01MAA4cviceni:Kapitola1

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA4cviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA4cviceniAdmin 1. 8. 201010:18
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:47
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 30. 3. 201214:39 header.tex
Kapitola1 editovatKvadrikyKubuondr 21. 2. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatImplicitní funkceAdmin 1. 8. 201010:16 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatExtrémy na varietáchVybirja2 21. 11. 201713:18 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatZáměna proměnnýchKubuondr 3. 12. 201710:25 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatLebesqueův integrálKubuondr 17. 4. 201720:19 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatFunkce komplexní proměnnéAdmin 1. 8. 201010:17 kapitola6.tex

Vložené soubory

soubornázev souboru pro LaTeX
Soubor:Vivi01.jpg Vivi01.jpg
Soubor:Krivk1.jpg Krivk1.jpg
Soubor:Kuzel1.jpg Kuzel1.jpg

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA4cviceni}
\section{Kvadriky}
 
\begin{define} (\textsc{Kvadratická funkce}) \index{Definice!Kvadratické funkce}
	Buďte $A \in \Rnn$ symetrická, $A \ne \Theta$,
		$b \in \Rn$, $c \in \R$.
	Pak zobrazení $f: \Rn \to \R:$
		\[ f(x) = x \trans A x - 2 b \trans x + c \]
		se nazývá kvadratická funkce.
	Množina $\mathcal{Q} = f^{-1}(0) = \{ x \in \Rn \vert f(x) = 0 \}$ se nazývá kvadrika s rovnicí $f(x) = 0$.
\end{define}
 
\begin{remark}
	V této definici jsme použili značení standardního skalárního součinu pomocí sloupcových a řádkových vektorů.
	Zřejmě platí
	\[ x \trans A x = (x, Ax) \]
	\[ b \trans x = (b, x) \]
	Tohoto zápisu budeme zhusta používat.
\end{remark}
 
\begin{define} (\textsc{Souřadná soustava}) \index{Definice!Souřadné soustavy}
	Nechť $\px$ je báze $\Rn$, $s \in \Rn$. Pak dvojici $(\px, s)$ nazýváme soustavou souřadnic s bází $\px$
	a počátkem $s$.
\end{define}
 
\begin{remark}
	$(\forall x \in \Rn)(x = (\alpha_{1}, \ldots , \alpha_{n}))$
	\[ x = s + \sum_{i=1}^{n} y_{i}x_{i} \]
	když $\px = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ a souřadnice $y = (y_{1}, \ldots , y_{n})$. Pomocí matice přechodu $\mathbb{P}$ zapíšeme výše
	uvedený vztah jako $x = s + \mathbb{P} y$
\end{remark}
 
\begin{remark} V následujícím textu se tedy budeme snažit zjednodušit výraz pro $f(x)$ přechodem k jiné soustavě souřadné.
\end{remark}
	Máme tedy
	\[ f(x) = f(s+\sum_{i=1}^{n} y_{i} x_{i}) = f(s+ \pre y) =  (s + \pre y) \trans \MA (s + \pre y) - 2 b \trans (s + \pre y) + c = \]
	\[ = s \trans \MA s + s \trans \MA \pre y + (\pre y) \trans \MA s + (\pre y) \trans \MA \pre y - 2 b \trans s - 2 b \trans \pre y + c = \]
	\[ = y \trans \pre \trans \MA \pre y + 2 (s \trans \MA - b \trans) \pre y + s\trans \MA s - 2 b \trans s + c = f_{1}(y) \]
 
	Odvození je správné, protože členy $s \trans \MA \pre y$ a $(\pre y) \trans \MA s$ se rovnají. (Jsou to vůči sobě transponovaná reálná čísla.)
$f_{1}(y)$ je opět kvadratickou funkcí. Z odvozeného zápisu vyplývá několik zajímavých možností:
	\begin{itemize}
		\item Určitou záměnou můžeme zrušit konstantu (pokud $f(s) = 0$).
		\item Pro eliminaci lineárního členu je zapotřebí, aby $s \trans \MA - b \trans = \Theta$.
	\end{itemize}
 
	Pokud $\MA$ je symetrická pak existuje $\pre$ tak, že $\pre \trans \MA \pre$ je diagonální a tedy
	\[ y \trans \pre \trans \MA \pre y = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2}. \]
	A tedy existuje $s \in \Rn$ tak, že $s \trans \MA - b \trans = \Theta$. Dosáhneme toho, že lineární člen vypadne, tj.
	$\MA s = b$.
 
