01RMF:Kapitola6

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01RMF

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01RMFMazacja2 16. 12. 201618:29
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůMazacja2 28. 12. 201613:12
Header editovatHlavičkový souborMazacja2 18. 12. 201621:10 header.tex
Kapitola0 editovatPředmluvaMazacja2 9. 11. 201620:51 predmluva.tex
Kapitola1 editovatMotivaceJohndavi 8. 4. 201916:34 motivace.tex
Kapitola2 editovatZobecněné funkceLomicond 7. 12. 201916:51 zobecnene_funkce.tex
Kapitola3 editovatIntegrální transformaceLomicond 25. 12. 201915:58 integralni_transformace.tex
Kapitola4 editovatŘešení dif. rovnicJohndavi 9. 4. 201915:15 reseni.tex
Kapitola5 editovatIntegrální rovniceJohndavi 8. 4. 201916:25 Kapitola5.tex
Kapitola6 editovatSturm-Liouvilleova teorieJohndavi 8. 4. 201915:35 Kapitola6.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01RMF}
\chapter{Eliptické diferenciální rovnice a operátory, Sturm-Liouvilleova teorie}
 
Tento typ úlohy nás bude zvlášť zajímat protože se s ním často setkáváme (nejen) v kvantové mechanice, např. při řešení Schrödingerovy rovnice. Navíc lze ukázat, že libovolnou obyčejnou lineární diferenciální rovnici druhého řádu lze převést do tvaru následující Sturm-Liouvilleovy úlohy.
 
\begin{define}
Buď $G\subset \R^n$ omezená, otevřená množina. Nechť je dále $\partial G$ po částech z $\C^{1}$. Buďte dále $p\in \C^1(\bar{G})$, $q\in \C(\bar{G})$ takové funkce, 
že  $p(x) >0$ a $q(x) \geq 0$ pro všechna $x\in G$. Pak 
$$ Lf(x) = -\div(p(x)\grad f(x)) + q(x) f(x) = g(x)$$
nazýváme {\bf Sturm-Liovilleovou úlohou} s okrajovými podmínkami (Robinovými):
Existují funkce $\alpha(x),\beta(x)$ takové, že $\alpha \geq 0$, $\beta \geq 0$ a $\alpha+\beta >0$ takové, že 
$$ \alpha(x)f(x) + \beta(x)\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G,$$
kde $\vec{n}$ značí jednotkový vektor směřující ve směru vnější normály. 
\end{define}
 
\begin{remark}
Robinovy okrajové podmínky jsou jen kombinací dvou klasických podmínek, které je z nich možné snadno obdržet. Volíme-li
\begin{enumerate}
\item[$\alpha = 0$], pak má podmínka tvar $\pd{f}{\vec{n}} = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it homogenní Neumannovou okrajovou podmínkou}.
\item[$\beta =0$], pak má podmínka tvar $f(x) = 0\ \mbox{ na } \ \partial G$ a tuto podmínku běžně nazýváme {\it Dirichletovou okrajovou podmínkou}.
\end{enumerate}
\end{remark}
 
\begin{remark}
Podmínky na funkce $p,q$ zajišťují eliptičnost operátoru, resp. rovnice. Provedeme-li totiž aplikaci divergence, obdržíme složky Laplaceova operátoru pronásobené funkcí $p(x)$, která je kladná. 
\end{remark}
 
V následující kapitole budeme zkoumat obecné vlastnosti operátoru $L$. Ty se budou odvíjet i od jeho definičního oboru, podobně jako tomu je u funkcí. 
Pro naše účely budeme brát za definiční obor operátoru $L$ množinu
$$\mathrm{Dom}(L) = \left\{f \in \C^2(G) \cap \C^1 (\bar{G}): Lf \in L^2(G) \ \mbox{a splňují okrajové podmínky}} \right\}$$
 
