01MAA4cviceni:Kapitola4

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4cviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceniAdmin 1. 8. 201010:18
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 30. 3. 201214:39 header.tex
Kapitola1 editovatKvadrikyKubuondr 21. 2. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatImplicitní funkceAdmin 1. 8. 201010:16 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatExtrémy na varietáchVybirja2 21. 11. 201713:18 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZáměna proměnnýchKubuondr 3. 12. 201710:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatLebesqueův integrálKubuondr 17. 4. 201720:19 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFunkce komplexní proměnnéAdmin 1. 8. 201010:17 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:Vivi01.jpg Vivi01.jpg
Soubor:Krivk1.jpg Krivk1.jpg
Soubor:Kuzel1.jpg Kuzel1.jpg

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Záměna proměnných}
 
\begin{define} (\textsc{Regulární zobrazení}) \index{Definice!Regulárního zobrazení} \label{DRegularni}
	Zobrazení $f : (\Rn) \to \Rn$ se nazývá regulární, právě když platí
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $(\defo f ) = (\defo f) \vnitr$,
		\item $f \in C^{(1)}(\defo f)$,
		\item $(\forall x \in \defo f)(f'(x)$ je regulární  $)$.
	\end{enumerate}
\end{define}
 
\begin{remark}
	Regulární zobrazení je lokálně invertovatelné (jsou pro něj splněny požadavky Věty o inverzi \ref{VInverze}). To znamená,
	že regulární zobrazení je lokálně prosté,
	\[ f, f' \in C^{(1)}. \] Regulární zobrazení je též difeomorfismem.
\end{remark}
 
% klasifikace zamen ------------------------------------------------
\medskip
\subsection{Klasifikace záměn proměnných}
V následujících odstavcích probereme záměny proměnných v obyčejných i parciálních diferenciálních výrazech.
 
%Zamena v obyc -----------------------------------
\medskip
\subsection{Záměna proměnných v obyčejných diferenciálních výrazech}
 
Nechť $y = y (x)$ je funkce ($y: (\R) \to \R$). Pod obyčejným diferenciálním výrazem myslíme výrazy typu
\[ F = F (x,y(x), y'(x), \ldots ,  y^{(m)}(x)), \ m \ge 1. \]
Záměnou proměnných přecházíme od starých proměnných $x$, $y$ k novým $t$ a $u$.
\[ \svekt{x}{y} \longleftrightarrow \svekt{t}{u} \]
Což můžeme vystihnout pomocí zobrazení
\[ \Psi \svekt{x}{y} = \svekt{t}{u}, \]
kde $\Psi$ je regulární, tedy matice \label{PTransform}
\[ \begin{pmatrix}
	\parc{\Psi^1}{x} & \parc{\Psi^1}{y} \\
	\parc{\Psi^2}{x} & \parc{\Psi^2}{y}
\end{pmatrix}  \]
je regulární.
 
\begin{remark}
	V záměně popsané výše považujeme staré $x$ a nové $t$ za nezávislé proměnné. Naopak $y$ a $u$ za závislé, a tedy
	\begin{gather*} y = y(x), \\ u =u(t). \end{gather*}
\end{remark}
 
Pro přehled všech možností, které probereme, následuje malé schámátko
\begin{enumerate}
	\item[I.] Záměna nezávislých proměnných
		\begin{enumerate}
			\item[a)] Staré pomocí nových
			\item[b)] Nové pomocí starých
			\item[c)] Implicitně $\Phi (t,x) = 0$
		\end{enumerate}
	\item[II.] Záměna závislých a nezávislých proměnných
		\begin{enumerate}
			\item[a)] Staré pomocí nových
			\item[b)] Nové pomocí starých
			\item[c)] Implicitně $\Phi (t,u,x,y) = 0$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
% I ---------------------
\medskip
\subsection{I. Záměna nezávislých proměnných}
	Zobrazení $\Psi$ v tomto případě vypadá takto
	\[ \Psi \svekt{x}{y} = \svekt{\Psi^1(x)}{y}=\svekt{t}{u}. \]
 
