02OKS:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 02OKS

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 02OKSKyseljar 5. 9. 201511:16
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:52
Header editovatHlavičkový souborKyseljar 5. 9. 201511:04 header.tex
Kapitola1 editovatÚvodní stránkaKyseljar 5. 9. 201511:06 titlepage.tex
Kapitola2 editovatPřehled značeníKyseljar 5. 9. 201511:07 Prehled_znaceni.tex
Kapitola3 editovatÚvodMaresj23 12. 8. 201716:05 Uvod.tex
Kapitola4 editovatOperátor hustotyMaresj23 15. 9. 201712:42 Operator_hustoty.tex
Kapitola5 editovatMatematický aparátMaresj23 1. 10. 201707:30 Matematicky_aparat.tex
Kapitola6 editovatvonNeumannova entropieKyseljar 5. 9. 201511:08 vonNeumannova_entropie.tex
Kapitola7 editovatKvantové měřeníKyseljar 5. 9. 201511:09 Kvantove_mereni.tex
Kapitola8 editovatKvantové operaceKyseljar 5. 9. 201511:09 Kvantove_operace.tex
Kapitola9 editovatZměny kvantového systémuKyseljar 5. 9. 201511:09 Zmeny_kvantoveho_systemu.tex
Kapitola10 editovatDovětekKyseljar 5. 9. 201511:09 Dovetek.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{02OKS}
 
\section{Úvod}
\label{sec:Uvod}
 
V běžných kurzech kvantové fyziky jsme se dosud setkali se systémy jako jsou volné částice, jejich shluky či částice podléhající vlivu okolního silového pole. Celý systém částice spolu s působícím polem šlo přitom považovat za izolovaný, nevyměňující si hmotu či energii s~nějakým jiným systémem. Ve skutečnosti samozřejmě žádný takový, dokonale izolovaný, systém neexistuje. Pojem izolovaného systému slouží spíše jako idealizace skutečnosti, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více či méně přiblížit. U dostatečně izolovaných systémů bude tato aproximace použitelná. Pro vývoj takovýchto systémů se v úvodních kurzech odvozovali různé rovnice -- Schrödingerova rovnice, Klein-Gordonova rovnice, Diracova rovnice atd. Například v případě Schrödingerovy rovnice jsme mohli vývoj systému popsat pomocí evolučního operátoru, unitárního operátoru působícího na stav sys\-té\-mu. Skutečnost, že daný operátor je unitární, zapříčiňuje časovou reverzibilitu vývoje daného systému. Během evoluce se tedy informace o stavu systému neztrácí a mezi každými dvěma časovými okamžiky existuje invertibilní operátor převádějící stav systému v jednom okamžiku na stav v okamžiku druhém.
 
Co ale když vývoj zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlivu okolí? Pod \emph{okolím} daného systému rozumíme nějaký jiný systém, jehož vývoj nejsme schopni plně zachytit a jeví se nám jako narušitel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně interaguje. V reálném světě může jít například o zbytkové magnetické pole, které nevhodně působí na zkoumaný spin a jehož vliv přitom není experimentátor s to potlačit ani nijak kontrolovaně ovládat. Podobným narušitelem mohou být i částice, které se uvolňují z měřící aparatury a interagují se zkoumanou částicí. Příkladů by šlo samozřejmě najít mnoho a to nejen těch z laboratorního prostředí. Vývoj takovéhoto systému vystaveného vlivům prostředí již nelze popsat jednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývoj již není obecně reverzibilní, část informace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částic se spinem mířícím ve stejném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spiny vlivem okolních polí a okolních interagujících částic namířeny zcela nahodile. Informace uložená na počátku, spiny namířené stejným směrem, byla vlivem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato informace o počátečním rozložení spinů je sice stále přítomna, je ale ukryta ve stavu okolí, s~nímž nelze dobře manipulovat a jenž nelze dobře měřit.
 
