01MAA4cviceni:Kapitola2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4cviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceniAdmin 1. 8. 201010:18
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 30. 3. 201214:39 header.tex
Kapitola1 editovatKvadrikyKubuondr 21. 2. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatImplicitní funkceAdmin 1. 8. 201010:16 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatExtrémy na varietáchVybirja2 21. 11. 201713:18 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZáměna proměnnýchKubuondr 3. 12. 201710:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatLebesqueův integrálKubuondr 17. 4. 201720:19 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFunkce komplexní proměnnéAdmin 1. 8. 201010:17 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:Vivi01.jpg Vivi01.jpg
Soubor:Krivk1.jpg Krivk1.jpg
Soubor:Kuzel1.jpg Kuzel1.jpg

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
% IMPLICITNI FCE  --------------------------
\medskip
\section{Implicitní funkce}
 
\begin{theorem} (\textsc{O inverzi}) \index{Věta!O inverzi} \label{VInverze}
	Buďte splněny tyto předpoklady
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $g: E \to E$, spojité na okolí $y_0 \in E$,
		\item existuje $g'$ na okolí $y_0$ spojitá v $y_0$,
		\item $g'(x_0)$ je regulární,
		\item $g(y_0) = x_0$.
	\end{enumerate}
	Potom existuje $H_{x_0}$ a $H_{y_0}$ tak, že $(\forall x \in H_{x_0})(\exists_1 y \in H_{y_0})(x = g(y))$. Tj. na $H_{x_0}$ existuje
	$g^{-1}$ a platí, že $(g^{-1})'(x_0)=(g'(y_0))^{-1}$.
\end{theorem}
 
\begin{theorem} (\textsc{O implicitních funkcích}) \index{Věta! O implicitních funkcích} \label{VImplic}
	Nechť $\Phi : \R ^{r+m} \to \R ^m$ a
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\exists (x_0,y_0)$: $\Phi(x_0,y_0) = \Theta$,
		\item $\Phi$ je spojité na okolí $(x_0,y_0)$,
		\item $\parc{\Phi}{y}$ existuje na okolí $(x_0,y_0)$ a je spojitá v $(x_0,y_0)$,
		\item $\parc{\Phi}{y}(x_0,y_0)$ je regulární.
	\end{enumerate}
	Pak
	\[ (\exists H_{x_0}, \ H_{y_0})(\forall x \in H_{x_0})(\exists_1 y \in H_{y_0})(\Phi()x,y)=\Theta. \]
	Vzniknuvší funkce (označme ji $Y=Y(x)$) je spojitá na $H_{x_0}$. Pokud $\Phi'$ existuje na okolí
	$(x_0,y_0)$ pak i $Y'$ existuje na $H_{x_0}$.
\end{theorem}
 
\begin{example} Mějme zadanou množinu bodů splňujících vztah $x+y+z=e^{z}$, kde $x+y > 1$ a $z>0$. Ptáme se,
	zda existuje závislost $z=z(x,y)$.
\end{example}
 
 
\begin{example} Máme zadáno $\Phi: \R ^{4} \to \R^{2}$ po složkách takto:
	\begin{align*}
		\Phi ^{1} (x,y,u,v) = x + y^{2} + u ^{3} - u - v = 0, \\
		\Phi ^{2} (x,y,u,v) = x^{2} - 3y + u - 2v + 4 = 0.
	\end{align*}
	Existují závislosti $u = u(x,y)$ a $v = v(x,y)$?
\end{example}
 
\begin{example}
	Je zadán vztah $y - \epsilon \sin y = x$, kde $\epsilon \in (0,1)$. Existuje závislost $y = y(x)$?
\end{example}
 
\begin{remark}
	Věta o inverzi zaručuje lokální invertovatelnost. Nic víc.
\end{remark}
 
\begin{example}
	Je zadána $F: \R ^{2} \to \R ^{2}$ vztahem
	\[ F(x,y) = \svekt{x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}, \]
	kde $x,y>0$. Existuje $F^{-1}$?
\end{example}
 
% EXTREMY IMPICITNE ZADANYCH FCI  --------------------------
\medskip
\subsection{Extrémy implicitně zadaných funkcí}
 
V následujících příkladech využijeme vědomostí nabytých o implicitních funkcích jakožto i minulého semestru.
 
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3651.})
	Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
	\[ x^2 + y^2 + z^2 -xz -yz + 2x +2y +2z -2 = 0. \]
\end{example}
 
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3652.})
	Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
	\[ x ^2 + y^2 + z^2 - xz - yz +2x +2y +2z - 2 =0. \]
\end{example}
 
\begin{example} (\emph{Děmidovič 3653.})
	Najděte extrémy funkce $z=z(x,y)$ implicitně definované vztahem
	\[ (x ^2 + y^2 + z^2)^2 = a^2 (x^2 + y^2 - z^2). \]
\end{example}