% Ia ---------------------
\medskip
\subsubsection{I. a) Staré pomocí nových }
Máme
\begin{gather*}
	\svekt{x}{y} = \svekt{\varphi(t)}{u} = \Psi^{-1} \svekt{t}{u}, \\
	x = \varphi(t).
\end{gather*}
$\varphi$ musí být  dostatečně diferencovatelné ($\varphi \in C^{(m)}$) vzhledem k povaze $F$.
Zároveň je $\Phi$ regulární, neboť $\dot{\varphi} = \derv{\varphi}{t} \ne 0$.
Nyní sestavíme tzv. \textsc{Základní identitu}\index{Identita!Základní}, která nám pomůže vyjádřit neznámé.
V tomto případě má tvar
\[ u(t) = y(\varphi(t)). \]
Tento vztah derivujeme podle $t$ a získáme \footnote{Pozor! $\dot{\varphi} = \derv{\varphi}{t}$, $y' = \derv{y}{x}$.}
\begin{equation} \label{deriv1}
	\dot{u} (t) = y' (\varphi (t)) \cdot \dot{\varphi} (t) \ \Rightarrow \ y'(\varphi(t)) = \frac{1}{\dot{\varphi (t)}} \dot{u} (t).
\end{equation}
 
Pokud chceme derivace vyššího řádu, nic nám nebrání derivovat identitu dál.
 
\begin{equation} \label{deriv2}
	 y''(\varphi(t)) = \frac{\dot{u} (t)}{(\dot{\varphi}(t))^2} - \frac{\dot{u}(t) \ddot{\varphi}(t)}{(\dot{\varphi}(t))^3} \quad \textrm{atd.}
\end{equation}
 
\par
Dále můžeme využít operátorového zápisu. Vyjdeme ze vztahu pro první derivaci \eqref{deriv2}. Operátorově se to dá přepsat následovně
\[ \frac{\difer}{\difer x} = \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t}. \]
Rekurzivně zapíšeme derivaci $k$-tého řádu
\[ \frac{\difer^k}{\difer x^k} = \frac{\difer}{\difer x} \Big( \frac{\difer^{k-1}}{\difer x^{k-1}} \Big).   \]
Pro náš případ druhé derivace v rovnici \eqref{deriv2} dostaneme
 
\begin{gather*}
	 \frac{\difer^2}{\difer x^2} = \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t} \Big( \frac{1}{\dot{\varphi}} \frac{\difer}{\difer t} \Big) =
	\frac{1}{\dot{\varphi}^2} \frac{\difer^2}{\difer t^2} - \frac{\ddot{\varphi}}{\dot{\varphi}^3} \frac{\difer}{\difer t},
\end{gather*}
což souhlasí.
 
% Ib -----------
\medskip
\subsubsection{ I. b) Nové pomocí starých }
	V tomto případě zaměňujeme
	\[ t = \alpha(x), \ \alpha \in C^{(m)}, \alpha ' \ne \Theta. \]
	Sestrojíme základní identitu
	\[ y(x) = u(\alpha(x)). \]
	Odtud snadno dostáváme derivace
	\begin{align*}
		y'(x) &= \dot{u}(\alpha (x)) \cdot \alpha ' (x) \\
		y''(x) &= \ddot{u} (\alpha(x)) \cdot (\alpha ' (x))^2 + \dot{u} (\alpha (x)) \cdot \alpha '' (x).
	\end{align*}
Operátorové zápisy jsou již patrny z výše uvedených derivací.
 
% Ic ----------
\medskip
\subsubsection{ I. c) Implicitně $\Phi (t,x) = 0$}
V tomto případě požadujeme $\BP{x} \Phi$, $BP{t} \Phi \ne 0$.
\par
Případ \textbf{I. a)} dostaneme volbou $x= \varphi(t)$, pak máme  $\Phi(t, \varphi(t)) = 0$ odkud derivací získáme
	\[ \dot{\varphi} = -\frac{\BP{t}\Phi}{\BP{x}\Phi}. \]
\par
Druhou záměnu v \textbf{I. b)} dostaneme, pokud $t = \alpha (x)$, a tedy $\Phi(\alpha(x),x) = 0$. Odkud již snadno
\[ \alpha ' (x) = - \frac{\BP{x}\Phi}{\BP{t}\Phi}. \]
 
