01NM:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01NM

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01NMAdmin 1. 8. 201010:22
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKlinkjak 1. 9. 201522:49 header.tex
Kapitola1 editovatFinitní metodyAdmin 1. 8. 201010:24 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatIterační metody řešení soustav lineárních algebraických rovnicKlinkjak 3. 9. 201519:49 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatČástečný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatÚplný problém vlastních číselAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatIterační metody řešení rovnice tvaru f(x)=0Admin 1. 8. 201010:25 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatIterační metody pro řešení systémů nelineárních algebraických a transcendentních rovnicAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatLagrangeova interpolaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatNumerický výpočet derivaceAdmin 1. 8. 201010:25 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatNumerický výpočet integrálu Admin 1. 8. 201010:25 kapitola9.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01NM}
 
\section{Částečný problém vlastních čísel}
Máme nalézt jedno, popřípadě několik zpravidla v absolutní hodnotě největších vlastních čísel a případně i odpovídající vlastní vektory.
\subsection{Mocninná metoda}
Zvolíme $\vec x^{(0)}$ tak, aby $e_1^T \vec x^{(0)}\ne 0$. Konstruujeme posloupnosti
\begin{equation}
\label{poslmoc}
\rho_k=\vec e_1^T A \vk x\, \vec x^{(k+1)}=\frac{1}{\rho_k} A\vk x.
\end{equation}
Zřejmě platí
\begin{equation}
\label{momerok}
\vec x^{(k+1)}=\frac{1}{\rho_k \rho_{k-1}} A^2 \vec x^{(k-1)}=\hdots=\frac{1}{\rho_k \rho_{k-1}\hdots\rho_0} A^{k+1} \vec x^{(0)}.
\end{equation}
Dále, dosadíme-li první výraz v (\ref{poslmoc}) do druhého výrazu tamtéž, obdržíme
\begin{equation}
\label{momeiks}
\vec x^{(k+1)}=\frac{1}{e_1^T A\vk x}A\vk x.
\end{equation}
Vynásobíme-li tuto rovnici zleva vektorem $e_1^T$, dostaneme
\begin{equation}
\label{mocmet}
(\forall k\in\N)(e_1^T \vk x=1).
\end{equation}
 
1. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí
\[
A=T^{-1} \left (
\begin{matrix}
\lambda_1\\
& J_2\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right ) T.
\]
Odtud s využitím (\ref{mocmet}) a (\ref{momerok}) plyne
\[
\rho_k=e_1^TA\vk x=\frac{e_1^TA\vk x}{e_1^T\vk x}=\frac{\rho_{k-1}\hdots\rho_0}{\rho_{k-1}\hdots\rho_0}\cdot\frac{e_1^TA^{k+1}\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{k+1}\\
& J_2^{k+1}\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
& J_2^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{k+1}\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}.
\]
Podle věty \ref{nppkgpm} konvergují diagonální bloky k nulové matici, a tak
\[
\rho_k\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=\lambda_1
\]
za předpokladu, že $e_1^TT\vec x^{(0)}\ne 0$. Jednak je ale nalezení takového vektoru $\vec x^{(0)}$, že $e_1^TT\vec x^{(0)}=0$, dosti obtížné, jednak vše spraví chyby vzniklé zaokrouhlováním.
Dále podle (\ref{momeiks}) a (\ref{momerok}) platí
\[
\vk x=\frac{A\vec x^{(k-1)}}{e_1^TA\vec x^{(k-1)}}=\frac{\rho_{k-2}\hdots\rho_0}{\rho_{k-2}\hdots\rho_0}\cdot\frac{A^k\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
& J_2^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
& J_2^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}.
\]
Analogicky jako výše dostaneme
\[
\vk x\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{\text{ozn.}}{=}\vec y.
\]
Zjistili jsme tedy, že posloupnost $(\vk x)$ konverguje. Snadno se přesvědčíme, že její limitní vektor $\vec y$ je vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_1$:
Z (\ref{poslmoc}) totiž vyplývá vztah $\rho_k \vec x^{(k+1)}=A\vk x$ a jeho zlimicením dostáváme $\lambda_1 \vec y=A\vec y$.
 
2. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou $p$. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí
\[
A=T^{-1} \left (
\begin{matrix}
\underbrace{\begin{matrix}
\lambda_1\\
& \ddots\\
& & \lambda_1
\end{matrix}}_{p\text{-krát}}\\
& J_2\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right ) T
\]
a chování posloupností $(\rho_k)\, (\vk x)$ bude podobné jako v předchozím případě, pouze s následující záměnou matic:
\[
\left (
\begin{matrix}
1\\
& 0\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right )
\longrightarrow
\left (
\begin{matrix}
\underbrace{\begin{matrix}
1\\
& \ddots\\
& & 1
\end{matrix}}_{p\text{-krát}}\\
& 0\\
& & \ddots
\end{matrix}
\right),
\]
tj. tam, kde v bodě 1 vystupovala první matice, bude nyní vystupovat druhá.
 
3. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší dvě vlastní čísla $\lambda_1\, -\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí
\begin{equation}
\label{tretipr}
A=T^{-1} \left (
\begin{matrix}
\lambda_1\\
& -\lambda_1\\
& & J_2\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right ) T.
\end{equation}
Podobnou cestou jako v případě 1 dostaneme
\[
\rho_k=\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{k+1}\\
& (-\lambda_1)^{k+1}\\
& & J_2^{k+1}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
& (-\lambda_1)^k\\
& & J_2^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (-1)^{k+1}\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{k+1}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (-1)^k\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}.
\]
Tato posloupnost obecně diverguje, vybrané posloupnosti $\rho_{2i}\, \rho_{2i+1}$ však konvergují:
\[
\rho_{2i}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& -1\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& 1\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}\,
\rho_{2i+1}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& 1\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& -1\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}
\]
a platí $\rho_{2i} \rho_{2i+1}\rightarrow \lambda_1^2$.
 
Posloupnosti $A\vk x+\lambda_1\vk x$, resp. $A\vk x-\lambda_1\vk x$ aproximují vlastní vektory příslušné k vlastním číslům $\lambda_1$, resp. $-\lambda_1$, i když nekonvergují. Dokážeme například, že posloupnost $A\vec x^{(2i)}+\lambda_1\vec x^{(2i)}$ konverguje k vlastnímu vektoru přísl. k vlastnímu číslu $\lambda_1$:
 
Podle (\ref{poslmoc}) je
\[
A\vec x^{(2i)}+\lambda_1\vec x^{(2i)}=\frac{A^2\vec x^{(2i-1)}+\lambda_1A\vec x^{(2i-1)}}{e_1^TA\vec x^{(2i-1)}}=\frac{A^{2i+1}\vec x^{(0)}+\lambda_1A^{2i}\vec x^{(0)}}{e_1^TA^{2i}\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{T^{-1}\left[\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{2i+1}\\
& (-\lambda_1)^{2i+1}\\
& & J_2^{2i+1}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)+\lambda_1\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{2i}\\
& (-\lambda_1)^{2i}\\
& & J_2^{2i}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)\right]T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{2i}\\
& (-\lambda_1)^{2i}\\
& & J_2^{2i}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\lambda_1\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
2\\
& 0\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i+1}+(\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& 1\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^{2i}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{i\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left(
\begin{matrix}
2\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}
\]
a tento limitní vektor je vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_1$. S využitím (\ref{tretipr}) totiž dostaneme
\[
A\left[\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left(
\begin{matrix}
2\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}\right]=\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left(
\begin{matrix}
2\lambda_1\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}=\lambda_1\frac{\lambda_1}{\alpha}T^{-1}\left(
\begin{matrix}
2\\
& O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}.
\]
 
4. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší dvě vlastní čísla $\lambda_1\, \overline\lambda_1$ s algebraickou i geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí
\[
A=T^{-1} \left (
\begin{matrix}
\lambda_1\\
& \overline\lambda_1\\
& & J_2\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right ) T.
\]
Podobně jako výše zjistíme, že posloupnosti (\ref{poslmoc}) v tomto případě nekonvergují, protože se $(\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k$ a $(\frac{\lambda_i}{\lambda_1})^k\, i>1$ točí v jednotkové kružnici.
\begin{tvrz}
Buď $t^2+pt+q$ polynom, který má za kořeny $\lambda_1\, \overline\lambda_1$. Potom
\[
A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\vec o,
\]
tj. pro vysoká $k$ je soubor vektorů $(A^2\vk x\, A\vk x, \vk x)$ téměř lineárně závislý.
\begin{proof}
Platí $A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x=$
\[
=\frac{1}{e_1^TA\vec x^{(k-1)}}[A^3+pA^2+qA]\vec x^{(k-1)}=\frac{[A^{k+2}+pA^{k+1}+qA^k]\vec x^{(0)}}{e_1^TA^k\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{k+2}+p\lambda_1^{k+1}+q\lambda_1^k\\
& \overline\lambda_1^{k+2}+p\overline\lambda_1^{k+1}+q\overline\lambda_1^k\\
& & J_2^{k+2}+pJ_2^{k+1}+qJ_2^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
& \overline\lambda_1^k\\
& & J_2^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{T^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^2+p\lambda_1+q\\
& (\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k(\overline\lambda_1^2+p\overline\lambda_1+q)\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k(J_2^2+pJ_2+q)\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
& (\frac{\overline\lambda_1}{\lambda_1})^k\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\vec o,
\]
neboť $\lambda_1^2+p\lambda_1+q=\overline\lambda_1^2+p\overline\lambda_1+q=0$ a stále předpokládáme $e_1^TT\vec x^{(0)}\ne 0$.
\end{proof}
\end{tvrz}
Postup je tedy následující: Protože platí $A^2\vk x=\rho_{k+1}\rho_k\vec x^{(k+2)}\, A\vk x=\rho_k\vec x^{(k+1)}$, stačí sledovat lineární závistlost tří po sobě jdoucích členů posloupnosti $\vk x$ pro vysoké indexy $k$, z nich vypočítat koeficienty $p\, q$ a vlastní čísla $\lambda_1\, \overline\lambda_1$ nalézt jako kořeny polynomu $t^2+pt+q$.
 
