01LAB2

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01LAB2

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01LAB2Karel.brinda 1. 11. 201018:54
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázků
Header editovatHlavičkový souborKarel.brinda 1. 11. 201018:54 header.tex

Zdrojový kód

% \wikiskriptum{01LAB2}
 
\input{header}
 
\begin{document}
 
{\large {\bf Hodnost matice}}
 
Připomeňme nejprve, že nadále dodržujeme úmluvu z minulého
semestru, že pokud neřekneme jinak, jsou vektorové prostory
konečné dimenze. Pokud užijeme pro prostor označení např. ${\bf
P}_n$, je tím implicitně řečeno, že prostor má dimenzi $n$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť $m,n\in {\bf N}$ a {\bf A} je matice typu $m\times n$,
 
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{l}
a_{11}\ a_{12}\ \ldots \ a_{1n}\\
a_{21}\ a_{22}\ \ldots \ a_{2n}\\
\ldots  \\
a_{m1}\ a_{m2}\ \ldots \ a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Označme
${\cal E}_n=({\vec {\bf e}}^{(1)},{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
e}}^{(n)})$
standardní bázi v ${\bf C}^n$.\\
{\bf Hodností matice} {\bf A} nazveme číslo $h({\bf
A})=$dim$[{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
e}}^{(n)}]_\lambda$\\
tj.
$h({\bf A})=$dim$\biggl [
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\right),
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
\end{array}
\right),\cdots,
\left(
\begin{array}
{@{}l@{}}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\right)\biggl ]_\lambda=
$dim$[
{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) V definici jsme užili toho, že součin jakékoliv matice s $i$-tým
vektorem standardní báze je roven $i$-tému sloupci matice, tj.
${\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}
=\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{1i}\\
a_{2i}\\
\vdots  \\
a_{mi}
\end{array}
\hspace{-2mm}
\right)$.\\
2) Méně korektně bychom tedy mohli říci, že h({\bf A}) je
maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice.
 
 
 
Následující věta nám dává odpověď na to, jak souvisejí pojmy {\bf
hodnost matice} a {\bf hodnost zobrazení}.
 
\newpage
 
{\bf Věta 31:}\\
Nechť ${\bf P}_n$ a ${\bf Q}_m$ jsou vektorové prostory nad
tělesem {\bf T} a
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$.
Nechť
${\cal X}$ je báze ${\bf P}_{n}$ a
${\cal Y}$ je báze ${\bf Q}_{m}$.\\
Potom platí
$h({\cal A})=h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Označme
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}),
{\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(m)})$.\\
Víme, že\\
$h({\cal A})=$dim${\cal A}({\bf P}_n)=$dim${\cal A}(
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda)=
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda.$
Víme také, že zobrazení, které každému vektoru ${\vec {\bf v}}\in
[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda$
přiřadí $m$-tici jeho souřadnic v bázi ${\cal Y}$, tj. vektor\\ $({\vec {\bf
v}})_{\cal Y}\in
[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
je izomorfizmus mezi prostory
$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda$
a
$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda$,
a proto mají oba prostory stejnou dimenzi (neboť jsou
izomorfní).\\
Vektory $({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(i)})_{\cal Y}$ pro $i\in{\hat n}$
jsou ovšem sloupce matice
$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$, a proto platí následující
rovnosti\\
$h({\cal A})=
$dim$[{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\cal A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}]_\lambda=\\=
$dim$[({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(1)})_{\cal Y},({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(2)})_{\cal
Y},\ldots,({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(n)})_{\cal Y}]_\lambda=
h(^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y})$.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) {\bf Jak se spočte hodnost matice}
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) ${\bf ?}
K tomu si stačí uvědomit, že hodnost je dimenze prostoru
generovaného souborem
$\Biggl(
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\hspace{-2mm}\right),
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
JY2
\end{array}
\hspace{-2mm}\right),\cdots,
\left(
\begin{array}
{@{}l}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\hspace{-2mm}\right)\Biggr)$.
Stačí tedy z tohoto souboru generátorů vybrat bázi a zjistit,
kolik má členů. K tomu stačí ekvivalentními úpravami řádků
převést matici {\bf A} do horního stupňovitého tvaru a zjistit
počet hlavních sloupců.\\
2) Všimneme si, že z předchozí poznámky plyne, že ekvivalentními
úpravami řádků se hodnost matice nemění.
 
\newpage
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$,
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Označme
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ matici typu $n\times m$,
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}=
\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{m1}\\
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{m2}\\
\ldots&&&  \\
a_{1n}& a_{2n}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $.
 
Matice ${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ se nazývá {\bf matice transponovaná k
matici} {\bf A}.
 
Bez důkazu uvedeme následující větu.
 
{\bf Věta 32:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$.
Pak $h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-1mm}^{\top})$.
 
{\bf Důsledek:}\\
Maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice je roven
maximálnímu počtu lineárně nezávislých řádků matice.
 
{\large {\bf Vztah matic a lineárních zobrazení}}
 
Zatím víme, že je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf
C} s bází
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
a vektorový prostor ${\bf Q}_m$ nad {\bf
C} s bází
${\cal Y}=({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(m)})$,
je každému zobrazení ${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$
přiřazena matice $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
typu $m\times n$, pro kterou platí
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}=^{\cal X}\hspace{-7pt}{\cal A}^{\cal
Y}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$,
tj. je-li dáno zobrazení, báze definičního oboru a báze oboru
hodnot, je tomuto zobrazení jednoznačně přiřazena komplexní
matice, která umožňuje snadno spočítat souřadnice obrazu
vektoru ${\vec {\bf x}}$.\\
Snadno si rozmyslíme, že i naopak, je-li dána komplexní matice
{\bf A}
typu $m\times n$ a vektorové prostory (nad {\bf C}) dimenze $n$
resp. $m$ s bázemi ${\cal X}$ resp. ${\cal Y}$, existuje právě jedno zobrazení
${\cal A}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$,
které ji má za svou matici zobrazení, tj. platí
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$.
Je to zobrazení, které vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}_n$
přiřadí vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}\in{\bf Q}_m$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
(tj. souřadnice vektoru ${\cal A}{\vec {\bf x}}$ se získají jako
součin matice {\bf A} s maticí $({\vec {\bf x}})_{\cal X}$).\\
Tomuto zobrazení budeme říkat {\bf zobrazení určené maticí A při
bázích ${\cal X}, {\cal Y}$}.
 
Ukážeme, že takto definované zobrazení je lineární:\\
(a) {\bf aditivita}\\
Naše zobrazení přiřadí vektoru ${\vec {\bf x}}$
vektor ${\cal A}{\vec {\bf x}}$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal
X}$,\\
vektoru ${\vec {\bf y}}$
vektor ${\cal A}{\vec {\bf y}}$, pro který
$({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
X}$,\\
a vektoru ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$
vektor ${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})$, pro který
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
X}$.\\
Z toho plyne, že platí\\
$({\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}))_{\cal Y}={\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})_{\cal
X}=
{\bf A}(({\vec {\bf x}})_{\cal X}+({\vec {\bf y}})_{\cal X})=
{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}+{\bf A}({\vec {\bf y}})_{\cal
X}=\\
=({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal Y}+({\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
Y}=
({\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf y}})_{\cal
Y}$,\\
a tedy platí také
${\cal A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})={\cal A}{\vec {\bf x}}+{\cal A}{\vec {\bf
y}}$.\\
(b) {\bf homogenita} se dokáže analogicky.\\
(c) {\bf jednoznačnost} zobrazení plyne z toho, že obrazy vektorů
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)}$
jsou dány jednoznačně (věta 19).\\
(d) {\bf vztah}
{\bf A}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Y}$
plyne z toho, že pro $j$-tý sloupec matice {\bf A} platí\\
${\bf A}_{\bullet j}={\bf A}{\vec {\bf e}}^{(j)}={\bf A}({\vec {\bf
x}}^{(j)})_{\cal X}=({\cal A}{\vec {\bf x}}^{(j)})_{\cal Y}.$\\
Podobně, je-li dán vektorový prostor ${\bf P}_n$ nad {\bf C} a
báze
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$,
existuje ke každé čtvercové matici řádu $n$ operátor ${\cal A}$
tak, že $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}. Tomuto
operátoru budeme říkat {\bf operátor určený maticí A} při bázi
${\cal X}$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Při prostorech nad tělesem {\bf R} zavedeme stejné pojmy pro
reálné matice.
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $h({\bf A})=n$.
Nechť ${\cal A}$ je operátor z ${\cal L}({\bf P}_n)$ určený maticí
{\bf A} při bázi ${\cal X}$.
Pak podle věty 31 je také $h({\cal A})=n$,\\ tj. dim${\cal A}({\bf
P}_n)=n \Longrightarrow {\cal A}({\bf P}_n)={\bf P}_n$.\\
${\cal A}$ je tedy epimorfní \quad
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 23)}}}{\Longrightarrow}$ \quad
${\cal A}$ je {\bf regulární} operátor.\\
Máme tedy důvod zavést definici
 
{\bf Definice:}\\
Čtvercová matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf regulární},
platí-li $h({\bf A})=n$. V ostatních případech se nazývá {\bf
singulární}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Matice {\bf A} je regulární \quad $\Longleftrightarrow$ \quad zobrazení
určené maticí {\bf A} je regulární operátor, resp. izomorfizmus.
 
\newpage
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf B} je matice typu $m\times n$, {\bf A} typu $p\times
m$.\\
\begin{tabular}{r} Jsou dány prostory ${\bf P}_n$ nad {\bf C} s
bází ${\cal X},$\\
${\bf Q}_m$ nad {\bf C} s bází ${\cal Y},$\\
${\bf V}_p$ nad {\bf C} s bází ${\cal Z}.$
\end{tabular}\\
\begin{tabular}{r}
Nechť
${\cal B}\in{\cal L}({\bf P}_{n},{\bf Q}_{m})$ je zobrazení
určené maticí {\bf B} při bázích ${\cal X},{\cal Y}$,\\
${\cal A}\in{\cal L}({\bf Q}_{m},{\bf V}_{p})$ je zobrazení
určené maticí {\bf A} při bázích ${\cal Y},{\cal Z}$.
\end{tabular}\\
Pak platí
{\bf B}=$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}$,
{\bf A}=$^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$, a tedy
{\bf A}{\bf B}=$
\,^{\cal Y}\hspace{-2pt}{\cal A}^{\cal Z}$$^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal B}^{\cal Y}
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 30)}}}{=}\,
^{\cal X}\hspace{-2pt}({\cal A}{\cal B})^{\cal Z}$.\\
{\bf A}{\bf B} je tedy matice složeného zobrazení ${\cal A}{\cal
B}$ v bázích ${\cal X},{\cal Z}$. Podle věty 27 víme, že
$h({\cal A}{\cal B})\le$min$(h({\cal A}),h({\cal B}))$, a že když
je ${\cal A}$ nebo ${\cal B}$ izomorfní nastávají rovnosti.\\
Důsledkem těchto úvah je věta
 
{\bf Věta 33:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $p\times m$ a {\bf B} matice typu
$m\times n$. Potom\\
1) $h({\bf A}{\bf B})\le$min$\{h({\bf A}),h({\bf B})\}$,\\
2) je-li $p=m$ a {\bf A} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
B})=h({\bf B})$,\\
3) je-li $m=n$ a {\bf B} regulární matice, je $h({\bf A}{\bf
B})=h({\bf A})$.
 
{\bf Úvaha:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$, {\bf P}$_n$ vektorový
prostor nad {\bf C} s bází
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
a  ${\cal A}$ je operátor určený maticí {\bf A} při bázi ${\cal
X}$ (tj. $^{\cal X}\hspace{-2pt}{\cal A}$={\bf A}).\\
Z předchozího víme, že ${\cal A}$ je regulární operátor, proto k
němu existuje inverzní operátor ${\cal A}^{-1}$ a platí
${\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}$ pro každý
vektor  ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$.\\
Označme ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}$ matici operátoru ${\cal A}^{-1}$ v bázi
${\cal X}$.\\ Dokážeme, že platí {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
Pro každý vektor ${\vec {\bf x}}\in${\bf P}$_n$ platí \\
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=({\cal A}^{-1}({\cal A}{\vec {\bf x}})
)_{\cal X}\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})({\cal A}{\vec {\bf x}})_{\cal X}
\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 28)}}}{=}
\,^{\cal X}({\cal A}^{-1})\,^{\cal X}\hspace{-3pt}{\cal A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}
={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$.
Užijeme-li vztahu
$({\vec {\bf x}})_{\cal X}=
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}({\vec {\bf x}})_{\cal X}$
pro volbu ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}^{(i)}$, kde $i\in{\hat
n}$, dostaneme
${\vec {\bf e}}^{(i)}=
{\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}{\vec {\bf e}}^{(i)}$,
což znamená, že $i$-tý sloupec matice ${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf
A}$ je roven ${\vec {\bf e}}^{(i)}$, a tedy
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}.\\
Platí ovšem silnější tvrzení.
 
 
{\bf Věta 34:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$. Pak existuje právě
jedna čtvercová matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ tak,
že platí\\
\hspace*{20mm} {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}={\bf A}{\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{20mm}$(\star)$\\
Tato matice se nazývá {\bf matice inverzní} k matici {\bf A}.
 
{\bf Důkaz:}\\
Existence
matice {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ řádu $n$ s vlastností
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf I}
již byla dokázána.\\
Podle věty 33 je $h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=h({\bf I})=n$ a
tedy {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je regulární. Podle
předcházející úvahy i k ní existuje matice {\bf B} tak, že
{\bf B}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
Platí {\bf B}={\bf B}{\bf I}={\bf B}{\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}${\bf A}={\bf I}{\bf A}={\bf A}. Platí tedy také
{\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}.\\
Jednoznačnost inverzní matice dokážeme sporem.\\
Nechť např. existuje matice {\bf C}$\neq${\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
tak, že {\bf C}{\bf A}={\bf I}. Potom platí \\{\bf C}={\bf C}{\bf
I}={\bf C}{\bf
A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf I}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$={\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$.
A to
je spor.
 
{\bf Poznámka:}\\
Je zřejmé, že mluvit o inverzní matici {\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
splňující vztahy $(\star)$ má smysl pouze pro regulární matice {\bf
A}. Jinak taková matice nemůže existovat.\\
Připusťme na chvíli, že matice {\bf A} by byla typu $m\times n$.
Aby měly smysl součiny {\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
a {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}
je nutné, aby platilo, že {\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$ je typu
$n\times m$ a z rovnosti\\
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$\hspace{-3pt}{\bf A}={\bf A}{\bf A}\hspace{-3pt}$^{-1}$
plyne $m=n$. Matice {\bf A} je tedy nutně čtvercová.\\
Z $(\star)$ a z věty 33 plyne $n=h({\bf I})\le$min$\{h({\bf
A}),h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})\}$, a tedy\\
$h({\bf A})=h({\bf A}\hspace{-3pt}^{-1})=n$, takže obě matice
jsou regulární.
 
{\bf Věta 35:}\\
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou regulární matice řádu $n$. Pak také
matice {\bf A}{\bf B} je regulární a platí ({\bf A}{\bf
B})$^{-1}={\bf B}\hspace{-3pt}^{-1}{\bf A}\hspace{-1pt}^{-1}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Neboť $h({\bf A}{\bf B})\stackrel{{\mbox {\tiny (věta
33)}}}{=}h({\bf A})=n$ je matice {\bf A}{\bf B} regulární. Z
asociativního zákona plyne
({\bf A}{\bf B})({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)={\bf I} a
({\bf B}\hspace{-1pt}$^{-1}${\bf
A}\hspace{-3pt}$^{-1}$)({\bf A}{\bf B})={\bf I}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Zřejmě platí {\bf I}$^{-1}$={\bf I} a pro každé číslo $\alpha\neq
0$ platí $(\alpha{\bf A})\hspace{-1pt}^{-1}=\frac{1}{\alpha}{\bf
A}\hspace{-3pt}^{-1}$.
 
{\bf Věta 36:}\\
Nechť {\bf A} je matice typu $n\times m$ a {\bf B} matice typu
$m\times p$. Pak ({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}={\bf
B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Označme
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1m}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2m}\\
\ldots&&&  \\
a_{n1}& a_{n2}& \ldots & a_{nm}
\end{array}\right) $ a
{\bf B}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
b_{11}& b_{12}& \ldots & b_{1p}\\
b_{21}& b_{22}& \ldots & b_{2p}\\
\ldots&&&  \\
b_{m1}& b_{m2}& \ldots & b_{mp}
\end{array}\right) $,\\
a tedy
{\bf A}\hspace{-3pt}$^{\top}$=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{21}& \ldots & a_{n1}\\
a_{12}& a_{22}& \ldots & a_{n2}\\
\ldots&&&  \\
a_{1m}& a_{2m}& \ldots & a_{nm}
\end{array}\right) $
,
{\bf B}\hspace{-2pt}$^{\top}$=
$\left(
\begin{array}
{llll}
b_{11}& b_{21}& \ldots & b_{m1}\\
b_{12}& b_{22}& \ldots & b_{m2}\\
\ldots&&&  \\
b_{1p}& b_{2p}& \ldots & b_{mp}
\end{array}\right) $.
 
Ukážeme, že matice
({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}$^{\top}$
a matice ${\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf A}\hspace{-3pt}^{\top}$
mají na místě $(i,j)$, $i\in{\hat p}$, $j\in{\hat n}$ stejné
prvky.\\
$[({\bf A}{\bf B})\hspace{-2pt}^{\top}]_{ij}=[{\bf A}{\bf
B}]_{ji}=a_{j1}b_{1i}+a_{j2}b_{2i}+\ldots+a_{jm}b_{mi}$.\\
$[{\bf B}\hspace{-2pt}^{\top}{\bf
A}\hspace{-3pt}^{\top}]_{ij}=b_{1i}a_{j1}+b_{2i}a_{j2}+\ldots+b_{mi}a_{jm}$.
 
