01MAA3:Kapitola3

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01MAA3

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01MAA3Nguyebin 24. 1. 201413:09
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:46
Header editovatHlavičkový souborNguyebin 24. 1. 201412:36 header.tex
Kapitola0 editovatZnačeníKlinkjak 9. 9. 201508:50 preamble.tex
Kapitola1 editovatFunkční posloupnostiKubuondr 21. 1. 201716:45 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatFunkční řadyDedicma2 21. 2. 201623:42 kapitola2.tex
Kapitola4 editovatTrigonometrické řadyPeckaja1 11. 2. 201613:14 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatMetrikaKubuondr 22. 1. 201717:32 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatTopologieKubuondr 3. 2. 201721:08 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatSpojitostKubuondr 22. 1. 201718:14 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKompaktní prostoryKubuondr 8. 2. 201721:51 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatSouvislé prostoryKubuondr 23. 1. 201710:28 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatÚplné prostoryKubuondr 23. 1. 201711:08 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAfinní prostoryKubuondr 23. 1. 201712:43 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatTotální derivaceKubuondr 7. 10. 201717:50 kapitola12.tex
Kapitola13 editovatDerivace vyšších řádůKubuondr 20. 1. 201709:50 kapitola13.tex
Kapitola14 editovatLokální extrémyKlinkjak 9. 9. 201513:31 kapitola14.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01MAA3}
\section{Věty o~záměně}
 
\begin{theorem}[o~limitě]
\label{olimite-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost komplexních funkcí definovaných na
množině $A\subset\C$ a nechť
\begin{enumerate}[(I)]
\item $z_0\in A'$;
\item Pro všechna $n\in\No$ existuje $\lim_{z\to z_0,z\in
A}f_n(z)=a_n$;
\item Řada $\rada f_n(z)$ konverguje stejnoměrně na množině $A$ k~$F(z)$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řada $\rada a_n$ konverguje;
\item Existuje $\lim_{z\to z_0,z\in A} F(z)$;
\item $\lim_{z\to z_0,z\in A} F(z)=\rada a_n$.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}\sum_{n=0}^\infty f_n(z)=
\sum_{n=0}^\infty\lim_{\substack{z\to z_0\\z\in A}}f_n(z)
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
Položme $F_n(z)=\sum_{k=0}^nf_k(z)$, $s_n=\sum_{k=0}^n a_k$ pro
$n\in\No$. Potom $\lim_{z\to z_0,z\in A}F_n(z)=s_n$,
$F_n(z)\sk{A}F(z)$ a tvrzení věty je důsledkem \ref{olimite-p}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[o~spojitosti]
\label{ospojitosti-r}
Buď $\posl{f_n}$ posloupnost funkcí definovaných na množině $A$ a
spojitých v~bodě $z_0\in A$ (vzhledem k~$A$). Potom, konverguje-li
řada $\rada f_n(z)$ stejnoměrně na množině $A$, je její součtová
funkce spojitá v~bodě $z_0$ vzhledem k~množině $A$.
\begin{proof}
Plyne z~věty \ref{olimite-r} a důkazu věty \ref{ospojitosti-p}
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[Abel]
\label{abel2}
Konverguje-li mocninná řada s~reálnými koeficienty, s~kladným
poloměrem konvergence $R$ a se středem v~bodě $x_0$ v~bodě $x_0+R$
resp. v~bodě $x_0-R$, je její součtová funkce spojitá v~bodě $x_0+R$
zleva resp. v~bodě $x_0-R$ zprava.
\begin{proof}
Nechť např. mocninná řada konverguje v~bodě $x_0+R$. Potom podle věty
\ref{skmr2} konverguje tato řada stejnoměrně na intervalu $[x_0,x_0+R]$
a tudíž dle věty \ref{ospojitosti-r} musí být její součtová funkce
spojitá na intervalu $[x_0,x_0+R]$ vzhledem k~intervalu
$[x_0,x_0+R]$. Speciálně musí být součtová funkce spojitá v~bodě
$x_0+R$ zleva.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[o~derivaci]
\label{oderivaci-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost reálných diferencovatelných funkcí na
omezeném a otevřeném intervalu $\J\subset\R$ takových, že platí:
\begin{enumerate}[(I)]
\item Existuje $c\in\J$ tak, že řada $\rada f_n(c)$ konverguje;
\item Řada $\rada f_n'(x)$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\J$.
\end{enumerate}
Potom platí:
\begin{enumerate}[(i)]
\item Řada $\rada f_n(x)$ konverguje stejnoměrně na intervalu $\J$;
\item Součtová funkce $F$ řady $\rada f_n$ je diferencovatelná na
intervalu $\J$;
\item Derivace $F'$ je součtovou funkcí řady $\rada f_n'$.
\end{enumerate}
\begin{vulgar}
\[
\big(\sum_{n=0}^\infty f_n(z)\big)' = \sum_{n=0}f_n'(z)
\]
\end{vulgar}
\begin{proof}
Stací užít větu \ref{oderivaci-p} na posloupnost částečných součtů.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}[o~integraci]
\label{ointegraci-r}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na
intervalu $[a,b]$. Nechť dále řada $\rada f_n(x)$ stejnoměrně
konverguje na intervalu $[a,b]$ a $F$ buď její součtová
funkce. Potom i~funkce $F$ je integrabilní na intervalu $[a,b]$ a
platí:
\[\int_a^b F(x)\dx=\rada\int_a^b f_n(x)\dx.\]
\begin{proof}
Plyne z~věty \ref{ointegraci-p}.
\end{proof}
\end{theorem}
 
\begin{theorem}
\label{veta69}
Buď $\poslo{f_n}$ posloupnost riemannovsky integrabilních funkcí na
intervalu $[a,b]$. Nechť dále řada $\rada f_n(x)$ stejnoměrně
konverguje na intervalu $[a,b]$ a označme $F$ její součtovou
funkci. Potom pro každou funkci $g$, která má absolutně konvergentní
zobecněný integrál na intervalu $[a,b]$, platí:
\[\int_a^b F(x)g(x)\dx=\rada\int_a^b f_n(x)g(x)\dx.\]
\begin{proof}
Podle věty \ref{ointegraci-r} je funkce $F$ riemannovsky integrabilní
na intervalu $[a,b]$ a tudíž všechny zobecněné integrály
$\int_a^b f_n(x)g(x)\dx$ a $\int_a^b F(x)g(x)\dx$ absolutně
konvergují. Zbývá tedy dokázat výše uvedenou rovnost. Ze stejnoměrné
konvergence řady $\rada f_n(x)$ na intervalu $[a,b]$ plyne, že ke
zvolenému kladnému číslu $\epsilon$ existuje $n_0\in\R$ tak, že pro
všechna přirozená čísla $n>n_0$ a pro všechna $x\in[a,b]$ je
\[\abs{F_n(x)-F(x)}<\frac{\epsilon}{1+\int_a^b\abs{g(x)}\dx},\]
kde $F_n=\sum_{k=0}^n f_k$. Potom pro $n>n_0$ platí:
\[
\begin{split}
\abs{
\sum_{k=0}^n\int_a^b f_n(x)g(x)\dx-\int_a^b F(x)g(x)\dx
}=
\abs{
\int_a^b F_n(x)g(x)\dx-\int_a^b F(x)g(x)\dx
}\le\\
\le\int_a^b\abs{F_n(x)-F(x)}\,\abs{g(x)}\dx <
\int_a^b\frac{\epsilon\abs{g(x)}\dx}{1+\int_a^b\abs{g(x)}\dx}<\epsilon
\end{split}
\]
\end{proof}
\end{theorem}