\begin{remark}
	Celkem jsme převedli $F(x,y,y', \ldots)$ na cosi jako $\widetilde{F}(t,u,\dot{u}, \ldots)$.
\end{remark}
 
\begin{example}
	Ve výrazu
	\[ F(x,y,y',y'') = x^2y'' + xy' + y, \]
	kde $x \in (0, + \infty)$ a $y \in C^{(2)}$, proveďte záměnu $x = e^t$.
\end{example}
 
\begin{example}
	Proveďte Keplerovu transformaci \index{Transformace!Keplerova} výrazu
	\[ F(x,y,y',y'') = y'' - y' \frac{\epsilon \sin x}{1-\epsilon \cos x} - y (1-\epsilon \cos x)^2, \]
	kde $\epsilon \in (0,1)$, $x \in \R$ a $y \in C^{(2)}$. A
	\[ t = x - \epsilon \sin x. \]
	\[ \]
\end{example}
 
% II ---------------------
\medskip
\subsection{II. Záměna závislých a nezávislých proměnných}
 
%II a -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{II. a)} Staré pomocí nových}
Narozdíl od předešlých případů máme pro záměnu
\begin{align*}
	x &= \varphi(t,u) &\textrm{staré:} \ y=y(x), \\
	y &= \psi(t,u)   &\textrm{nové:} \ u=u(t).
\end{align*}
Pro další postup předpokládáme, že $\varphi, \psi \in C^{(n)}$, regulární. Sestrojme základní identitu
\[ \psi(t,u) = y( \varphi(t,u)). \]
Naší oblíbenou činností \footnote{Derivováním podle $t$} vyjádříme
\[ y' = (\BP{t} \psi + \BP{u} \psi \cdot \dot{u}) (\BP{t} \varphi + \BP{u} \varphi \cdot \dot{u})^{-1}.  \]
Další derivací bychom dostali výrazy pro vyšší řády.
 
% IIb -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{II. b)} Nové pomocí starých}
Nyní platí
\[ t = \alpha (x,y), \quad u = \beta (x,y), \]
kde $\alpha, \beta \in C^{(n)}$, regulární.
Základní identita
\[ \beta(x,y) = u(\alpha(x,y)) \]
dává po derivaci podle $x$
\[ y' = \frac{\dot{u} \cdot \BP{x}\alpha - \BP{x} \beta}{\BP{y} \beta - \dot{u} \BP{y} \alpha}. \]
 
% IIc -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{III. c)} Implicitně}
 
\begin{example}
	V rovnici
	\[ (1-x^2)^2 y'' = -y \]
	proveďte substituci
	\begin{align*}
		x &= \tanh t, \\
		y &= \frac{u}{\cosh t}
	\end{align*}
	a uvidíte.
\end{example}
 
\begin{example}
	V Stokesově rovnici
	\[ y'' = \frac{Ay}{(x-a)^2(x-b)^2} \]
	proveďte záměnu
	\begin{align*}
		u &= \frac{y}{x-b}, \\
		t &= \ln \frac{x-a}{x-b}.
	\end{align*}
\end{example}
 
%Zamena v PARCIALNICH -----------------------------------
\medskip
\subsection{Záměna proměnných v parciálních diferenciálních výrazech}
 
Označme
\[ z= z (x_1, x_2, \ldots, x_n), \]
a tzv. multiindex \index{Multiindex}
\[ \alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n). \]
Jeho délka je rovna
\[ | \alpha | = \sum_{i=1} ^{n} \alpha _i. \]
Parciální derivace jistho řádu se pak dá zapsat jako
\[ D _Z ^{\alpha} = \frac{\partial ^{| \alpha |} Z}{\partial x_1 ^{\alpha_1} \dots \partial x_n ^{\alpha_n}}. \]
Parciální difierenciální výraz $m$-tého řádu je výraz typu
\[ F = F(x_1, \ldots, x_n, z, \{ D_Z ^{\alpha} \big| \ |  \alpha | \ge m \}). \]
V dalším textu se omezíme na funkci dvou proměnných $z = z(x,y)$.
Analogicky záměnnám v obyčejných diferenciálních výrazech budeme studovat jisté případy.
 