{\large {\bf Řešení soustav lineárních algebraických rovnic}}
 
V tomto odstavci se zabýváme otázkou, kdy má soustava
 
\hspace*{10mm}
$\begin{array}
{l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l@{\,}l}
a_{11}x_1&+&a_{12}x_2&+&\ldots&+&a_{1n}x_n&=&b_{1}\\
a_{21}x_1&+&a_{22}x_2&+&\ldots&+&a_{2n}x_n&=&b_{2}\\
\ldots&&&&&&&& \\
a_{m1}x_1&+&a_{m2}x_2&+&\ldots&+&a_{mn}x_n&=&b_{m}
 
\end{array}$
\hspace{30mm} $(\star)$
 
řešení a jak vypadá množina všech řešení.\\
Přitom předpokládáme, že jsou dostatečně známy pojmy {\bf matice
soustavy}, {\bf rozšířená matice soustavy}, {\bf řešení
soustavy}, {\bf sloupec pravých stran}, {\bf homogenní soustava}
a dále fakt, že označíme-li\\
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{llll}
a_{11}& a_{12}& \ldots & a_{1n}\\
a_{21}& a_{22}& \ldots & a_{2n}\\
\ldots&&&  \\
a_{m1}& a_{m2}& \ldots & a_{mn}
\end{array}\right) $,
${\vec {\bf x}}=
\left(
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}
\right) $ a
${\vec {\bf b}}=
\left(
\begin{array}
{l}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots  \\
b_{m}
\end{array}
\right) $,\\
můžeme pro soustavu $(\star)$ použít úsporného zápisu
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 
Vyčerpávající odpověď na zmíněné problémy dává následující věta
 
{\bf Věta 37:}(Frobeniova)\\
(1) Soustava $m$ lineárních rovnic o $n$ neznámých
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
je řešitelná, právě když $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf
b}}))$.\\
(2) Označme $h({\bf A})=h$.
Označme ${\bf S}_0$ množinu všech řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.
Pak ${\bf S}_0\subset\subset {\bf C}^n$ a dim ${\bf S}_0=n-h$,
tj.\\
\hspace*{2mm} (a) pro $h=n$ je ${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$,\\
\hspace*{2mm} (b) pro $h<n$ existuje $n-h$ lineárně nezávislých řešení
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}$
a
${\bf S}_0=[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
(3) Je-li $h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))=h$ a
označíme-li {\bf S} množinu všech řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$,
je {\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$, kde jsme  ${\vec{\tilde {\bf
x}}}$ označili nějaké pevné (tzv. partikulární) řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
(1) Protože
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
\subset\subset
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf
b}}]_\lambda$\\
vyplývá z věty 12, že\\
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda
\Longleftrightarrow
h({\bf A})=h({\bf A},{\vec {\bf b}})$.\\
Stačí tedy dokázat ekvivalenci:\\
soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
je řešitelná $\Longleftrightarrow
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
To je ovšem snadné.\\
Existuje-li totiž řešení
${\vec {\bf x}}=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}\hspace{-5pt}
\right) $
soustavy $(\star)$, pak\\
$x_1\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{11}\\
a_{21}\\
\vdots  \\
a_{m1}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)+x_2
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{12}\\
a_{22}\\
\vdots  \\
a_{m2}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)+
\ldots+x_n
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
a_{1n}\\
a_{2n}\\
\vdots  \\
a_{mn}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right)=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
b_{1}\\
b_{2}\\
\vdots  \\
b_{m}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,\\
tj.
${\vec {\bf b}}=
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
tj.
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
a tedy podle věty 2 je
$[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n},{\vec {\bf b}}]_\lambda=
[{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$.\\
Naopak, platí-li poslední rovnost, je
${\vec {\bf b}}\in [{\bf A}_{{\bullet}1},
{\bf A}_{{\bullet}2},\ldots,{\bf A}_{{\bullet}n}]_\lambda$,
tj. existují čísla $x_1, x_2,\ldots,x_n$ tak, že
${\vec {\bf b}}=
x_1{\bf A}_{{\bullet}1}+
x_2{\bf A}_{{\bullet}2}+\ldots+x_n{\bf A}_{{\bullet}n}$,
a tedy vektor
${\vec {\bf x}}=
\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
x_{1}\\
x_{2}\\
\vdots  \\
x_{n}
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $
řeší soustavu $(\star)$.
 
 
(2) Označme ${\cal A}$ zobrazení z ${\cal L}({\bf C}^n,{\bf
C}^m)$ určené maticí {\bf A} při standardních bázích, tj. takové,
že {\bf A}=$^{{\cal E}_n}\hspace{-3pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
E}_m}$. Podle věty 31 je $h=h({\bf A})=h({\cal A})$.\\Platí
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
({\cal A}{\vec {\bf x}})_{{\cal E}_m}=^{{\cal E}_n}\hspace{-5pt}{\cal A}\hspace{-1pt}^{{\cal
E}_m}({\vec {\bf x}})_{{\cal E}_n}={\vec {\bf o}}\Longleftrightarrow
{\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
Řešením rovnice
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
jsou tedy právě všechny vektory z jádra zobrazení ${\cal A}$, a
proto dim\,{\bf S}$_0=d({\cal A})$. Podle druhé věty o dimenzi je
tedy dim\,{\bf S}$_0=n-h$.
 
(3) Podle dokázané první části věty existuje nějaké řešení
${\vec{\tilde {\bf x}}}$ splňující rovnici
${\bf A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$, tj.
${\cal A}{\vec{\tilde {\bf x}}}={\vec {\bf b}}$ a
{\bf S} (tj. množina všech řešení soustavy
${\bf A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$)
je množina všech řešení rovnice
${\cal A}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$ (zdůvodnění je stejné
jako v odstavci (2)). Podle věty 21 je
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+ker{\cal A}=
{\vec{\tilde {\bf x}}}+{\bf S}_0$.
 
{\bf Důsledek 1:}\\
Homogenní soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
má vždy řešení, neboť
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf o}}))$.\\
(O tom se ale můžeme snadno přesvědčit dosazením ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf
o}}$.)\\
{\bf Důsledek 2:}\\
Soustava
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
se čtvercovou maticí {\bf A} řádu $n$ má právě jedno řešení, právě
když {\bf A} je regulární. Řešením je vektor
${\vec {\bf x}}={\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
{\bf Důkaz:}\\
a) Nechť {\bf A} je regulární $\Rightarrow$ $h({\bf A})=n$ $\Rightarrow$
$h({\bf A}\vert {\vec {\bf b}})=n$ (neboť větší být nemůže)
$\stackrel{{\mbox {\tiny (věta 37)}}}{\Longrightarrow}$
existuje řešení a {\bf S}$_0=\{{\vec {\bf o}}\}$
$\Rightarrow$ řešení je právě jedno.\\
b) Nechť existuje právě jeden vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}$ tak,
že  {\bf A}${\vec {\bf x}}^{(0)}={\vec {\bf b}}$. Podle věty 37
je množina řešení {\bf S}=${\vec {\bf x}}^{(0)}+{\bf S}_0$, a tedy
${\bf S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$, tj. dim\,{\bf S}$_0$=0. Protože\\
dim\,{\bf S}$_0=n-h({\bf A})$, je $h({\bf A})=n$, tj. {\bf A} je
regulární.\\
Dosazením se můžeme přesvědčit, že řešením je vektor
${\bf A}\hspace{-3pt}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
 
{\bf Technika řešení soustavy lineárních algebraických rovnic}
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$\\
(Gaussova eliminační metoda.)\\
 
Označme $n$ počet neznámých. Řešení soustavy nalezneme
následujícím postupem:
 
1) Rozšířenou matici soustavy převedeme ekvivalentními úpravami
řádků do horního stupňovitého tvaru.
 
2) Zjistíme hodnost matice soustavy a hodnost rozšířené matice
soustavy. Když se liší (tj. sloupec pravých stran je hlavní),
není soustava řešitelná.
 
3) V případě, že
$h({\bf A})=h(({\bf A},{\vec {\bf b}}))$
nalezneme $n-h$ lineárně nezávislých řešení
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}$
homogenní soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
To uděláme tak, že za $n-h$ neznámých odpovídajících vedlejším
sloupcům dosadíme $(n-h)$-tice čísel tak, abychom si po dopočtení
zbývajících neznámých vynutili lineární nezávislost výsledných
vektorů. Doporučené volby jsou např.\\
\centerline{
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
1\\
0\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
1\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $,
$\ldots$,
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
0\\
\vdots \\
1
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $.}\\
Je zřejmé, že pokud takto zvolíme složky řešení odpovídající
vedlejším sloupcům a zbývající složky dopočteme, budou výsledná
řešení soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$
lineárně nezávislá.
 
4) Najdeme partikulární řešení ${\vec{\tilde {\bf x}}}$
soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.
K tomu stačí zvolit složky odpovídající vedlejším sloupcům
libovolně (připadá v úvahu\\ i volba
$\left(\hspace{-5pt}
\begin{array}
{l}
0\\
0\\
\vdots \\
0
\end{array}
\hspace{-5pt}\right) $)
a zbývající složky řešení dopočteme. Podle věty 37 je množina
řešení
{\bf S}=${\vec{\tilde {\bf x}}}+[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}]_\lambda$.\\
Každý vektor tvaru\\
\hspace*{15mm} ${\vec {\bf x}}={\vec{\tilde {\bf x}}}+t_1{\vec {\bf
x}}^{(1)}+t_2{\vec {\bf x}}^{(2)}+\ldots+t_{n-h}{\vec {\bf
x}}^{(n-h)}, \hspace{25mm} (\star)$\\
kde $t_i\in{\bf C}$ pro $i\in{\widehat {n-h}}$, je řešením soustavy
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$
a naopak, je-li ${\vec {\bf x}}\in{\bf S}$, existují komplexní
parametry $t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ tak, že platí $(\star)$.\\
Proto je zvykem říkat výrazu $(\star)$ {\bf obecné řešení
soustavy}
{\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$.\\
Pokud jde o soustavu s reálnými koeficienty a zajímají nás jen
reálná řešení, provádíme samozřejmě vše \uv{reálně}, tj. i parametry
$t_1,t_2,\ldots,t_{n-h}$ volíme reálné.
 
 
{\bf Poznámka:}\\
Je-li počet neznámých roven hodnosti matice (což nastane
např. když matice {\bf A} je regulární), jsou po převodu na horní
stupňovitý tvar všechny sloupce hlavní, odpadá krok 3) a ${\bf
S}_0=\{{\vec {\bf o}}\}$.
 
 
{\large {\bf Výpočet součinu A\hspace{-3pt}$^{-1}$B}}\\
{\bf Pomocná věta:}\\
Nechť {\bf C} je matice typu $n\times p$,
{\bf C}=
$\left(
\begin{array}
{l}
c_{11}\ c_{12}\ \ldots \ c_{1p}\\
c_{21}\ c_{22}\ \ldots \ c_{2p}\\
\ldots  \\
c_{n1}\ c_{n2}\ \ldots \ c_{np}
\end{array}\right) $.
Provedeme-li ekvivalentní úpravu řádků matice {\bf C}, je
výsledná matice rovna matici {\bf T}{\bf C}, kde {\bf T} je
čtvercová matice řádu $n$, která z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$
vznikla stejnou ekvivalentní úpravou.
 
{\bf Důkaz:}\\
Platnost je třeba dokázat pro všechny tři typy ekvivalentní
úpravy.\\
(a) Prohodíme-li $i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf I}, dostaneme
matici {\bf T} tvaru\\ {\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}}
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&&1
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c@{}}
\\[6.9mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek \\[-1mm]
\\[2.4mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek \\[-1mm]
\\[-0.1mm]
\\
\\[-1mm]
\\[-1mm]
\end{tabular}}\\
 
Uvědomíme-li si, jak se násobí matice, je
výsledek součinu {\bf T}{\bf C} zřejmý\\ z následujícího obrázku
($i$-tý a $j$-tý řádek matice {\bf C} se prohodí)\\
 
{\scriptsize
\begin{tabular}
{|@{}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}|}
\hline
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&&&&&\\[-1mm]
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&&&&&\\[-1mm]
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&&1\\
\hline
\end{tabular}}
$\cdot$
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[3.1mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{18mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.7mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{22mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.3mm]
\hline
\end{tabular}}
=
\hspace{-30mm}{\Large {\bf C}}
\hspace{25mm}
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[3.1mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{18mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[4mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$bývalý $i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\hspace{22mm}\\[-1mm]
\\[-1.6mm]
\hline
\\[3.3mm]
\hline
\end{tabular}}
 
Sledujeme-li totiž, jak se mění při násobení maticí {\bf T}
jednotlivé řádky matice {\bf C},
zjistíme, že se změnily jen řádky obsazené textem.
 
(b) Násobíme-li $i$-tý řádek matice {\bf I} číslem $\alpha$, dostaneme
matici {\bf T} tvaru\\[-10mm] {\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}}
%{ccccccccccc}
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&$\alpha$&&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.7mm]
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&&1\\
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c}
\\[18mm]
...................$i$-tý řádek\\[22mm]
\end{tabular}}
 
Výsledek součinu {\bf T}{\bf C} je opět patrný z obrázku
 
{\scriptsize
\begin{tabular}
{|@{}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}|}
%{ccccccccccc}
\hline
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&$\alpha$&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&&1\\
\hline
\end{tabular}}
$\cdot$
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[6.5mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\\[-0.5mm]
\hline
\\[6.5mm]
\hline
\end{tabular}}
=
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[6.5mm]
\hline
\hspace{-1.5mm}$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\alpha$-násobek
bývalého $i$-tého řádku$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\\[-0.5mm]
\hline
\\[6.5mm]
\hline
\end{tabular}}
 
Opět se mění pouze řádek obsazený textem.
 
(c) Připočteme-li $i$-tý řádek matice {\bf I} k jejímu $j$-tému
řádku, dostaneme matici {\bf T} tvaru
 
{\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}c@{\,}c@{\,}}
%{ccccccccccc}
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&&1\\
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c}
\\[.7mm]
...................$i$-tý řádek\\[3mm]
...................$j$-tý řádek\\[5.3mm]
\end{tabular}}
 
Výsledek součinu {\bf T}{\bf C} je patrný z obrázku
 
{\scriptsize
\begin{tabular}
{|@{\enspace}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}c@{\,}c@{\enspace}|}
%{ccccccccccc}
\hline
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&&&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&&1\\
\hline
\end{tabular}}
$\cdot$
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[3.2mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\\[-0.5mm]
\hline
\\[1.8mm]
\hline
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$
\\[-0.5mm]
\hline
\\[5.1mm]
\hline
\end{tabular}}
=
{\tiny
\begin{tabular}{|c@{}|}
\hline
\hspace*{40mm}
\\[9.7mm]
\hline
\hspace{-1.5mm}součet bývalého $i$-tého a $j$-tého řádku
\\[-0.5mm]
\hline
\\[5.1mm]
\hline
\end{tabular}}
 
Mění se tedy pouze výsledný $j$-tý řádek.
 
Z této pomocné věty snadno získáme obecnější
tvrzení.
 
{\bf Věta 38:}\\
Nechť {\bf C} je matice typu $n\times p$. Provedeme-li konečný
počet ekvivalentních úprav řádků matice {\bf C}, je výsledná
matice rovna matici {\bf T}{\bf C}, kde {\bf T} je matice, která
z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$ vznikla stejnými řádkovými
úpravami (ve stejném pořadí).
 
{\bf Důkaz:}\\
Z předcházející pomocné věty je zřejmé, že po $k$ ekvivalentních
úpravách je výsledná matice rovna součinu ${\bf T}_k{\bf
T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1{\bf C}$, kde matice ${\bf T}_i$
($i\in{\hat n}$) jsou matice, které z {\bf I} vznikly
jednotlivými ekvivalentními úpravami. Označíme-li {\bf T}=${\bf T}_k{\bf
T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1$ je
{\bf T}=${\bf T}_k{\bf T}_{k-1}\cdots{\bf T}_2{\bf T}_1${\bf I},
což podle dokázané pomocné věty znamená, že matice
{\bf T} vznikla z {\bf I} odpovídajícími ekvivalentními úpravami.
Tím je věta dokázána.
 
{\bf Užití věty 38:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice řádu $n$ a {\bf B} matice typu
$n\times m$. Sestavme novou matici $({\bf A}\vert{\bf B})$ o $n$
řádcích a $m$ sloupcích. Provádějme ekvivalentní úpravy řádků
nové matice $({\bf A}\vert{\bf B})$ tak dlouho, až na místě
původní matice {\bf A} vznikne jednotková matice {\bf I}. Původní
matice {\bf B} se těmito úpravami samozřejmě také změní na
matici, kterou označíme {\bf X} (ale zatím o ní nic nevíme). Platí
 
\hspace{30mm}$({\bf A}\vert{\bf B})\sim ({\bf I}\vert{\bf X})$
 
Podle dokázané pomocné věty existuje regulární matice {\bf T}
taková, že {\bf I}={\bf T}{\bf A}, a protože {\bf X} vznikla z
{\bf B} stejnými ekvivalentními úpravami je {\bf X}={\bf T}{\bf
B}. Z toho plyne {\bf T}={\bf A}$^{-1}$, a tedy {\bf X}={\bf
A}$^{-1}${\bf B}.
 
{\bf Příklady použití:}\\
Je-li {\bf A} regulární matice řádu $n$, {\bf B} matice typu
$n\times m$, {\bf I} jednotková matice řádu $n$ a ${\vec {\bf
b}}$ vektor z {\bf C}$^n$, platí
následující ekvivalence mezi maticemi:
 
$({\bf A}\vert{\bf B})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1}{\bf
B})$\qquad
$({\bf A}\vert{\vec {\bf b}})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1}{\vec
{\bf b}})$\qquad
$({\bf A}\vert{\bf I})\sim ({\bf I}\vert{\bf A}^{-1})$.
 
První ekvivalence užijeme k výpočtu součinu ${\bf A}^{-1}{\bf
B}$, tj. řádky matice
$({\bf A}\vert{\bf B})$ upravujeme tak dlouho, až na místě
původní matice {\bf A} vznikne jednotková matice {\bf I}.
Na místě matice {\bf B} vznikne  hledaný součin.\\
Druhá ekvivalence se analogicky použije k řešení soustavy {\bf
A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf b}}$, neboť řešení je vektor
${\bf A}^{-1}{\vec {\bf b}}$.\\
Třetí ekvivalence slouží k výpočtu ${\bf A}^{-1}$.\\
Pokud matice {\bf C} je typu $p\times n$ a chtěli bychom počítat
součin {\bf C}{\bf A}$^{-1}$, stačí použít vztahu
 
$({\bf A}^{\top}\vert{\bf C}^{\top})\sim ({\bf I}\vert{({\bf
A}^{\top})}^{-1}{\bf C}^{\top})=({\bf I}\vert{({\bf C}{\bf
A}
^{-1})}^{\top})$.
 
Tomuto postupu pro výpočet součinů tvaru ${\bf A}^{-1}{\bf B}$
budeme říkat {\bf úplné eliminační schema}.
 