\section{Vlastnosti $L$}
Než si ukážeme několik vlastností operátoru $L$, rozepíšeme z praktických důvodů, následující integrál:
$$\displaystyle \int_{G}v(x)Lu(x) \dd x = \displaystyle \int_{G}v(x)\left(-\div(p(x)\grad u(x)) + q(x) u(x)\right)\dd x = - \displaystyle \int_{G}v(x)\left(\div(p(x)\grad u(x)) - q(x) u(x)\right)\dd x$$
Nyní využijeme jednu identitu vektorové analýzy, která říká, že 
$$\div (v(x)p(x)\grad u(x)) = p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x) \div( p(x)\grad u(x)).$$
Aplikací této identity na integrand obdržíme
$$- \displaystyle \int_G \div v(x)p(x)\grad u(x)) \dd x + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x)) \dd x =$$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}  v(x)p(x)\underbrace{\grad u(x) \cdot \vec{n}}_{\pd{u(x)}{\vec{n}}} \dd S + \displaystyle \int_G (p(x)\grad v(x) \grad u(x) + v(x)q(x)u(x) )\dd x $$
 
Nyní již přikročme k větě, která nám ozřejmí vlastnosti Sturm-Liouvilleova operátoru
\begin{theorem}[Vlastnosti S-L operátoru]
Buď $L$ operátor z definice výše s Robinovými okrajovými podmínkami. Pak platí:
\begin{enumerate}
\item L je symetrický operátor, tj. $\forall u,v \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle $;
\item L je positivní operátor, tj. $\forall u \in  \mathrm{Dom}(L) $ platí $\langle u,Lu \rangle \geq 0$ ;
\item dimenze jádra operátoru $L$ je buď 0, nebo 1;
\item všechny vlastní hodnoty operátoru $L$ jsou nezáporné, tj. $\sigma(L) \subset \R^+$;
\item vlastní funkce příslušné různým vlastním hodnotám jsou na sebe kolmé;
\item vlastní funkce lze volit reálné. 
\end{enumerate}
 
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item Jelikož $\langle u,Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle \Leftrightarrow \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle =0 $, budeme zkoumat tento výraz a využijeme přitom faktu, že operátor $L$ má reálné koeficienty a rozepsání integrálu, které jsme provedli výše: 
$$ \langle u,Lv \rangle - \langle Lu,v \rangle  = \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - \overline{Lu} v \ \dd x =  \displaystyle \int_G \bar{u}Lv - L\bar{u} v \ \dd x =$$
$$ =  -\displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S + \displaystyle \int_G 
\left[ p\grad \bar{u} \grad v + \bar{u}vq -\left(p\grad v \grad \bar{u} + v\bar{u}q\right) \right]\dd x  = $$
$$ = - \displaystyle \int_{\partial G}p\left(\bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \right)\dd S$$
Abychom ukázali, že tento výraz je rovný nule, využijeme počáteční podmínky:
Ty jsou pro  funkce $\bar{u}$ a $v$ následující: $\left\{\begin{array}{ll} \alpha \bar{u} + \beta \pd{\bar{u}}{\vec{n}}=0, &\mbox{na } \partial G, \\ \alpha v + \beta\pd{v}{\vec{n}}=0, &\mbox{na } \partial G. \end{array}\right.$ Toto lze ale ekvivalentně přepsat na tvar rovnice pro $\alpha$, $\beta$:
$$ \left(\begin{array}{cc} 
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ 
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right)  \left(
\begin{array}{c}
\alpha \\
\beta 
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array}
\right) $$
Tohle ale je ekvivalentní s tvrzením, že
$$ \left| \begin{array}{cc} 
\bar{u} & \displaystyle \pd{\bar{u}}{\vec{n}} \\ 
v & \displaystyle \pd{v}{\vec{n}}
\end{array} \right|  =  \bar{u}\pd{v}{\vec{n}} - v \pd{\bar{u}}{\vec{n}}  = 0$$ 
Tímto jsme ukázali, že integrand je nulový a tedy celý integrál  je nulový, čímž jsme ukázali, že operátor je symetrický. 
 