% I -----------------------------------
\medskip
\subsection{I. Záměna nezávislých proměnných}
 
\begin{remark}
	Obecná záměna se provadí opět pomocí jistého zobrazení
	\[ \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \overset{\Psi}{\longleftrightarrow} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}, \]
	kde $\Psi$ je regulární.
\end{remark}
Nyní v situaci I. platí, že $z=w$.
 
%Ia  -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{I. a)} Staré pomocí nových}
Máme
\begin{align*}
	x &= \varphi(u,v),
	y &= \psi(u,v)
\end{align*}
a
\[ \Psi \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \varphi(u,v) \\ \psi(u,v) \\ w \end{pmatrix}. \]
Základní identita má tvar
\[ z( \varphi(u,v), \psi(u,v)) = w(u,v). \]
Odtud (po trochu složitějším derivování podle $u$ a $v$) dostaneme
\begin{align*}
	\BP{x} z &= A(u,v) \BP{u} w +  B(u,v) \BP{v} w, \\
	\BP{y} z &= C(u,v) \BP{u} w + D(u,v) \BP{v} w,
\end{align*}
	nebo operátorově
	\[ \svekt{\BP{x}}{\BP{y}} = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix} \cdot \svekt{\BP{u}}{\BP{v}}. \]
 
%Ib  -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{I. b)} Nové pomocí starých}
 
V tomto případě jsou
\begin{align*}
	u &= \alpha(x,y) \\
	v &= \beta(x,y) \\
	\Psi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \alpha(x,y) \\ \beta(x,y) \\ z \end{pmatrix}.
\end{align*}
 
Napišme si základní identitu
\[ z(x,y) = w(\alpha(x,y), \beta(x,y). \]
Odtud již snadno derivací podle $x$ a $y$ vyjádříme hledané derivace.
 
%Ic  -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{I. c)} Implicitní funkce }
 
\begin{example}
	Ve výrazu
	\[ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} - \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = 0, \]
	proveďte Galileiho transformaci \index{Transformace!Galileiho}
	\begin{gather*} u = x - ct, \\ v = x + ct.  \end{gather*}
\end{example}
 
 
\begin{example}
	Proveďte záměnu
	\begin{gather*} x = u, \\ y = wv, \end{gather*}
	ve výrazu \[ x \BP{x} z + y \BP{y} z = z. \]
\end{example}
 
% II  -----------------------------------
\medskip
\subsection{II. Záměna nezávislých i závislých proměnných}
 
% IIa -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{II. a)} Staré pomocí nových}
Máme
\begin{align*}
	x &= \varphi(u,v,w), \\
	y &= \psi(u,v,w), \\
	z &= \xi(u,v,w).
\end{align*}
Zobrazení transformace pak vypadá
\[ \Psi \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \varphi(u,v,w) \\  \psi(u,v,w) \\ \xi(u,v,w) \end{pmatrix}. \]
Základní identita v tomto případě
\[ z \big( \varphi(u,v,w(u,v)), \psi(u,v,w(u,v)) \big) = \xi(u,v,w(u,v)) \]
po zderivování podle $u$ a $v$ dává opět hledané vztahy.
 
% IIb  -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{II. b)} Nové pomocí starých}
Máme
\begin{align*}
	u &= \alpha(x,y,z), \\
	v &= \beta(x,y,z), \\
	w &= \gamma(x,y,z).
\end{align*}
Zobrazení transformace pak vypadá
\[ \Psi \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix} \alpha(x,y,z) \\  \beta(x,y,z) \\ \gamma(x,y,z) \end{pmatrix}. \]
Základní identita v tomto případě
\[ w \big( \alpha(x,y,z(x,y)), \beta(x,y,z(x,y)) \big) = \gamma(x,y,z(x,y)) \]
po zderivování podle $u$ a $v$ dává opět hledané vztahy.
 