{\bf Poznámka:}\\
V souvislosti s úplným eliminačním schematem vzniká otázka, zda
lze každou regulární matici {\bf A} řádu $n$ převést ekvivalentními úpravami řádků
na matici {\bf I}. To vždy lze.\\
Víme, že matici {\bf A} jako každou jinou lze převést do horního
stupňovitého tvaru. Protože je navíc regulární, jsou všechny
sloupce hlavní, a tedy diagonální prvky nenulové. Budeme tedy
pokračovat dále tak, že všechny řádky vydělíme diagonálními
prvky, abychom na diagonále dostali jedničky. K matici {\bf I} se
dostaneme v $n$ krocích.\\
V prvním odečteme od prvních $n-1$ řádků takové násobky $n$-tého
řádku, aby v nich byly v posledním sloupci nuly.\\
V druhém kroku odečteme od prvních $n-2$ řádků takové násobky\\
$(n-1)$-ního
řádku, aby v nich byly v předposledním sloupci nuly. Upravený
poslední sloupec se tím nepoškodí.\\
V třetím kroku odečteme od prvních $n-3$ řádků takové násobky
$(n-2)$-hého
řádku, aby v nich byly v $(n-2)$-hém sloupci nuly.
Poslední dva sloupce se opět nemění.\\
Je zřejmé, že po $n$ takových krocích dostaneme matici
jednotkovou.
 
\newpage
 
{\Large {\bf Determinanty}}
 
Pojem {\bf determinant matice} je spojen výhradně se čtvercovými
maticemi. Pomocným pojmem je pojem {\bf permutace} množiny ${\hat
n}=\{1,2,\ldots,n\}$, který je dán následující definicí.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť $n\in {\bf N}$. Každé prosté zobrazení ${\hat n}$ na sebe
budeme nazývat {\bf permutace množiny ${\hat n}$}. Množinu všech
permutací množiny ${\hat n}$ označíme {\bf S}$_n$.
 
Pro označení permutací budeme užívat malá řecká písmena.
Když $\pi\in{\bf S}_n$ nazveme čísla
$\pi(1),\pi(2),\ldots,\pi(n)$ {\bf hodnoty permutace} a
permutaci popíšeme buď vztahem
$\pi=
\left(
\begin{array}{cccc}
1&2&\ldots&n\\
\pi(1)&\pi(2)&\ldots&\pi(n)
\end{array}
\right)$
nebo zapíšeme stejnou permutaci vztahem
$\pi=(\pi(1),\pi(2),\ldots,\pi(n))$.\\
První způsob zápisu je tabulka, ve které jsou v prvním řádku
prvky množiny ${\hat n}$ a v druhém jejich obrazy v permutaci
$\pi$. Předností tohoto zápisu je, že není vždy nutné, aby čísla v
prvním řádku byla vždy srovnána vzestupně. Podstatné je, aby pod
číslem byl jeho obraz. Při druhém způsobu zápisu je ovšem třeba
dbát na pořadí.\\
Permutace
$\epsilon=
\left(
\begin{array}{cccc}
1&2&\ldots&n\\
1&2&\ldots&n
\end{array}
\right)$
se nazývá {\bf identická permutace}. Protože permutace $\pi$ je
prosté zobrazení, existuje vždy {\bf inverzní permutace}
$\pi^{-1}$ taková, že $\pi\pi^{-1}=\pi^{-1}\pi=\epsilon$.\\
Je to permutace
$\pi^{-1}=
\left(
\begin{array}{cccc}
\pi(1)&\pi(2)&\ldots&\pi(n)\\
1&2&\ldots&n
\end{array}
\right)$.
 
{\bf  Definice:}\\
Nechť $n\in{\bf N}$, $i,j\in{\hat n}$, $i\neq j$. Permutaci
$\tau_{ij}\in{\bf S}_n$, kde\\
$\tau_{ij}=\hspace{-1mm}
\left(
\begin{array}{@{}cccccccccccc@{}}
1&2&\ldots&i-1&i&i+1&\ldots&j-1&j&j+1&\ldots&n\\
1&2&\ldots&i-1&j&i+1&\ldots&j-1&i&j+1&\ldots&n
\end{array}
\right)$  pro $i<j$,\\
nazýváme {\bf transpozicí} čísel $i,j$.
 
$\tau_{ij}$ je tedy permutace, která přehodí čísla $i$ a $j$ a
tedy $\tau_{ij}\tau_{ij}=\epsilon$, tj.
$\tau_{ij}={\tau_{ij}}^{-1}$.\\
Zřejmě platí $\tau_{ij}=\tau_{ji}$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť $\pi\in{\bf S}_n$. Každou dvojici $(i,j), i\in{\hat n},
j\in{\hat n}$, pro kterou $i<j$\\ a $\pi(i)>\pi(j)$ nazveme {\bf
inverzí} v permutaci $\pi$. Číslo $(-1)^{I_{\pi}}$, kde
$I_{\pi}$ je počet všech inverzí v $\pi$ nazveme znaménko
(signum) permutace $\pi$. Značíme ho\\ sgn $\pi$. Je-li sgn $\pi$=+1,
říkáme, že $\pi$ je {\bf sudá} permutace, jinak je {\bf lichá}.
 
Každou permutaci lze složit z transpozic, tj. platí věta:
 
{\bf Věta 39}: Nechť $\pi\in{\bf S}_n, \pi\neq \epsilon$. Potom
existují transpozice $\tau_1,\tau_2,\ldots,\tau_l\in{\bf S}_n$,
takové, že $\pi=\tau_1\tau_2\cdots\tau_l$. Přitom platí sgn
$\pi=(-1)^l$.
 
Větu uvádíme bez důkazu.
 
{\bf Důsledek 1:}\\
Nechť $\pi_1,\pi_2\in{\bf S}_n$. Potom sgn\,$\pi_1\pi_2=$sgn\,$\pi_1\cdot$sgn\,$\pi_2$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Nechť $\pi_1=\tau_1\tau_2\cdots\tau_k$ a
$\pi_2={\tau_1}'{\tau_2}'\cdots{\tau_l}' \Longrightarrow$ \\
sgn\,$(\pi_1\pi_2)=$sgn\,$(\tau_1\tau_2\cdots\tau_k{\tau_1}'{\tau_2}'\cdots{\tau_l}')=
(-1)^{k+l}=(-1)^k(-1)^l=$sgn\,$\pi_1$sgn\,$\pi_2$.
 
{\bf Důsledek 2:}\\
Transpozice je lichá permutace.
 
{\bf Důkaz:} Zřejmý.
 
{\bf Důsledek 3:}\\
Nechť $\pi\in{\bf S}_n$. Pak sgn $\pi=$ sgn $\pi^{-1}$.
 
{\bf Důkaz:}
1=sgn $\epsilon=$sgn $\pi\pi^{-1}=$sgn $\pi\cdot$sgn $\pi^{-1}$.
 
Závěrem připomeneme, že ze střední školy je známo, že počet
permutací množiny ${\hat n}$ je $n!$
 
\newpage
 
{\bf Definice a základní vlastnosti determinantů}
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$, {\bf A}=
$\left(
\begin{array}{llll}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{array}
\right)$.\\
{\bf Determinantem} matice {\bf A} nazveme číslo
 
det {\bf A}=
$\begin{array}{|llll|}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{array}
=${\tiny $\sum\limits_{(k_1,\ldots ,k_n)\in{\bf
S}_n}$}\hspace{-3mm}sgn $(k_1,\ldots
,k_n)a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) Determinant je tedy suma všech součinů $n$-tic prvků matice {\bf
A}, při kterých se zachovává pravidlo, že v součinu je z každého
řádku a z každého sloupce {\bf právě jeden} prvek a součin je
znásoben znaménkem odpovídající permutace.
Je to permutace, která řádkovému indexu každého prvku v součinu
přiřazuje jeho sloupcový index.
To znamená, že platí také\\
det {\bf A}=
{\tiny $\sum\limits_{(k_1,\ldots ,k_n)\in{\bf
S}_n}$}\hspace{-3mm}sgn $(k_1,\ldots
,k_n)a_{k_11}a_{k_22}\cdots a_{k_nn}$.
 
2) Sčítance tvaru sgn $(k_1,\ldots,k_n)a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$
se nazývají {\bf členy determinantu}.\\
3) Je zřejmé, že determinant má $n!$ členů.
 
{\large {\bf Determinanty speciálních typů matic}}
 
1) Nechť {\bf A}=$(a_{11})$, pak zřejmě det {\bf A}=sgn $
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{c}${\scriptsize
1}$\\[-1mm]${\scriptsize 1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)a_{11}=a_{11}$.
 
2) Nechť {\bf
A}=$\biggl(\hspace{-1mm}
\begin{array}{ll}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\hspace{-1mm}\biggr)$.
V úvahu přicházejí pouze 2 permutace,
$\pi_1=
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{cc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\\[-1mm]${\scriptsize
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
se znaménkem sgn $\pi_1=1$ a
$\pi_2=
\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{cc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\\[-1mm]${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
se znaménkem sgn $\pi_2=-1$. Je tedy
det {\bf A}=$a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.
 
3) Nechť {\bf A}=$\Biggl(\hspace{-1mm}
\begin{array}{lll}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\
a_{21}&a_{22}&a_{23}\\
a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{array}\hspace{-1mm}\Biggr)$.
V úvahu přichází 6 permutací.\\ Permutace
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
3}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
a
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
se znaménkem 1\\ a permutace
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
1}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
3}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$,
$\Bigl(\hspace{-1.5mm}\begin{array}{ccc}
${\scriptsize 1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\\[-1mm]
${\scriptsize 2}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize
1}$&\hspace{-1mm}${\scriptsize 3}$\end{array}\hspace{-1.5mm}\Bigr)$
se znaménkem -1.\\
Je tedy\\
det {\bf A}=$a_{11}a_{12}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}+
a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Někdy se pro zapamatování vzorce pro výpočet determinantů matic 2. a 3.
řádu užívá mnemotechnických pomůcek. Pro matice 2. řádu\\
$
\begin{array}{|lll|}a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}\\[-1.5mm]
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}
\\[-1.5mm]
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}\end{array}=
a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$.  Tím je naznačeno, že se násobí jen
prvky matice spojené šipkami, přičemž má-li šipka směr
$\searrow$,
opatří se součin znaménkem +, má-li směr $\nearrow$, znaménko je
-.\\
Podobně pro výpočet determinantu matice 3. řádu se doporučuje pod
matici opsat znovu 1. a 2. řádek a pospojovat prvky následujícím
způsobem
 
$\begin{array}{|lllll|}
a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{13}\\[-1.5mm]
&\hspace{-4mm}\searrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{23}\\[-1.5mm]
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
a_{31}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{32}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{33}\\[-1.5mm]
\end{array}$
=
$\begin{array}{c}
a_{11}a_{12}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-\\
-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}.
\end{array}$\\
$\begin{array}{lllll}
&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
a_{11}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{12}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{13}\\[-1.5mm]
&\hspace{-4mm}\nearrow&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}\searrow&\hspace{-4mm}\\[-1.5mm]
a_{21}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{22}&\hspace{-4mm}&\hspace{-4mm}a_{23}
\end{array}$
 
Opět se násobí pouze prvky spojené čarami a o znaménku rozhoduje
směr šipky.
Tento způsob výpočtu je znám pod názvem Sarusovo pravidlo. Je
ovšem třeba zdůraznit, že pro determinanty matic vyššího řádu
obdobné pravidlo {\bf neplatí}.
 
4) {\bf Definice:}\\
Matice {\bf A}=
$\left(
\begin{array}{llll}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}
\end{array}
\right)$
se nazývá {\bf dolní} resp. {\bf horní} trojúhelníková, platí-li
$a_{ij}=0$ pro $i<j$ resp. pro $i>j$, kde $i,j\in{\hat n}$.
 
Platí tvrzení: Je-li {\bf A} horní (resp. dolní) trojúhelníková
matice, je det {\bf A}=$a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
\newpage
 
{\bf Důkaz:}\\
Nechť např. {\bf A}=
$\left(
\begin{array}{llll}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
0&0&\ldots&a_{nn}
\end{array}
\right)$.\\
Členy determinantu, které neobsahují prvek $a_{11}$, jsou určitě
rovny nule, neboť musí obsahovat jiný prvek prvního sloupce.\\
Budeme se proto dále zabývat jen členy determinantu, které prvek
$a_{11}$ obsahují.
Jediný takový člen determinantu, který není
nutně nulový, je roven součinu $a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}$.
Kdyby totiž $a_{ii}$ byl první diagonální prvek, který ve
zkoumaném
členu determinantu chybí, musel by v tomto členu být místo něho jiný prvek z
$i$-tého sloupce. Jeho řádkový index by ovšem musel být větší než
$i$, protože náš člen obsahuje prvky
$a_{11},a_{22},\cdots ,a_{i-1,i-1}$. Takový prvek je ovšem nutně
nulový, a tedy i člen determinantu je nulový.\\
Tím je tvrzení dokázáno.
 
{\bf Důsledky:}\\
a) Determinant diagonální matice je roven součinu diagonálních
prvků.\\
b) det {\bf I}=1.
 
{\bf Věta 40:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak det {\bf A}=det ${\bf
A}\hspace{-1mm}^{\top}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
det {\bf A} je suma sčítanců tvaru
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
\begin{array}{cccc}
\hspace{-2mm}1&\hspace{-1mm}2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}n\hspace{-2mm}\\
\hspace{-2mm}k_1&\hspace{-1mm}k_2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}k_n\hspace{-2mm}
\end{array}
\right)$}} $\hspace{-1mm}
a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$.\\
V det ${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$
vystoupí každý součin $a_{1k_1}a_{2k_2}\cdots a_{nk_n}$ také (protože
splňuje pravidlo, že z každého řádku a z každého sloupce je tam
právě jeden prvek). Protože však každý prvek  $a_{ij}$ je v
${\bf A}\hspace{-1mm}^{\top}$ na místě s indexy (j,i), bude
opatřen znaménkem
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
\begin{array}{cccc}
\hspace{-2mm}k_1&\hspace{-1mm}k_2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}k_n\hspace{-2mm}\\
\hspace{-2mm}1&\hspace{-1mm}2&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}n\hspace{-2mm}
\end{array}
\right)$}}.
Permutace, které zde vystupují, jsou ovšem vzájemně inverzní, a
tedy znaménka jsou stejná.
 
{\bf Věta 41:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Potom:\\
(a) Vznikne-li matice {\bf B} násobením některého sloupce (řádku)
matice {\bf A} číslem $c$, je det {\bf B}= $c$det {\bf A}.\\
(b) Je-li některý sloupec (řádek) matice {\bf A} nulový, je det
{\bf A}= 0.\\
(c) Má-li {\bf A} dva sloupce (řádky) stejné, je det {\bf A}=0.\\
(d) Označíme-li {\bf A}=$\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$ \\
a  {\bf B}=$\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$, \\
pak
det {\bf A}+ det  {\bf B}= det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}}+{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$. \\
Analogické tvrzení platí i pro řádky.\\
(e) Připočteme-li k jednomu sloupci (řádku) matice {\bf A}
lineární kombinaci jiných sloupců (řádků) této matice, determinant matice se
nezmění.\\
(f) Vznikne-li matice {\bf B} z matice {\bf A} přehozením dvou
sloupců (řádků),\\ je det {\bf B} = -det {\bf A}.
 
{\bf Důkaz:}\\
Vzhledem k větě 40 je lhostejné, zda důkazy provádíme pro řádky
nebo pro sloupce.\\
(a) V každém členu determinantu je právě jeden prvek příslušného
sloupce. Když byl sloupec násoben číslem $c$, je každý člen
determinantu
znásoben číslem $c$, a tedy lze toto číslo vytknout.\\
(b) To, že je sloupec roven ${\vec {\bf o}}$, lze chápat tak, že
nějaký původní sloupec byl násoben nulou, a podle (a) je tedy
det {\bf A} =0.\\
(c) Předpokládejme, že $i$-tý a $j$-tý řádek jsou stejné. Determinant
obsahuje \\s každým členem\\
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
\begin{array}{cccccccc}
\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}2&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-1mm}i&\hspace{-2mm}\ldots&
\hspace{-2mm}j&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}n\hspace{-2mm}\\
\hspace{-2mm}\pi(1)&\hspace{-2mm}\pi(2)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(i)&
\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(j)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(n)\hspace{-2mm}
\end{array}
\right)$}} $\hspace{-1mm}
a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{i\pi(i)}\cdots a_{j\pi(j)}\cdots
a_{n\pi(n)}$\\
také člen\\
sgn\hspace{-1mm}{\footnotesize{ $\left(
\begin{array}{cccccccc}
\hspace{-2mm}1&\hspace{-2mm}2&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-1mm}i&\hspace{-2mm}\ldots&
\hspace{-2mm}j&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}n\hspace{-2mm}\\
\hspace{-2mm}\pi(1)&\hspace{-2mm}\pi(2)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(j)&
\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(i)&\hspace{-2mm}\ldots&\hspace{-2mm}\pi(n)\hspace{-2mm}
\end{array}
\right)$}} $\hspace{-1mm}
a_{1\pi(1)}a_{2\pi(2)}\cdots a_{i\pi(j)}\cdots a_{j\pi(i)}\cdots
a_{n\pi(n)}$.\\
Protože z našeho předpokladu vyplývá, že
$a_{i\pi(i)}=a_{j\pi(i)}$ a $a_{j\pi(j)}=a_{i\pi(j)}$, liší se
oba členy nejvýše znaménkem příslušné permutace. Protože ale druhá
permutace vznikne z první složením s jedinou transpozicí
$\tau_{ij}$, jsou znaménka permutací opačná a členy se zruší.
Determinant se tedy rovná nule.\\
(d) Označíme-li ${\bf a}^{(i)}_j$ $j$-tou složku vektoru
${\vec {\bf a}}^{(i)}$ (tj. prvek na $j$-tém místě \\v $i$-tém sloupci
matice) a analogicky pro vektory ${\vec {\bf p}}$ a ${\vec {\bf
q}}$, platí\\
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},{\vec {\bf
a}^{(2)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},{\vec {\bf p}}+{\vec {\bf q}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$=       \\
=$\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
a}^{(1)}_{\pi(1)}{\bf a}^{(2)}_{\pi(2)}\cdots{\bf
a}^{(i-1)}_{\pi(i-1)}({\bf p}_{\pi(i)}+{\bf q}_{\pi(i)}){\bf
a}^{(i+1)}_{\pi(i+1)}\cdots{\bf a}^{(n)}_{\pi(n)}$=\\
=$\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
a}^{(1)}_{\pi(1)}\cdots{\bf p}_{\pi(i)}\cdots{\bf
a}^{(n)}_{\pi(n)}+
\sum\limits_{\pi\in{\bf S}_n}$\hspace{-1mm}sgn $\pi\enspace {\bf
a}^{(1)}_{\pi(1)}\cdots{\bf q}_{\pi(i)}\cdots{\bf
a}^{(n)}_{\pi(n)}$=\\=
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf p}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(n)}}\Bigr)$+
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf q}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(n)}}\Bigr)$.\\
(e) Determinant má tvar
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},
{\vec {\bf a}^{(i)}}+\sum\limits_{j\neq i}\gamma_j{\vec {\bf
a}^{(j)}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}}\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$,
a je tedy podle (a) a (d) roven\\
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,
{\vec {\bf a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)+
\sum\limits_{j\neq i}\gamma_j$
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(i-1)}},
{\vec {\bf a}^{(j)}},{\vec {\bf
a}^{(i+1)}}\ldots,{\vec {\bf a}^{(n)}}\Bigr)$.
Všechny determinanty za sumačním znaménkem jsou ovšem podle (c)
rovny nule.\\
(f) Označme sloupce matice {\bf A} postupně ${\vec {\bf a}}^{(1)},{\vec {\bf
a}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(n)}$. Prohození sloupců ${\vec {\bf
a}}^{(i)}$ a ${\vec {\bf a}}^{(j)}$ v det {\bf A} lze docílit
úpravami, které symbolicky vyznačím (sloupce, které se nemění,
většinou nepíšu).\\
det {\bf A}=
det $\Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}}^{(n)}\Bigr)
=\\
\stackrel{
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
{\mbox{\tiny (e)}}\end{array}}}{=}
{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
a}}^{(n)}\Bigr)
=\\
\stackrel{
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
{\mbox{\tiny (e)}}\end{array}}}{=}
{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf a}^{(j)}}-({\vec {\bf
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}}),\ldots,{\vec {\bf
a}}^{(n)}\Bigr)
=\\
={\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,-{\vec {\bf
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
a}}^{(n)}\Bigr)
=\\
\stackrel{
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
{\mbox{\tiny (a)}}\end{array}}}{=}
-{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}}+{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
a}}^{(n)}\Bigr)
=\\
\stackrel{
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny podle}} \\[-3mm]
{\mbox{\tiny (d) a (c)}}\end{array}}}{=}
-{\rm det} \Bigl({\vec {\bf a}^{(1)}},\ldots,
{\vec {\bf a}^{(j)}},\ldots,{\vec {\bf
a}^{(i)}},\ldots,{\vec {\bf
a}}^{(n)}\Bigr)$.
 