\item Nyní máme ukázat, že $\langle u,Lu \rangle \geq 0$. 
Rozepíšeme opět tento skalární součin a využijeme rozepsání integrálu
$$ \langle u,Lu \rangle   = \displaystyle \int_{G} \bar{u}Lu \ \dd x = - \displaystyle \int_{\partial G} \bar{u}p \pd{u}{\vec{n}} \dd S + 
\displaystyle \int_G p \grad \bar{u} \grad u + \bar{u}uq \ \dd x$$
Prozkoumáme integrandy u jednotlivých integrálů: 
\subitem Pro druhý integrand dostáváme odhad 
$$p \grad \bar{u} \grad u = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n}\pd{\bar{u}}{x_j}\pd{u}{x_j}  = p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 >0,$$
přičemž využíváme kladnosti funkce $p$.
\subitem Pro třetí integrand dostáváme tento odhad (a tentokrát využíváme nezápornosti funkce $q$): 
$$ \bar{u}uq = \Vert u \Vert^2 q \geq 0$$
\subitem Pro první integrand bude diskuse nezápornosti obsáhlejší. Využijeme pro ni počáteční podmínky: 
 
Jestliže  existuje $x_0$ takové, že $\alpha(x_0) = 0$, pak $\beta(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\beta(x_0)\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $\pd{u}{\vec{n}}(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\alpha(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. 
 
Jestliže  existuje $x_0$ takové, že $\beta(x_0) = 0$, pak $\alpha(x_0)>0$. Pak podmínka přechází na tvar $\alpha(x_0)u(x_0) = 0$. odtud pak již plyne, že $u(x_0) = 0$. Pak ale pro všechna $x$ taková, že $\beta(x)= 0$ plyne, že integrand $p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}}$ je nulový. 
 
Označme $\Gamma = \left\{ x \in \partial G : \alpha(x) \neq 0 \land \beta(x) \neq 0 \right\}$. Pak $\forall x \in \Gamma$ platí
$$ \alpha u + \beta\pd{u}{\vec{n}} = 0 \Leftrightarrow u = - \frac {\beta}{\alpha}\pd{u}{\vec{n}}$$
Dosazením do prvního integrandu získáváme: 
$$ - p\bar{u}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha} \overline{\pd{u}{\vec{n}}}\pd{u}{\vec{n}} = p \frac {\beta}{\alpha}\pd{\bar{u}}{\vec{n}}\pd{u}{\vec{n}} =  
p \frac {\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}}  \right\Vert ^2 \geq 0$$
Tímto jsme tedy dokázali, že je Sturm-Liouvilleův operátor positivní. 
\item Odhady, které jsme získali v předešlé části, použijeme i při dokazování dimense jádra. Ukážeme, že $\mathrm{dim}ker L= 1 \Rightarrow ker L$ obsahuje konstantní funkce a 
$\mathrm{dim}ker L= 0 \Rightarrow ker L $ obsahuje nulovou funkci. Berme tedy $u \in \mathrm{Dom} (L)$ takové, že $ u\in ker L$. Pak tedy z linearity plyne
$$ 0 = \langle u,Lu \rangle = \displaystyle \int_{G} p \frac{\beta}{\alpha} \left\Vert \pd{u}{\vec{n}}  \right\Vert ^2 \dd S + 
\displaystyle \int_{G} p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 + q \Vert u \Vert^2 \dd x$$
Jelikož jsou všechny členy dle předešlé části důkazu nezáporné, musí být rovny nule, chceme-li dostat v jejich součtu nulu. 
\subitem Pro druhý integrand máme 
$$ p \displaystyle \sum_{j=1}^{n} \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert ^2 = 0 \Leftrightarrow \left\Vert \pd{u}{x_j} \right \Vert^2  = 0 \ \forall j\in \hat{n}.$$
Toto plyne z faktu, že $p>0$. Znamená to tedy, že $\pd{u}{x_j} = 0$ a tedy funkce $u $ je konstantní na $\bar{G}.$
Aby byla dimenze rovna jedné, musí být funkce $q \equiv 0$ na $G$. 
\subitem První integrand je při těchto podmínkách již automaticky roven nule. Je-li ovšem dimense jádra 1, pak okrajová podmínka má tvar
$$\alpha u =0 \Rightarrow \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$$
 
