pozitivních operátorů $Q_i \in \bound{\C^r}$ takových, že $\sum_i Q_i = \ident_{\C^r}$ a současně $\phi_i(A) = \adj{V} (Q_i \tens A) V$.
\label{thm:Radon-Nikodym}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Určitě platí $\phi_i \leq \phi$. Z předchozí věty tedy existují kontrakce $C_i$ a zobrazení $V_i$ splňující $V_i = (C_i \tens \ident_{\hilb_1}) V$ a $\phi_i(A) = \adj{V}_i (\ident_{\C^{r_i}} \tens A) V_i$. Celkem tedy $\phi_i(A) = \adj{V} (\adj{C}_i \tens \ident_{\hilb_1})(\ident_{\C^{r_i}} \tens A)(C_i \tens \ident_{\hilb_1}) V = \adj{V} (\adj{C}_i C_i \tens A) V$. Zobrazení $Q_i \coloneqq \adj{C}_i C_i$ jsou zjevně pozitivní a díky vlastnosti $\sum_i \phi_i = \phi$ splňují rovnost $\sum_i Q_i = \ident$.
\end{proof}
 
\begin{veta}
Nechť $\phi: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ je úplně pozitivní zobrazení zachovávající stopu. Potom existuje unitární zobrazení $U: \hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2 \to \hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2$ a normalizovaný čistý stav $\ketphi \in \hilb_2 \tens \hilb_2$ tak, že
\begin{equation}
\phi(\rho) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2} \left( U (\rho \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U} \right).
\label{eq:open_syst_repr}
\end{equation}
\end{veta}
 
Způsobu, jakým lze zobrazení $\phi$ zapsat v právě uvedené větě, se anglicky říká \emph{open-system representation}. Ukažme si nyní její důkaz.
 
\begin{proof}
Věta \ref{thm:Stinespring} nám zaručuje existenci izometrie $V: \hilb_1 \to \C^r \tens \hilb_2$ takové, že $\adj{\phi}(A) = \adj{V} (\ident_{\C^r} \tens A) V$ a $r \geq \rank(\tau)$. Zvolme si $\C^r \coloneqq \hilb_1 \tens \hilb_2$ a ptejme se, jak vypadá v této reprezentaci zobrazení $\phi(\rho)$. Pro každou pozorovatelnou $A$ dostáváme rovnosti $\tre{\hilb_2}(A \phi(\rho)) = \tre{\hilb_1}(\adj{\phi}(A) \, \rho) = \tre{\hilb_1}(\adj{V} (\ident_{\hilb_1 \tens \hilb_2} \tens A) V \, \rho) = \tre{\hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2}((\ident_{\hilb_1 \tens \hilb_2} \tens A) V \, \rho \, \adj{V})$. Pokud u stop vyznačujeme prostor, přes který se stopuje, v závorkách, znamená to, že se nejedná o částečnou stopu, ale pouze explicitně uvádíme, na jakém prostoru je stopa prováděna. Poslední výraz je přitom roven $\tre{\hilb_2}(A \, \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2}(V \rho \adj{V}))$. Předchozí úpravy jsme prováděli pro libovolnou pozorovatelnou $A = \adj{A}$, není těžké nahlédnout, že však musí platit i pro nehermitovské operátory. Dostáváme tak celkem $\phi(\rho) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2}(V \rho \adj{V})$. Zmíněné zobrazení $V = \sum_{\mu m n \nu} V_{\mu m n, \nu} \ketbra{\mu m n}{\nu}$ je obecně izomorfie, dodefinujme ho na unitární operátor $U$. To lze vždy. Položme $\ketphi = \ket{11}$. Operátor $U$ definujme tak, aby platil vztah %$U(\ket{\nu} \ket{m n}) = (V \tens \ident)(\ket{\nu} \ket{m n}) = (V \ket{\nu}) \tens \ket{m n}$. Tato rovnost odpovídá podmínce $\bra{\mu m n} U \ket{\nu 1 1} = V_{\mu m n, \nu}$
\begin{equation}
\bra{\mu m n} U \ket{\nu} \ketphi \equiv \bra{\mu m n} U \ket{\nu 1 1} = V_{\mu m n, \nu}.
\label{eq:definice_U}
\end{equation}
Maticově to neznamená nic jiného, než že matici $U$ vytvoříme z matice $V$ tím, že připojíme zprava vhodný blok $W$ tak, aby $U$ bylo unitární. Matice $V$ tak tvoří  první blok v matici $U$, který odpovídá bazickým vektorům $\{ \ket{1}\ket{11}, \ldots, \ket{\dim \hilb_1}\ket{11}\}$. Blok $W$ tedy odpovídá zbývajícím bazickým vektorům $\ket{1}\ket{12}, \ldots, \ket{\dim \hilb_1}\ket{12}, \ket{1}\ket{13}, \ldots, \ket{\dim \hilb_1}\ket{13}$ a tak dále, až $\ket{1}\ket{\dim \hilb_2 \, \dim \hilb_2}, \ldots, \ket{\dim \hilb_1}\ket{\dim \hilb_2 \, \dim \hilb_2}$. Neboli
\begin{equation}
U =
\begin{pmatrix}
\begin{tabular}{|c|}
\hline
 \\
 $V$ \\
 \\
\hline
\end{tabular}
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
 & & \\
 & $W$ & \\
 & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{pmatrix}.
\label{eq:tableInMatrix}
\end{equation}
Ze vzorce \eqref{eq:definice_U} plyne $V = U (\ident_{\hilb_1} \tens \ketphi)$. Tudíž $\phi(\rho) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2}(U (\ident \tens \ketphi) \rho (\ident \tens \braphi) \adj{U}) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2}(U (\rho \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U})$.
\end{proof}
 