Posloupnosti $A\vk x-\lambda_1\vk x$, resp. $A\vk x-\overline\lambda_1\vk x$ aproximují vlastní vektory příslušné k vlastním číslům $\overline\lambda_1$, resp. $\lambda_1$. Dokážeme první z těchto případů:
 
Platí $A^2\vk x+pA\vk x+q\vk x\approx\vec o$, přičemž $p=-(\lambda_1+\overline\lambda_1)$ a $q=\lambda_1\overline\lambda_1$. Po dosazení dostaneme $A^2\vk x-\lambda_1A\vk x\approx\overline\lambda_1A\vk x-\lambda_1\overline\lambda_1\vk x$, tj. $A(A\vk x-\lambda_1\vk x)\approx$\linebreak[4]$\approx\overline\lambda_1(A\vk x-\lambda_1\vk x)$.
 
5. Nechť $A$ má v absolutní hodnotě největší jediné vlastní číslo $\lambda_1$ s algebraickou násobností rovnou 2 a geometrickou násobností rovnou 1. Potom podle Jordanovy věty existuje regulární matice $T$ tak, že platí
\[
A=T^{-1} \left (
\begin{matrix}
\lambda_1\\
1 & \lambda_1\\
& & J_2\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right ) T.
\]
Tentokrát dostaneme
\[
\rho_k=\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^{k+1}\\
(k+1)\lambda_1^k & \lambda_1^{k+1}\\
& & J_2^{k+1}\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1^k\\
k\lambda_1^{k-1} & \lambda_1^k\\
& & J_2^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=
\]
\[
=\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1\\
k+1 & \lambda_1\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k J_2\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
\frac{k}{\lambda_1} & 1\\
& & (\frac{1}{\lambda_1}J_2)^k\\
& & & \ddots
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}.
\]
Poslední výraz má pro $k\rightarrow\infty$ stejnou limitu jako výraz
\[
\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
\lambda_1\\
k+1 & \lambda_1\\
& & O\\
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
\frac{k}{\lambda_1} & 1\\
& & O\\
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}=
\lambda_1\left[1+\frac{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
0\\
\frac{1}{\lambda_1} & 0\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}{e_1^TT^{-1}\left(
\begin{matrix}
1\\
\frac{k}{\lambda_1} & 1\\
& & O
\end{matrix}
\right)T\vec x^{(0)}}\right]\stackrel{k\rightarrow\infty}{\longrightarrow}\lambda_1.
\]
 
\begin{remark}
Právě popsaný případ se od předchozích liší rychlostí konvergence. Ta v případech 1--4 závisela na rychlostech konvergencí $(\frac{\lambda_i}{\lambda_1})^k\rightarrow 0\, i>1$; v případě 5 je konvergence úměrná $1/k$, tedy výrazně pomalejší. Považujeme-li 5 za 4, získáme výsledek rychleji.
\end{remark}
\begin{remark}
Členy posloupnosti $(\vk x)$ jsou pouhými násobky tzv. Krylovovy posloupnosti $(A^k\vec x^{(0)})$. Stačilo by tedy počítat členy této posloupnsoti. Přesto je i v tomto případě potřeba alespoň čas od času dělit vhodnou konstantou, aby nedošlo k přetečení nebo naopak zaokrouhlení na nulu.
\end{remark}
\subsection{Redukční metoda}
Představte si, že znáte jedno vlastní číslo $\lambda$ matice $A$ a k němu příslušející vlastní vektor $\vec u=(u_1\, \hdots\, u_n)^T$. Jestliže vás zajímá ještě nějaké jiné vlastní číslo (a k němu příslušející vlastní vektor) této matice, potom redukční metoda je tím, co potřebujete.
 