Tedy shrňme výsledek tohoto důkazu: $\mathrm{dim} \ ker L =0$, nebo $\mathrm{dim}\ker L =1 \Leftrightarrow q \equiv 0 \ \mbox{na }G \land \alpha \equiv 0 \ \mbox{na } \partial G$. 
 
\item Buď $\lambda $ vlastní hodnota operátoru $L$, tj. $Lu = \lambda u$ pro jisté $u\in \mathrm{Dom}(L)$. Pak
$$ \langle u, Lu \rangle \geq 0 \Rightarrow  \langle u, \lambda u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \langle u,  u \rangle \geq 0 \Leftrightarrow \lambda \geq 0$$
Poslední nerovnost plyne z positivity skalárního součinu. 
 
\item Buďte $\lambda, \mu$ různé vlastní hodnoty operátoru $L$ a $u,v$ k nim příslušné vlastní vektory. Potom 
$$ \langle u, Lv \rangle = \langle u, \mu v \rangle \land \langle Lu, v \rangle = \langle \lambda u, v \rangle $$
Jelikož je ale operátor $L$ symetrický, platí $\langle u, Lv \rangle = \langle Lu,v \rangle$. 
To ale říká, že 
$$ \langle u, \mu v \rangle = \langle \lambda u ,v \rangle \Rightarrow \mu  \langle u, v \rangle = \lambda \langle u, v \rangle \Leftrightarrow (\mu - \lambda)\langle u, v \rangle = 0 
\Leftrightarrow \langle u, v \rangle = 0 $$
Poslední ekvivalence plyne  z faktu, že $\mu$ a $\lambda$ jsou různé vlastní hodnoty. Tedy vlastní funkce $u,v$ jsou ortogonální. 
 
\item Poslední tvrzení dokážeme snadno. Předpokládejme, že $Lu = \lambda u$. Pak pomocí komplexního sdružení získáme 
$$ \overline{Lu} = \overline{\lambda u} = \lambda \bar{u}$$
Jelikož má $L$ reálné koeficienty, platí, že $\overline{Lu}  = L\bar{u}$. Pak ale 
$$ \lambda \bar{u} = L\bar{u} \land Lu = \lambda u $$
Tedy vektory $u$ a $\bar{u}$ jsou vlastní vektory stejné vlastní hodnoty, tedy i jejich součet je vlastním vektorem. Pak ale stačí volit jako reálnou funkci $u +\bar{u}$. 
Tímto jsme tedy explicitně našli konkrétní reálnou vlastní funkci příslušnou vlastní hodnotě $\lambda$. 
\end{enumerate}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\section{Sturm-Liouvilleova úloha pro 1 dimensi}
V této kapitole budeme řešit S-L úlohu pro 1 dimensi, což je případ, se kterým se člověk (ve zkouškových písemkách) setkává nejčastěji. Na konci této kapitoly budou rovněž zavedeny Greenovy funkce. 
Pro 1D má tedy úloha tvar:
 