\begin{pozn}
V předchozí větě stopujeme přes množinu $\hilb_1 \tens \hilb_2$ obsahující původní prostor $\hilb_1$, na němž jsou definovány operátory tvořící vstupy do zobrazení $\phi$. Co, když $\hilb_1 = \hilb_2 = \hilb$, tj. $\phi: \bound{\hilb} \to \bound{\hilb}$? Lze vzorec v tvrzení výše uvedené věty zjednodušit? Mějme unitární zobrazení $U_1: \hilb^{\tens 3} \to \hilb^{\tens 3}$, které provádí transpozici $\ket{m n o} \to \ket{n o m}$ v lokální bázi $\basisPlain{\ket{m}}{m}$ prostoru $\hilb$. Pak dostáváme
\begin{equation}
\phi(\rho) = \trPar{\hilb \tens \hilb} \left( U U_1 (\rho \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U_1} \adj{U} \right).
\label{eq:open_syst_repr_simple}
\end{equation}
Hlavním rozdílem oproti předchozí větě je to, že nyní již stopujeme pouze přes prostředí, které jsme si na počátku uměle přidali. Tento zápis je tedy názornější: vezmi vstupní stav $\rho$, k němu něco přidej (stav $\ketbraSame{\varphi}$), tento celek nech unitárně vyvíjet (podle operátoru $U U_1$) a na konci vývoje se podívej na svůj původní prostor $\hilb$ tím, že vystopuješ přes prostředí, které jsi si na počátku zavedl přidání stavu $\ketbraSame{\varphi}$.
 
V otevřené dynamice je největším problémem provázanost zkoumaného systému s prostředím. Vývoj zkoumaného systému lze tak studovat způsobem, že si k němu dočasně připojíme prostředí, celek necháme unitárně vyvíjet (zkoumaný systém spolu s prostředím již tvoří uzavřený systém) a na konci vývoje se podíváme jen na tu část výsledného stavu, která odpovídá zkoumanému systému. Tento postup přesně odpovídá postupu popsanému v předchozím odstavci, kde jsme slovně osvětlovali význam vzorce \eqref{eq:open_syst_repr_simple}. Proto se tomuto vzorci a jeho obecnější variantě \eqref{eq:open_syst_repr} říká právě open-system representation.
\end{pozn}
 