% IIc  -----------------------------------
\medskip
\subsubsection{\textbf{II. c)} Implicitní vazba}
...
 
\begin{example}
	Ve výrazu
	\[ (y-z) \BP{x} z + (y+z) \BP{y} z = 0, \]
	proveďte záměnu proměnných
	\begin{align*}
		u &= y-z, \\
		v &= y+z, \\
		w &= x.
	\end{align*}
\end{example}
 
% Polarni -------------------------
\medskip
\subsection{Polární transformace} \index{Transformace!Polární}
	Polární transformace je transformace typu
	\begin{equation} \label{TransPolar}
	 x = \rho \cos \varphi, \ y= \rho \sin \varphi,
	\end{equation}
	\[ \svekt{x}{y} \longleftrightarrow \svekt{\rho}{\varphi}. \]
	Zatím můžeme brát
	\begin{align*}
		\rho &\in <0, + \infty), \\
		\varphi &\in <-\pi, \pi),
	\end{align*}
	neboť pak máme
	\[ \svekt{x}{y} \in \R^2. \]
	Tyto obory budeme muset omezit, kvůli požadavku regularity zobrazení
	\[ \Psi \svekt{\rho}{\varphi} = \svekt{\rho \cos \varphi}{\rho \sin \varphi}. \]
	Spočítejme derivaci zobrazení $\Psi$,
	\[ \Psi' \svekt{\rho}{\varphi} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi \end{pmatrix}.\]
	A Jakobián (determinant matice $\Psi'$) jest roven
	\[ \det \Psi' = \boxed{\jak _{\textrm{polární}} = \rho}. \]
	Požadavek nenulovosti Jakobiánu transformace a otevřenosti oboru \footnote{viz. \ref{DRegularni} a \ref{PTransform}.} nás omezí na
	\begin{align*}
		\rho &\in (0, + \infty), \\
		\varphi &\in (-\pi, \pi).
	\end{align*}
	Můžeme si povšimnout, že vypuštěním těchto hraničních bodů jsme z roviny $xy$ odstranili
	tzv. Zápornou přímku \index{Přímka!Záporná} (záporná část osy $x$), označme ji $P_0$. Pak víme, že
	zobrazení $\Psi$ je regulární jako
	\[ \Psi : (0,+\infty) \times (-\pi, \pi) \to \R^2 - P_0. \]
 
	\subsubsection{Náhrada některých diferenciálních výrazů}
	V tomto odstavci si spočteme výrazy pro náhradu gradientu $\nabla$ a Laplaciánu $\laplace$.
	Pro zopakování, v kartézských souřadnicích v $\R^2$ máme
	\begin{align} \label{OperKart}
		\nabla_{xyz} &= (\BP{x},\BP{y}), \\
					\label{OperKart2}
		\laplace_{xyz} &= \BP{x}^2 + \BP{y}^2.
	\end{align}
 
	\par Sestrojme základní identitu
	\[ z(\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi) = w (\rho, \varphi), \]
	z které derivací podle $\rho$ a $\varphi$ dostaneme následující vyjádření
	\begin{align} \label{PolarDeriv}
		\BP{x} z &= \cos \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} w, \\
		\label{PolarDeriv2}
		\BP{y} z &= \sin \varphi \cdot \BP{\rho} w + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi} w.
	\end{align}
	Prostým dosazením do vztahu \eqref{OperKart} dostaneme gradient v polárních souřadnicích \footnote{Pozor! Jde o náhradu \textrm{z} kartézských souřadnic!} \index{Gradient!V polárních souřadnicích}
	\[ \nabla_{\textrm{polární}}  = \big( \cos \varphi \cdot \BP{\rho}  - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} , \ \sin \varphi \cdot \BP{\rho}  + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi}    \big). \]
	\par
	Pro odvození Laplaciánu je potřeba spočítat druhé derivace. to provedeme derivováním vztahů \eqref{PolarDeriv} a \eqref{PolarDeriv2}. Tyto
	výpočty jsou prostorově náročnější, takže je zde nebudeme vypisovat a je pouze na laskavém čtenáři, aby naše výsledky ověřil.
	Zjistí, že mnoho členů se dosazením do \eqref{OperKart2} vymlátí. Pak Laplacián v polárních souřadnicích má tvar \index{Laplacián!V polárních souřadnicích}
	\begin{equation} \label{LaplacePolar}
		\laplace_{\textrm{polární}} = \BP{\rho \rho}^2 + \frac{1}{\rho} \BP{\rho} + \frac{1}{\rho^2} + \BP{\varphi \varphi}^2 = \frac{1}{\rho} \BP{\rho}(\rho \BP{\rho}) + \frac{1}{\rho^2} \BP{\varphi \varphi} ^2.
	\end{equation}
 