\begin{define} (\textsc{Střed kvadriky}) \index{Definice!Středu kvadriky}
	Bod $s \in \Rn$ se nazývá středem kvadriky $\mathcal{Q}$ právě když $(\forall x \in \Rn)(f(s+x)=f(s-x))$.
	Existuje-li alespoň jeden střed kvadratické funkce, pak se kvadrika nazývá centrální. Neexistuje-li, nazýváme ji necentrální. Označíme
	$S_{f}$ množinu všech středů $f$.
\end{define}
 
\begin{theorem} Platí následující tvrzení:
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ je centrální právě tehdy, když existuje $s \in \Rn$ tak, že $\MA s= b$.
		\item $S_{f} = \{ s \in \Rn \vert \MA s = b \}$ je varieta.
		\item $f \vert _{S_{f}} = const.$ (tzv. centrální hodnota)
	\end{enumerate}
\end{theorem}
 
Důkaz:  ad (i) a (ii):
	\[ f(s \pm x) = s \trans \MA s \pm 2 s \trans \MA x + x \trans \MA x - 2 b \trans \mp 2 b \trans x + c = \]
	\[  = x \trans \MA x \pm 2 (s \trans \MA - b \trans) x + f(s)\]
	Nyní vidíme, že tvrzení č. 1 a 2 věty platí.
        \[\text{ad(iii): Nechť} s_1,s_2 \in S=f, s_2=x+s_1, x\neq 0\]
        \[f(s_2)=f(s_1)= x \trans \MA x + 2 (\MA s_1 - b)\trans x + f(s_1)=f(s_1) \]
        První člen je nula, protože $\MA x=\MA(s_2-s_1)=\MA(s_2)-\MA(s_1)=0$, druhý člen je nula, protože $s_1 \in S_f$
 
 
 
\bigskip
\textbf{Závěr:} Pro centrální kvadriky existuje souřadný systém $(\px, s)$ tak, že (je-li $y$ zápis souřadnic
	bodu $x$ v systému $(\px, s)$):
	\[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}, f_0=f(s). \]
 
\begin{remark} Některé zápisy
\end{remark}
	\begin{itemize}
		\item Nechť $f$ je centrální, $\MA \in \Rnn$, $k = \hod (\MA) \leq n$, $s \in S_{f}$, $\px$ je diagonální
			báze taková, že
				\[ (\forall j \in \hat{k} )(\lambda_{j} \ne 0)(\forall j = k+1 \ldots ,n)(\lambda_{j} = 0). \]
			Pak se $(\px, s)$ nazývá tzv. Kanonickou soustavou souřadnic\index{Definice!Kanonické soustavy}. $f$ má v této
			soustavě tvar
				\[ f(x) = f_{1}(y) = \sum_{i=1}^{k} \lambda_{i} y_{i}^{2} + f_{0}. \]
		\item Nechť $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p} > 0$, $p \geq k$ a $\lambda_{p+1}, \ldots, \lambda_{k} < 0$. Potom
			podle hodnoty $f_{0}$ můžeme standardní tvar kvadriky $\mathcal{Q} = f^{-1}(0)$ zapsat následujícími způsoby
				\begin{enumerate}
					\item Pokud $f_{0} = 0$ pak
						\[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 0, \]
						kde	\begin{align*}
								\lambda_{i}& = \frac{1}{\alpha_{i}^{2}},  &i \in \hat{p},  \\
								\lambda_{i}& = - \frac{1}{\alpha_{i}^{2}}, &i = p+1 ,\ldots,k.
							\end{align*}
					\item Pokud $f_{0} \ne 0$ pak
						\[ \sum_{i = 1}^{p} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} - \sum_{i = p + 1}^{k} \Big( \frac{y_{i}}{\alpha_{i}} \Big) ^{2} = 1, \]
						kde \[ \frac{1}{\alpha_{i}^{2}} = \pm \frac{1}{\abs{f_{0}}}\abs{\lambda_{i}}, i \in \hat{k}.  \]
				\end{enumerate}
	\end{itemize}
 
\begin{define}
	Reálné osy mají indexy $i \in \hat{p}$, imaginární osy $i \in \{ p+1, \ldots, k \}$. Hodnost $\MA$ je rovna $n$, právě když je to regulární kvadrika.
\end{define}
 