\textit{Buď $G = (0,l)$, $l>0$ s hranicí $\partial G = \left\{0,l \right\}$. Buď dále $p>0$, $p\in \C^{1}\left(\left[0,l\right]\right)$ a $q\geq 0$, $q\in \C\left(\left[0,l\right]\right)$. 
Sturm-Liouvilleova úloha má pak tvar 
$$ L u(x) = -\frac{\dd }{\dd x}\left(p(x) \frac{\dd}{\dd x}u(x) \right) + q(x)u(x) = f(x) $$
s okrajovou podmínkou pro dva body na hranici: 
Buďte $\alpha_0, \alpha_1, \beta_0, \beta_1 \geq 0$ tak, že $\alpha_0 + \beta_0 >0$ a $\alpha_1 + \beta_1 >0$, pak 
$$\alpha_0 u(0) - \beta_0 u'(0) = 0\footnote{Před druhým členem je skutečně mínus, neboť se jedná o derivaci ve směru vnější normály.}$$ 
$$\alpha_1 u(l) + \beta_1 u'(l) = 0$$ }
Budeme navíc předpokládat, že dimense jádra je 0. Tedy neplatí podmínka odvozená v předešlé kapitole, tj. není pravda, že $q(x) =0 \ \forall x \in G \land \alpha_0 = \alpha_1 = 0$. 
Spočítáme řešení této úlohy a získáme vlastnosti $L$. Při řešení této úlohy budeme postupovat v několika krocích:
\begin{enumerate}
\item 
Najdeme dvojici řešení $v_0$, $v_1$, která řeší úlohu $Lv_0 = 0 = Lv_1$ a splňují právě jednu z okrajových podmínek. 
Nechť tedy $v_0$ splňuje levou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_0 v_0 (0) - \beta_0 v'_0 (0) = 0,$$ 
a $v_1$ splňuje pravou hraniční podmínku, tj. $$ \alpha_1 v_1 (l) + \beta_1 v'_1 (l) = 0.$$ 
Že taková řešení existují, vyplývá z teorie diferenciálních rovnic. 
\item
Hledejme obecné řešení tvaru:
$$ u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$$
Pak po dosazení do S-L operátoru získáváme
$$ Lu = -\left(p(x)u'(x)\right)' + q(x)u(x) = -\left[ p(C_0'v_0 + C_0 v_0' + C_1' v_1 + C_1 v_1') \right]' + q (C_0 v_0 + C_1 v_1) = $$
$$ = -p'(C_0'v_0) - p (C_0'v_0)' - p(C_0 v_0')' - p'(C_0 v_0') - p'(C_1 'v_1) - p (C_1' v_1)' - p(C_1 v_1')' - p'(C_1 v_1') + q C_0 v_0 + q C_1 v_1 = $$
$$ = C_0 \underbrace{\left[ -(pv_0')' + qv_0 \right]}_{Lv_0 = 0} - p C_0' v_0'  + C_1 \underbrace{\left[ -(pv_1')' + qv_1 \right]}_{Lv_1 =0} - pC_1' v_1' - 
p'(C_0v_0') - p(C_0 v_0)' - p'(C_1' v_1) - p(C_1' v_1)'= $$
$$ = -\left[ p\left(C_0' v_0 + C_1' v_1 \right) \right]' - p \left( C_0' v_0' + C_1' v_1'\right) \stackrel{! }{=} f $$
Aby tohle platilo, je třeba nalézt funkce $C_0, C_1$ takové, že 
$$ C_0' v_0 + C_1' v_1  = 0 $$
$$ C_0' v_0' + C_1' v_1' = -\frac{f}{p} $$ 
Tuto soustavu lze maticově formulovat jako: 
\begin{equation}
\label{soustava}
\left(\begin{array}{cc} 
v_0 & v_1 \\ 
v_0' & v_1'
\end{array} \right)  \left(
\begin{array}{c}
C_0' \\
C_1'
\end{array}
\right) = \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{f}{p}
\end{array}
\right) 
\end{equation}
Matice soustavy je {\it Wronského matice} funkcí $v_0, v_1$, ozn.  $\mathcal{W}(v_0,v_1)$. Jestliže ukážeme, že {\it wronskián $\mathscr{W}$} je nenulový,
 tj. $\mathrm{det}\ \mathcal{W}(v_0,v_1) \neq 0 $ pro všechna $x \in [0,l]$, pak je možné tuto soustavu vyřešit a najít funkce $C_0$ a $C_1$. 
\item Sporem ukážeme, že $\mathscr{W} = \left| \begin{array}{cc}  v_0 & v_1 \\ v_0' & v_1' \end{array}\right| = v_0 v_1' - v_1 v_0' \neq 0$ pro všechna  $x \in [0,l]$. 
Pro spor předpokládejme, že existuje bod $x_0 \in [0,l]$ takový, že $\mathscr{W}(x_0) = 0$. To ale znamená, že Wronského matice má lineárně závislé sloupce. Tedy existuje $\lambda \in \mathbb{C}$ 
tak, že 
$$ \left(
\begin{array}{c}
v_0(x_0) \\
v_0'  (x_0)
\end{array}
\right) = \lambda \left(
\begin{array}{c}
v_1(x_0) \\
v_1'(x_0)
\end{array}
\right) $$
Nyní prozkoumejme funkci $\tilde{v}(x) = v_0(x) - \lambda v_1(x)$. Je zřejmé, že z linearity operátoru $L$ plyne, že $L\tilde{v} = 0$ a z nulovosti determinantu plyne 
$\tilde{v}(x_0) =0 $ a $\tilde{v}'(x_0) =0 $. Jelikož je ale $L\tilde{v} = 0$ diferenciální rovnice 2. řádu a máme dvě podmínky, plyne z věty o jednoznačnosti řešení, že jediné řešení je nulová funkce. Toto ale znamená, že pokud bychom našli jediný bod, ve kterém je $\mathscr{W}$ nulový, tak je nulový na intervalu $[0,l]$. A toto je spor, protože víme, že dimense jádra je 0. 
Tedy wronskián je nenulový. 
 