Právě popsaným systémům, které jsou vystaveny všetečným a neodstranitelným vlivům okolí, budeme říkat \emph{otevřené (kvantové) systémy}. Jejich časový vývoj budeme označovat jako \emph{vývoj otevřeného systému}, \emph{otevřený vývoj}, \emph{otevřená evoluce} či \emph{otevřená dynamika}. Pokud budeme uvažovat složený systém skládající se ze studovaného systému a jeho okolí, nazveme tento \emph{složený systém}, \emph{celý systém} či prostě jen \emph{systém}. \emph{Studovaný systém} budeme nazývat též \emph{zkoumaný systém} a konečně \emph{okolí} budeme označovat též jako \emph{prostředí}. Vedle okolí se při studiu kvantových systémů uvažují i pomocné systémy, které nelze označit za okolí a které jsou do úlohy zavedeny více méně uměle, aby zjednodušili manipulaci se zkoumaným systémem. Pro systém takto přidaný budeme užívat buď název \emph{pomocný systém} či anglický název \emph{ancilla}.
 
Na rozdíl od tradičních kurzů o kvantové fyzice provedeme ještě jednu změnu. Zatímco dosud se pracovalo s kvantovými systémy o nekonečněrozměrných stavových prostorech, jakým byl například prostor vlnových funkcí volné částice, zde se omezíme na Hilbertovy prostory stavů, které mají dimenzi \emph{konečnou}. Operátory řídící vývoj otevřených systémů tak lze reprezentovat pomocí matic, což budeme i v mnoha důkazech využívat. Nejtypičtějším příkladem kvantového systému s konečněrozměrným stavovým prostorem je právě částice se spinem, kde studujeme pouze spinové stupně volnosti. Dalším příkladem může být polarizace fotonů, jejíž stavový prostor je dvourozměrný. Konečněrozměrné Hilbertovy prostory můžeme obdržet i v případě, kdy uvažujeme elektrony vázané v orbitalech atomů. Pokud předpokládáme, že excitace elektronu na příliš vysoké energetické hladiny jsou prakticky nemožné, je stavový prostor takovýchto elektronů, alespoň co se jejich energie týče, též konečněrozměrný.
 
\subsection{Vývoj v uzavřeném kvantovém systému}
\label{sec:Vyvoj_v_uzavrenem_kvantovem_systemu}
 
Jak již bylo předesláno v úvodu, vývoj otevřených systémů se od vývoje těch uzavřených liší. Připomeňme si v krátkosti některé z výsledků kvantové teorie pro uzavřené systémy. Tyto výsledky pak budeme moci konfrontovat s výsledky získanými pro otevřené systémy. Vývoj v uzavřeném systému je generován odpovídajícím Hamiltoniánem $\ham$ prostřednictvím Schrödingerovy rovnice
\begin{equation}
\ii \der{\ket{\psi(t)}} = H \ket{\psi(t)} \quad (\hbar = 1).
\end{equation}
Předpokládáme-li nezávislost Hamiltoniánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru $U(t_2,t_1) = U(t_2 - t_1)$. Časový vývoj systému, jehož stav v čase $t$ označíme $\ket{\psi(t)}$, pak můžeme vyjádřit pomocí evolučního operátoru v kompaktním tvaru $\ket{\psi(t_2)} = U(t_2,t_1) \ket{\psi(t_1)}$. Norma stavového vektoru přitom zůstává zachována, $\der{} \braketSame{\psi(t)} = 0$, jak se lze snadno přesvědčit z rovnice výše. Žádná informace o stavu systému tedy neproudí pryč. Z čistého stavu dostaneme opět čistý stav (pro podrobnosti viz později). Navíc evoluční operátory $U(t)$ tvořící jednoparametrickou grupu transformací popisují časově reverzibilní vývoj. Jak uvidíme, u otevřených systémů žádná z těchto věcí už nebude pravda.
 
Protože $H \adj{H} = \adj{H} H$, je Hamiltonián diagonalizovatelný v ortonormální bázi svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoje obecně diagonalizovat nepůjde.
 
V následující kapitole probereme ze všeho nejdřív způsob, jakým popisovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlišností je totiž fakt, že při popisu otevřeného systému se již nelze spolehnout na vektory z Hilbertova prostoru coby nositele informací o daném stavu.