01DIFRcviceni:Kapitola12

Z WikiSkripta FJFI ČVUT v Praze
Přejít na: navigace, hledání
PDF [ znovu generovat, výstup z překladu ] Kompletní WikiSkriptum včetně všech podkapitol.
PDF Této kapitoly [ znovu generovat, výstup z překladu ] Přeložení pouze této kaptioly.
ZIPKompletní zdrojový kód včetně obrázků.

Součásti dokumentu 01DIFRcviceni

součástakcepopisposlední editacesoubor
Hlavní dokument editovatHlavní stránka dokumentu 01DIFRcviceniAdmin 13. 2. 201119:47
Řídící stránka editovatDefiniční stránka dokumentu a vložených obrázkůAdmin 7. 9. 201513:45
Header editovatHlavičkový souborAdmin 1. 8. 201001:34 header.tex
Kapitola1 editovatAdmin 13. 2. 201119:33 kapitola1.tex
Kapitola2 editovatAdmin 13. 2. 201119:35 kapitola2.tex
Kapitola3 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola3.tex
Kapitola4 editovatAdmin 13. 2. 201119:37 kapitola4.tex
Kapitola5 editovatKubuondr 16. 4. 201709:39 kapitola5.tex
Kapitola6 editovatKubuondr 16. 4. 201709:31 kapitola6.tex
Kapitola7 editovatAdmin 13. 2. 201119:39 kapitola7.tex
Kapitola8 editovatKubuondr 16. 4. 201709:16 kapitola8.tex
Kapitola9 editovatAdmin 13. 2. 201119:45 kapitola9.tex
Kapitola10 editovatAdmin 13. 2. 201119:43 kapitola10.tex
Kapitola11 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola11.tex
Kapitola12 editovatAdmin 13. 2. 201119:41 kapitola12.tex

Zdrojový kód

%\wikiskriptum{01DIFRcviceni}
\section{Systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty}
 
\subsection*{Zamyslete se:}
 
Jaký tvar mají systémy lineárních diferenciálních rovnic s konstantními koeficienty?  \\
Jak se řeší tyto úlohy?\\
Co je to metoda neurčitých koeficientů? \\
Co víme o jednoznačnosti?
 
\begin{displaymath}
\acute{ \vec{y} } = \mathbf{A} \vec{y} + \vec{b}
\end{displaymath}
 
\subsection*{Příklad č.1}
 
Řešte:
 
\begin{center}
\begin{math}
y^\prime = -5y + 2z + 40 e^x
\end{math}
 
\begin{math}
z^\prime = y - 6z + 9 e^{-x}
\end{math}
\end{center}
 
Z přednášky víme, že tato úloha je ekvivalentní s úlohou následující:
 
\begin{displaymath}
\underbrace{ \acute{ \left( \begin{array}{c}
y \\ z \end{array} \right) } }_{ \acute{ \vec{a} } } = 
\underbrace{ \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) }_{ \mathbf{A} } \cdot \underbrace{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array}
\right) }_{ \vec{a} } + \underbrace{ \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right) }_{ \vec{b} }
\end{displaymath}
 
Charakteristický polynom matice A vypadá: $ \big( -5 - \lambda \big) \cdot \big( -6 - \lambda \big) - 2 = \big( \lambda + 4 \big) \cdot \big( \lambda + 7 \big) $.
Tedy kořeny jsou: $ \lambda _1 = -4; \lambda _2 = -7 $ Zjistím teď vlastní vektory matice:
 
\begin{center}
\begin{math}
\left( \begin{array}{cc} -1 & 2 \\ 1 & -2 \end{array} \right) \Longrightarrow \big( 2, 1 \big) = \vec{v_1}
\end{math}
 
\begin{math}
\left( \begin{array}{cc} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{array} \right) \Longrightarrow \big( 1, -1 \big) = \vec{v_2}
\end{math}
\end{center}
 