\item Nyní ukážeme, že $p(x) \mathscr{W}(x) = konst. $
Toto ověříme přímým výpočtem:
$$(p\mathscr{W})' = (p( v_0 v_1' - v_1 v_0'))' = v_0' p v_1' + v_0\underbrace{(pv_1')'}_{qv_1} - v_1' p v_0' - v_1\underbrace{(pv_0')'}_{qv_0} = qv_0v_1 -  qv_1v_0 = 0$$
 
\item Nalezneme funkce $C_0, C_1$ pomocí \uv{invertování} rovnice \ref{soustava}
$$ \left(
\begin{array}{c}
C_0' \\
C_1'
\end{array}
\right) = \frac{1}{\mathscr{W}} \left(\begin{array}{cc} 
v_1' & -v_1 \\ 
-v_0' & v_0
\end{array} \right) \left(
\begin{array}{c}
0 \\
-\frac{f}{p}
\end{array}
\right) = \frac{1}{p\mathscr{W}} \left(
\begin{array}{c}
fv_1\\
-fv_0
\end{array}
\right) $$
Tímto jsme dvojici obyčejných diferenciálních rovnic 1. řádu, které určují funkce $C_0, C_1$:
\begin{eqnarray}
\label{C_0}
C_0' & = & \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1f \\
\label{C_1}
C_1' & = & - \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0 f
\end{eqnarray}
Abychom dokázali určit přesné řešení, musíme ještě využít okrajových podmínek, neboť víme, že $u = C_0v_0 + C_1v_1 $ je musí rovněž splňovat. Na následujících řádcích nejprve dosadíme do levé hraniční podmínky, využijeme znalosti hraniční podmínky pro $v_0$ a využijeme vztahů \ref{C_0} a \ref{C_1}:
$$ 0 = \alpha_0 u(0) - \beta_0 u'(0) = $$
$$ = \alpha_0 \left( C_0(0) v_0(0) + C_1(0) v_1(0) \right) - \beta_0 \left( C_0'(0)v_0(0) + C_0(0)v_0'(0) + C_1'(0)v_1(0) + C_1(0)v_1'(0)\right)=$$
$$ = \alpha_0 C_1(0)v_1(0) - \beta_0 v_0(0)\frac{1}{p\mathscr{W}} v_1(0)f(0)  + \beta_0 v_1(0) \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0(0)f(0) - \beta_0 C_1(0)v_1'(0) = $$
$$ = \left[\alpha_0 v_1(0) - \beta_0 v_1'(0) \right] C_1(0)$$
Aby byl tento výraz roven nule, musí být buď  $\alpha_0 v_1(0) - \beta_0 v_1'(0) =0$, nebo $C_1(0) =0$. Pokud by nastala první možnost, musela by funkce $v_1$ splňovat dvě počáteční podmínky a navíc 
$Lv_1 =0$. Proto by byla v jádře a tudíž (neboť předpokládáme nulovou dimensi jádra) by byla nulová. Pomocí nulové funkce ale nejsme schopni najít řešení s pravou stranou. Proto musí platit, že 
$$C_1(0) = 0$$
Obdobnou úvahou bychom z pravé okrajové podmínky získali 
$$ C_0(l) = 0 $$
Když máme tyto podmínky, můžeme zintegrovat rovnice \ref{C_0} a \ref{C_1} a započítat počáteční podmínky:
$$ C_0(x) - C_0(l)  = \displaystyle \int_l^x \frac{1}{p\mathscr{W}} v_1(y)f(y)\dd y $$