{\bf Důsledek:}\\
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou čtvercové matice řádu $n$.
Vznikla-li matice {\bf B} z matice {\bf A} ekvivalentní úpravou
řádků, platí det {\bf B}=det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}, kde
{\bf T} je matice, která z jednotkové matice {\bf I} řádu $n$
vznikla stejnou ekvivalentní úpravou řádků, tj. vznikla-li matice
{\bf T} z matice {\bf I} ekvivalentní úpravou řádků, platí\\
\centerline {det {\bf TA}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}}\\
(neboť z pomocné věty na str. 10 víme, že {\bf B}={\bf T}{\bf
A}).
 
{\bf Důkaz:}\\
(1) prohození $i$-tého a $j$-tého řádku:\\
{\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}
c@{\,}c@{\,}c@{}c@{}c@{}c@{}c@{\,}}
1&&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&1&&&&&&&&&&&&\\[-1mm]
&&&&&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&$\cdot$&1&&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&$\cdot$&&&&&1&$\cdot$&&&&&\\[-1mm]
&&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&0&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1mm]
&&&&&&&&&&&&1&&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-2.5mm]
&&&&&&&&&&&&&&&&1
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c@{}}
\\[6.9mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$i$-tý řádek \\[-1mm]
\\[2.4mm]
$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$\cdot$$j$-tý řádek \\[-1mm]
\\[-0.1mm]
\\
\\[-1mm]
\\[-1mm]
\end{tabular}}\\
 
Protože det {\bf I}= 1, je podle tvrzení (f) det {\bf T}= -1, a tedy
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.\\
 
(2) násobení $i$-tého řádku číslem $c\neq 0$:\\[-8mm]
{\bf T}=
$\left(\hspace{-8pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}}
%{ccccccccccc}
1&&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&1&&&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&$c$&&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.7mm]
&&&&&&1&&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.7mm]
&&&&&&&&&&1\\
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c}
\\[18mm]
...................$i$-tý řádek\\[22mm]
\end{tabular}}\\[-8mm]
Podle tvrzení (a) je det {\bf T}=$c$, a tedy opět
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.
 
(3) připočtení $i$-tého řádku k $j$-tému řádku:\\[2mm]
{\bf T}=
$\left(\hspace{-0pt}
\mbox{
{\scriptsize
\begin{tabular}
{c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}c@{\,}
c@{\,}c@{\,}c@{\,}}
%{ccccccccccc}
1&&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&$\cdot$&&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&$\cdot$&&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&$\cdot$&&&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&$\cdot$&&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&$\cdot$&&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&$\cdot$&&&$\cdot$&&&&&\\[-1.8mm]
&&&&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&1&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$&$\cdot$\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&$\cdot$&&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&$\cdot$&&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&$\cdot$&\\[-1.8mm]
&&&&&&&&&&&&1\\
\end{tabular}}}
\right) $
\hspace{-6mm}
{\scriptsize
\begin{tabular}{c}
\\[.7mm]
...................$i$-tý řádek\\[3mm]
...................$j$-tý řádek\\[5.3mm]
\end{tabular}}\\[2mm]
Podle tvrzení (e) je
det {\bf T}= 1, a tedy
det {\bf B}= det {\bf T} $\cdot$ det {\bf A}.
 
{\bf Poznámka:}\\ Stejná tvrzení platí pochopitelně i pro
sloupcové úpravy.
 
{\bf Věta 42:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice. Pak {\bf A} je regulární,
právě když det {\bf A} $\neq$ 0.
 
{\bf Důkaz:}\\
Matici {\bf A} lze ekvivalentními úpravami řádků převést na
matici {\bf B}, která je\\ v horním stupňovitém tvaru. Podle
dokázaného důsledku se determinant matice {\bf A} po každé úpravě
násobí číslem různým od nuly ( -1 při záměně řádků, $c$ při
násobení řádku číslem $c$ a 1 při připočtení řádku k druhému).\\
Je tedy det {\bf A} $\neq$ 0 $\Leftrightarrow$ det {\bf B} $\neq$
0. Ale determinant matice {\bf B} je součin jejích diagonálních
prvků (neboť je trojúhelníková), a je tedy nenulový, právě když všechny sloupce jsou hlavní,
tj. když hodnost {\bf A} je $n$.
 
 
{\bf Věta 43:}\\
Nechť {\bf P} a {\bf Q} jsou čtvercové matice řádu $n$. Pak det
{\bf P}{\bf Q} = det {\bf P} $\cdot$ det {\bf Q}.
 
 
{\bf Důkaz}:\\
1) Nechť {\bf P} je singulární $\Longleftrightarrow$ det {\bf P}
= 0 a $h({\bf P})<n$.\\
Podle věty 33 je $h({\bf P}{\bf Q})\leq h({\bf P})<n \Rightarrow {\bf
P}{\bf Q}$ je singulární $\Rightarrow$ det {\bf P}{\bf Q}=0.\\
2) Nechť {\bf P} je regulární. Pak existuje matice {\bf
P}$^{-1}$,
platí ${\bf P}{\bf P}^{-1}={\bf P}^{-1}{\bf P}={\bf I}$, a tedy
platí {\bf P}=${({\bf P}^{-1})}^{-1}$. \\
Platí tedy také {\bf P}{\bf Q}=${({\bf P}^{-1})}^{-1}{\bf Q}$.\\
Spočítáme tento součin technikou pro výpočet
součinů tvaru ${\bf A}^{-1}{\bf B}$ ze strany 10. To znamená, že
budeme provádět ekvivalentní úpravy řádků matice $\Bigl( {\bf
P}^{-1}\vert {\bf Q}\Bigr)$ až dostaneme matici
$\Bigl( {\bf I}\vert {\bf P}{\bf Q}\Bigr)$.\\
(Zde je nutné si uvědomit, že ať užijeme jakékoliv
řádkové úpravy, které zajistí, že na místě matice ${\bf P}^{-1}$
vznikne matice {\bf I}, vznikne na místě matice {\bf Q} matice
{\bf P}{\bf Q}.)\\
Protože při tomto procesu vznikla matice {\bf P}{\bf Q} z matice
{\bf Q} ekvivalentními úpravami, platí podle důsledku ze strany
21
 
\hspace{15mm} det {\bf P}{\bf Q} = det ${\bf T}_k  \cdot$  det ${\bf
T}_{k-1}$
$\cdots$ det ${\bf T}_1  \cdot$ det {\bf Q}, \hspace{15mm}($\star$)
 
kde ${\bf T}_i$ je matice, která odpovídá $i$-té úpravě (tj.
vznikla z {\bf I} touto úpravou).\\
Vztah $(\star$) platí pro každou matici řádu $n$, a tedy speciálně
(při volbě {\bf Q}={\bf I}\\ a stejných úpravách) platí
 
\hspace{15mm} det {\bf P} = det ${\bf T}_k  \cdot$  det ${\bf
T}_{k-1}$
$\cdots$ det ${\bf T}_1  $.
 
Je tedy
det {\bf P}{\bf Q} = det {\bf P} $\cdot$ det {\bf Q}.
 
{\bf Důsledek:}\\
Nechť {\bf A} je regulární matice. Pak det ${\bf
A}^{-1}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Tvrzení je důsledkem vztahů 1 = det $({\bf A}^{-1}{\bf A})$ = det
${\bf A}^{-1} \cdot$ det {\bf A}.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je čtvercová matice řádu $n>1$. Nechť ${\bf
A}^{(i,j)}$ je čtvercová matice řádu $n-1$, která z {\bf A} vznikla
vyškrtnutím $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. Označme\\
\centerline{${\bf D}_{ij}=(-1)^{i+j}\cdot {\rm det}\ {\bf
A}^{(i,j)}$.}
Číslo ${\bf D}_{ij}$ se nazývá {\bf algebraický doplněk} prvku
$a_{ij}$.
 
 
{\bf Věta 45:} (O rozvoji determinantu podle $i$-tého řádku,
resp. $j$-tého sloupce)\\
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je čtvercová matice řádu $n>1$ a ${\bf
D}_{ij}$ jsou algebraické doplňky prvků $a_{ij}$ pro $i\in {\hat
n}, j\in {\hat n}$.\\
Potom pro $i\in {\hat n}$ platí\\
\centerline{ det {\bf A} =$\sum \limits_{j=1}^{n}a_{ij}{\bf
D}_{ij}$,\hspace{20mm}{\tiny (rozvoj podle $i$-tého řádku)}}\\
resp. pro $j\in {\hat n}$ platí\\
\centerline{ det {\bf A} =$\sum \limits_{i=1}^{n}a_{ij}{\bf
D}_{ij}$.\hspace{20mm}{\tiny (rozvoj podle $j$-tého sloupce)}}
 
Tuto větu jsme uvedli bez důkazu.
 
{\bf Věta 46:}\\
Nechť {\bf A}=$(a_{ij})$ je regulární čtvercová matice řádu $n>1$ a ${\bf
D}_{ij}$ jsou algebraické doplňky prvků $a_{ij}$ pro $i\in {\hat
n}, j\in {\hat n}$.\\
Potom
$ {\bf A}^{-1}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}
\left(
\begin{array}{rrrr}
{\bf D}_{11}&{\bf D}_{21}&\ldots&{\bf D}_{n1}\\
{\bf D}_{12}&{\bf D}_{22}&\ldots&{\bf D}_{n2}\\
\vdots&&&\\
{\bf D}_{1n}&{\bf D}_{2n}&\ldots&{\bf D}_{nn}\\
\end{array}
\right)$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Stačí dokázat, že {\bf A}${\bf A}^{-1}$={\bf I}. Zkoumejme tedy
prvek na místě $(i,j)$ tohoto součinu. Kdyby vzorec uvedený ve
větě platil, je (podle vzorce pro násobení matic)
 
$[{\bf A}{\bf A}^{-1}]_{ij}=\frac{1}{{\rm det} {\bf A}}[a_{i1}{\bf
D}_{j1}+a_{i2}{\bf D}_{j2}+\ldots+a_{in}{\bf D}_{jn}]$.
 
Podle věty 45 je výraz v hranaté závorce pro $i=j$ roven det {\bf
A} (výpočet rozvojem podle $i$-tého řádku), a tedy $[{\bf A}{\bf A}^{-1}]_{ii}=1$ pro $i\in {\hat n}$.\\
Podle téže věty je výraz v hranaté závorce pro $i\neq j$ rozvoj
podle $j$-tého řádku ovšem determinantu matice, která vznikne,
když v matici {\bf A} nahradíme $j$-tý řádek znovu $i$-tým
řádkem. Rozvoj v hranaté závorce je v tomto případě roven nule,
protože jde o determinant matice se dvěma stejnými řádky.\\
Tím je věta dokázána.
 
{\bf Poznámka:}\\
Matici ${\bf A}^{adj}=
\left(
\begin{array}{rrrr}
{\bf D}_{11}&{\bf D}_{21}&\ldots&{\bf D}_{n1}\\
{\bf D}_{12}&{\bf D}_{22}&\ldots&{\bf D}_{n2}\\
\vdots&&&\\
{\bf D}_{1n}&{\bf D}_{2n}&\ldots&{\bf D}_{nn}\\
\end{array}
\right)$
se říká matice {\bf adjungovaná}\\ k matici {\bf A}.
 
{\bf Věta 47:} (Cramerovo pravidlo)\\
Nechť {\bf A} je regulární čtvercová matice řádu $n$ a
${\vec {\bf b}}\in {\bf C}^n$.
Označme ${\bf B}^{(i)}$ matici, která z matice {\bf A} vznikne
při náhradě $i$-tého sloupce vektorem ${\vec {\bf b}}$. Nechť
${\vec {\bf x}}=
\left(\hspace{-1mm}
\begin{array}{l} x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\hspace{-1mm}\right)\in{\bf
C}^n$ je řešení soustavy   {\bf A}${\vec {\bf x}}={\vec {\bf
b}}$.\\
Potom pro $i\in {\hat n}$ platí $x_i=\frac{{\rm det}\ {\bf
B}^{(i)}}{{\rm det}\ {\bf A}}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Víme, že ${\vec {\bf x}}={\bf A}^{-1}{\vec {\bf b}}$ a tedy ze
vzorce pro výpočet inverzní matice ve větě 46 plyne\\
$x_i=\frac{1}{{\rm det}\ {\bf A}}[{\bf D}_{1i}b_1+{\bf
D}_{2i}b_2+\ldots+{\bf D}_{ni}b_n]$.\\
Snadno uvážíme, že výraz v hranaté závorce je rozvoj determinantu
matice, která z matice {\bf A} vznikla po nahrazení $i$-tého
sloupce vektorem ${\vec {\bf b}}$, podle tohoto nového $i$-tého
sloupce. Tím je věta dokázána.
 
{\bf Poznámka:}\\
Je třeba říci, že Cramerovo pravidlo i vzorec z věty 46 se hodí k
výpočtům pouze u malých matic (jinak jsou to vzorce
neekonomické kvůli velkému počtu aritmetických operací). V teorii
mají ovšem velký význam.
 
\newpage
 
{\Large {\bf Skalární součin a ortogonalita}}
 
{\bf Důležité upozornění:}\\
V této kapitole budeme pod pojmem {\bf těleso} rozumět výhradně
buď těleso všech komplexních čísel, nebo těleso všech reálných
čísel. Důvodem pro toto omezení je skutečnost, že v obecném
tělese {\bf nemusí} platit implikace\\
\centerline {$\alpha\in{\bf T}\Longleftrightarrow
\overline{\alpha}\in{\bf T}$.}
 
Nechť {\bf V} je vektorový prostor nad tělesem {\bf T}. Kromě
operací sčítání vektorů \\a násobení vektoru číslem, které jsou
v každém vektorovém prostoru zavedeny, se studují i prostory s
další operací, která se nazývá skalární součin a je dána
následující definicí.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor nad tělesem {\bf T}. Zobrazení
${\bf V}\times {\bf V}$ do {\bf T}, které každé dvojici vektorů ${\vec {\bf
x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} přiřadí číslo $({\vec {\bf
x}},{\vec {\bf y}})\in{\bf T}$ se nazývá {\bf skalární součin},
pokud splňuje následující čtyři vlastnosti:\\
1) Pro každé dva vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} je
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
$\overline{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}$.\\
2) Pro každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ je
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$;
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=0\Longleftrightarrow
{\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.\\
3) Pro každé tři vektory ${\vec {\bf x}}$, ${\vec {\bf y}}$ a ${\vec {\bf z}}$ z {\bf V}
je $({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})$=
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})+({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
z}})$.\\
4) Pro každé dva vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ z {\bf V} a
číslo $\alpha\in{\bf T}$ je
$(\alpha{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
$\alpha({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$.\\
{\bf Poznámky:}\\
0) Pro lib. ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ je
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf o}})=
({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=0$.\\
\hspace*{5mm}
(Neboť $({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=
(0{\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=
0({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}})=0$.)\\
1) Pokud prostor {\bf V} je reálný, tj. {\bf T}={\bf R}, platí
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
$({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})$.\\
2) Z vlastností 1) a 4) plyne
$({\vec {\bf x}},\alpha{\vec {\bf y}})$=
${\overline\alpha}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$.\\
\hspace*{3mm} Z vlastností 1) a 3) plyne
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})$=
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf x}})+({\vec {\bf z}},{\vec {\bf
y}})$.\\
3) {\bf Příklad skalárního součinu na prostoru C$^n$.}\\
\hspace*{3mm} Nechť
${\vec {\bf x}}=\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-1mm}
\begin{array}{l}
x_1\\x_2\\\vdots\\x_n
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
\hspace{-1mm}\in{\bf C}^n$ a
${\vec {\bf y}}=\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-1mm}
\begin{array}{l}
y_1\\y_2\\\vdots\\y_n
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
\hspace{-1mm}\in{\bf C}^n$.
Definujeme tzv. {\bf standardní skalární součin} vztahem
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
$\sum \limits_{i=1}^{n}x_i\overline {y_i}$.
Obdobně definujeme na prostoru {\bf R}$^n$ {\bf standardní
skalární součin} vztahem
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})$=
$\sum \limits_{i=1}^{n}x_iy_i$.\\
4) Prostor {\bf R}$^n$ se standardním skalárním součinem nazýváme
{\bf eukleidovský prostor} a analogicky
prostor {\bf C}$^n$ se standardním skalárním součinem nazýváme
{\bf unitární prostor}.\\
Jsou to tedy prostory, na kterých jsou definovány {\bf tři}
operace.\\
5) Je-li {\bf V} vektorový prostor nad {\bf T} se skalárním
součinem a ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$, nazýváme číslo
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=\sqrt{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}})}$ {\bf norma vektoru} ${\vec {\bf x}}$.\\
Speciálně v prostoru {\bf R}$^n$ ( a někdy i v {\bf C}$^n$) se
standardním skalárním součinem se číslo
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=\sqrt{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}})}$
nazývá {\bf eukleidovská norma vektoru} ${\vec {\bf x}}$. Snadno
si rozmyslíme, že v {\bf R}$^1$,{\bf R}$^2$ a {\bf R}$^3$ má
eukleidovská norma význam velikosti vektoru.\\
Snadno prověříme, že
$\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=0\Longleftrightarrow{\vec {\bf x}}={\vec {\bf
o}}$  a $\Vert\alpha{\vec {\bf
x}}\Vert=\mid\hspace{-1mm}\alpha\hspace{-1mm}\mid\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert$.
 