Tedy můžu napsat řešení bez pravé strany jako:
 
\begin{displaymath}
\acute{  \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) } = c_1 \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x}
+ C_2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x}
\end{displaymath}
 
a nyní očekávaným krokem známým z přednášky provedeme:
 
\begin{center}
\begin{math}
\acute{ \left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) } = \big( C_1^\prime - 4 C_1 \big) \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x}
 + \big( C_2^\prime -7 C_2 \big) \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} = L\big( \vec{a} \big)
\end{math}
 
\begin{math}
L \big( \vec{a} \big) = C_1 \cdot \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x} + C_2 \cdot \left( \begin{array}{cc} -5 & 2 \\ 1 & -6 \end{array} \right) \cdot
\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) \cdot e^{-7x} + \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right)
\end{math}
\end{center}
 
Po upravení, rozložení a vynásobení matic zůstává rovnost:
 
\begin{displaymath}
C_1^\prime \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^{-4x} + \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right)
\cdot e^{-7x} = \left( \begin{array}{c} 40 e^x \\ 9 e^{-x} \end{array} \right)
\end{displaymath}
 
Můžeme tedy zpátky zapsat do rovnic soustavu:
 
\begin{center}
\begin{math}
2C_1^\prime e^{-4x} + C_2^\prime e^{-7x} = 40e^x
\end{math}
 
\begin{math}
C_1^\prime e^{-4x} - C_2^\prime e^{-7x} = 9 e^{-x}
\end{math}
\end{center}
 
Z této soustavy mohu dále vyjádřit:
 
\begin{center}
\begin{math}
3C_1^\prime \cdot e^{-4x} = 40 e^x + 9 e^{-x}
\end{math}
 
\begin{math}
C_1^\prime = \frac{ 40 e^{5x} + 9 e^{3x} }{3}
\end{math}
 
\begin{math}
-3C_2^\prime e^{-7x} = 40 e^x - 18 e^{-x}
\end{math}
 
\begin{math}
C_2^\prime = - \frac{ 40 e^{8x} - 18 e^{6x} }{3}
\end{math}
\end{center}
 
Dále:
 
\begin{center}
\begin{math}
C_1 = \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1
\end{math}
 
\begin{math}
C_2 = - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2
\end{math}
\end{center}
 
Mohu tedy zapsat $ \vec{a} $ jako:
 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{c} y \\ z \end{array} \right) = \big( \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1 \big) \left( 
\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right) e^{-4x} + \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) 
\left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \end{array} \right) e^{-7x}
\end{displaymath}
 
Konečný výsledek je třeba zapsat ve tvaru:
 
\begin{center}
\begin{math}
y = \big( \frac{16}{3} e^{5x} + 2e^{3x} + 2K_1  \big) e^{-4x} + \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) e^{-7}
\end{math}
 
\begin{math}
z = \big( \frac{8}{3} e^{5x} + e^{3x} + K_1 \big) e^{-4x} - \big( - \frac{5}{3} e^{8x} + e^{6x} + K_2 \big) e^{-7}
\end{math}
\end{center}
 
A komu se tento výsledek nelíbí, může si jako procvičení klidně upravit do nějaké příjemnější podoby. Já už to přepisovat nebudu!
Jen je opravdu třeba u zkoušky důležité, aby jste to přepsali tak, jak jsem to napsal na závěr já.
 
\subsection*{ Příklad č.2 }
 
Řešte:
 
\begin{center}
\begin{math}
\dot{x} = 5x - y - 4z
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{y} = -12x + 5y + 12 z
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{z} = 10x-3y-9z
\end{math}
\end{center}
 
Situaci máme ulehčenou o to, že hledáme pouze fundamentální systém. Na tomto příkladu si však ukážeme něco zajímavějšího. Nejprve
budeme postupovat naprosto analogicky:
 
\begin{displaymath}
\dot{ \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right) } = \left( \begin{array}{ccc} 5 & -1 & -4 \\
-12 & 5 & 12 \\ 10 & -3 & -9 \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array} \right)
\end{displaymath}
 