 
\begin{veta}
\emph{Implementace kvantových instrumentů pomocí POVM.} Nechť $\phi_i: \bound{\hilb_1} \to \bound{\hilb_2}$ jsou úplně pozitivní zobrazení, pro něž $\sum_i \phi_i = \phi$, kde $\phi$ přitom zachovává stopu. Pak existuje POVM $\{Q_i: \hilb_1 \tens \hilb_2 \to \hilb_1 \tens \hilb_2 \}_i$ tak, že platí
\begin{equation}
\phi_i(\rho) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2} \left( (Q_i \tens \ident_{\hilb_2}) U (\rho \tens \ketbraSame{\varphi}) \adj{U} \right).
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
S využitím věty \eqref{thm:Radon-Nikodym} víme, že najdeme $Q_i$ a $V$ tak, aby $\adj{\phi}_i(A) = \adj{V} (Q_i \tens A) V$, $V: \hilb_1 \to \hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2$, kde přitom $\adj{V} V = \ident_{\hilb_1}$. Pak $\tre{\hilb_2}(A \, \phi_i(\rho)) = \tre{\hilb_1}(\adj{\phi}_i(A) \, \rho) = \tre{\hilb_1}(\adj{V} (Q_i \tens A) V \, \rho) = \tre{\hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2}((Q_i \tens A) V \rho \adj{V}) = \tre{\hilb_1 \tens \hilb_2 \tens \hilb_2}((\ident \tens A)(Q_i \tens \ident) V \rho \adj{V})$, kde opět v závorkách vyznačujeme prostor, přes který se stopuje. Pokud u stopy žádná závorka není, jedná o částečnou stopu. Poslední výraz je roven %$\tre{\hilb_2} \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2} ((\ident \tens A)(Q_i \tens \ident) V \, \rho \, \adj{V}) = 
$\tre{\hilb_2} (A \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2} ((Q_i \tens \ident) V \, \rho \, \adj{V}))$. Porovnáním prvního a posledního členu v rovnostech výše pro zobrazení $\phi_i(\rho)$ dostáváme $\phi_i(\rho) = \trPar{\hilb_1 \tens \hilb_2} ((Q_i \tens \ident_{\hilb_2}) V \, \rho \, \adj{V})$. Analogicky postupu v předchozí větě bychom doplnili izometrii $V$ na unitární operátor $U$ a nalezli čistý stav $\ketphi$ tak, abychom obdrželi vzorec v tvrzení této věty.
\end{proof}
 
\subsection{Neumarkova reprezentace}
\label{sec:Neumarkova_reprezentace}
 
Jako poslední reprezentaci si uveďme tu Neumarkovu. Zde se budeme zabývat POVM měřeními, tedy měřeními, kde nás nezajímají výsledné stavy systému, ale pouze pravděpodobnosti, se kterými danou hodnotu pozorovatelné naměříme. Blíže viz následující věta.
 
\begin{veta}
Každé POVM měření lze realizovat jako von Neumannovo měření na větším Hilbertově prostoru. Konkrétně mějme sadu POVM operátorů $\basisPlain{F_i}{i=1}^{m}$, $F_i \geq 0$, $\sum_i F_i = \ident$, působících na prostoru $\hilb$. Pak měření popsané touto sadou lze realizovat i pomocí sady $\basisPlain{\Pi_i}{i=1}^{m}$, kde $\Pi_i: \hilb \tens \C^{M - d} \to \hilb \tens \C^{M - d}$ jsou ortogonální projektory, přičemž $d = \dim \hilb$ a $M = \sum_{i=1}^m \rank F_i$. Pravděpodobnosti naměření jednotlivých hodnot jsou pak rovny
\begin{equation}
p_i \equiv \tre{\hilb}(F_i \, \rho) = \tre{\hilb \tens C^{M-d}}(\Pi_i (\rho \oplus 0)).
\end{equation}
\end{veta}
 