a tedy 
$$ C_0(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}}  \displaystyle \int_x^l v_1(y)f(y)\dd y $$
Pro funkci $C_1$ dostáváme
$$ C_1(x) - C_1(0) = -\displaystyle \int_0^x \frac{1}{p\mathscr{W}} v_0(y)f(y)\dd y $$
a tedy
$$ C_1(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}}  \displaystyle \int_0^x v_0(y)f(y)\dd y $$
 
Tímto jsme nalezli funkce $C_0, C_1$ takové, že $u(x) = C_0(x)v_0(x) + C_1(x)v_1(x)$ je řešením úlohy $Lu = f$. 
Konkrétní tvar řešení $u(x)$ má podobu:
$$ u(x) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \left[  v_0(x)\displaystyle \int_x^l v_1(y)f(y)\dd y + v_1(x) \displaystyle \int_0^x v_0(y)f(y)\dd y \right] \stackrel{\mbox{\scriptsize ozn.}}{=}
\displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y$$
\end{enumerate}
 
\begin{define}
Se značením použitým výše se funkce $\mathscr{G}(x,y)$ definovaná předpisem 
$$\mathscr{G}(x,y) = - \frac{1}{p\mathscr{W}} \left\{\begin{array}{ll} v_0(x)v_1(y), &\mbox{pro } 0<x<y<l, \\ v_0(y)v_1(x), &\mbox{pro } 0<y<x<l. \end{array}\right.$$
nazývá {\bf Greenova funkce}.
\end{define}
 
Co jsme tedy získali řešením? Ukázali jsme, že řešení úlohy $Lu = f$ má tvar $$ u = \displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y = L^{-1}f,$$ kde $L^{-1} $ je integrální operátor, jehož jádrem je 
Greenova funkce. Tato funkce je spojitá, neboť $v_1(x)$, $v_0(x)$ jsou řešeními diferenciální rovnice a pro $y=x$, což je jediná úsečka, na které by mohla vznikat nespojitost, 
jsou si funkční hodnoty rovny. Tedy $\mathscr{G} \in \C(\bar{G}\times \bar{G})$.
Je očividné, že Greenova funkce je symetrická a tedy jsou splněny předpoklady Hilbert-Schmidtovy věty, která říká, že operátor $L^{-1}$ má čistě bodové spektrum a jeho vlastní funkce tvoří ON bázi v 
$L^2(G)$. Tedy toto platí i pro operátor $L$. V důsledku tohoto zjištění si můžeme troufnout vyvodit mimo jiné to, že (přesuňme se do dimense 3) vlastní hodnoty Laplaceova operátoru jsou kladné. 
Z toho vyplývá
\begin{theorem}[Vlastnosti S-L operátoru II]
Při předpokladech z první věty o vlastnostech S-L operátoru platí: 
\begin{itemize}
\item[7.] Vlastní čísla $L$ mají konečné násobnsti a nemají konečný hromadný bod.
\item[8.] Z vlastních funkcí $L$ lze sestavit ON bázi prostoru $L^2\left((0,l)\right)$. 
\end{itemize}
\end{theorem}
 
