01MAA4cviceni:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4cviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceniAdmin 1. 8. 201010:18
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 30. 3. 201214:39 header.tex
Kapitola1 editovatKvadrikyKubuondr 21. 2. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatImplicitní funkceAdmin 1. 8. 201010:16 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatExtrémy na varietáchVybirja2 21. 11. 201713:18 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZáměna proměnnýchKubuondr 3. 12. 201710:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatLebesqueův integrálKubuondr 17. 4. 201720:19 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFunkce komplexní proměnnéAdmin 1. 8. 201010:17 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:Vivi01.jpg Vivi01.jpg
Soubor:Krivk1.jpg Krivk1.jpg
Soubor:Kuzel1.jpg Kuzel1.jpg

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Extrémy na varietách}
 
\begin{remark} Uvědomme si, že \par
	\begin{itemize}
		\item \textbf{Volný extrém} funkce $f: D_f \to \R$ jsme hledali na otevřeném $D_f \subset \Rn$
		\item \textbf{Vázaný extrém} funkce $f: D_f \to R$ hledáme na $D_f \subset \Rn$, který je varietou v $\Rn$.
	\end{itemize}
\end{remark}
 
\begin{define} (\textsc{Vázaný extrém}) \index{Definice!Extrém vázaný}
	Úloha nalézt vázaný extrém funkce $f : M \to \R$ na varietě $M \subset \Rn$ znamená nalézt body z $M$ tak, že
	funkce $f$ v nich má lokální extrém vzhledem k množine $M$.
\end{define}
 
\begin{remark} (Zadání variety)
	Varietu $M$ zadáme pomocí zobrazení $\Phi: \Rn \to \R ^m$, $m<n$ následovně
	\[ M \equiv \Phi(x) = 0. \]
	Dále pokud $\jak \Phi$ je Jakobián zobrazení $\Phi$, určíme dimenzi variety jako
	\[ \dim M = n - \hod ( \jak \Phi). \]
\end{remark}
 
\begin{define} (\textsc{Tečný prostor}) \index{Definice!Tečného prostoru}
	Tečným prostorem k varietě $M$ v bodě $x_0 \in M$ rozumíme
	\[ T_M (x_0) = \big[ \jak \Phi (x_0) \big] ^{-1} (\Theta) = \ker (\jak \Phi(x_0)). \]
\end{define}
 
\begin{define} (\textsc{Lagrangova funkce}) \index{Definice!Lagrangeovy funkce}
	Lagrangeova funkce $\Lambda : (\Rn) \to \R$ je definována vztahem
	\[ \Lambda (x) = f(x) - \sum _{j=1} ^m \lambda_j \Phi ^j (x), \]
	kde $\Phi \trans (x) = \big( \Phi ^1 (x), \Phi ^2 (x), \ldots , \Phi ^m (x) \big)$ a
	$\lambda_1 ,\ldots ,\lambda_m$ jsou tzv. Lagrangeovy multiplikátory.
\end{define}
 
\begin{theorem} (\textsc{Nutná podmínka})
	Nechť funkce $f$ má v bodě $x_0 \in M$ lokální extrém vzhledem k varietě $M$. Pak
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\exists f'(x_0) \ \Rightarrow \ (\exists \lambda_1 , \ldots, \lambda_m \in \R)(x_0 \ \textrm{je stacionárním bodem funkce} \ \Lambda)$,
		\item $M, f \in C^{(2)} \ \Rightarrow \ \Lambda '' (x_0) \Big| _{T_M (x_0)}$ je semidefinitní.
	\end{enumerate}
\end{theorem}
 
\begin{theorem} (\textsc{Postačující podmínka})
	Nechť $x_0 \in M$, $M,f \in C^{(2)}$ a existují $\lambda_1 , \ldots \lambda_m \in \R$ tak, že
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\Lambda'' (x_0) = \Theta$,
		\item $\Lambda '' (x_0) \Big| _{T_M (x_0)}$ je PD, resp. ND.
	\end{enumerate}
	Pak má $f$ v bodě $x_0$ ostré lokální minimum, resp. maximum, vzhledem k varietě $M$.
\end{theorem}
 
Následující příklady byly spočteny na cvičeních, některé jsou z Děmidoviče.
 
\begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y)=xy$ na varietě $M \equiv x + y = 1$.
\end{example}
 
\begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y,z)=xyz$ na varietě
	\begin{align*} M \equiv  &x^2 + y^2 + z^2 = 1 \\
					 &x + y + z = 0
	\end{align*}
\end{example}
 
\begin{example} Nalezněte extrémy funkce $f(x,y,z)=xy+yz$ na varietě
	\begin{align*} M \equiv  &x^2 + y^2 = 2 \\
					 &y + z = 2
	\end{align*}
\end{example}
 
\begin{example}
	Nalezněte extrémy funkce
	\[ f(x_1,\ldots ,x_n) = \sum_{i=1} ^n x_i ^p \]
	na varietě
	\[ M \equiv \sum _{i=1} ^n x_i = A > 0, \]
	při $(x_i > 0)(\forall i \in \hat{n})$ a $p>1$.
\end{example}
 
\begin{example}
	Nalezněte extrémy funkce
	\[ f(x_1,\ldots ,x_n) = \prod_{i=1} ^n x_i ^{\alpha_i}, \]
	kde $(\alpha_i ,x_i > 0)(\forall i \in \hat{n})$
	na varietě
	\[ M \equiv \sum _{i=1} ^n x_i = A > 0. \]
\end{example}
 
% Extremy na kompaktech
\medskip
\subsection{Extrémy na kompaktech}
 
\begin{remark}
	Funkce spojitá na kompaktu má globální maximum i minimum.
\end{remark}
 
\begin{example}
	Mějme funkci $f(x,y) = x^2 - xy + y^2$ a hledejme její extrémy vzhledem k varietě $M \equiv \abs{x} + \abs{y} \ge 1$.
\end{example}
 
\begin{example}
	Hledejte extrémy funkce
	\[ f(x,y,z) = 2x^2++2y^2+z^2-x-y-z-2xy+1, \]
	na varietě
	\[ M \equiv <0,1> \times <0,1> \times <0,1>. \]
\end{example}
 