 
% Cylindricka -------------------------
\medskip
\subsection{Cylindrická (válcová) transformace} \index{Transformace!Cylindrická}
Cylindrická transformace má tvar
\begin{align*}
	x & = \rho \cos \varphi, \\
	y &= \rho \sin \varphi, \\
	z &= \xi.
\end{align*}
Bez omezení zatím uvažujeme
\begin{align*}
	\rho &\in <0, +\infty), \\
	\varphi &\in <-\pi, \pi > \\
	\xi &\in \R.
\end{align*}
	Zjistíme, kdy je zobrazení $\Psi$ regulární. Máme
	\[ \Psi \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \\ \rho \sin \varphi \\ \xi \end{pmatrix}. \]
	Derivace dává
	\[ \Psi' \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \xi \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \varphi & - \rho \sin \varphi & 0 \\ \sin \varphi & \rho \cos \varphi &  0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.  \]
	Jakobián cylindrické transformace \index{Jakobián!Cylindrické transformace}
	\[ \boxed{\jak _{\textrm{cylindr.}} = \rho}. \]
	Odtud dostáváme omezení na obory
\begin{align*}
	\rho &\in \R^+, \\
	\varphi &\in (-\pi, \pi ) \\
	\xi &\in \R.
\end{align*}
	Opět tedy vypouštíme zápornou přímku $P_0$ (teď je to rovina). Pro výpočet integrálu to nehraje
	žádnou roli, neboť $\nu (P_0) = 0$. Zobrazení $\Psi$ je regulární při
	\[ \Psi : \R^+ \times (-\pi, \pi) \times \R \to \R^3 - P_0 \times \R. \]
 
	\subsubsection{Výpočet některých diferenciálních výrazů}
	V tomto případě budeme derivovat základní identitu
	\[ f (\rho \cos \varphi, \rho \sin \varphi, \xi) = w (\rho, \varphi, \xi) \]
	podle $x$, $y$ a $z$. Pokud si ovšm neuvědomíme, že hledané derivace jsou stejné jako v případě \eqref{PolarDeriv} a \eqref{PolarDeriv2}. Stačí
	jen spočísti derivaci podle $z$ (derivováním základní identity podle $\xi$), která je však triviální
	\[ \BP{z} f = \BP{\xi} w. \]
	Odtud dostáváme gradient v cylindrických souřadnicích \index{Gradient!V Cylindrických souřadnicích}
	\[ \nabla_{\textrm{cylindr.}}  = \big( \cos \varphi \cdot \BP{\rho}  - \frac{\sin \varphi}{\rho} \BP{\varphi} , \ \sin \varphi \cdot \BP{\rho}  + \frac{\cos \varphi}{\rho} \BP{\varphi}, \BP{\xi}    \big). \]
	Stejně tak můžeme využít výsledků \eqref{LaplacePolar} a dostaneme Laplacián v cylindrických souřadnicích \index{Laplacián!V cylindrických souřadnicích}
	\[ \laplace_{\textrm{cylindr.}} = \underbrace{\BP{xx}^2 + \BP{yy}^2}_{\textrm{známe z polárních souř.}} + \BP{zz}^2 = \frac{1}{\rho} \BP{\rho}(\rho \BP{\rho}) + \frac{1}{\rho^2} \BP{\varphi \varphi} ^2 + \BP{\xi \xi}^2. \]
 