Bez újmy na obecnosti buď $u_1\ne 0$. Označme
\[
P=\left(
\begin{matrix}
u_1\\
u_2 & 1\\
\vdots & & \ddots\\
u_n & & & 1
\end{matrix}
\right)=(\vec u\, \vec e^{(2)}\, \hdots\, \vec e^{(n)}).
\]
Potom
\[
P^{-1}=\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{u_1}\\
\frac{-u_2}{u_1} & 1\\
\vdots & & \ddots\\
\frac{-u_n}{u_1} & & & 1\\
\end{matrix}
\right)
\]
a $AP=(A\vec u\, A\vec e^{(2)}\, \hdots\, A\vec e^{(n)})$, odkud
\[
P^{-1}AP=\left(
\begin{matrix}
\frac{1}{u_1}\\
\frac{-u_2}{u_1} & 1\\
\vdots & & \ddots\\
\frac{-u_n}{u_1} & & & 1\\
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
\lambda_1 u_1 & a_{12} & \hdots & a_{1n}\\
\lambda_1 u_2 & a_{22} & \hdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
\lambda_1 u_n & a_{n2} & \hdots & a_{nn}\\
\end{matrix}
\right)=
\]
\[
=\left(
\begin{matrix}
\lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\
0 & a_{22}-\frac{u_2}{u_1}a_{12} & \hdots & a_{2n}-\frac{u_2}{u_1}a_{1n}\\
\vdots & \vdots & & \vdots\\
0 & a_{n2}-\frac{u_n}{u_1}a_{12} & \hdots & a_{nn}-\frac{u_n}{u_1}a_{1n}\\
\end{matrix}
\right)
=\left(
\begin{matrix}
\lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\
\\
\vec o & & B\\
\\
\end{matrix}
\right),
\]
přičemž $B$ jsme označili sumbatici, která vznikne z matice $P^{-1}AP$ vynecháním prvního řádku a sloupce. Matice $A$ je podobná matici $P^{-1}AP$, má proto stejný charakteristický polynom $\abs{A-\lambda I}=(\lambda_1-\lambda)\abs{B-\lambda I}$. Matice $B$ má tedy stejné spektrum jako matice $A$ až na to, že vlastní číslo $\lambda_1$ v něm má o jedničku menší algebraickou násobnost. Speciálně, je-li $\lambda_1$ jednoduché vlastní číslo matice $A$, potom to není vlastní číslo matice $B$.
 
Spočteme-li (např. mocninnou metodou) nějaké vlastní číslo $\lambda_2\ne\lambda_1$ matice $B$ a k němu příslušející vlastní vektor $\vec z=(z_2\, \hdots\, z_n)^T$, získáme vlastní vektor matice $A$ příslušející k vlastnímu číslu $\lambda_2$ takto: Hledejme $z_1\in\mathbbm C$ tak, aby $\kcislo{z_1}{\vec z}$ byl vlastní vektor matice $P^{-1}AP$. Musí platit
\[
\left(
\begin{matrix}
\lambda_1 & \frac{a_{12}}{u_1} & \hdots & \frac{a_{1n}}{u_1}\\
\vec o & & B
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
z_1\\
\vec z
\end{matrix}
\right)=\lambda_2\kcislo{z_1}{\vec z},
\]
\[
\left(
\begin{matrix}
\lambda_1z_1+\frac{1}{u_1}(a_{12}z_2+\hdots+a_{1n}z_n)\\
\lambda_2\vec z
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
\lambda_2 z_1\\
\lambda_2\vec z
\end{matrix}
\right),
\]
\[
z_1=\frac{a_{12}z_2+\hdots+a_{1n}z_n}{(\lambda_2-\lambda_1)u_1}.
\]
Přechod od vlastního vektoru matice $P^{-1}AP$ k vlastnímu vektoru matice $A$ je již hračkou: Stačí vztah
\[
P^{-1}AP\left(
\begin{matrix}
z_1\\
\vec z
\end{matrix}
\right)=\lambda_2\left(
\begin{matrix}
z_1\\
\vec z
\end{matrix}
\right)
\]
vynásobit zleva maticí $P$ a dozvíme se, že vlastním vektorem matice $A$ příslušejícím k vlastnímu číslu $\lambda_2$ je vektor
\[
P\left(
\begin{matrix}
z_1\\
\vec z
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
u_1\\
u_2 & 1\\
\vdots & & \ddots\\
u_n & & & 1
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
z_1\\
z_2\\
\vdots\\
z_n
\end{matrix}
\right)=\left(
\begin{matrix}
z_1u_1\\
z_1u_2+z_2\\
\vdots\\
z_1u_n+z_n
\end{matrix}
\right)=z_1\vec u+\kcislo{0}{\vec z}.
\]
\begin{remark}
K řešení úplného problému vlastních čísel se redukční metoda nehodí, neboť v praxi by se každé další vlastní číslo počítalo se stále menší přesností.
\end{remark}