% NECENTRALNI KVADRIKY  --------------------------
\medskip
\subsection{Necentrální kvadriky}
 
\begin{remark}
	Nyní nelze odstranit lineární člen (rovnice $\MA s = b$ nemá řešení). Zkusíme tedy najít $s$ tak, aby $f(s) = 0$.
\end{remark}
 
\begin{remark}
	Jestliže matice $\MA \in \Rnn$ je symetrická pak $\ker \MA \oplus \image \MA = \Rn$ \footnote{Zde $\ker \MA = \MA ^{-1}(\Theta)$ a $\image \MA = \MA (\Rn) $.}.
\end{remark}
 
\begin{theorem}
	Nechť $f$ je necentrální, $b = b_{1} + b_{2}$, kde $b_{1} \in \image \MA$ a $b_{2} \in \ker \MA$. Pak existuje $s \in \Rn$ tak, že
	$\MA s = b_{1}$.
\end{theorem}
 
\begin{define} (\textsc{Vrchol}) \index{Definice!Vrcholu}
	Vektor $s \in \Rn$ takový, že $f(s) = 0$ se nazývá vrchol $f$. Množina vrcholů se označuje $V_{f}$.
\end{define}
 
\begin{remark} (\textsc{Kanonický tvar}) \index{Tvar!Kanonický}
	Pokud $\MA$ je diagonalizovatelná pomocí báze $\px$ (kanonická báze), $\hod ( \MA) = k$, $s \in V_f$ a
	označíme-li souřadnice v $(\px , s)$ $y$, kde
	\[ x_{k+1} = \frac{1}{\norm{b_2}} b_2, \]
	pak kanonický tvar $\MA$
	\[ \sum _{i=1} ^n \lambda_i (y_i)^2 - 2 \norm{b_2} y_{k+1} = \mathcal{Q}. \]
\end{remark}
 
\begin{remark} (\textsc{Standardní tvar} \index{Tvar!Standardní})
\end{remark}
 
% KVADRIKY v R2 --------------------------
\medskip
\subsection{Kvadriky v $\R ^{2}$ a $\R^3$ - kuželosečky}
Následují příklady některých často se vyskytujících kvadrik, tyto naleznete v Tabulce č. \ref{Kvad2}.
 
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
	\hline
	Rovnice kvadriky & Označení \\
	\hline \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$  & elipsa  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$   & bod  \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbola \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$  & dvě přímky \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 1$  & dvě přímky  \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 1$  & prázdná množina \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 0$  & přímka \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 2y$ & parabola
\end{tabular} \\
\label{Kvad2}
\caption{Kvadriky v $R^2$}
\end{center}
\end{table}
 
Dále uvedeme některé kvadriky v $R^3$, v této tabulce nechť $a,b,c >0$. Ty jsou v Tabulce č. \ref{Kvad3}.
 
\begin{table}[ht]
\begin{center}
\begin{tabular}{l|l}
	\hline
	Rovnice kvadriky & Označení \\
	\hline \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ & elipsoid \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = -1$ & prázdná množina \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & jednodílný hyperboloid  \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1$ & dvoudílný hyperboloid  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 0$ & střed (bod)  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 0$ & kužel  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ & eliptický válec  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = -1$ & prázdná množina  \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ & hyperbolický válec  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 0$ & přímka  \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 0$ & dvojice rovin  \\
	$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & eliptický paraboloid   \\
	$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 2z$ & hyperbolický paraboloid  \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 1$ & dvojice rovin  \\
	$\frac{x^2}{a^2} = -1$ & prázdná množina   \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 0$ & rovina   \\
	$\frac{x^2}{a^2} = 2y$ &parabolický válec
\end{tabular} \\
\caption{Kvadriky v $R^3$}
\label{Kvad3}
\end{center}
\end{table}
 
\subsection{Kvadriky v $\R ^{3}$}
 
\subsection{Příklady}
 
V následujícím textu se budeme zabývat kvadrikami v $\R ^{2}$.
 
\begin{example}
	Máme kvadriku o rovnici
	\[ 5x^{2} + 4xy+8y^{2}-32x-56y+80 = 0. \]
\end{example}
	Porovnáním s obecným tvare v $\R ^{2}$
	\[ f \svekt{x}{y} = (x,y) \MA \svekt{x}{y} - 2 b \trans \svekt{x}{y} + c \]
	dostaneme
	\[ \MA = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}, \medspace
	   b = \begin{pmatrix} 16 \\ 28 \end{pmatrix}, \medspace c = 80. \]
	Matice $\MA$ je regulární a proto existuje právě jedno $s$ tak, že $\MA s = b$. Řešme proto
	\[ s \]
 
\begin{example} Máme kvadriku o rovnici
	\[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x-2y=0. \]
\end{example}
 
\begin{example} Máme kvadriku o rovnici
	\[ 2x^2+y^2+2z^2-2xy+2yz+4x+2y+2z-2=0. \]
\end{example}