% Sfericka -------------------------
\medskip
\subsection{Sférická transformace} \index{Tansformace!Sférická}
	Pro sférickou transformaci platí
\begin{align*}
	x &= \rho \cos \varphi \cos \vartheta, \\
	y &= \rho \sin \varphi \cos \vartheta, \\
	x &= \rho \sin \vartheta,
\end{align*}
	při zatím neomezených podmínkách
\begin{align*}
	\rho &\in <0, + \infty), \\
	\varphi &\in <- \pi, \pi>, \\
	\vartheta &\in <-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}>.
\end{align*}
Regularita zobrazení
\[ \Psi \begin{pmatrix} \rho \\ \varphi \\ \vartheta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \rho \cos \varphi \cos \vartheta \\ \rho \sin \varphi \cos \vartheta \\ \rho \sin \vartheta \end{pmatrix}. \]
Po několika úpravách dostaneme
\[ \det \Psi ' = \boxed{\jak _{\textrm{sférická}} = \rho \cos \vartheta}. \]
Regularitu tedy máme pro
	\[ \Psi : \R^+ \times (-\pi, \pi) \times (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \to \R^3 - P_0 \times \R. \]
 
	\subsubsection{Náhrada některých diferenciálních výrazů}
	Základní identita má tvar
	\[ f = f(\rho \cos \varphi \cos \vartheta, \rho \sin \varphi \cos \vartheta, \rho \sin \vartheta) = w(\rho, \varphi, \vartheta). \]
	Derivováním této identity podle $\rho$, $\varphi$ a $\vartheta$ dostaneme soustavu lineární vzhledem k členům $\BP{x}f$, $\BP{y}f$ a
	$\BP{z}f$, které hledáme. Tuto soustavu vyřešíme pomocí Cramerova pravidla (viz. \cite[p.~80, Věta 83.]{Pytlicek} ) a zjistíme, že
	\begin{align*}
		\BP{x} f &= \cos \vartheta \cos \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\sin \varphi}{\rho \cos \vartheta} \BP{\varphi} w - \frac{\cos \varphi \sin \vartheta}{\rho}\BP{\vartheta} w, \\
		\BP{y} f &= \cos \vartheta \sin \varphi \cdot \BP{\rho} w - \frac{\cos \varphi}{\rho \cos \vartheta} \BP{\varphi} w - \frac{\sin \varphi \sin \vartheta}{\rho}\BP{\vartheta} w, \\
		\BP{z} f &= \sin \vartheta \cdot \BP{\rho} w + \frac{\cos \vartheta}{\rho} \BP{\vartheta} w.
	\end{align*}
	Pak můžeme gradient zapsat jako \index{Gradient!Ve sférických souřadnicích}
	\[ \nabla_{\textrm{sférické}} f = ( \BP{x} f, \BP{y} f, \BP{z} f).   \]
	Laplace...
\begin{remark}
	Sférickou transformaci můžeme dostat jako složení dvou válcových.
\end{remark}
 
 
 
% Zobec Sfericka -------------------------
\medskip
\subsection{Zobecněná sférická transformace} \index{Tansformace!Zobecněná sférická}
 
\begin{example}
	Mějme množinu
	\[ M \equiv x^3 + y^3 + z^3 = 1, \quad x,y,z>0. \]
	Proveďte transformaci
	\begin{align*}
		x &= \rho \cos^{2/3} \varphi \cos^{2/3} \vartheta,
		y &= \rho \sin^{2/3} \varphi \cos^{2/3} \vartheta,
		z &= \rho \sin^{2/3} \vartheta.
	\end{align*}
\end{example}
 
\begin{example}
	Ve výrazu
	\[ \BP{xx}^2 z + 2xy^2 \BP{x}z + 2 (y-y^3) \BP{y}z + x^2 y^2 z = 0 \]
	proveďte záměnu
	\begin{align*}
		x &= uv, \\
		y &= \frac{1}{v}, \\
		z &= w.
	\end{align*}
\end{example}
 
\begin{example}
	Ve výrazu
	\[ \BP{xx}^2 z + \BP{yy}^2 z + cz = 0, \quad c > 0 \]
	proveďte záměnu
	\begin{align*}
		x &= e^u \cos v, \\
		y &= e^u \sin v, \\
		z &= w.
	\end{align*}
\end{example}
 
\begin{example}
	V \textbf{obyčejné} diferenciální rovnici
	\[ y' y''' - 3 (y'')^2 = x \]
	proveďte záměnu
	\[ t = y, \ u = x. \]
\end{example}
 