{\bf Věta 48:}(Schwarzova (Cauchyova) nerovnost)\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
součinem nad tělesem {\bf T}. Pak pro každé dva vektory ${\vec
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ platí\\
\centerline{$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\vert\le\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
y}}\Vert$.}
Rovnost nastává, právě když vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec
{\bf y}}$ jsou lineárně závislé.\\
{\bf Důkaz:}\\
Pokud ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, je nerovnost zřejmá.\\
Omezíme se tedy na případ ${\vec {\bf x}}\neq{\vec {\bf o}}$.
Zavedeme vektor ${\vec {\bf z}}$ vztahem
${\vec {\bf z}}=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}$.
Platí vztahy
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}^2\Vert}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})
=\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert^2}$\\
a
$\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2=\left(
\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}
,\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}
\right)=
\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})\overline{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
x}})}}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^4}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=
\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert^2}$.\\
Z prvního vztahu je zřejmé, že součin $({\vec {\bf z}},{\vec {\bf
y}})$ je reálný, a tedy následující výrazy si jsou rovny\\
$({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})=({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=
\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2=
\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert^2}$.\\
Z toho plyne\\
$0\le({\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}})=
\Vert{\vec {\bf z}}\Vert^2-({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})-
({\vec {\bf z}},{\vec {\bf y}})+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2=
-\frac{\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert^2}{\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert^2}+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2$.\hspace{10mm}($\star$)\\
Nerovnost
$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\vert\le\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
y}}\Vert$
tedy platí.\\
Vyšetříme, kdy nastane rovnost.\\
Jsou-li vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ lineárně
závislé, je jeden z nich násobkem druhého. Nechť např.
${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$.
Pak $\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert=
\vert(\alpha{\vec {\bf y}},{\vec {\bf y}})\vert=
\vert\alpha\vert\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2=
\Vert{\alpha\vec {\bf y}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf y}}\Vert=
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
Je-li naopak
$\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\vert=\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
y}}\Vert$,
pak je buď ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, a tedy
vektory ${\vec {\bf x}}$, ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
závislé, nebo ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$ a výraz na pravé
straně vztahu $(\star)$ je roven nule. Z toho ovšem plyne
$\Vert{\vec {\bf z}}-{\vec {\bf y}}\Vert$=0, z toho
${\vec {\bf y}}={\vec {\bf z}}=\frac{({\vec {\bf y}},{\vec {\bf
x}})}{\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2}{\vec {\bf x}}$, a tudíž
vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
závislé.
 
{\bf Věta 49:}(Trojúhelníková nerovnost)\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
součinem nad tělesem {\bf T}. Pak pro každé dva vektory ${\vec
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ platí\\
\centerline {$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert\le\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.}
Rovnost nastává, právě když existuje číslo $\alpha\in${\bf T},
$\alpha\ge 0$ tak, že buď ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$,
nebo ${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$.\\
{\bf Důkaz:}\\
Platí následující vztahy\\
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert^2=
({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})=
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2{\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})+
\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\le\\
\le\hspace{-1mm}
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\sqrt{{\sl Re}^2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})+{\sl Im}^2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})}+
\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\hspace{-1mm}=\hspace{-1mm}
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2\le\hspace{12mm}(\star)\\
\stackrel{
{\begin{array}{c}{\mbox{\tiny (Schwarzova}} \\[-3mm]
{\mbox{\tiny nerovnost)}}\end{array}}}{\le}
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert^2+2\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
y}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert^2
=(\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert)^2$.
 
Nerovnost tedy platí.
 
Předpokládejme, že platí rovnost
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert=\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
Pak se všechny nerovnosti ve vztazích $(\star)$ mění na rovnosti
a z toho plyne:\\
(a) $\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\vert=\Vert{\vec {\bf x}}\Vert\cdot\Vert{\vec {\bf
y}}\Vert$,\\
(b) ${\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\vert({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\vert \Longrightarrow {\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})\ge 0, {\sl Im}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=0$,\\
\hspace*{5mm} a tudíž
${\sl Re}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})$.
 
Z (a) a Schwarzovy nerovnosti plyne, že
vektory ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou lineárně
závislé, tj. existuje $\alpha\in{\bf T}$, že
buď ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$,
nebo ${\vec {\bf x}}=\alpha{\vec {\bf y}}$. Zbývá dokázat,
že existuje takové {\bf nezáporné} $\alpha$. V případě, že oba vektory
jsou nulové, je to zřejmé. Nechť např. ${\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$ a ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$. Z (b) plyne
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})\ge 0$, tj.\\
$({\vec {\bf x}},\alpha{\vec {\bf x}})={\overline \alpha}\Vert{\vec {\bf
x}}\Vert^2\ge 0 \Longrightarrow {\overline \alpha}\ge 0
\Longrightarrow \alpha\ge 0$.
 
Naopak, je-li ${\vec {\bf y}}=\alpha{\vec {\bf x}}$ a $\alpha\ge
0$, platí
$\Vert{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\Vert=
\Vert{\vec {\bf x}}+\alpha{\vec {\bf x}}\Vert=
\vert1+\alpha\vert\cdot\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
(1+\alpha)\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\alpha\Vert{\vec {\bf x}}\Vert=
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert\alpha{\vec {\bf x}}\Vert=
\Vert{\vec {\bf x}}\Vert+\Vert{\vec {\bf y}}\Vert$.
 
S pojmem skalárního součinu úzce souvisí další důležitý pojem.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor  se skalárním
součinem nad tělesem {\bf T}. Řekneme, že dva vektory ${\vec
{\bf x}}, {\vec {\bf y}}\in {\bf V}$ jsou {\bf ortogonální}
(kolmé), jestliže $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=0$. Užíváme
označení ${\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf y}}$.\\
Řekneme, že soubor vektorů
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
je {\bf ortogonální} (OG), právě když ${\vec {\bf x}}^{(i)}\perp{\vec {\bf
x}}^{(j)}$ pro všechna $i,j\in{\hat n}$, kde $i\ne j$.\\
Splňuje-li tento soubor navíc podmínku
$\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert=1$ pro všechna $i\in{\hat n}$,
říkáme, že je {\bf ortonormální} (ON) (tj. platí
$({\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec {\bf x}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro
všechna $i,j\in{\hat n}$).
 
{\bf Poznámka:}\\
Všimneme si, že zatímco vektory ortonormálního souboru jsou nutně
nenulové, u ortogonálního souboru to tak být nemusí.
 
{\bf Příklad:}\\
Standardní báze prostoru {\bf C}$^n$ (resp. {\bf R}$^n$) se
standardním skalárním součinem je ortonormální soubor.
 
{\bf Věta 50:}\\
Ortogonální soubor nenulových vektorů je lineárně nezávislý.\\
{\bf Důsledek:}\\
Ortonormální soubor je lineárně nezávislý.\\
{\bf Důkaz:}(Sporem)\\
Nechť
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
je lineárně závislý soubor a ${\vec {\bf x}}^{(i)}\ne{\vec {\bf
o}}$ pro $i\in{\hat n}$. Existuje tedy $n$-tice čísel
$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$ a index $i_0$ tak, že
$\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)}=
{\vec {\bf o}}$\\ a $\alpha_{i_0}\ne 0$.\\
Platí tedy i rovnost
$\left(\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec
{\bf x}}^{(i_0)}\right)=
({\vec {\bf o}},{\vec {\bf x}}^{(i_0)})\Rightarrow
\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i({\vec {\bf x}}^{(i)},{\vec {\bf x}}^{(i_0)})=
0\Rightarrow\\
\Rightarrow
\alpha_{i_0}\Vert{\vec {\bf x}}^{(i_0)}\Vert^2=
0 {\mbox {\tiny (neboť soubor je ortogonální)}}
\Rightarrow \alpha_{i_0}=0$
{\tiny (neboť ${\vec {\bf x}}^{(i_0)}\ne{\vec {\bf o}})$}.\\
A to je hledaný spor.
 
{\bf Věta 51:}\\
Nechť
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
je lineárně nezávislý soubor vektorů z vektorového prostoru {\bf
V} se skalárním součinem. Potom existuje ortonormální soubor
vektorů
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(n)})$
tak, že pro každé $r\in{\hat n}$ platí\\  \hspace*{20mm}
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(r)}]_\lambda=
[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(r)}]_\lambda$.\\
{\bf Poznámka:}\\
Pokud se nám podaří takový soubor
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(n)})$
najít, říkáme, že jsme soubor
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
{\bf ortonormalizovali}.\\
{\bf Důsledek:}\\Nenulový vektorový prostor konečné dimenze má
ortonormální bázi.\\
{\bf Důkaz:}\\
Důkaz provedeme tak, že vysvětlíme rekurzivním způsobem postup,
kterým se ortonormální soubor s uvedenými vlastnostmi získá.
Postup je znám pod jménem {\bf Gram-Schmidtův ortogonalizační
proces}.\\
Nejprve zvolíme ${\vec {\bf y}^{(1)}}=\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
x}^{(1)}}\Vert}{\vec {\bf x}^{(1)}}$.\\
\newpage
Jasně platí:\hspace{10mm}
(a) $[{\vec {\bf y}^{(1)}}]_\lambda=[{\vec {\bf
x}^{(1)}}]_\lambda$,\\
\hspace*{31mm}(b) $\Vert{\vec {\bf y}^{(1)}}\Vert$=1.\\
Druhý vektor konstruovaného souboru najdu následujícím
způsobem:\\
Nejprve najdu pomocný vektor ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}$
tak, aby platilo:\\
\hspace*{40mm}
(a) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}\perp{\vec {\bf y}}^{(1)}$,\\
\hspace*{41mm}(b) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}\in[{\vec {\bf
x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$.\\
Hledám ho ve tvaru ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}}={\vec {\bf
x}}^{(2)}-\alpha_1{\vec {\bf y}}^{(1)}$, a tím si zajistím
vlastnost (b).\\
Protože chci, aby platilo i (a), musí být splněno\\
$({\vec {\tilde {\bf y}}^{(2)}},{\vec {\bf
y}}^{(1)})=0\Rightarrow 0=({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf
y}}^{(1)})-\alpha_1\Vert{\vec {\bf y}}^{(1)}\Vert^2\Rightarrow\\
\Rightarrow
\alpha_1=({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf y}}^{(1)})$
{\tiny (neboť $\Vert{\vec {\bf y}}^{(1)}\Vert=1)$}$\Rightarrow {\vec {\tilde {\bf
y}}^{(2)}}={\vec {\bf x}}^{(2)}-({\vec {\bf x}}^{(2)},{\vec {\bf
y}}^{(1)}){\vec {\bf y}}^{(1)}.$\\
Položíme-li
${\vec {\bf y}^{(2)}}=\frac{1}{\Vert {\vec {\tilde {\bf
y}}}^{(2)}\Vert} {\vec {\tilde {\bf y}}}^{(2)}$,
má tento vektor vlastnosti (a) i (b) a navíc je
$\Vert{\vec {\bf y}^{(2)}}\Vert$=1. Soubor
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)})$ je ortonormální, a
tudíž lineárně nezávislý,\\
${\vec {\bf y}}^{(1)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$
, ${\vec {\bf y}}^{(2)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)}]_\lambda$,
a proto $[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)}]_\lambda=
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)}]_\lambda$.
 
Předpokládejme nyní, že se nám podařilo ortonormalizovat vektory
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(l)}$, tj. najít vektory
${\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(l)}$ tak, že $({\vec {\bf y}}^{(i)}, {\vec {\bf
y}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro $i,j\in{\hat l}$ \\a
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(r)}]_\lambda=[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf
y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf y}}^{(r)}]_\lambda$ pro $r\in{\hat
l}$.
Nejprve najdu pomocný vektor ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}$
tak, aby platilo:\\
\hspace*{40mm}
(a) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}\perp{\vec {\bf y}}^{(k)}$
pro $k\in{\hat l}$,\\
\hspace*{41mm}(b) ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}\in[{\vec {\bf
x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(l+1)}]_\lambda$.\\
Hledám ho ve tvaru ${\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}={\vec {\bf
x}}^{(l+1)}-\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i{\vec {\bf y}}^{(i)}$,
a tím si zajistím vlastnost (b), neboť
$[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(l)}]_\lambda=[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf
y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf y}}^{(l)}]_\lambda$.\\
Protože chci, aby platilo i (a), musí pro $k\in{\hat l}$ být
splněno\\
$({\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}},{\vec {\bf
y}}^{(k)})=0\Rightarrow
({\vec {\bf
x}}^{(l+1)}-\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i{\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
y}}^{(k)})=0\Rightarrow\\
\Rightarrow
({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(k)})-
\sum \limits_{i=1}^{l}\alpha_i({\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
y}}^{(k)})=0\Rightarrow\\
\Rightarrow \alpha_k=({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(k)})$
pro $k\in{\hat l}$
{\tiny (neboť $({\vec {\bf y}}^{(i)},{\vec {\bf
y}}^{(j)})=\delta_{ij}$ pro
$i,j\in{\hat l}$)}$\Rightarrow\\
\Rightarrow {\vec {\tilde {\bf y}}^{(l+1)}}={\vec {\bf x}}^{(l+1)}-
\sum \limits_{i=1}^{l}({\vec {\bf x}}^{(l+1)},{\vec {\bf y}}^{(i)}){\vec {\bf y}}^{(i)}.$\\
Položíme-li
${\vec {\bf y}^{(l+1)}}=\frac{1}{\Vert {\vec {\tilde {\bf
y}}}^{(l+1)}\Vert} {\vec {\tilde {\bf y}}}^{(l+1)}$,
má tento vektor vlastnosti (a) i (b) a navíc je
$\Vert{\vec {\bf y}^{(l+1)}}\Vert$=1. Soubor
$({\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
y}}^{(l+1)})$ je ortonormální, a
tudíž lineárně nezávislý,
${\vec {\bf y}}^{(k)}\in[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(l+1)}]_\lambda$ pro $k\in
\widehat{l+1}$, a proto\\
$[{\vec {\bf y}}^{(1)},{\vec {\bf y}}^{(2)},\ldots,{\vec
{\bf y}}^{(l+1)}]_\lambda=
[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(l+1)}]_\lambda$.
 
{\bf Věta 52:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
tělesem {\bf T}\\ a ${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$ je jeho ortonormální
báze. Nechť ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$. Potom ${\vec {\bf
x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)}){\vec {\bf
x}}^{(i)}$.\\
{\bf Důkaz:}\\
Víme, že lze psát
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i{\vec {\bf
x}}^{(i)}$, neboť ${\cal X}$ je báze {\bf V}.
Pro $i\in{\hat n}$ platí\\
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}}^{(i)})=\sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_k({\vec {\bf x}}^{(k)},{\vec {\bf
x}}^{(i)})=\alpha_i\cdot 1=\alpha_i.$\\
 
{\bf Poznámka:}\\
Součiny $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})$  jsou tedy
souřadnice vektoru ${\vec {\bf x}}$ vzhledem k ortonormální bázi.
Nechť nyní
${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$
je pouze ortogonální báze {\bf V}. Potom soubor
$(\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(1)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(1)},\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
x}}^{(2)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,\frac{1}{\Vert{\vec {\bf
x}}^{(n)}\Vert}{\vec {\bf x}}^{(n)})$
je ortonormální báze. Víme, že souřadnice vektoru ${\vec {\bf
x}}$ vzhledem k této ortonormální bázi jsou
$({\vec {\bf x}},\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}{\vec
{\bf x}}^{(i)})$.
Platí proto
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{i=1}^{n}\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})\frac{1}{\Vert{\vec {\bf x}}^{(i)}\Vert}{\vec {\bf
x}}^{(i)}$. Souřadnice vzhledem k ortogonální bázi ${\cal X}$
tedy jsou $\frac{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})}{\Vert{\vec {\bf
x}}^{(i)}\Vert^2}$, $i\in{\hat n}$.
 
 
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem a ${\bf
P}\subset\subset{\bf V}$. Množinu\\
\centerline {${\bf P}^{\perp}=\{\vec {\bf y}\in{\bf V}\vert{\vec
{\bf y}}\perp{\vec {\bf x}}\hspace{3mm} \forall{\vec {\bf x}}\in{\bf P}\}$}
nazýváme {\bf ortogonální doplněk} podprostoru {\bf P} ve {\bf
V}.
 