Zjistím vlastní čísla matice A:
 
\begin{displaymath}
\begin{array}{|ccc|} 5- \lambda & -1 & -4 \\ -12 & 5- \lambda & 12 \\ 10 & -3 & -9 - \lambda \end{array} =
\big( \lambda - 1 \big) \big( 1 - \lambda \big) \big( 1 + \lambda \big)
\end{displaymath}
 
Pro ty, kdo by se s tímto determinantem trápili, první krok je přičtení prvního sloupce k poslednímu sloupci, dále
pak stačí už jen vytknout z posledního sloupce $ \big( 1 - \lambda \big) $ a dál už je to jen dopočítání. Problémem
ale zůstává, že máme vlastní čísla $ \lambda _1 = -1; \lambda _{2,3} = 1 $. Co dál? Nejdříve pokud máme jedno vlastní
číslo, můžeme spočíst k němu jeho vlastní vektor. Nechám na Vás. Je to $ \vec{ v_1} = \big( -1,2, -2 \big)$. 
 
Chceme-li úspěšně pokračovat v řešení tohoto příkladu, musíme si vzpomět na větu z přednášky, která \uv{ v podstatě } tvrdila, že pokud 
máme nějaké vlastní číslo o násobnosti $k > 1$, pak vektory řešení k tomuto číslu mají ve složkách polynomy stupně
nejvýše $k-1$. Budeme tedy hledat řešení v tomto tvaru:
 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \cdot t \\ a_2 + b_2 \cdot t \\ a_3 + b_3 \cdot t \end{array} \right) e^t = \vec{u}
\end{displaymath}
 
a nyní dosadíme do rovnosti do zadání:
 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{c} a_1 + b_1 \cdot t + b_1 \\ a_2 + b_2 \cdot t + b_2 \\ a_3 + b_3 \cdot t + b_3 \end{array} \right) \cdot e^t = 
\left( \begin{array}{c} 5a_1 + 5 b_1 t - a_2 - b_2t - 4a_3 - 4b_3t \\ -12 a_1 -12 b_1t + 5a_2 + 5b_2t + 12 a_3 + 12b_3t \\
10a_1 + 10b_1t -3a_2 -3b_2t - 9a_3 -9b_3t \end{array} \right) \cdot e^t
\end{displaymath}
 
a nyní metodou neurčitých koeficientů stačí už jen sestavit šest následujících rovností: 
 
\begin{center}
\begin{math}
a_1 + b_1 = 5a_1 - a_2 -4a_3
\end{math}
 
\begin{math}
b_1 = 5b_1 -b_2 -4b_3
\end{math}
 
\begin{math}
a_2 + b_2 = -12a_1 + 5a_2 + 12a_3
\end{math}
 
\begin{math}
b_2 = -12b_1 + 5b_2 +12 b_3
\end{math}
 
\begin{math}
a_3 + b_3 = 10 a_1 -3a_2 -9a_3
\end{math}
 
\begin{math}
b_3 = 10 b_1 - 3b_2 -9b_3
\end{math}
\end{center}
 
A protože jste už velcí kucí, nechám dopočítání na Vás. Musím se přiznat, že počítal jsem to asi třikrát, nikdy mi to
nevyšlo. :-) Měly by Vám vyjít dvě řešení, vypadjí asi takhle:
 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \\ b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) ; \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right)
\end{displaymath}
 
tedy aby to bylo vidět:
 
\begin{center}
\begin{math}
\vec{ u^{(2)} } = \left( \begin{array}{c} 2+t \\ 3 \\ 1+t \end{array} \right) \cdot e^t
\end{math}
 
\begin{math}
\vec{ u^{ (3) } } = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right) \cdot e^t
\end{math}
\end{center}
 