%Priklady Demidovic---------------------
\medskip
\subsection{Příklady - Děmidovič}
 
V následujících výrazech proveďte zadané záměny.
 
\begin{dex} 3434. $x^2 + y'' + xy' + y = 0$, když $x = e^t$.
\solution{\ddot{y}+y=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3435. $y'''=\frac{6y}{x^3}$, když $t = \ln |x|$.
\solution{\dot{\ddot{y}}-3\ddot{y}+2\dot{y}-6y=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3436. $(1-x^2)y''-xy'+n^2y=0$, když $x=\cos t$.
\solution{\ddot{y}+n^2y=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3437. $y'' + y' \tanh x + \frac{m^2}{\cosh^2 x}y=0$, když $x=\ln \tan \frac{t}{2}$.
\solution{\ddot{y}+m^2y=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3438. $y''+p(x)y'+q(x)y=0$, když
	\[ y = u e^{-\frac{1}{2} \int_{x_0}^x p(\xi) \difer \xi }, \]
	kde $p(x) \in C^1$.
\solution{u''+\big( q(x) - \frac{1}{4}p^2(x) - \frac{1}{2}p'(x) \big) u = 0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3439. $x^4y''+xyy'-2y^2=0$, když $x=e^t$ a $y = ue^{2t}$, kde $u = u(t)$.
\solution{\ddot{u} + (u+3) \dot{u} + 2 u = 0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3440. $(1+x^2)^2y''=y$, když $x = \tan t$ a $y = \frac{u}{\cos t}$, kde $u=u(t)$.
\solution{\ddot{u}=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3441. $(1-x^2)^2y''=-y$, když $x = \tanh t$ a $y = \frac{u}{\cosh t}$, kde $u=u(t)$.
\solution{\ddot{u}=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3442. $y''+(x+y)(1+y')^3=0$, když $x=u+t$ a $y=u-t$, kde $u=u(t)$.
\solution{\ddot{u}+8u \dot{u}^3=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3443. $y'''-x^3y''+xy'-y=0$, když $x=\frac{l}{t}$ a $y=\frac{u}{t}$, kde $u= u(t)$.
\solution{t^5 \dot{\ddot{u}}+(3t^4+1)\ddot{u}+\dot{u}=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3444. Proveďte záměnu v \emph{Stokesově} rovnici \index{Rovnice!Stokesova}
	\[ y'' = \frac{Ay}{(x-a)^2(x-b)^2}, \]
	pomocí
	\begin{align*}
		u &= \frac{y}{x-b}, \\
		t &= \ln \big| \frac{x-a}{x-b} \big|,
	\end{align*}
	kde $u=u(t)$.
\solution{u''-u'=\frac{A}{(a-b)^2}u}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3445. Ukažte, že když rovnici
	\[ y'' + p(x) y' + q(x)y = 0 \]
	převedete záměnou $x = \varphi(\xi)$ na tvar
	\[ \frac{\difer^2 y}{\difer \xi^2} + P(\xi) \frac{\difer y}{\difer \xi} + Q(\xi) y = 0, \]
	pak platí, že
	\[ \big( 2P(\xi) Q(\xi) + Q'(\xi) \big) \big( Q(\xi) \big)^{-3/2} = \big( 2p(x) q(x) + q'(x) \big) \big( q(x) \big)^{-3/2} \]
\end{dex}
 
\begin{dex} 3446. Ve výrazu $\Phi(y,y',y'') = 0$, kde $\Phi$ je homogenní (adnarodnaja funkcija) funkce $y$, $y'$, $y''$, položte
	\[ y = e^{\int_{x_0}^x u \difer x}. \]
\solution{\Phi(1,u,u'+u^2)=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3447. Ve výrazu $F(x^2y'',xy',y) = 0$, kde $\Phi$ je homogenní funkcí svých argumentů, položte
	\[ u = x \frac{y'}{y}.  \]
\solution{F(xu'+u^2-u,u,1)=0}
\end{dex}