{\bf Věta 53:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
tělesem {\bf T} a ${\bf
P}\subset\subset{\bf V}$ (dim {\bf V}$<\infty$). Pak také ${\bf
P}^{\perp}\subset\subset{\bf V}$ a platí\\
\centerline {(a) {\bf V}={\bf P}$\oplus{\bf P}^{\perp}$,}\\
\centerline {(b) ${({\bf P}^{\perp})}^{\perp}={\bf P}.$}
 
{\bf Důkaz:}\\
Abychom dokázali, že {\bf P}$^{\perp}\subset\subset{\bf V}$, stačí
dokázat uzavřenost vůči operacím.\\
Nechť tedy ${\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}}\in{\bf
P}^{\perp}\Rightarrow{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}$\quad a
\quad${\vec {\bf y}}\perp{\vec {\bf z}}\quad  \forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}
\Rightarrow\\
\Rightarrow ({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0$ a $({\vec {\bf
y}},{\vec {\bf z}})=0 \quad\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow ({\vec {\bf
x}}+{\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=0 \quad \forall{\vec {\bf
z}}\in{\bf P}\Rightarrow\\
\Rightarrow {\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\perp{\vec {\bf z}}
\quad\forall{\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow{\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}\in{\bf
P}^{\perp}$.\\
Nechť ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$ a $\alpha\in{\bf T} \Rightarrow{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}\quad
\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf P}
\Rightarrow ({\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0 \quad\forall {\vec {\bf z}}\in{\bf
P}\Rightarrow\\ \Rightarrow
(\alpha{\vec {\bf x}},{\vec {\bf z}})=0 \quad \forall{\vec {\bf
z}}\in{\bf P}\Rightarrow \alpha{\vec {\bf x}}\perp{\vec {\bf z}}
\quad\forall{\vec {\bf z}}\in{\bf P}\Rightarrow\alpha{\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$.
 
(a) Nejprve dokážeme, že {\bf V}={\bf P}$+{\bf P}^{\perp}$.\\
Pro ${\bf P}=\{{\vec {\bf o}}\}$ je to zřejmé, neboť v tom případě
je ${\bf P}^{\perp}={\bf V}$.\\
Je-li ${\bf P}=[{\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)}]_\lambda$ s ortonormální bází
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)})$, je každý vektor ${\vec {\bf v}}\in{\bf V}$ roven součtu
${\vec {\bf v}}={\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$, kde
${\vec {\bf x}}=\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf v}},{\vec {\bf
x}}^{(j)}){\vec {\bf
x}}^{(j)}$\\ a ${\vec {\bf y}}={\vec {\bf
v}}-\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf v}},{\vec {\bf
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$.
Vektor ${\vec {\bf x}}$ leží zřejmě v {\bf P}. \\
Snadno se přesvědčíme, že pro $i\in{\hat k}$ platí
$({\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}}^{(i)})=0$. Každý vektor ${\vec {\bf
z}}\in$~${\bf P}$ je
lineární kombinací souboru
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)})$,
a tedy i pro něj platí\\ $({\vec {\bf y}},{\vec {\bf z}})=$~$0.$
Vektor ${\vec {\bf
y}}$ tedy leží v ${\bf P}^{\perp}$.\\
Abychom dokázali, že
{\bf V}={\bf P}$\oplus{\bf P}^{\perp}$, zbývá dokázat
${\bf P}\cap{\bf P}^{\perp}=\{{\vec {\bf o}}\}$. Nechť tedy
${\vec {\bf x}}\in{\bf P}\cap{\bf P}^{\perp}$.
Neboť ${\vec {\bf x}}\in{\bf P}^{\perp}$, musí být jeho
součin s každým vektorem z {\bf P} roven nule, a tedy
speciálně musí být $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=0$. Z toho
plyne ${\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$.
 
(b) Jednoduchým důsledkem definice je inkluze $({{\bf
P}^{\perp}})^{\perp}\supset{\bf P}$, neboť vektory z~{\bf P} jsou
kolmé na všechny vektory z ${\bf P}^{\perp}$.\\
Dokážeme ještě inkluzi
$({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}\subset{\bf P}$.\\ Nechť ${\vec {\bf
x}}\in({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}$. Neboť také ${\vec {\bf
x}}\in{\bf V}$, je podle (a)
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}+{\vec {\bf b}}$, kde ${\vec {\bf
a}}\in{\bf P}$\\   a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\
Platí
$({\vec {\bf x}},{\vec {\bf b}})=
({\vec {\bf a}},{\vec {\bf b}})+({\vec {\bf b}},{\vec {\bf b}})$.
Platí $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf b}})=0$, neboť ${\vec {\bf
x}}\in({{\bf P}^{\perp}})^{\perp}$
a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$. Platí
$({\vec {\bf a}},{\vec {\bf b}})=0$, neboť ${\vec {\bf
a}}\in{\bf P}$
a ${\vec {\bf b}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\ Je tedy
$({\vec {\bf b}},{\vec {\bf b}})=0\Rightarrow{\vec {\bf b}}={\vec
{\bf o}}\Rightarrow{\vec {\bf x}}={\vec {\bf a}}\Rightarrow
{\vec {\bf x}}\in{\bf P}$.
 
{\bf Důsledek:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
tělesem {\bf T} a ${\bf
P}\subset\subset{\bf V}$ (dim {\bf V}$<\infty$).
Každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$ lze psát jednoznačně ve
tvaru\\
\centerline {
${\vec {\bf x}}={\vec {\bf x}}_{\bf P}+{\vec {\bf x}}_{{\bf
P}^{\perp}}$,}
kde ${\vec {\bf x}}_{\bf P}\in{\bf P}$ a
${\vec {\bf x}}_{{\bf P}^{\perp}}\in{\bf P}^{\perp}$.\\
Vektor ${\vec {\bf x}}_{\bf P}$ se nazývá {\bf ortogonální
průmět} ${\vec {\bf x}}$ do podprostoru {\bf P}.
 
{\bf Konstrukce} (ortogonálního průmětu):\\
Z důkazu věty 53 je zřejmé, že je-li dána ortonormální báze
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)})$ podprostoru {\bf P}, platí\\
${\vec {\bf x}}_{\bf P}=\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$ a
${\vec {\bf x}}_{{\bf P}^{\perp}}={\vec {\bf
x}}-\sum\limits_{j=1}^{k}({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}}^{(j)}){\vec {\bf x}}^{(j)}$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf V} je vektorový prostor se skalárním součinem nad
tělesem {\bf T},\\  ${\cal X}=({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)})$ je ortonormální
soubor ve {\bf V} a ${\vec {\bf x}}\in{\bf V}$. Potom
číslo $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}}^{(i)})$ se
nazývá {\bf $i$-tý Fourierův koeficient} vektoru ${\vec {\bf x}}$
vzhledem k souboru $({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)})$.\\
 
 
{\bf Poznámka:}\\
Z předcházející konstrukce je zřejmé, že
Fourierovy koeficienty jsou souřadnice ortogonálního průmětu
vektoru ${\vec {\bf x}}$ do podprostoru {\bf P} v
ortonormální bázi tohoto podprostoru.
 
 
 
 
\newpage
 
{\Large {\bf Vlastní čísla a vlastní vektory matic}}
 
Poznamenejme nejprve, že pokud neřekneme jinak, jsou matice v
této kapitole komplexní a vektory jsou vektory z prostoru ${\bf
C}^n$.\mbox{ Dále poznamenejme, že}\\ v této kapitole pod pojmem
\uv{skalární součin} míníme vždy standardní skalární součin.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Číslo $\lambda\in{\bf
C}$ nazveme {\bf vlastním číslem} matice {\bf A}, jestliže
existuje vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n,\, {\vec {\bf
x}}\ne{\vec {\bf o}}$ tak, že ${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec
{\bf x}}$. Každý takový vektor ${\vec {\bf x}}$ nazveme {\bf
vlastní vektor} matice {\bf A} příslušný k vlastnímu číslu
$\lambda$.\\
Množinu všech vlastních čísel matice {\bf A} značíme $\sigma({\bf
A})$ a nazýváme {\bf spektrum matice} {\bf A}.
 
{\bf Věta a definice 54:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $\lambda$ její
vlastní číslo. Množina všech vlastních vektorů příslušných
vlastnímu číslu $\lambda$ tvoří (po přidání nulového vektoru)
podprostor v ${\bf C}^n$. Dimenzi tohoto podprostoru značíme
$\nu_g(\lambda)$ a nazýváme {\bf geometrická násobnost vlastního
čísla $\lambda$}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Geometrická násobnost vlastního čísla je tedy rovna počtu
lineárně nezávislých vlastních vektorů, které k němu příslušejí.
 
{\bf Důkaz:}(toho, že jde o podprostor)\\
Nechť ${\vec {\bf x}}$ a ${\vec {\bf y}}$ jsou vlastní vektory
příslušné $\lambda.\Rightarrow\\\Rightarrow
{\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}$ a
${\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda{\vec {\bf y}} \Rightarrow
{\bf A}({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}})={\bf A}{\vec {\bf x}}+{\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda{\vec {\bf
x}}+\lambda{\vec {\bf y}}=\lambda({\vec {\bf x}}+{\vec {\bf
y}})$.\\
Tedy i ${\vec {\bf x}}+{\vec {\bf y}}$ je vlastní vektor
příslušný $\lambda$.\\
Stejně, je-li $\alpha\in{\bf C}$, platí
${\bf A}(\alpha{\vec {\bf x}})=\alpha{\bf A}{\vec {\bf x}}=\alpha\lambda{\vec {\bf
x}}=\lambda(\alpha{\vec {\bf x}})$.
 
Každý vlastní vektor ${\vec {\bf x}}$ příslušný $\lambda$
splňuje\\
\centerline{${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Longleftrightarrow
({\bf A}-\lambda{\bf I}){\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}},$}
tj. je netriviálním řešením homogenní soustavy s maticí $({\bf A}-\lambda{\bf
I})$.
Ve Frobeniově větě se říká, že dim\,${\bf S}_0=n-h$, a tedy
netriviální řešení této homogenní soustavy existuje, právě když
$n>h$, a tedy (podle věty 42) právě když\\
\centerline {det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=0.\qquad
\qquad(\star)$}
Tedy každé vlastní číslo matice {\bf A} je kořenem této
rovnice.\\
Naopak, je-li $\lambda$ kořenem $(\star)$, je matice {\bf
A}-$\lambda${\bf I} singulární, tj. $h<n$, a tedy existuje
nenulový vektor ${\vec {\bf x}}$ tak, že $({\bf A}-\lambda{\bf
I}){\vec {\bf x}}={\vec {\bf o}}$, tj. existuje vlastní vektor
příslušný $\lambda$.
 
{\bf Věta a definice 55:}\\
Číslo $\lambda\in{\bf C}$ je vlastním číslem čtvercové matice
{\bf A}, právě když je kořenem rovnice\\
\centerline {det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=0$.}
Tato rovnice se nazývá {\bf charakteristická rovnice matice A} a
její levá strana se nazývá {\bf charakteristický polynom matice
A}. Značíme ho $p_{\bf A}(\lambda)$.
 
{\bf Poznámka:}\\
$p_{\bf A}(\lambda)=$det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=$
$\begin{array}{|cccc|}
a_{11}-\lambda&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}-\lambda&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
a_{n1}&a_{n2}&\ldots&a_{nn}-\lambda
\end{array}$ je skutečně polynom stupně $n$, neboť každý člen
determinantu je polynom v $\lambda$.
 
Ze všech členů má nejvyšší
stupeň součin\\
\centerline
{$(a_{11}-\lambda)(a_{22}-\lambda)\cdots(a_{nn}-\lambda)$}
a $p_{\bf A}(\lambda)$ má tedy tvar\\
\centerline
{$p_{\bf
A}(\lambda)=(-1)^n\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\ldots+b_{n-1}\lambda+b_n$.}
Snadno zjistíme hodnotu absolutního členu $b_n$. Pro každé
$\lambda\in{\bf C}$ platí\\
\centerline{
det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})=
(-1)^n\lambda^n+b_1\lambda^{n-1}+\ldots+b_{n-1}\lambda+b_n$,}
a tedy speciálně při volbě $\lambda=0$ dostaneme $b_n=$det\,{\bf
A}.\\
Polynom $p_{\bf A}(\lambda)$ je polynom $n$-tého stupně, a má tedy
(počítáno s násobností) $n$ komplexních kořenů
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$. Jak víme z přípravného
kurzu, lze ho psát ve tvaru\\
$p_{\bf
A}(\lambda)=(-1)^n(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_n)
=(\lambda_1-\lambda)(\lambda_2-\lambda)\cdots(\lambda_n-\lambda)$,
neboť koeficient u $\lambda^n$ je $(-1)^n$.\\
Z toho plyne $p_{\bf A}(0)=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.
Protože také platí $p_{\bf A}(0)=$det\,{\bf A}, dostali jsme důležitý
vztah\\
\centerline {det\,${\bf A}=\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n$.}
 
{\bf Poznámka:}\\
Je-li {\bf A} trojúhelníková matice, např.
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}{llll}
a_{11}&a_{12}&\ldots&a_{1n}\\
0&a_{22}&\ldots&a_{2n}\\
\vdots&&&\\
0&0&\ldots&a_{nn}
\end{array}
\right)$,\\
je det\,$({\bf A}-\lambda{\bf
I})=\prod\limits_{i=1}^{n}(a_{ii}-\lambda)$, a tudíž jsou jejími
vlastními čísly diagonální prvky $a_{11},a_{22},\ldots,a_{nn}$.
Stejné tvrzení platí speciálně pro diagonální matice.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice a $\lambda$ její vlastní číslo.
{\bf Algebraickou násobností vlastního čísla} $\lambda$ nazveme
jeho násobnost jakožto kořene charakteristického polynomu $p_{\bf
A}(\lambda)$. Algebraickou násobnost vlastního čísla $\lambda$
značíme $\nu_a(\lambda)$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Algebraická násobnost kořene polynomu byla definována v
přípravném kurzu.
 
{\bf Věta 56:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a $\lambda_0$ její vlastní číslo.
Pak\\
\centerline {$\nu_g(\lambda_0)\le\nu_a(\lambda_0)$.}
 
{\bf Důkaz:}\\
Označme $\nu_g(\lambda_0)=k. \Longrightarrow$ Existuje $k$ lineárně
nezávislých vlastních vektorů ${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)}$ příslušných k $\lambda_0$.
Doplníme tento $k$-členný soubor na bázi
$({\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(k)},{\vec {\bf
x}}^{(k+1)},\ldots,{\vec {\bf x}}^{(n)})$ prostoru {\bf C}$^n$.\\
Označme {\bf X} matici, která má za své sloupečky vektory této
báze, což můžeme symbolicky zapsat
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$.\\
Matice {\bf X} je regulární, proto existuje matice {\bf X}$^{-1}$
a platí ${\bf X}^{-1}{\bf X}={\bf I}.$\\
Poslední vztah lze symbolicky zapsat\\
{\bf X}$^{-1}\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$=$\biggl({\vec {\bf e}}^{(1)},{\vec {\bf
e}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf e}}^{(n)}\biggr)$. Z toho je zřejmé,
že pro $i\in{\hat n}$ platí\\
\centerline {${\bf X}^{-1}{\vec {\bf x}}^{(i)}={\vec {\bf
e}}^{(i)}$\hspace{15mm}$(\star)$.}
(Stačí si uvědomit, že násobit matici zleva maticí, kterou
označíme např. {\bf P}, je totéž jako násobit jednotlivé sloupce
této matice maticí {\bf P}.)\\
V podobném symbolickém zápisu platí\\
{\bf A}{\bf X}=$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
x}}^{(k)},{\bf Y}\biggr)=\biggl(\lambda_0{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\vec {\bf
x}}^{(k)},{\bf Y}\biggr)$,\\ kde jsme označili
${\bf Y}=\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(k+1)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)${\tiny ({\bf Y} je matice o $n$ řádcích a $n-k$
sloupcích)}.\\
Z tohoto vztahu a z $(\star)$ plyne\\
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=\biggl(\lambda_0{\bf X}^{-1}{\vec {\bf x}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\bf X}^{-1}{\vec {\bf
x}}^{(k)},{\bf X}^{-1}{\bf Y}\biggr)=
\biggl(\lambda_0{\vec {\bf e}}^{(1)},\ldots,\lambda_0{\vec {\bf
e}}^{(k)},{\bf X}^{-1}{\bf Y}\biggr)$.\\
Rozepíšeme-li matici ${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}$ po prvcích, je
tedy tvaru
 
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
\left(
\begin{array}{rrrrlll}
\lambda_0&0&&0&c_{1,k+1}&\ldots&c_{1n}\\
0&\lambda_0&&0&c_{2,k+1}&\ldots&c_{2n}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&&\lambda_0&c_{k,k+1}&\ldots&c_{kn}\\
0&0&&0&c_{k+1,k+1}&\ldots&c_{k+1,n}\\
\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\
0&0&&0&c_{n,k+1}&\ldots&c_{nn}
\end{array}\right)\hspace{15mm}(\star\star)$.
 
Platí\\ det\,(${\bf A}-\lambda{\bf I})$=det\,$[{\bf X}({\bf X}^{-1}{\bf
A}{\bf X}-\lambda{\bf I}){\bf X}^{-1}]$=det\,{\bf X}$\cdot$det$({\bf
X}^{-1}{\bf A}{\bf X}-\lambda{\bf I})\cdot$det\,{\bf X}$^{-1}$=\\
=det$({\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}-\lambda{\bf I})$.
 
V posledním kroku jsme využili vztahu
det\,{\bf X}$\cdot$det\,${\bf X}^{-1}=$det\,{\bf I}=1.\\
Charakteristický polynom $p_{\bf A}(\lambda)$ je tedy roven
determinantu matice, kterou dostaneme, když v matici v
$(\star\star)$ odečteme od prvků na diagonálních místech
$\lambda$. Použijeme-li na výpočet tohoto determinantu postupně
větu o rozvoji podle 1., 2. až $k$-tého sloupce, zjistíme, že
platí
 
\centerline{$p_{\bf A}(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^k\cdot$det\,$({\bf
C}-\lambda {\bf I})$,}
kde jsme označili
 
${\bf C}=
\left(\begin{array}{lll}
c_{k+1,k+1}&\ldots&c_{k+1,n}\\
\vdots&&\vdots\\
c_{n,k+1}&\ldots&c_{nn}\end{array}
\right)$.
 
Číslo $\lambda_0$ je tedy alespoň $k$-násobným kořenem  $p_{\bf
A}(\lambda)$, tj. platí $k\le\nu_a(\lambda_0)$.
 
{\bf Věta 57:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$ a
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ jsou její vzájemně různá vlastní
čísla. Nechť pro $i\in{\hat k}$ je ${\vec {\bf x}}^{(i)}$ vlastní
vektor příslušný k vlastnímu číslu $\lambda_i$. Potom
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)})$ je lineárně nezávislý soubor.
 