\subsection{Příklady - Děmidovič}
Následující příklady jsou z Děmidoviče \cite{Demidovic}, konkrétně od 3654 až po 3677 na stranách 339 až 341. Zde je uvádím v plném znění
i s výsledky.
\par
Najděte extrémy následujících funkcí více proměnných
\begin{dex} 3654.
	$z=xy$, když $x+y = 1$.
	\solution{z_{max}=1/4, \ x=1/2, \ y=1/2}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3655.
	$z = \frac{x}{a} + \frac{y}{b}$, když $x^2 + y^2 = 1$.
	\solution{z_{min} = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{\abs{ab}}, x_{min} = - \frac{b \epsilon}{\sqrt{a^2+b^2}}, y_{min} = - \frac{a \epsilon}{\sqrt{a^2+b^2}}; z_{max} = -z_{min}, x_{max} = -x_{min}, y_{max} = -y_{min} }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3656.
	$z=x^2+y^2$, když $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$.
	\solution{z_{max} = \frac{a^2b^2}{a^2+b^2}, \ x = \frac{a b^2}{a^2+b^2}, \ y = \frac{a^2b}{a^2+b^2}}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3657.
	$z = A x^2 + 2Bxy+Cy^2$, když  $x^2+y^2= 1$.
	\solution{z_{min}=\lambda_1, \ z_{max}=\lambda_2, \ \textrm{kde} \ \lambda_1 < \lambda_2 \ \textrm{a platí} \ (A-\lambda_{12})(C-\lambda_{12})-B^2=0}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3657.1.
	$z = x^2 + 12 xy+2y^2$, když  $4x^2+y^2= 25$.
	\solution{z_{max}=106 \frac{1}{4}, \ x = \pm 1 \frac{1}{2}, \ y = \pm 4; \ z_{min} = -50, \ x = \pm 2, \ y = \mp 3}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3658.
	$z = \cos^2 x + \cos^2 y$, když $x-y = \frac{\pi}{4}$.
	\solution{\textrm{Extrém v} \ z = 1 + \frac{(-1)^k}{\sqrt{2}}, \ x = \pi/8 + (\pi k)/2, \ y = -\pi/8 + (\pi k)/2, \ k \in \mathbb{Z}, \ k \textrm{sudé max}, \ k \textrm{liché min} }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3659.
	$u = x - 2y+2z$, když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$.
	\solution{u_{min}=-3, \ x=-1/3, \ y=2/3, \ z=-2/3; \ u_{max}=3, \ x=1/3, \ y=-2/3, \ z=2/3}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3660.
	$u = x^m y^n z^p$, když $x+y+z=a$ a kde $m > 0$, $n > 0$, $p > 0$ a $a > 0$.
	\solution{u_{max}=\frac{a^{m+n+p}m^mn^np^p}{(m+n+p)^{m+n+p}}, x/m=y/n=z/p=a/(m+n+p)}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3661.
	$u = x^2 + y^2 + z^2$, když
	\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1, \]
	kde $a>b>c>0$.
	\solution{u_{min}=c^2, \ x=0, \ y=0, \ z= \pm c; \ u_{max}=a^2, \ x=\pm a, \ y=0, \ z=0 }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3662.
	$u = x y^2 z^3$, když $x+2y+3z = a$, kde $x>0$, $y>0$, $z>0$ a $a>0$.
	\solution{u_{max}=\big( a/6 \big)^6, \ x=y=z=a/6}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3663.
	$u = xyz$, když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$ a $x+y+z=0$.
	\solution{u_{min}=-1/(3 \sqrt{6}), \ x = y = 1/\sqrt{6}, \ z = -2/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ x=z=1\sqrt{6}, \ y=-2/\sqrt{6}, \ \textrm{a} \ y=z=1/\sqrt{6}, \ x=-2/\sqrt{6}; \ u_{max} = 1/(3\sqrt{6}), \ x=y=-1/\sqrt{6}, \ z=2/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ z = 2/\sqrt{6}, \ x=z=-1/\sqrt{6} \ \textrm{a} y = 2/\sqrt{6}, \ y=z=-1/\sqrt{6} \ \textrm{a} \ x = 2/\sqrt{6}  }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3663.1.
	$u = xy + yz$, když  $x^2 + y^2 = 2$ a $y + z = 2$, kde $x>0$, $y>0$ a $z>0$.
	\solution{u_{max}=2, \ x=z=y=1}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3664.
	$u = \sin x \sin y \sin z$, když $x + y+ z = \frac{\pi}{2}$ a kde $x>0$, $y>0$ a $z>0$.
	\solution{u_{max}= 1/8, \ x=y=z = \pi/6}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3665.
	\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1 \]
	když $x^2 + y^2 + z^2 = 1$, $x \cos \alpha + y \cos \beta + z \cos \gamma = 1$, kde $a>b>c>0$ a $\cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
	\solution{u_{min} = \lambda_1, \ u_{max}=\lambda_2, \ \textrm{kde} \ \lambda_{12} - \Big( \frac{\sin^2 \alpha}{a^2} + \frac{\sin^2 \beta}{b^2} + \frac{\sin^2 \gamma}{c^2} \Big) \lambda_{12} + \Big( \frac{\cos^2 \alpha}{b^2c^2} + \frac{\cos^2 \beta}{a^2c^2} + \frac{\cos^2 \gamma}{a^2b^2}  \Big), \ \lambda_1 < \lambda_2}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3666.
	$u = (x-\xi)^2 + (y - \mu)^2 + (z- \zeta)^2$, když
		\begin{gather*} Ax + By + Cz = 0, \\
			 x^2 + y^2 + z^2 = R^2, \\
			 \frac{\xi}{\cos \alpha} + \frac{\mu}{\cos \beta} + \frac{\zeta}{\cos \gamma},
		\end{gather*}
		kde $\cos ^2 \alpha + \cos^2 \beta + \cos^2 \gamma = 1$.
	\solution{u_{min}= \frac{R^2 (A \cos \alpha + B \cos \beta + C \cos \gamma)^2}{A^2 + B^2 + C^2}, \ u_{max}=R^2; \ u_{max}=R^2}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3667.
	$u = x_1 ^2 + x_2 ^2 + \ldots + x _n ^2$ když
	\[ \frac{x_1}{a_1} + \frac{x_2}{a_2} + \ldots \frac{x_n}{a_n} = 1, \]
	kde $a_i > 0$, $\forall i \in \hat{n}$.
	\solution{u_{min}=\big( \sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j ^2} \big)^{-1}, \ x_i= \frac{1}{a_i} \big( \sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j ^2} \big)^{-1}, \ i \in \hat{n}}
\end{dex}
 