\begin{proof}
Uvažujme nejprve případ, kdy $\rank F_i = 1$, $\forall i \in \setn{m}$. Operátory $F_i$ jsou tedy projektory $F_i = \ketbraSame{\psi_i}$, které nemusejí být ortogonální. Platí tedy, že lineární obal vektorů $\ket{\psi_i}$ tvoří celý prostor $\hilb$, jehož dimenze je $d$, tj. $\Span_i \{ \ket{\psi_i}\} = \hilb$, $\dim \hilb = d$. Nechť $\basis{j}{d}$ je jeho ortonormální báze. Tu doplňme na ortonormální bázi prostoru $\hilb \oplus \C^{m-d}$, $\basis{j}{m}$. (V právě uvažovaném případě je $M = m$.) Dále definujme zobrazení $Z = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^d \braket{j}{\psi_i} \ketbra{i}{j}$, jehož sdružení zní $\adj{Z} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^d \cc{\braket{j}{\psi_i}} \ketbra{j}{i}$. Pak
\begin{eqnarray}
\adj{Z} Z & = & \sum_{i,l=1}^m \sum_{j,k=1}^d \cc{\braket{j}{\psi_i}} \braket{k}{\psi_l} \ketbra{j}{i} \ketbra{l}{k} \ = \ \sum_{i=1}^m \sum_{j,k=1}^d \braket{\psi_i}{j} \braket{k}{\psi_i} \ketbra{j}{k} \\
& = & \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \left( \sum_{i=1}^m \ket{\psi_i} \bra{\psi_i} \right) \ket{j} \ketbra{j}{k} \ = \ \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \left( \sum_{i=1}^m F_i \right) \ket{j} \ketbra{j}{k} \\
& = & \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \ket{j} \ketbra{j}{k} \ = \ \sum_{j=1}^d \ketbra{j}{j} \ = \ \ident.
\end{eqnarray}
%$\adj{Z} Z = \sum_{i,l=1}^m \sum_{j,k=1}^d \cc{\braket{j}{\psi_i}} \braket{k}{\psi_l} \ketbra{j}{i} \ketbra{l}{k} = \sum_{i=1}^m \sum_{j,k=1}^d \braket{\psi_i}{j} \braket{k}{\psi_i} \ketbra{j}{k} = \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \left( \sum_{i=1}^m \ket{\psi_i} \bra{\psi_i} \right) \ket{j} \ketbra{j}{k} = \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \left( \sum_{i=1}^m F_i \right) \ket{j} \ketbra{j}{k} = \sum_{j,k=1}^d \bra{k} \ket{j} \ketbra{j}{k} = \sum_{j=1}^d \ketbra{j}{j} = \ident$. 
Platí tedy, že $Z$ je izometrie. Porovnáním obecného tvaru zobrazení $Z = \sum_{ij} Z_{ij} \ketbra{i}{j}$ s tím, jak jsme si ho definovali, vidíme, že $V_{ij} = \braket{j}{\psi_i}$. Podobně jako v předchozích větách můžeme k matici $(V_{ij})$, která je rozměrů $m \times d$, připojit vhodný blok tak, aby vzniklá matice $(U_{ij})$ byla unitární, rozměrů $m \times m$, viz \eqref{eq:tableInMatrix}. Existují tak vektory $\ket{\psi_i^\perp} \in \C^{m-d}$ takové, že pro vektory $\ket{\varphi_i} = \ket{\psi_i} + \ket{\psi_i^\perp} \in \hilb \oplus \C^{m-d}$ platí $U_{ij} = \braket{j}{\varphi_i}$, $i,j \in \setn{m}$. Speciálně pak $V_{ij} = \braket{j}{\varphi_i}$, $i \in \setn{m}$, $j \in \setn{d}$. Definujme si nyní $\Pi_i = \ketbraSame{\varphi_i}$. Pro tyto operátory platí $\tre{\hilb \oplus \C^{m-d}}(\Pi_i (\rho \oplus 0)) = \tre{\hilb \oplus \C^{m-d}}(\ketbraSame{\varphi_i}(\rho \oplus 0)) = \bra{\varphi_i} \rho \oplus 0 \ket{\varphi_i} = \bra{\psi_i} \rho \ket{\psi_i} + \bra{\psi_i^\perp} 0 \ket{\psi_i^\perp} = \bra{\psi_i} \rho \ket{\psi_i} = \tre{\hilb}(F_i \, \rho)$.
 
Uvažujme nyní obecný případ. Tehdy lze operátory $F_i$ rozložit do vlastní báze zjevným způsobem $F_i = \sum_j \ketbraSame{\psi_j^{(i)}}$, kde lineární obal vektorů $\ket{\psi_j^{(i)}}$ je opět prostor $\hilb$ dimenze $d$, tj. $\Span_{ij} \{\ket{\psi_j^{(i)}}\} = \hilb$, $\dim \hilb = d$. Můžeme tak postupovat analogicky k případu výše, kdy budeme mít ortonormální bází $\basisPlain{\ket{\varphi_j^{(i)}}}{ij}$ prostoru $\hilb \oplus \C^{M-d}$, kde $\ket{\varphi_j^{(i)}} = \ket{\psi_j^{(i)}} + \ket{\psi_j^{(i) \perp}}$. Z těchto vektorů pak definujeme operátory $\Pi_i = \sum_j \ketbraSame{\varphi_j^{(i)}}$ splňující vztahy $\tre{\hilb \oplus \C^{M-d}}(\Pi_i (\rho \oplus 0)) = \tre{\hilb \oplus \C^{M-d}}(\sum_j \ketbraSame{\varphi_j^{(i)}}(\rho \oplus 0)) = \sum_j \bra{\varphi_j^{(i)}} \rho \oplus 0 \ket{\varphi_j^{(i)}} = \sum_j \bra{\psi_j^{(i)}} \rho \ket{\psi_j^{(i)}} + \sum_j \bra{\psi_j^{(i) \perp}} 0 \ket{\psi_j^{(i) \perp}} = \tre{\hilb}(F_i \, \rho)$. Dokázali jsme tak větu.
\end{proof}