{\bf Důkaz:}\\
Pro $k=1$ je tvrzení jasné.\\
Nechť $k\ge2$. Důkaz provedeme sporem. Nechť soubor
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(k)})$
je lineárně závislý. Podle věty 4 existuje index $l\in{\hat k}$
takový, že
${\vec {\bf x}}^{(l)}=\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i{\vec {\bf
x}}^{(i)}$ \\a soubor
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(l-1)})$  je lineárně nezávislý. Z předpokladů věty plyne,
že nemůže platit $\alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_{l-1}=0$.\\
Platí jednak
${\bf A}{\vec {\bf x}}^{(l)}=
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(i)}=
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$
a na druhé straně\\
${\bf A}{\vec {\bf x}}^{(l)}=\lambda_l{\vec {\bf x}}^{(l)}=
\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i\lambda_l{\vec {\bf x}}^{(i)}$.
 
Platí proto
$\sum\limits_{i=1}^{l-1}\alpha_i(\lambda_i-\lambda_l){\vec {\bf
x}}^{(i)}={\vec {\bf o}}$.
Lineární kombinace na levé straně je netriviální, neboť
$\lambda_l\ne\lambda_i$ pro $i\in{\widehat {l-1}}$. Máme tedy spor,
neboť soubor
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(l-1)})$  je lineárně nezávislý.
 
{\bf Důsledek:}\\
V {\bf C}$^n$ existuje báze složená pouze z vlastních vektorů
matice {\bf A}, právě když pro všechna vlastní čísla $\lambda$ matice {\bf
A} platí $\nu_a(\lambda)=\nu_g(\lambda)$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Nechť $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_k$ jsou všechna
vzájemně různá vlastní čísla matice {\bf A}. Označme
$n_i=\nu_g(\lambda_i)$.\\
Označme\\
$\left.
\begin{array}{l}
{{\vec {\bf x}}_1}^{(1)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(1)},\ldots,{{\vec {\bf
x}}_{n_1}}^{(1)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
k }
\lambda_1,\\
{{\vec {\bf x}}_1}^{(2)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(2)},\ldots,{{\vec {\bf
x}}_{n_2}}^{(2)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
k }
\lambda_2,\\
\ldots,\\
{{\vec {\bf x}}_1}^{(k)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(k)},\ldots,{{\vec {\bf
x}}_{n_k}}^{(k)} \mbox{ lineárně nezávislé vlastní vektory příslušné
k }
\lambda_k.
\end{array}
\right\} \hspace{3mm}(\star)$\\
Dokážeme, že všechny tyto vektory tvoří dohromady lineárně
nezávislý soubor.\\
Jejich lineární kombinace má totiž tvar\\
$\sum\limits_{i=1}^{n_1}{\alpha_i}^{(1)}{{\vec {\bf x}}_i}^{(1)}+
\sum\limits_{i=1}^{n_2}{\alpha_i}^{(2)}{{\vec {\bf x}}_i}^{(2)}+
\ldots+
\sum\limits_{i=1}^{n_k}{\alpha_i}^{(k)}{{\vec {\bf
x}}_i}^{(k)}={\vec {\bf o}}$.
Pro $l\in{\hat k}$ platí, že
$\sum\limits_{i=1}^{n_l}{\alpha_i}^{(l)}{{\vec {\bf
x}}_i}^{(l)}$
je buď vlastní vektor příslušný vlastnímu číslu $\lambda_l$, nebo
je to vektor nulový. Vlastní vektor to ovšem být nemůže, protože
bychom se dostali do sporu s větou 57.\\
Proto je
$\sum\limits_{i=1}^{n_l}{\alpha_i}^{(l)}{{\vec {\bf
x}}_i}^{(l)}={\vec {\bf o}}$
pro $l\in{\hat k}$. Protože vektory
${{\vec {\bf x}}_1}^{(l)},{{\vec {\bf x}}_2}^{(l)},\ldots,{{\vec {\bf
x}}_{n_l}}^{(l)}$ jsou lineárně nezávislé,
je
${\alpha_1}^{(l)}={\alpha_2}^{(l)}=\ldots={\alpha_{n_l}}^{(l)}=0$
pro $l\in{\hat k}$.\\
Vektory vyjmenované ve $(\star)$ jsou tedy lineárně nezávislé, a přitom
kterýkoliv jiný vlastní vektor je už jejich lineární kombinací.\\
Bázi {\bf C}$^n$ tvoří právě tehdy, když jejich celkový počet je
$n$, tj. když\\
\centerline {$n_1+n_2+\cdots+n_k=n$.}
Protože platí
$n=\nu_a(\lambda_1)+\nu_a(\lambda_2)+\cdots+\nu_a(\lambda_k)$, je to právě tehdy, když\\
\centerline
{$(\nu_a(\lambda_1)-n_1)+(\nu_a(\lambda_2)-n_2)+\cdots+(\nu_a(\lambda_k)-n_k)=0$.}
Podle věty 56 jsou výrazy v kulatých závorkách nezáporná čísla, a
proto rovnost nastane, právě když
$\nu_a(\lambda_l)=n_l$ pro $l\in{\hat k}$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou dvě čtvercové matice stejného řádu
$n$. Říkáme, že matice {\bf A} je {\bf podobná} matici {\bf B},
existuje-li regulární matice {\bf X} tak, že ${\bf A}={\bf
X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$.\\
(Říkáme, že {\bf A} vznikla z {\bf B} podobnostní transformací).
 
{\bf Poznámka:}\\
Snadno si rozmyslíme, že platí:\\
(1) Je-li matice {\bf A} podobná matici {\bf B}, je také
matice {\bf B} podobná matici {\bf A}.\\
(Neboť z ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$ $\Rightarrow$
${\bf B}={\bf X}{\bf A}{\bf X}^{-1}=({{\bf X}^{-1}})^{-1}{\bf A}{\bf
X}^{-1}$.)\\
(2) Je-li matice {\bf A} podobná matici {\bf B} a
matice {\bf B} podobná matici {\bf C}, je
matice {\bf A} podobná matici {\bf C}.\\
$\Bigl($Neboť z ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$ a
${\bf B}={\bf Y}^{-1}{\bf C}{\bf Y}$
$\Rightarrow$
${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf Y}^{-1}{\bf C}{\bf Y}{\bf X}=({\bf
Y}{\bf X})^{-1}{\bf C}({\bf Y}{\bf X}$).$\Bigr)$\\
 
{\bf Věta 58:}\\
Nechť {\bf A} a {\bf B} jsou dvě čtvercové matice vzájemně
podobné. Pak mají stejné charakteristické polynomy, tj.
$p_{\bf A}(\lambda)=p_{\bf B}(\lambda)$.
 
{\bf Důkaz:}\\
Nechť ${\bf A}={\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}$. Pak\\
$p_{\bf A}(\lambda)=$det\,$({\bf A}-\lambda{\bf I})$=
det\,$({\bf X}^{-1}{\bf B}{\bf X}-\lambda{\bf X}^{-1}{\bf X})$=
det\,$[{\bf X}^{-1}({\bf B}-\lambda{\bf I}){\bf X}]$=\\
=det\,${\bf X}^{-1}\cdot$det\,$({\bf B}-\lambda{\bf
I})\cdot$det\,${\bf X}$=
det\,$({\bf B}-\lambda{\bf I})$=$p_{\bf B}(\lambda)$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Z právě dokázané věty plyne, že podobné matice mají stejná
vlastní čísla\\ a algebraické násobnosti u jednotlivých vlastních
čísel se rovnají.\\ Uvědomíme-li si, že
za předpokladu
${\bf A}={\bf X}^{\-1}{\bf B}{\bf X}$ platí ekvivalence\\
${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Leftrightarrow
{\bf B}({\bf X}{\vec {\bf x}})=\lambda({\bf X}{\vec {\bf x}})$,
zjistíme, že se rovnají také geometrické násobnosti.
 
Vzniká otázka jaký je nejjednodušší tvar, do kterého lze matici
podobnostními transformacemi převést. Pokusíme se alespoň
naznačit odpověď. Nejraději bychom byli, kdyby šlo každou matici
takto převést na matici diagonální. To ovšem obecně {\bf není
pravda}.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Říkáme, že {\bf A} je
{\bf diagonalizovatelná}, jestliže je podobná diagonální matici,
tj. když existuje regulární matice {\bf X} řádu $n$ a čísla
$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ tak, že\\
\centerline {${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.}
 
{\bf Věta 59:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak {\bf A} je
diagonalizovatelná, právě když existuje báze {\bf C}$^n$ složená
z vlastních vektorů matice {\bf A}.
 
{\bf Důkaz:}\\
a) Nechť
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$ je báze {\bf C}$^n$, přičemž ${\vec {\bf x}}^{(i)}$ je
vlastní vektor matice {\bf A} příslušný vlastnímu číslu pro
$\lambda_i$ pro $i\in{\hat n}$, tj. {\bf A}${\vec {\bf
x}}^{(i)}=\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$.
Označme {\bf X} matici, která má za své sloupečky vektory ${\vec
{\bf x}}^{(i)}$, tj.\\
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$.\\
Matice {\bf X} je regulární, a tedy existuje inverzní matice {\bf
X}$^{-1}$. Zřejmě platí\\
{\bf A}{\bf X}=$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$=
$\biggl(\lambda_1{\vec {\bf x}}^{(1)},\lambda_2{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,\lambda_n{\vec {\bf x}}^{(n)}\biggr)$=\\=
{\bf X}$
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
$.\\
b) Nechť naopak existuje matice
$
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
$
a regulární matice {\bf X} tak, že platí\\
${\bf X}^{-1}{\bf A}{\bf X}=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
\Longleftrightarrow
{\bf A}{\bf X}={\bf X}
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)
$.\\
Označíme-li sloupce matice {\bf X} postupně
${\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}$, tj.\\
{\bf X}=$\biggl({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$, můžeme poslední rovnost rozepsat po sloupcích\\
$\biggl({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(1)},{\bf A}{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\bf A}{\vec {\bf
x}}^{(n)}\biggr)$=
$\biggl(\lambda_1{\vec {\bf x}}^{(1)},\lambda_2{\vec {\bf
x}}^{(2)},\ldots,\lambda_n{\vec {\bf x}}^{(n)}\biggr)$,\\
a tedy
{\bf A}${\vec {\bf x}}^{(i)}=\lambda_i{\vec {\bf x}}^{(i)}$ pro
$i\in{\hat n}$. Matice {\bf X} je regulární, tedy soubor\\
$({\vec {\bf x}}^{(1)},{\vec {\bf x}}^{(2)},\ldots,{\vec {\bf
x}}^{(n)})$
je lineárně nezávislý, a proto tvoří bázi {\bf C}$^n$.
 
{\bf Poznámka:}\\
Protože víme, že báze {\bf C}$^n$ sestavená z vlastních vektorů
matice {\bf A} existuje právě tehdy, když pro každé vlastní číslo
$\lambda$ matice {\bf A} platí\\
\centerline {\underline{$\nu_a(\lambda)=\nu_g(\lambda)$},}
je to i podmínka pro to, aby matice {\bf A} byla
diagonalizovatelná.
 
Zavedeme nyní řadu pojmů spojených s pojmem matice.
Nechť {\bf A} je matice typu $m\times n$,\\
{\bf A}=
$\left(
\begin{array}
{l}
a_{11}\ a_{12}\ \ldots \quad a_{1n}\\
a_{21}\ a_{22}\ \ldots \quad a_{2n}\\
\ldots  \\
a_{m1}\ a_{m2}\ \ldots \ a_{mn}
\end{array}\right) $.\\
Již jsme si zavedli pojem matice {\bf transponované}. Maticí
{\bf komplexně sdruženou} s maticí {\bf A} nazveme matici\\
$\overline{\bf A}$=
$\left(
\begin{array}
{l}
\overline{a}_{11}\ \overline{a}_{12}\ \ldots \quad \overline{a}_{1n}\\
\overline{a}_{21}\ \overline{a}_{22}\ \ldots \quad \overline{a}_{2n}\\
\ldots  \\
\overline{a}_{m1}\ \overline{a}_{m2}\ \ldots \ \overline{a}_{mn}
\end{array}\right) $.\\
Podobně maticí {\bf hermitovsky sdruženou}(konjugovanou) s maticí
{\bf A} nazveme matici\\
${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{{\bf A}}^{\top}=
\left(
\begin{array}
{l}
\overline{a}_{11}\ \overline{a}_{21}\ \ldots \ \overline{a}_{m1}\\
\overline{a}_{12}\ \overline{a}_{22}\ \ldots \ \overline{a}_{m2}\\
\ldots  \\
\overline{a}_{1n}\ \overline{a}_{2n}\ \ldots \ \overline{a}_{mn}
\end{array}\right) $.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) Místo označení ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ se někdy užívá označení ${\bf
A}^{\ast}$.\\
2) Snadno si rozmyslíme (resp. už víme), že platí\\
$({\bf A}+{\bf B})^{\top}={\bf A}^{\top}+{\bf B}^{\top},
({{\bf A}^{\top}})^{\top}={\bf A}, ({\bf A}{\bf B})^{\top}={\bf
B}^{\top}{\bf A}^{\top}, (\alpha{\bf A})^{\top}=\alpha{\bf
A}^{\top}$,\\
$\overline{{\bf A}+{\bf B}}=\overline{{\bf A}}+\overline{{\bf B}},
\overline{\overline{{\bf A}}}={\bf A}, \overline{{\bf A}{\bf
B}}=\overline{{\bf A}}\cdot\overline{{\bf B}}, \overline{\alpha{\bf
A}}=\overline{\alpha}\overline{{\bf A}}$,\\
$({\bf A}+{\bf B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}+{\bf
B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}},
({{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}, ({\bf A}{\bf
B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}, (\alpha{\bf
A})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{\alpha}{\bf
A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Potom\\
a) {\bf A} je {\bf symetrická}, je-li {\bf reálná} a ${\bf A}={\bf
A}^{\top}$ (tj. $a_{ij}=a_{ji}$ pro $i,j\in{\hat n})$,\\
b) {\bf A} je {\bf hermitovská}, je-li ${\bf A}={\bf
A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ (tj. $a_{ij}=\overline{a}_{ji}$ pro $i,j\in{\hat n})$,\\
c) {\bf A} je {\bf ortogonální}, je-li {\bf reálná} a ${\bf
A}{\bf A}^{\top}={\bf
I}$ (tj. řádky jsou ortonormální\\ v ${\bf R}^{n})$,\\
d) {\bf A} je {\bf unitární}, ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
I}$ (tj. řádky jsou ortonormální v {\bf C}$^n$),\\
e) {\bf A} je {\bf normální}, je-li ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
A}$.
 
{\bf Věta 60:}\\
a) {\bf I} je unitární, resp. ortogonální matice.\\
b) Jsou-li {\bf A} a {\bf B} unitární (resp. ortogonální) matice
stejného řádu, je {\bf A}{\bf B} také unitární (resp.
ortogonální) matice.\\
c) Je-li {\bf A} unitární matice, je $\vert $det$\,{\bf
A}\vert=1$
(resp. je-li {\bf A} ortogonální, je buď det$\,{\bf A}=+1$, nebo
det$\,{\bf A}=-1$).\\
d) Je-li {\bf A} unitární (resp. ortogonální) matice, je {\bf
A}$^{-1}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.
 
{\bf Důkaz:}\\
a) Je zřejmé z definice.\\
b) Platí ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$,
${\bf B}{\bf B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I} \Longrightarrow$
$({\bf A}{\bf B})({\bf A}{\bf B})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
{\bf A}{\bf B}{\bf B}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$.\\
c) Zřejmě det\,${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\overline{\mbox{det\,}{\bf A}}$,
a tedy\\ 1=det\,{\bf I}=det(${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}})$=
det\,{\bf A}$\cdot\overline{\mbox{det\,}{\bf
A}}=\vert\mbox{det\,}{\bf A}\vert^2$.\\
d) Je zřejmé z definice inverzní matice.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) Matice hermitovské (resp. symetrické) a matice unitární (resp.
ortogonální) jsou normální.\\
2) Ze vztahu  ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$ je zřejmé, že
řádky unitární (resp. ortogonální) matice tvoří při standardním
skalárním součinu ortonormální soubor v {\bf C}$^n$ (resp.\\ v {\bf
R}$^n$). Protože platí i ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}={\bf I}$, mají
stejnou vlastnost i sloupce unitární (resp. ortogonální) matice.
 
Již víme, že ne každá čtvercová matice je podobná diagonální
matici. Z následující věty, kterou uvedeme bez důkazu, plyne,
že platí alespoň to, že každá
čtvercová matice je podobná trojúhelníkové matici.
 
{\bf Věta 61:}\\
Nechť {\bf A} je čtvercová matice řádu $n$. Pak existuje unitární
matice řádu $n$ tak, že\\
\centerline { {\bf A}={\bf U}$^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}${\bf R}{\bf U},}
kde {\bf R} je horní (resp. dolní) trojúhelníková matice.
 
{\bf Poznámka:} Uvědomíme si, že platí {\bf U}$^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf
U}^{-1}$, a tedy jde o podobnostní transformaci.
 
Při pátrání po dalších vlastnostech speciálních typů matic nám
bude užitečné následující lemma.
 
{\bf Lemma:}\\
Horní, resp. dolní trojúhelníková matice je normální, právě když
je diagonální.
 