\begin{dex} 3668.
	$u = x_1 ^p + x_2 ^p + \ldots + x _n ^p$ když $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = a$ a $p>1$, $a>0$.
	\solution{u_{min}=\frac{a^p}{n^{p-1}, \ x_i = a/n}, \ i \in \hat{n} }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3669.
	\[ u = \frac{\alpha_1}{x_1} + \frac{\alpha_2}{x_2} + \ldots + \frac{\alpha_n}{x_n} \]
	když $\beta _1 x_1 + \beta_2 x_2 + \ldots + \beta_n x_n = 1$ a $\alpha_i > 0$, $\beta_i>0$, $x_i > 0$  $\forall i \in \hat{n}$.
	\solution{u_{min} = \big( \sum_{j=1}^n \sqrt{\alpha_j \beta_j} \big)^2, \ x_i = \sqrt{\alpha_i / \beta_i}\big( \sum_{j=1}^n \sqrt{\alpha_j \beta_j} \big)^{-1}, \ i\in \hat{n} }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3670.
	$u = x_1 ^{\alpha_1} x_2 ^{\alpha_2} \ldots x_n ^{\alpha_n}$ když $x_1 + x_2 + \ldots + x_n = a$, kde $a>0$, $\alpha_i>1$ $\forall i \in \hat{n}$.
	\solution{u_{max}=\Big( \frac{a}{\alpha_1 + \ldots + \alpha_n} \Big)^{\alpha_1 + \ldots + \alpha_n} \alpha_1 ^{\alpha_1} \ldots \alpha_n ^{\alpha_n}, \ x_i / \alpha_i = x_j / \alpha_j }
\end{dex}
 
\begin{dex} 3671.
	Najděte extrém symetrické ($a_{ij} = a_{ji}$) kvadratické formy \[ u = \sum _{i,j} ^n a_{ij} x_{i} x_{j}, \]
	na varietě \[ \sum _{i=1} ^n x_i ^2 = 1. \]
\end{dex}
 
\begin{dex} 3672.
	Dokažte nerovnost
	\[ \frac{x^n + y^n}{2} \ge \Big( \frac{x+y}{2} \Big) ^n, \]
	jsou-li $n \ge 1$, $x \ge 0$ a $y \ge 0$.
	\par \textsc{Nápověda:} Zkoumejte minimum funkce $u = 1/2 \cdot (x^n + y^n)$ na varietě $x+y=s$.
\end{dex}
 
\begin{dex} 3673.
	Dokažte \emph{H\"olderovu nerovnost} \index{Nerovnost!H\"olderova}
	\[ \sum_{i=1} ^n a_i x_i \le \Big( \sum_{i=1} ^{n} a_i ^k \Big) ^{\frac{1}{k}} \Big( \sum_{i=1} ^{n} x_i ^{k'} \Big) ^{\frac{1}{k'}}. \]
	\par \textsc{Nápověda:} Zkoumejte minimum funkce \[ u = \Big( \sum_{i=1}^n a_i ^k \Big)^{1/k} \Big( \sum_{i=1}^n x_i ^{k'}  \Big) ^{1/k'} \]
	na varietě \[ \sum_{i=1}^n a_i x_i = A. \]
\end{dex}
 
\begin{dex} 3674. Dokaže \emph{Hadamardovu nerovnost} \index{Nerovnost!Hadamardova}
 	\[ det(A)^2 \le  \prod _{i=1} ^n \Big( \sum _{i=1} ^n a_{ij} ^2  \Big). \]
\end{dex}