A ještě závěrem přepíšu do finální podoby:
 
\begin{math}
x = -C_1 e^{-t} + C_2 \big( 2 + t \big) e^t + c_3 e^t
\end{math}
 
\begin{math}
y = 2C_1 e^{-t} + 3c_2 e^t
\end{math}
 
\begin{math}
z = -2C_1e^{-t} + C_2 \big( 1 +t \big) e^t + C_3 e^t
\end{math}
 
\subsection*{Příklad č.3}
 
Řešte:
 
\begin{math}
\dot{x} = -y + z
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{y} = z
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{z} = -x + z
\end{math}
 
Postup je pro začátek jednoznačný. Zjistíme, že charakteristický polynom je: $ \big( \lambda ^2 + 1 \big) \big( 1 - \lambda \big) = 0$.
To ale znamená, že máme komplexní dva kořeny. A ještě navíc oba komplexně sdružené. Kořeny jsou: $\lambda _1 = 1, \lambda _2 = i; \lambda _3 = -i$.
Když ale máme jeden reálný kořen, resp.vlastní číslo, můžeme pro něj zjistit vlastní vektor. Přesvědčete se, že má složky
 $ v_1 = \big( 0 , 1, 1 \big) $. Můžu spočíst i další vlastní vektory, např.prvně pro i:
 
\begin{displaymath}
\left( \begin{array}{ccc} -i & -1 & 1 \\ 0 & -i & 1 \\ -1 & 0 & 1-i \end{array} \right) \rightarrow 
\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & i-1 \\ 0 & i & -1  \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) 
\end{displaymath}
 
Můžu tedy určit vlastní vektor této matice jako: $ \vec{v_2} = \big( 1+i, 1, i \big) $. Podle přednášky ale taky vím, že
další vlastní vektor bude komplexně sdružený, tedy: $ \vec{v_3} = \big( 1-i,1,-i \big) $. To bych měl ale komplexní fundamentální
systém a to se mi nelíbí. Podle přednášky totiž vím, že \uv{ když mám reálné zadání, existuje reálné řešení} . Tak proč se stresovat s
komplexním? Podle známé formule rozepsat
 $ e^{it} = \cos t + i \cdot \sin t $  a tedy jedno z řešení je:
 
\begin{displaymath}
\vec{u_2} \big( t \big) = \left( \begin{array}{c} 1+i \\ 1 \\ i \end{array} \right) \cdot \big( \cos t + i \cdot \sin t \big)
\end{displaymath}
 
Z přednášky dále vím, že pouze reálná část jednoho komplexního řešení z fundamentálního systému je taky
řešením a to platí taky o imaginární části. Proto teď vezmu $\vec{v_2}$ a \uv{vyrobím} z něj další dvě řešení. Reálná.
 
\begin{displaymath}
Re \big( \vec{u_2} (t) \big) = \left( \begin{array}{c} \cos t - \sin t \\ \cos t \\ - \sin t \end{array} \right) ;
Im \big( \vec{u_2} (t) \big) = \left( \begin{array}{c} \cos t + \sin t \\ \sin t \\ \cos t \end{array} \right)
\end{displaymath}
 
tedy mohu konečně zapsat reálné řešení ve finálním tvaru:
 
\begin{math}
x =  C_2 \big( \cos t - \sin t \big) + C_3 \big( \cos t + \sin t \big) 
\end{math}
 
\begin{math}
y = C_1 e^t + C_2 \cos t + C_3 \sin t
\end{math}
 
\begin{math}
z = C_1 e^t - C_2 \sin t + C_3 \cos t
\end{math}
 
\subsection*{Příklad č.4}
 
Řešte:
 
\begin{math}
\dot{x} = 2x + y -2z -t + 2
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{y} = -x + 1
\end{math}
 
\begin{math}
\dot{z} = x + y - z - t + 1
\end{math}
 
Poslední příklad nechám na Vás. Řešení nicméně je:
 
\begin{math}
x = -K_1 e^t + K_2 \cos t + K_3 \sin t
\end{math}
 
\begin{math}
y = K_1 e^t - K_2 \sin t + K_3 \cos t + t
\end{math}
 
\begin{math}
z = K_2 \cos t + K_3 \sin t + 1
\end{math}