\begin{remark}
Veškeré úvahy byly zatím vedeny pro nulové jádro. Jestliže je jádro operátoru nenulové, tj. je tvořeno konstantními funkcemi, můžeme operátor snadno převést na případ, která již budeme umět vyřešit.
Stačí pak k operátoru \uv{přičíst} jedničku a spektrum tohoto operátoru bude totožné se spektrem původního, jen bude \uv{posunuté} o jedničku. 
\end{remark}
 
\begin{theorem}[Vlastnosti Greenovy funkce]
 
\begin{enumerate}
\item $\mathscr{G}(x,y)$ je spojitá funkce;
\item Pro všechna $x,y$ $\mathscr{G}(x,y) = \mathscr{G}(y,x)$;
\item Buď $y \in (0,l)$ pevné. Označme  $g_y(x) = \mathscr{G}(x,y)$. Pak 
\subitem[3a] $g_y(x)$ splňuje hraniční podmínky v $0$ i v $l$;
\subitem[3b]$Lg_y(x) = -(p(x) g_y'(x))' + q(x) g_y(x) = \delta(x-y)$
\subitem[3c] $g_y(x) \in \C^{(2)}([0,l] \setminus \{y\})$
\end{enumerate}
\begin{proof}
Tvrzení 1, 2, 3a se dokáží přímým dosazením, tvrzení 3b je jen aplikace věty o derivování po částech hladké funkce: 
Zderivujeme výraz $pg_y'(x)$. Ten má následující podobu: 
$$ pg_y'(x) = - \frac{1}{\mathscr{W}} \left\{\begin{array}{ll} v_0'(x)v_1(y), &\mbox{pro } 0<x<y<l, \\ v_0(y)v_1'(x), &\mbox{pro } 0<y<x<l. \end{array}\right.$$
Pak $$(pg_y'(x))' = \left\{  (pg_y'(x))' \right\} + \delta (x-y) \left(\frac{1}{\mathscr{W}} (v_1(x)v_0'(x)- v_1'(x)v_0(x)\right) = $$
$$\left\{  (pg_y'(x))' \right\} -\delta (x-y) \left(\frac{1}{\mathscr{W}}\mathscr{W} \right) = \left\{  (pg_y'(x))' \right\} - \delta (x-y)$$
Poslední vlastnost plyne z tvaru derivace výše. 
\end{proof}
\end{theorem}
 
Tyto vlastnosti slouží pro zavedení Greenovy funkce pro vyšší dimense. Zbývá už jen naplnit dřívejší slib a ukázat, jak pomocí tohoto řešení převést S-L úlohu na integrální rovnici.
 
\section{Převedení Sturm-Liouvilleova problému na integrální rovnici}
\begin{theorem}
 
Uvažujme pro jednoduchost předchozí, jednorozměnou S-L úlohu s operátorem $L$, pak vlastní čísla $\lambda \in \mathbb{C}$ a řešení $u(x) \in \C[0,l]$ takové, že $Lu=\lambda u$ +f, lze získat řešením integrální rovnice
 
$$ u(x) = \lambda\displaystyle \int_0^l \mathscr{G}(x,y)u(y) \dd y + \int_0^l \mathscr{G}(x,y)f(y) \dd y$$
\end{theorem}
 
Důkaz si provede zvídavý čtenář sám. Tímto končí látka potřebná ke zkoušce, resp. látka, která má být zkoušena.