{\bf Důkaz:}\\
($\Leftarrow$) Zřejmě platí, že když je trojúhelníková matice diagonální, je
normální.\\
($\Rightarrow$) Budeme tedy předpokládat, že {\bf A} je např. horní trojúhelníková
matice\\ a platí {\bf A}{\bf A}$^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}${\bf
A}, a
dokážeme, že její mimodiagonální prvky jsou rovny nule. Nechť\\
{\bf A}=
$\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
a_{11}&\hspace{-1mm}a_{12}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}a_{1n}\\[-1mm]
&\hspace{-1mm}a_{22}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}a_{2n}\\[-1mm]
&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\ddots&\hspace{-1mm}\vdots\\[-1mm]
&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}a_{nn}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$, a tedy
${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\overline{a}_{11}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
\overline{a}_{12}&\hspace{-1mm}\overline{a}_{22}&\hspace{-1mm}&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
\vdots&\hspace{-1mm}\vdots&\hspace{-1mm}\ddots&\hspace{-1mm}\\[-1mm]
\overline{a}_{1n}&\hspace{-1mm}\overline{a}_{2n}&\hspace{-1mm}\ldots&\hspace{-1mm}\overline{a}_{nn}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.\\
Matematickou indukcí dokážeme, že v $i$-tém řádku matice může být
nenulový prvek pouze na diagonálním místě (tj. na $i$-tém
místě).\\
a) $i=1$\\
Porovnáním prvků na místě (1,1) v maticích ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
$ a ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$ (tj. prvků v prvním řádku a prvním
sloupci matic) dostaneme rovnost\\
$a_{11}\overline{a}_{11}+a_{12}\overline{a}_{12}+\cdots+a_{1n}\overline{a}_{1n}=
\overline{a}_{11}a_{11} \Longleftrightarrow
\vert a_{12}\vert^2+\cdots+\vert a_{1n}\vert^2=0
\Longleftrightarrow\\ \Longleftrightarrow
a_{12}=a_{13}=\cdots=a_{1n}=0$.
 
b) Předpokládejme, že tvrzení platí pro prvních $i-1$ řádků,
tj.\\
$a_{j,j+1}=a_{j,j+2}=\cdots=a_{j,n}=0$ pro $j\in{\widehat
{i-1}}$.\\
Porovnáním prvků na místě $(i,i)$ v maticích ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
$ a ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$ (tj. prvků v $i$-tém řádku a
$i$-tém sloupci matic) dostaneme rovnost\\
$a_{ii}\overline{a}_{ii}+a_{i,i+1}\overline{a}_{i,i+1}+\cdots+a_{in}\overline{a}_{i
n}=
\overline{a}_{ii}a_{ii} \Longleftrightarrow
\vert a_{i,i+1}\vert^2+\cdots+\vert a_{in}\vert^2=0
\Longleftrightarrow\\ \Longleftrightarrow
a_{i,i+1}=a_{i,i+2}=\cdots=a_{in}=0$.
 
{\bf Věta 62:}\\
Nechť {\bf A} je normální matice řádu $n$. Pak existuje unitární
matice {\bf U} řádu $n$ tak, že \\
\centerline {${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}$,}
kde {\bf D} je diagonální matice.
 
{\bf Důkaz:}\\
Podle věty 61 existuje unitární matice {\bf U} a trojúhelníková
matice {\bf R} tak, že
${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf R}{\bf U}$.
Pokud se nám podaří dokázat, že platí
${\bf R}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf R}$,
bude podle dokázaného lemmatu matice {\bf R} diagonální, a věta
tedy platí.\\
Zřejmě je
${\bf R}={\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ a
${\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$.\\ Z toho
vyplývá (vzhledem k tomu, že ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=
{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}$)\\
${\bf R}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
{\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
=\hspace{-1mm}{\bf U}{\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}{\bf
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}=\hspace{-1mm}
{\bf U}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf U}{\bf A}{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
=\hspace{-1mm}{\bf R}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
R}$.
 
{\bf Důsledek:}\\
Je-li {\bf A} normální matice, platí pro každé její vlastní
číslo
$\lambda$ rovnost
 
\centerline{ $\nu_g(\lambda)=\nu _a(\lambda)$.}
 
{\bf Věta 63:}\\
1) Je-li {\bf A} hermitovská (symetrická) matice, jsou všechna
její vlastní čísla reálná.\\
2) Je-li {\bf A} unitární (ortogonální) matice a $\lambda$ její
vlastní číslo, je $\vert\lambda\vert=1$.
 
{\bf Důkaz:}\\
1) {\bf A} je hermitovská, tudíž normální, proto podle věty 62
existuje unitární matice {\bf U} a matice {\bf D}
$=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}\lambda_2&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\ddots&\hspace{-2mm}\\[-2mm]
&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}&\hspace{-2mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$ tak, že ${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
D}{\bf U}$. Matice {\bf A} a {\bf D} jsou tedy podobné, a proto
čísla $\lambda_1,
\lambda_2,\ldots,\lambda_n$ jsou všechna vlastní čísla matice
{\bf A} (každé tolikrát, kolik je jeho algebraická násobnost).
Platí ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
{\overline{\bf D}}{\bf U}$.
Z ${\bf A}={\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}$ plyne
${\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}=
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\overline{\bf D}}{\bf U}
\Longrightarrow{\bf D}={\overline{\bf D}}$, a tedy po prvcích
$\lambda_i={\overline{\lambda}}_i$ pro $i\in{\hat n}$.
 
2) {\bf A} je unitární, tudíž normální, proto podle věty 62
existuje opět unitární matice {\bf U} a diagonální matice {\bf D}
tak, že ${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf
D}{\bf U}$.
Platí ${\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
{\overline{\bf D}}{\bf U}$.
Z ${\bf A}{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}={\bf I}$ plyne
${\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\overline{\bf D}}{\bf
U}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}
{\overline{\bf D}}{\bf U}={\bf I}
\Longrightarrow{\bf D}{\overline{\bf D}}={\bf I}$, a tedy po prvcích
$\lambda_i{\overline{\lambda}}_i=1$, tj. $\vert\lambda_i\vert=1$ pro $i\in{\hat n}$.
 
{\bf Věta 64:}\\
Nechť {\bf A} je hermitovská matice. Pak vektory odpovídající
různým vlastním číslům jsou (při standardním skalárním součinu)
ortogonální.
 
{\bf Důkaz:}\\
Nechť $\lambda_1\ne\lambda_2$, ${\bf A}{\vec {\bf
x}}=\lambda_1{\vec {\bf x}}$ a
${\bf A}{\vec {\bf y}}=\lambda_2{\vec {\bf y}}$. Znásobíme-li
první vztah skalárně vektorem ${\vec {\bf y}}$  a druhý vektorem
${\vec {\bf x}}$, dostaneme vztahy\\
\centerline{
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\lambda_1({\vec {\bf
x}},{\vec {\bf y}})$
a $({\bf A}{\vec {\bf y}},{\vec {\bf x}})=\lambda_2({\vec {\bf
y}},{\vec {\bf x}}).\hspace{10mm}(\star)$}
V dalších úvahách použijeme toho, že každý vektor z ${\bf C}^n$
lze, když to potřebujeme, pokládat za matici o jediném sloupci.
Pro každé dva vektory ${\vec {\bf u}}$ a ${\vec {\bf v}}$ z ${\bf
C}^n$ platí tedy rovnost $({\vec {\bf u}},{\vec {\bf v}})=
{\vec {\bf v}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\vec {\bf u}}$
(v tom smyslu, že na levé straně je standardní skalární součin,
tj. číslo, a napravo součin matic, tj. matice o jediném prvku).
Říkáme tomu maticový přepis skalárního  součinu.\\
Platí tedy následující rovnosti\\
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=
{\vec {\bf y}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf A}{\vec {\bf x}}
={\vec {\bf y}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
{\bf A}^{\hspace{-2pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\vec {\bf x}}
=({\bf A}{\vec {\bf y}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
{\vec {\bf x}}=
({\vec {\bf x}},{\bf A}{\vec {\bf y}})=\overline{({\bf A}{\vec {\bf
y}},{\vec {\bf x}})}$.
Z rovnosti prvního a posledního výrazu vyplývá (vzhledem k tomu,
že platí $(\star)$ a že vlastní čísla {\bf A} jsou reálná)\\
$\lambda_1({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})=\lambda_2\overline{({\vec {\bf
y}},{\vec {\bf x}})}=\lambda_2({\vec {\bf x}},{\vec {\bf y}})
\Longrightarrow(\lambda_1-\lambda_2)({\vec {\bf
x}},{\vec {\bf y}})=0$, a tedy platí $({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
y}})=0$, neboť $\lambda_1\ne\lambda_2$.
 
Pro reálné symetrické matice zavádíme důležitý pojem.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je reálná symetrická matice řádu $n$. Zobrazení
$F({\vec {\bf x}})$, které každému vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf
R}^n$ přiřadí reálné číslo $F({\vec {\bf x}})=
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})$, se nazývá {\bf
kvadratická forma} a matice {\bf A} se nazývá {\bf matice} této
{\bf kvadratické formy}.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) Ještě jednou připomeneme, že skalární součin užitý v definici je
standardní skalární součin.\\
Označíme-li složky vektoru ${\vec {\bf x}}$ písmeny $x_1, x_2,
\ldots, x_n$, lze kvadratickou formu chápat jako funkci $n$ proměnných
$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$. Platí
 
$F(x_1,x_2,\ldots,x_n)$=$F({\vec {\bf x}})=({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}})=$
 
$=
\begin{array}{l}
\enspace(a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n)x_1+\\
+(a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n)x_2+\\
+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
+(a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n)x_n
\end{array}=
\begin{array}{l}
\quad a_{11}{x_1}^2+a_{12}x_1x_2+\cdots+a_{1n}x_1x_n+\\
+a_{21}x_2x_1+a_{22}{x_2}^2+\cdots+a_{2n}x_2x_n+\\
+\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots+\\
+(a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+\cdots+a_{nn}{x_n}^2.
\end{array}$
 
Kvadratická forma je tedy polynom v $n$ proměnných, jehož
charakteristickým rysem je, že každý sčítanec má stupeň 2.
 
2) Všimneme si, že pro $i,j\in{\hat n}$ a $i\ne j$ je
$a_{ij}x_ix_j=a_{ji}x_jx_i$. To nám pomůže při úloze hledat
matici zadané kvadratické formy.\\
Např. forma ve dvou proměnných
$F(x_1,x_2)={x_1}^2-4x_1x_2+2{x_2}^2$ má matici
$\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
1&\hspace{-1mm}-2\\-2&\hspace{-1mm}2
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$,
neboť
$F(x_1,x_2)=
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
x_1&\hspace{-2mm}x_2
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{rr}
1&\hspace{-1mm}-2\\-2&\hspace{-1mm}2
\end{array}\hspace{-1mm}\right)
\left(\hspace{-1mm}\begin{array}{r}
x_1\\x_2
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$.\\
(Matice kvadratické formy je totiž vždy {\bf symetrická}.)
 
{\bf Definice:}\\
a) Symetrická matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně
definitní}, je-li\\ $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})>0$ pro
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$.\\
b) Je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})<0$ pro
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$
nazývá se matice {\bf A} {\bf negativně definitní}.\\
c) Symetrická matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně}
(resp. {\bf negativně)
semidefinitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$
(resp. $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\le 0$) pro
každý vektor\\ ${\vec {\bf x}}\in{\bf R}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$ a existuje vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}\ne{\vec {\bf
o}}$, že $({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf x}}^{(0)})=0$.\\
d) Kvadratická forma se nazývá {\bf pozitivně (negativně) definitní
(semidefinitní)}, má-li její matice tuto vlastnost.\\
Kvadratická forma, která nemá žádnou z těchto vlastností, se
nazývá {\bf indefinitní}.
 
Je-li matice {\bf A} {\bf hermitovská} (tj. obecně komplexní),
zavádějí se analogické pojmy.
 
{\bf Definice:}\\
Nechť {\bf A} je hermitovská matice řádu $n$. Zobrazení
$F({\vec {\bf x}})$, které každému vektoru ${\vec {\bf x}}\in{\bf
C}^n$ přiřadí $F({\vec {\bf x}})=
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})$, se nazývá {\bf
hermitovská
(kvadratická) forma} a matice {\bf A} se nazývá {\bf matice} této
{\bf hermitovské formy}.
 
{\bf Poznámky:}\\
1) {\bf Pozor !} Asistent Pytlíček ve svém skriptu užívá označení
hermitovská  forma pro jiný pojem.\\
2) Jasně $F({\vec {\bf x}})=\sum\limits_{i,j=1}^{n}a_{ij}x_i\bar
x_j$.
 
{\bf Definice:}\\
a) Hermitovská matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně
(negativně) definitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})>0$
($({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})<0$) pro
každý vektor ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$.\\
b) Hermitovská matice {\bf A} řádu $n$ se nazývá {\bf pozitivně}
(resp. {\bf negativně)
semidefinitní}, je-li $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\ge 0$
(resp. $({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})\le 0$) pro
každý vektor\\ ${\vec {\bf x}}\in{\bf C}^n, {\vec {\bf x}}\ne{\vec
{\bf o}}$ a existuje vektor ${\vec {\bf x}}^{(0)}\ne{\vec {\bf
o}}$, že $({\bf A}{\vec {\bf x}}^{(0)},{\vec {\bf x}}^{(0)})=0$.\\
c) Hermitovská forma se nazývá {\bf pozitivně (negativně) definitní
(semidefinitní)}, má-li její matice tuto vlastnost.\\
d) Hermitovská forma, která nemá žádnou z těchto vlastností, se
nazývá {\bf indefinitní}.
 
{\bf Poznámka:}\\
Užitečné je uvědomit si, že matice {\bf A} je negativně
definitní (semidefinitní), právě když matice {\bf -A}
je pozitivně definitní (semidefinitní).
 
V následujících dvou větách vyslovíme důležitá kriteria pro
testování toho, zda matice {\bf A} je definitní.
 
{\bf Věta 65:}\\
Nechť {\bf A} je hermitovská (symetrická) matice. Pak {\bf A} je
pozitivně definitní (resp. semidefinitní), právě když jsou všechna její
vlastní čísla kladná (resp. nezáporná a alespoň jedno vlastní
číslo rovné nule).
 
{\bf Důkaz:}\\
($\Rightarrow$) Nechť {\bf A} je pozitivně definitní. Nechť $\lambda$ je její
vlastní číslo a ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$ odpovídající
vlastní vektor. Platí\\
${\bf A}{\vec {\bf x}}=\lambda{\vec {\bf x}}\Rightarrow
({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=(\lambda{\vec {\bf
x}},{\vec {\bf x}})=\lambda({\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}})\Rightarrow\lambda=\frac{({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf
x}})}{({\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})}>0$.\\
($\Leftarrow$) Nechť $\lambda_1, \lambda_2, \ldots,  \lambda_n$ jsou všechna
všechna vlastní čísla hermitovské (a tedy normální) matice {\bf A}. Podle
věty 62 existuje unitární matice {\bf U} tak, že\\
${\bf A}={\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf
U}$, přičemž\\
\centerline {${\bf D}=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}\lambda_2&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\ddots&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$.}\\
Nechť ${\vec {\bf x}}\ne{\vec {\bf o}}$. V dalších úvahách budeme
užívat maticového přepisu skalárního součinu. Platí\\
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})={\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
H}}}{\bf A}{\vec {\bf x}}=
{\vec {\bf x}}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}
{\bf U}^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf H}}}{\bf D}{\bf U}{\vec
{\bf x}}=({\bf U}{\vec {\bf x}})^{\hspace{-1pt}\mbox{\tiny {\bf
H}}}{\bf D}{\bf U}{\vec {\bf x}}$.\\
Označme ${\bf U}{\vec {\bf x}}={\vec {\bf y}}=
\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-1mm}
\begin{array}{l}
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_n
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-1mm}\right)$.
Protože {\bf U} je regulární matice, je ${\vec {\bf y}}$ také nenulový
vektor. Dosadíme-li za {\bf D} a ${\bf U}{\vec {\bf x}}$ jejich
prvky, dostaneme
 
$({\bf A}{\vec {\bf x}},{\vec {\bf x}})=
(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_n)\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-2.5mm}\begin{array}{llll}
\lambda_1&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}\lambda_2&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\ddots&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\lambda_n
\end{array}\hspace{-2.5mm}\right)\hspace{-1mm}
\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-2mm}
\begin{array}{l}
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_n
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)=
(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_n)\hspace{-1mm}
\left(\hspace{-2mm}
\begin{array}{l}
\lambda_1 y_1\\[-1mm]\lambda_2 y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]\lambda_n
y_n
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)=\\
=\lambda_1\vert y_1\vert^2+\lambda_2\vert
y_2\vert^2+\cdots+\lambda_n\vert y_n\vert^2>0.$
 
Poslední nerovnost je důsledkem skutečnosti, že $\lambda_i>0$ a $y_i\ge
0$ pro $i\in{\hat n}$ a neplatí $y_1=y_2=\cdots=y_n=0$.
 
V případě důkazu pro semidefinitní matice se pouze všechny ostré
nerovnosti změní na neostré. Fakt, že u semidefinitní matice musí
existovat vlastní číslo nula, plyne z toho, že kdyby všechna
vlastní čísla byla kladná, je matice pozitivně definitní.
 
{\bf Poznámka:}\\ Analogická věta platí pro negativně definitní
(resp. semidefinitní) matice.
 
{\bf Věta 66:}( Sylvestrovo kriterium )\\
Hermitovská (resp. symetrická) matice
${\bf A}=
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1n}\\[-2mm]
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2n}\\[-2mm]
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
a_{n1}&\hspace{-3mm}a_{n2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{nn}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
je pozitivně definitní,
právě když
$a_{11}>0,\enspace
 \begin{array}{|ll|}
\hspace{-1mm}a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}\hspace{-1mm}\\[-2mm]
\hspace{-1mm}a_{21}&\hspace{-2mm}a_{22}\hspace{-1mm}
\end{array}>0, $\enspace$\ldots$\enspace,\enspace det\,${\bf A}>0$.
 
{\bf Důkaz:}\\
($\Rightarrow$) Nechť {\bf A} je pozitivně definitní. Ukážeme, že pak pro
$k\in{\hat n}$ jsou matice
$\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1k}\\[-2mm]
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2k}\\[-2mm]
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
a_{k1}&\hspace{-3mm}a_{k2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{kk}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
pozitivně definitní.\\
Nechť tedy
$\left(\hspace{-2mm}
\begin{array}{l}
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_k
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$
je nenulový vektor. Potom\\
$(\bar y_1\bar y_2\ldots\bar y_k)\hspace{-1.5mm}
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
a_{11}&\hspace{-3mm}a_{12}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{1k}\\[-2mm]
a_{21}&\hspace{-3mm}a_{22}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{2k}\\[-2mm]
\vdots&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}&\hspace{-3mm}\\[-2mm]
a_{k1}&\hspace{-3mm}a_{k2}&\hspace{-3mm}\ldots&\hspace{-3mm}a_{kk}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)\hspace{-2mm}
\left(\hspace{-2mm}
\begin{array}{l}
y_1\\[-1mm]y_2\\[-1mm]\vdots\\[-1mm]y_k
\hspace{-1mm}
\end{array}\hspace{-2mm}\right)$=
$(\bar y_1\ldots\bar y_k0\cdots0\hspace{-0.5mm})\hspace{-1.5mm}
\left(\hspace{-2mm}\begin{array}{llll}
a_{11}&\hspace{-2mm}a_{12}&\hspace{-2mm}\ldots&\